FUNGSI HARMONIK DAN PENERAPAN PERSAMAAN LAPLACE DALAM MENYELESAIKAN MASALAH NILAI BATAS PADA KOORDINAT POLAR Thoriq Aziz Tjag Daiel Chadra E-mail: aziz.thoriq6@gmail.com ABSTRAK: Fugsi harmoik adalah solusi dari persamaa Laplace. adalah operator diferesial didefiisika sebagai berikut = 2 x 2 + + 2 x 2. Meurut Badger (2:), misal R medefiisika Ruag Euclid berdimesi-, sehigga R adalah garis, R 2 adalah bidag da seterusya. Misal F R adalah domaiya, suatu fugsi u: F R harmoik jika u mempuyai turua parsial kedua yag kotiu da turua parsial tersebut jika dijumlahka hasilya sama dega ol yaitu u x x + u x2 x 2 + + u x x =. Beberapa sifat fugsi harmoik adalah () jika u da v adalah harmoik da α da β adalah suatu kostata maka αu + βv adalah harmoik, (2) Hasil kali dua fugsi harmoik u da v belum tetu harmoik, (3) Jika u da u 2 adalah harmoik maka u harus suatu kostata, (4) Jika u, v da u 2 + v 2 adalah harmoik maka u da v harus kostata. Peerapa fugsi harmoik diguaka utuk meyelesaika permasalaha ilai batas (dirichlet) pada koordiat polar dalam domai berbeda. Terdapat empat tipe domai yag berbeda pada domai ruag Euclid dua dimesi dalam koordiat polar yaitu tipe daerah dalam suatu cakram (Disk), tipe irisa dega kodisi Robi, tipe aulus, da tipe daerah luar suatu cakram (Disk). Sedagka dalam domai ruag Euclid tiga dimesi ada tipe permasalaha dirichlet pada koordiat silider dega temperatur bagia selimut sama dega V. Kata kuci: Fugsi Harmoik, Persamaa Laplace, Koordiat Polar, Permasalaha Nilai Batas. ABSTRACT: Harmoic fuctio is the solutio of laplace equatio. Δ is differetial operator, it is defied as Δ = 2 x 2 + + 2 x 2. Accordig to Badger (2:), ie R defie -dimesioal Euclidea space, so that R is the lie, R 2 is the area ad so o. Suppose F R is a domai, a fuctio u: F R harmoic if u has cotiuous secod partial derivatives ad the sum of the pure secod partial derivative is zero i.e u x x + u x2 x 2 + + u x x =. Some properties of harmoic fuctios is if u ad v are harmoic ad α ad β is a umber the αu + βv is harmoic; Product of two harmoic fuctio u ad v are ot harmoic; if u ad u 2 is harmoic the u must be a costat; If u, v ad u 2 + v 2 is harmoic the u ad v must be costat. The applicatio of Laplace equatio is used to solve the problem of boudary value (Dirichlet) to polar coordiate i differet domai. A harmoic fuctio itself is the solutio of the problem (Dirichlet). There are four differet types of domai i the domai of two-dimesioal Euclidea space i polar coordiate. The iterior type a disk, the wedge type with Robi coditio, aulus type, ad exterior type a disk. While i the domai of three-dimesioal Euclidea space type there is a Dirichlet problem to cylidrical coordiates with its lateral surface is charge at a potetial V. Keywords: Harmoic fuctios, Laplace equatio, Polar coordiates, Boudary Value Problems Persamaa diferesial merupaka salah satu cabag ilmu matematika yag dipelajari oleh bayak orag da sebagia sudah diterapka dalam kehidupa yata seperti halya permodela matematika yag memiliki pera dalam bidag tekik, biologi, da lai-lai, tetapi ada juga yag diguaka utuk
