KEAKURATAN SOLUSI PADA PERSAMAAN DIFUSI MENGGUNAKAN SKEMA CRANK-NICOLSON Afidah Karimatul Laili, Ari Kusumastuti 2 Mahasiswa Jurusa Matematika, Fakultas Sais da Tekologi, UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag 2 Dose Jurusa Matematika, Fakultas Sais da Tekologi, UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag e-mail: aphid.laili@gmail.com, arikususmastuti@gmail.com ABSTRAK Persamaa difusi adalah persamaa diferesial parsial liier yag merupaka represetasi berpidahya suatu zat dalam pelarut dari bagia berkosetrasi tiggi ke bagia yag berkosetrasi redah. Peelitia ii bertuua utuk meetuka distribusi temperatur persamaa difusi dega megguaka skema Crak-Nicolso. Pertama, mediskritisasika persamaa difusi megguaka skema Crak-Nicolso. Diskritisasi aka meghasilka matriks. Selautya meetuka kestabila da kosistesi. Kestabila da kosistesi utuk meuukka bahwa metode yag diguaka tersebut memiliki solusi yag dapat medekati solusi aalitikya sehigga diketahui bahwa solusi tersebut akurat. Matriks hasil diskritisasi aka disimulasika dalam program. Hasil simulasi meuukka bahwa distribusi temperatur meuru terhadap waktu karea adaya perpidaha paas. Kata kuci: solusi akurat, persamaa Difusi, perpidaha paas balik, Skema Crak-Nicolso. ABSTRACT Diffusio equatio is a liear differetial equatio that represets the trasfer of substace from the high cocetratio part to the lower cocetratio part. This research is determie the temperature distributio of diffusio equatio usig Crak-Nicholso scheme. First, Discretizatio diffusio equatio usig Crak-Nicholso scheme. Obtaied from the discretizatio is matrix. Next, determiig stability ad cosistecy. The stability ad cosistecy to idicate that the method used have a solutio that ca be approximatig aalytical solutio so kow regularizatio. Matrix discretizatio results will be simulated i the program. The simulatio results show that the temperature distributio decreases with time to heat trasfer. Keywords: regularizatio, Diffusio equatio, backward heat equatio, Crak-Nicholso Scheme. PENDAHULUAN Estimasi error adalah suatu proses yag bertuua utuk mecari solusi terbaik dega mempertimbagka besarya ilai error yag dihasilka dega metode umerik. Dalam prosesya, estimasi error didapatka dari ekspasi daret Taylor yag dipotog setelah suku turua yag diigika. Dega pemotoga order yag ke, maka hasil perhituga aka medekati solusi. Jadi dalam estimasi error aka dihasilka suatu solusi yag akurat. Solusi akurat yaitu dekatya suatu solusi pedekata terhadap ilai sebearya. Dalam prosesya, dibutuhka suatu metode umerik yag aka meghasilka solusi pedekata terbaik. Solusi pedekata salah satuya adalah skema Crak-Nicolso. Skema Crak-Nicolso adalah pegembaga dari metode beda higga skema eksplisit dega metode beda higga mau skema implisit. Namu betuk dari skema Crak-Nicolso adalah skema implisit. Kelebiha metode ii dibadigka dega metode beda higga yag lai adalah stabil tapa syarat. Peelitia terdahulu oleh (Durmi, 23) telah meeliti tetag perbadiga solusi dari skema implisit da skema Crak-Nicolso utuk model perpidaha paas. Fokus peelitia (Durmi, 23) adalah membadigka solusi dari skema implisit da skema Crak-Nicolso dega cara simulasi. Peelitia terdahulu oleh (Le, Q.H., & Nguye, 23) meeliti tetag keakurata solusi pada persamaa perpidaha paas balik dega megguaka ketaksamaa. Pada hasil