megembagka materi yag sudah didapat sehigga memperoleh suatu peryataa yag bear da dapat dibuktika secara matematis. Persamaa diferesial mempelajari berbagai macam materi yag bergua peelitia. Salah satuya Persamaa Laplace yag merupaka materi dalam persamaa diferesial. Persamaa Laplace merupaka salah satu yag terpetig dari semua persamaa diferesial dalam terapa matematika (Boyce, dkk, 28:646). Persamaa tersebut dapat diguaka utuk meetuka fugsi harmoik yaitu dega mecari solusi persamaa Laplace, karea meurut Nakhle (24), u(x, y) disebut fugsi harmoik jika memeuhi persamaa Laplace. Bayak proyek permasalaha yag dapat dikaji dalam materi persamaa diferesial salah satu proyek permasalahaya adalah tetag fugsi harmoik. Salah satu soal proyek yag belum dikerjaka adalah tetag sifat-sifat fugsi harmoik da peerapa dari fugsi harmoik. Berdasarka buku Partial Differetial Equatios with Fourier Series ad Boudary Value Problems karya Nakhle (24:94), terdapat soal proyek tetag sifat-sifat fugsi harmoik yaitu jika u da v adalah harmoik da α da β adalah suatu kostata maka αu + βv adalah harmoik; Beri cotoh dua fugsi harmoik u da v sehigga uv buka harmoik; Jika u da u 2 adalah harmoik maka u harus suatu kostata; Jika u, v da u 2 + v 2 adalah harmoik maka u da v harus kostata. Karea fugsi harmoik merupaka solusi persamaa Laplace maka peeliti igi megetahui bagaimaa peerapa persamaa Laplace dalam meyelesaika pemasalaha ilai batas pada koordiat polar yag meliputi daerah dalam cakram, daerah luar cakram, daerah irisa dega kodisi Robi, daerah aulus, da daerah silider dega kodisi temperatur bagia selimut sama dega V.. KAJIAN PUSTAKA Dalam peelitia ii peulis aka mejelaska tterlebih dahulu tetag fugsi harmoik. Meurut Badger (2:), misal R medefiisika Ruag Euclid berdimesi-, sehigga R adalah garis, R 2 adalah bidag, R 3 adalah Ruag da seterusya. Misal F R adalah domaiya, suatu fugsi u: F R harmoik jika u mempuyai turua parsial kedua yag kotiu da turua parsial tersebut jika dijumlahka hasilya sama dega ol yaitu u x x + u x2 x 2 + + u x x =. Fugsi harmoik memiliki sifat-sifat yaitu () Jika u da v adalah harmoik da α da β adalah suatu bilaga maka αu + βv adalah harmoik, (2) Hasil kali dua fugsi harmoik u da v belum tetu harmoik, (3) Jika u da u 2 adalah harmoik maka u harus suatu kostata, (4) Jika u, v da u 2 + v 2 adalah harmoik maka u da v harus kostata. Metode variabel terpisah adalah suatu tekhik mecari solusi dega megguaka ilai batas da megecek kodisi batas. Kemudia utuk mecari solusi dari permasalaha ilai batas pada koordiat silider diperluka solusi dari persamaa Bessel orde ol, sebelum itu perhatika teorema berikut Teorema 2.3. Perhatika persamaa diferesial x 2 y + x xp(x) y + x 2 p x y = dimaa x = adalah titik sigular regular kemudia xp(x) da x 2 p x aalitik pada x = dega ekspasi deret kuasa koverge xp x = = p x ; x 2 q x = = q x
Utuk x < ρ, dimaa ρ > adalah miimum dari jari-jari kovergesi utuk deret kuasa xp x da x 2 q x. Misal r da r 2 adalah akar-akar dari persamaa ideks F r = r r + p r + q = dega r r 2 jika r da r 2 yata. Maka pada iterval ρ < x < atau iterval < x < ρ, ada solusi dalam betuk y x = x r + = a r x. (2.) dega a r diberika oleh relasi rekuresi dega a = da r = r. Jika r r 2 tidak ol atau bilaga bulat positif, maka pada iterval ρ < x < atau iterval < x < ρ, ada solusi kedua dalam betuk y 2 x = x r 2 + = a r 2 x. 2.2 dega a r 2 diberika oleh relasi rekuresi dega a = da r = r 2. Deret kuasa dari persamaa 2. da 2.2 koverge pada palig sedikit x < ρ Jika r = r 2, maka solusi kedua berbetuk y 2 x = y x l x + x r = Jika r r 2 = N, suatu bilaga bulat positif, maka y 2 x = ay x l x + x r 2 + b r x = c r 2 x. 2.3. 2.4 Koefisie a r, b r, c r 2, da kostata a dapat ditetuka dega mesubtitusi betuk dari deret solusi persamaa x 2 y + x xp(x) y + x 2 p x y = Kostata a dapat diyataka dega ol pada kasus yag tidak ada suku logarithmic di solusi 2.4. Masig-masig deret di persamaa 2.3 da 2.4 koverge pada palig sedikit x < ρ da medefiisika suatu fugsi yag aalitik pada beberapa ligkuga dari x =. Dalam semua kasus tersebut, dua solusi y x da y 2 x membetuk suatu set solusi fudametal dari persamaa diferesial yag diberika. Kemudia perhatika persamaa umum dari persamaa Bessel yaitu x 2 y + xy + x 2 v 2 y = Dari teorema 2.3. diperoleh bahwa solusi utuk persamaa Besel orde ol (saat v = ) yaitu y = c J x + c 2 Y x x 2m dega J = + m = ; Y 2 2m m! 2 = 2 J π x γ + l x + m + H m 2 2 2m m! 2 x2m Perhatika bahwa J x saat x da Y x memiliki sigular logarithmic pada x = sehigga Y x berperilaku seperti m = 2 π l x saat x melalui ilai positif. Oleh karea itu jika mecari solusi dega persamaa Bessel orde ol yag terhigga pada titik asal, kasus yag seperti ii diharuska membuag Y.
Persamaa Euler merupaka persamaa diferesial yag berbetuk x 2 d2 y dy + αx + βy = ; α, β R dx2 dx Solusi dari persamaa euler tersebut utuk akar real da kembar adalah sebagai berikut y x = c x r + c 2 x r l x. HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam peelitia ii peeliti aka meujukka solusi dari permasalaha ilai batas dalam domai yag berbeda yaitu empat permasalaha di ruag Euclid berdimesi dua da satu permasalaha dalam ruag Euclid berdimesi tiga. Solusi dari permasalaha tersebut merupaka fugsi harmoik. Sebelum mecari solusi dari permasalaha ilai batas tersebut terlebih dahulu megubah persamaa Laplace dalam koordiat kartesius ke dalam koordiat polar sehigga diperoleh persamaa Laplace dua dimesi dalam koordiat polar da persamaa Laplace tiga dimesi dalam koordiat silider berturut-turut yaitu 2 u da 2 u + u + 2 u =. ρ 2 ρ ρ z 2 r 2 + r u + 2 u = r r 2 θ 2 Permasalaha ilai batas pada suatu daerah dalam cakram (Iterior Disk). Aka dicari solusi dari 2 u + u + 2 u r 2 r r r 2 θ 2 = dega kodisi batas u, θ = f θ ; θ. Dega megguaka metode variabel terpisah diperoleh persamaa diferesial biasa r 2 R + rr KR = da T + KT =. Diguaka periode dari θ yaitu da meyelesaika persamaa diferesial T + KT =. Karea K adalah suatu kostata maka perhatika tiga kasus yaitu saat K = λ 2 < diperoleh solusi T θ = c cosh λθ + c 2 sih(λθ) yag periodic saat c = c 2 = sehigga solusi yag didapat trivial akibatya kasus ii diabaika. Saat K = diperoleh solusi T θ = c θ + c 2 yag periodic jika c = jadi solusi yag didapat adalah T θ = c 2. Kemudia saat K = λ 2 > diperoleh