Keakurata Solusi pada Persamaa Difusi Megguaka Skema Crak-Nicolso diperoleh dega error yag relatif kecil da medekati solusi sesugguhya. Dega telah diketahuiya bahwa telah didapatka error yag relatif kecil, peulis igi megetahui estimasi error pada persamaa yag sama dega metode yag berbeda pada peetua solusi pedekataya. Pada peelitia ii diselesaika persamaa difusi megguaka skema Crak-Nicolso, dalam peyelesaiaaya dilakuka diskritisasi megguaka metode beda higga skema Crak- Nicolso, kemudia meetuka syarat kestabila da meetuka syarat kosistesi utuk megetahui bahwa hasil diskritisasi tersebut akurat. Selautya melakuka simulasi dari skema yag diguaka da iterpretasi hasil. KAJIAN PUSTAKA. Persamaa Difusi Persamaa difusi yag dipakai adalah persamaa perpidaha paas balik u t (x, t) a(t) 2 u (x, t) = f(x, t), x2 u(, t) = u(π, t) =, cos() si(x) u(x, ) = g(x) = exp( 2 + ), () dega domai t [,], x [, π], a(t) adalah fugsi 2t +, dega solusi eksak u(x, t) = cos(t) si(x), serta si(t) si(x) f(x, t) =. u(x, t) exp(t 2 +t) exp(t 2 +t) adalah fugsi distribusi temperatur da u(x, ) adalah distribusi temperatur awal, u t adalah variabel paas yag bergatug pada t, u xx adalah variabel paas yag bergatug pada x, da a(t) adalah kostata paas (Le, Q.H., & Nguye, 23). 2. Skema Crak-Nicolso Skema Crak-Nicolso merupaka salah satu skema pegembaga dari skema eksplisit da implisit, yaitu merupaka ilai rerata darai kedua metode tersebut. Pada skema Crak-Nicolso diferesial terhadap waktu t dituliska dalam betuk beda mau, yaitu (Triatmodo, 22) u(x,t) t = u + u t (2) Sedagka, diferesial terhadap ruag x merupaka rerata dari skema eksplisit dam implisit dega megguaka beda pusat u(x,t) x 2 (u + u x + u + + + u ) (3) x Utuk diferesial orde 2 terhadap waktu dapat dituliska sebagai berikut 2 u(x,t) x 2 = 2 (u + 2u + +u+ + x 2 ) + 2 (u 2u +u + x 2 ), 3. Keakurata Solusi (4) Keakurata solusi umerik diukur berdasarka kriteria kovergesi, kosistesi serta stabilitas. Kovergesi berhubuga dega besarya peyimpaga solusi pedekata oleh metode beda higga terhadap solusi eksak. Aproksimasi solusi pasti koverge ke solusi aalitikya, ika kosistesi dari persamaa beda da stabilitas dari skema yag diberika terpeuhi (Zauderer, 26). Kriteria stabilitas da kositesi merupaka kodisi perlu da cukup agar diperoleh solusi koverge. Aalisis kestabila dari skema yag diguaka dapat dicari megguaka stabilitas Vo Neuma dega mesubstitusika u = ρ e ia ke dalam persamaa beda yag diguaka, sedagka utuk aalisis kosistesi dapat dicari dega megguaka ekspasi deret Taylor. Syarat perlu da cukup stabilitas Vo Neuma yaitu ρ da kriteria kosistesi aka terpeuhi ika x da t. Jika syarat kestabila da kosistesi terpeuhi maka solusi umerik tersebut aka medekati solusi aalitik (Zauderer, 26). PEMBAHASAN. Solusi Persamaa Difusi dega Skema Crak-Nicolso Persamaa difusi yag diguaka adalah persamaa () yag aka diaalisis dega skema Crak-Nicolso (Durmi, 23). Megacu pada persamaa (4), maka betuk diskrit dari persamaa () adalah sebagai berikut: u + u t u 2 (a 2u + u + x 2 + a u + 2u + + + u + x 2 ) = f (5) Kemudia utuk semua variabel dega superskrip dikelompokka ke ruas kaa, sehigga CAUCHY ISSN: 286-382 48