solusi T θ = c cos λθ + c 2 si λθ yag periodic jika λ = utuk bilaga bulat jadi solusi yag didapat adalah T θ = c cos θ + c 2 si θ. Karea solusi yag tidak diabaika terdapat dua kasus sehigga selesaika persamaa diferesial r 2 R + rr KR =. Saat K = diperoleh solusi R r = c 3 + c 4 l r, karea utuk r = ilai dari l r tidak berilai real jadi solusi yag didapat adalah R r = c 3. Kemudia saat K = λ 2 > diperoleh solusi R r = c 5 r λ + c 6 r λ, karea utuk r = ilai dari c 6 r λ tidak berilai real jadi solusi yag didapat adalah R r = c 5 r. Dari ketiga kasus tersebut diperoleh solusi umum utuk permasalaha ilai batas pada suatu daerah dalam cakram adalah u r, θ = C + = r A cos θ + B si θ. Kemudia mecari ilai dari kostata megguaka deret fourier diperoleh C = f θ ; A = f θ cos θ da B π = f θ si θ. π
Permasalaha ilai batas pada suatu daerah luar cakram (Exterior Disk). Aka dicari solusi dari 2 u + r 2 r f θ ; θ. u + r 2 u r 2 θ 2 = dega kodisi batas u, θ = Dega megguaka metode variabel terpisah diperoleh persamaa diferesial biasa r 2 R + rr KR = da T + KT =. Diguaka periode dari θ yaitu da meyelesaika persamaa diferesial T + KT =. Karea K adalah suatu kostata maka perhatika tiga kasus yaitu saat K = λ 2 < diperoleh solusi T θ = c cosh λθ + c 2 sih(λθ) yag periodic saat c = c 2 = sehigga solusi yag didapat trivial akibatya kasus ii diabaika. Saat K = diperoleh solusi T θ = c θ + c 2 yag periodic jika c = jadi solusi yag didapat adalah T θ = c 2. Kemudia saat K = λ 2 > diperoleh solusi T θ = c cos λθ + c 2 si λθ yag periodic jika λ = utuk bilaga bulat jadi solusi yag didapat adalah T θ = c cos θ + c 2 si θ. Karea solusi yag tidak diabaika terdapat dua kasus sehigga selesaika persamaa diferesial r 2 R + rr KR =. Saat K = diperoleh solusi R r = c 3 + c 4 l r, karea utuk r = ilai dari l r tidak berilai real jadi solusi yag didapat adalah R r = c 3. Kemudia saat K = λ 2 > diperoleh solusi R r = c 5 r λ + c 6 r λ, karea utuk r semaki besar ilai dari c 6 r λ tidak terhigga jadi solusi yag didapat adalah R r = c 5 r. Dari ketiga kasus tersebut diperoleh solusi umum dari permasalaha ilai batas pada suatu daerah luar cakram adalah u r, θ = C + = r A cos θ + B si θ. Kemudia mecari ilai dari koefisie megguaka deret fourier diperoleh C = f θ ; A = f θ cos θ da π B = f θ si θ. π Permasalaha ilai batas pada suatu daerah irisa dega kodisi Robi. Aka dicari solusi dari 2 u + u + 2 u r 2 r r r 2 θ 2 = dega kodisi batas u r, θ = ; u r, α = ; u, θ = u, θ θ. Kodisi batas ii merepresetasika r suatu irisa yag sisi bagia pertama adalah siar θ = da sisi yag lai adalah siar θ = α, irisa ii megalirka paas sesuai dega kosisi Robi u, θ = u, θ θ. r Dega megguaka metode variabel terpisah diperoleh r 2 R + rr KR = da T + KT =. Kemudia diperhatika persamaa diferesial T + KT = dega kodisi batas T = ; T α =. Karea K adalah suatu kostata maka perhatika tiga kasus yaitu saat K = λ 2 < diperoleh solusi T θ = c cosh λθ + c 2 sih(λθ) yag memeuhi kodisi batas saat c = c 2 = sehigga solusi yag didapat trivial akibatya
kasus ii diabaika. Saat K = diperoleh solusi T θ = c θ + c 2 yag yag memeuhi kodisi batas jika c = c 2 = jadi solusi yag didapat trivial akibatya kasus ii diabaika. Kemudia saat K = λ 2 > diperoleh solusi T θ = c cos λθ + c 2 si λθ yag memeuhi kodisi batas jika c = sehigga solusi yag didapat adalah T θ = c 2 si π θ. Karea solusi yag α tidak diabaika terdapat satu kasus sehigga selesaika persamaa diferesial r 2 R + rr KR =. Saat K = λ 2 > diperoleh solusi R r = c 5 r λ + c 6 r λ, karea utuk r = ilai dari c 6 r λ tidak berilai real jadi solusi yag didapat adalah R r = c 5 r. Dari ketiga kasus diatas diperoleh solusi umum dari permasalaha ilai batas pada suatu daerah irisa dega kodisi robi adalah u r, θ = = A r π α si π θ. Kemudia mecari ilai dari koefisie α megguaka deret fourier diperoleh A = 2 θ si π θ. α α + π α Permasalaha ilai batas pada suatu daerah aulus. Aka dicari solusi dari 2 u + u + 2 u = dega kodisi batas u a, θ = f r 2 r r r 2 θ 2 θ ; u b, θ = f 2 θ. Dega megguaka metode variabel terpisah diperoleh persamaa diferesial r 2 R + rr KR = da T + KT =. Diguaka periode dari θ yaitu utuk meyelesaika persamaa diferesial T + KT =. Karea K adalah suatu kostata maka perhatika tiga kasus yaitu saat K = λ 2 < diperoleh solusi T θ = c cosh λθ + c 2 sih(λθ) yag periodic saat c = c 2 = sehigga solusi yag didapat trivial akibatya kasus ii diabaika. Saat K = diperoleh solusi T θ = c θ + c 2 yag periodic jika c = jadi solusi yag didapat adalah T θ = c 2. Kemudia saat K = λ 2 > diperoleh solusi T θ = c cos λθ + c 2 si λθ yag periodic jika λ = utuk bilaga bulat jadi solusi yag didapat adalah T θ = c cos θ + c 2 si θ. Karea solusi yag tidak diabaika terdapat dua kasus sehigga selesaika persamaa diferesial r 2 R + rr KR =. Saat K = diperoleh solusi R r = c 3 + c 4 l r. Kemudia saat K = λ 2 > diperoleh solusi R r = c 5 r + c 6 r. Dari ketiga kasus tersebut diperoleh solusi umum permasalaha ilai batas pada suatu daerah aulus adalah u r, θ = C + D l r + = A r + B r cos θ + C r + D r si θ. Kemudia utuk mecari ilai koefisie megguaka deret fourier diperoleh C = D = l a b A = a π a l a l a b f θ f θ f 2 θ + f θ cos θ f θ cos θ f 2 θ πa b a 2 α b b f θ cos θ
B = C = a π D = π b a a b b f θ cos θ f θ si θ afθsiθ π b a a b a f 2 θ cos θ πa b a 2 b f θ si θ b f θ si θ b a f 2 θ si θ Permasalaha ilai batas pada suatu daerah silider dega temperatur bagia selimut sama dega V. Aka diselesaika persamaa Laplace 2 u ρ 2 + u ρ ρ + 2 u =, < ρ < a, < z < h z2 dega kodisi batas u ρ, = u ρ, h =, ρ a ; u a, z = V, z h Dega megguaka metode variabel terpisah diperoleh persamaa diferesial r 2 R + rr KR = da Z + KZ =. Kemudia diperhatika persamaa diferesial Z + KZ = dega kodisi batas Z = ; Z h =. Karea K adalah suatu kostata maka diperhatika tiga kasus yaitu saat K = λ 2 < diperoleh solusi T θ = c cosh λθ + c 2 sih(λθ) yag memeuhi kodisi batas jika c = c 2 = sehigga solusi yag didapat trivial akibatya kasus ii diabaika. Saat K = diperoleh solusi T θ = c θ + c 2 yag memeuhi kodisi batas jika c = c 2 = jadi solusi yag didapat trivial akibatya kasus ii diabaika. Kemudia saat K = λ 2 > diperoleh solusi T θ = c cos λθ + c 2 si λθ yag memeuhi kodisi batas jikac = jadi solusi yag didapat adalah T θ = c 2 si π θ dega =,2,3,. Karea h solusi yag tidak diabaika terdapat satu kasus sehigga selesaika persamaa diferesial r 2 R + rr KR =. Saat K = λ 2 > persamaa tersebut dapat dipadag sebagi persamaa Bessel orde ol sehigga diperoleh solusi R r = c J π o ρ. Dari ketiga kasus tersebut diperoleh solusi umum dari permasalaha h ilai batas pada daerah silider dega temperatur bagia selimut sama dega V adalah u r, θ = = I π h ρ si π h z dega megguaka deret fourier diperoleh c = V I π h a h h si π z dz h. Kemudia mecari koefisie PENUTUP Kesimpula Berdasarka hasil diatas diperoleh bahwa fugsi harmoik memiliki sifatsifat yaitu () Jika u da v adalah harmoik da α da β adalah suatu bilaga maka αu + βv adalah harmoik, (2) Hasil kali dua fugsi harmoik u da v belum tetu harmoik, (3) Jika u da u 2 adalah harmoik maka u harus suatu kostata, (4) Jika u, v da u 2 + v 2 adalah harmoik maka u da v harus
kostata. Solusi dari masig-masig permasalaha ilai batas merupaka fugsi harmoik yaitu a. Permasalaha ilai batas pada suatu daerah dalam cakram (Iterior Disk) u( r, ) C r A cos B si dega 2 C 2 A 2 2 f( ) d f( ) cos( ) d B f( ) si( ) d b. Permasalaha ilai batas pada suatu daerah luar cakram (Exterior Disk) u( r, ) C r A cos B si dega 2 C f( ) d 2 ; A 2 2 f( ) cos( ) d B f( ) si( ) d c. Permasalaha ilai batas pada suatu daerah irisa dega kodisi Robi u( r, ) br si, r, dega 2 m bm si d m d. Permasalaha ilai batas pada suatu daerah aulus u( r, ) C Dl r A r B r cos C r D r si dega C = D = l a b A = a π B = l a l a b f θ + f 2 θ f θ f 2 θ f θ cos θ a π b a a b f θ cos θ πa b a 2 b f θ cos θ b b f θ cos θ a f 2 θ cos θ
C = a π D = f θ si θ a π b a a b f θ si θ πa b a 2 b f θ si θ b b f θ si θ a f 2 θ si θ e. Permasalaha ilai batas pada silider dega temperatur bagia selimut sama dega V u ρ, z = c I π π ρ si h h z dega c = V I π h a h h si π h z dz = Sara Sara dari peeliti setelah diuraika pejelasa tetag permasalaha ilai batas dega domai yag berbeda-beda adalah domai dari peerapa fugsi harmoik dalam pejelasa pada hasil da pembahasa terbatas haya pada koordiat polar dua dimesi da koordiat silder dega kodisi batas tertetu, sehigga dapat dikembagka ke dalam koordiat bola atau koordiat silider dega kasus kodisi batas yag lai. DAFTAR PUSTAKA Asmar, Nakhle.H.25.Differetial Equatios with Fourier Series ad Boudary Value Problems(Secod Editio).Pearso Pretice Hall:Amerika Serikat. Axler, S., Bourdo, P., da Ramey, W..2.Harmoic Fuctio Theory (Secod Editio).Spriger:Amerika Serikat. Badger.2.Harmoic Fuctio (Suplemetal Notes).(olie) (http://ww:w.google.com/harmoic%2fuctio/www.math.washigto. edu/hotes.pdf, diakses taggal 8 Agustus 22) Boyce, William E., da Diprima, Richard E.29.Elemetary Differetial Equatios ad Boudary Value Problems (Nith Editio).Willey:Amerika Serikat. Brow, James W., da Churchill, Ruel V..993.Fourier Series ad Boudary Problem (Fifth Editio).McGraw-Hill:Amerika Serikat. Goh, Y.K.29.Boudary Value Problems i Cylidrical Coordiates.(olie)( staff.utar.edu.my/gohyk/3_pde_cyl.pdf, diakses 7 Maret 23) Zill, Deis G.,da Culle, Michael R..29.Differetial Equatios with Boudary-Value Problems (Seveth Editio).Cegage Learig: Amerika Serikat.