Afidah Karimatul Laili [ a 2 x 2] u + + [ t + a x 2] u + diasumsika sebagai: A = C = D = F = a [ a 2 x 2] u + + = [ a 2 x 2] u + [ t a x 2] u + [ a 2 x 2] u + + f 2 x 2; B = t + a x 2, (6) E = t a x 2, sehigga persamaa di atas dapat ditulis kembali sebagai: + A u + B u + C u + + = u + u = (a t u 2u + u + 2 x 2 + a t u + 2u + + + u + 2 x 2 ) + tf (9) Kemudia dapat dicari dega cara mesubstitusika u = ρ e ia, i = ke dalam persamaa tersebut da tf diaggap kecil, sehigga: ρ + e ia ρ e ia = a t 2 x 2 (ρ e ia( ) 2ρ e ia + D u + E u + (7) ρ e ia(+) ) + () F u + + f Kemudia utuk =,2,, M da =,2,, M. Misalka M = 5, M adalah bayakya iterasi, maka pada persamaa (7) aka diperoleh suatu matriks, B A 2 C [ B 2 B M 2 C M 2 A M B M ] [ + u + u 2 + u M 2 u + M ] = D D 2 D 4 [ D 5 ] (8) maka matriksya Au + = D, dimaa A da B adalah matriks tridiagoal dega ukura (M ) (M ) da usur u da f diketahui da selesaiaya adalah u + = A (D ) yag berukura (M ). 2. Keakurata Solusi Hasil Skema Crak- Nicolso Utuk Meuuka bahwa persamaa (5) berilai bear da memiliki solusi yag dapat medekati solusi aalitik, maka cukup dega meuuka bahwa persamaa beda yag diguaka tersebut stabil da kosiste. megetahui apakah metode yag diguaka utuk medekati persamaa difusi tersebut stabil atau tidak, maka ui kestabila dapat dilakuka megguaka aalisa stabilitas Va Neuma, dega cara mesubstitusika u = ρ e ia, i = ke dalam persamaa (5) yag terlebih dahulu dikalika dega t, sehigga diperoleh persamaa sebagai berikut: a t 2 x 2 (ρ(+) e ia( ) 2ρ (+) e ia + ρ (+) e ia(+) ) Utuk peyederhaaa, persamaa () dibagi dega ρ e ia, misalka a diasumsika sebagai k sehigga diperoleh: ρ = + k t 2 x 2 (e ia 2 + e ia ) [ k t 2 x 2 (e ia 2 + e ia )] () Karea e ±ia = cos a ± i si a, maka persamaa () dapat ditulis: ρ = k t + 2 x2(cos a i si a 2+cos a+i si a) (2) [ k t 2 x 2(cos a i si a 2+cos a+i si a)] sehigga diperoleh: ρ = Misalka k t 2 x2 = S k t + (2 2 x2 cos a 2) (3) [ k t (2 cos a 2)] 2 x 2 2 + S(2 cos a 2) ρ = [ [ S(2 cos a 2)] ] (3) Persamaa stabil ika da haya ika ρ < atau 49 Volume 3 No. 3 November 24
Keakurata Solusi pada Persamaa Difusi Megguaka Skema Crak-Nicolso + 4S(cos a ) 4S(cos a ) (4) Karea 2 cos a, maka persamaa (4) terpeuhi utuk setiap S R. Sehigga didapatka kestabila dari persamaa difusi megguaka skema Crak-Nicolso adalah stabil tapa syarat. Setelah diperoleh syarat kestabila maka selautya syarat kosistesi, utuk megetahui skema yag diguaka kosiste atau tidak, dapat dilakuka dega ekspasi deret Taylor yag disubstitusika kedalam persamaa (5). Ekspasi deret Taylor yag diguaka adalah sebagai berikut: u ± = u ± tu t + 2 x2 u tt ± 6 t3 ttt + u ± ± = u ± tu t ± xu x + 2 ( t2 u tt + 2 t xu tx + x 2 u xx ) + 6 ( t3 u tt + 3 t 2 xu ttx + 3 t x 2 u txx + x 3 u xxx ) + u ± = u ± xu x + 2 x2 u xx ± 6 x3 u xxx + (5) (6) (7) Selautya substitusika persamaa (5), (6) da (7) kedalam persamaa (5), dega sedikit maipulasi alabar maka diperoleh persamaa berikut: (u t a 2 u xx a 2 u xx + f) ( 2 u tt a x 8a x 3 u txxx ) t a 6 u xxx x + ( 6 u ttt 2a x 2 u ttxx ) t 2 a 2 u xxxx x 2 + = (8) Suku pertama pada persamaa (8) adalah persamaa difusi yag telah diselesaika. Suku kedua da seterusya adalah suku tambaha yag didapatka dari peyelesaia megguaka persamaa beda higga da disebut trucatio error. Trucatio error atau galat pemagkasa yag didapatka adalah ( 2 u tt a x 8a x 3 u txxx ) t a 6 u xxx x + ( 6 u ttt 2a x 2 u ttxx ) t 2 a 2 u xxxx x 2 + (9) Karea x da t sagat kecil maka umlah dari limit tersebut aka semaki kecil, karea berapapu ilai u tt, u txxx da u xxx ika dikalika dega ilai dari t da x aka semaki kecil. Error pemotoga yag dihasilka aka meuu ol utuk x da t. Jadi skema Crak- Nicolso kosiste terhadap persamaa difusi. 3. Simulasi da Iterpretasi Hasil Persamaa yag diguaka dalam simulasi adalah persamaa (7) yag merupaka betuk diskrit dari persamaa difusi. Dalam simulasi diguaka x =,698 da t =,222, sehigga simulasi persamaa difusi dapat dilihat pada gambar () berikut: CAUCHY ISSN: 286-382 5
Afidah Karimatul Laili peurua secara terus meerus sampai pada ruag x maksimal. Perubaha temperatur tersebut berala secara sama di t berapapau KESIMPULAN Gambar. Solusi Numerik Persamaa Difusi Megguaka Skema Crak-Nicolso Berdasarka hasil pembahasa, dapat diperoleh kesimpula atara lai:. Hasil diskritisasi skema Crak-Nicolso pada persamaa difusi stabil pada saat t da x berapapu, karea skema Crak-Nicolso. Hasil diskritisasi memeuhi syarat kosistesi karea error pemotogaya meuu ol utuk x da t. Jadi, hasil diskritisasi medekati solusi aalitik. 2. Pada simulasi da iterpretasi yag dilakuka pada solusi aalitik da solusi umerik meuukka bahwa solusi umerik merupaka solusi pedekata dari solusi aalitik. Perubaha temperatur teradi secara sama pada solusi aalitik da solusi umerik. DAFTAR PUSTAKA Gambar 2. Solusi Aalitik Persamaa Difusi Pada Gambar solusi umerik di atas perubaha temperatur berala dari x = di t berapapu berada pada temperatur u(x, t) = kemudia berala aik sampai pada temperatur tebesar yaitu pada x =,827 da t = dega temperatur u(x, t) =,4855 kemudia berala turu sampai pada x = π di t = dega temperatur u(x, t) =. Pada Gambar 2 solusi aalitik di atas perubaha temperatur berala secara sama yaitu dari x = di t berapapu berada pada temperatur u(x, t) = kemudia berala aik sampai pada temperatur tebesar yaitu pada x =,536 da t = dega temperatur u(x, t) =,977 kemudia berala turu sampai pada x = π di t = dega temperatur u(x, t) =. Perubaha temperatur pada solusi umerik da solusi aalitik bergerak secara sama. Perubaha temperatur teradi secara sigifika yaitu pada ruag x = dega temperatur yag awal ya kecil u(x, t) = kemudia perlaha megalami keaika sampai pada ruag tegah x. Kemudia temperatur u(x, t) megalami []. Durmi. (23). Studi Perbadiga Perpidaha Paas Megguaka Metode Beda Higga da Crah-Nicholso. Surabaya: tidak diterbitka. [2]. Le, T. P., Q.H., D. T., & Nguye, T. (23). A Backward Parabolic Equatio with Time- Depedet Coefficiet: Regulatio ad Error Estimates. Joural of Computatioal ad Applied Mathematics, 237, 432-44. [3]. Triatmodo, B. (22). Metode Numerik Dilegkapi dega Program Komputer. Yogyakarta: Beta offset. [4]. Zauderer, E. (26). Partial Differetial Equatios of Applied Mathematics. Caada: Wiley. 5 Volume 3 No. 3 November 24