Solusi dan Penyelesaian Persamaan Lingkaran # Ralat Soal --- tidak ada --- Bagian A Solusi Solusi 1. (a) x 2 + y 2 = 13 (b) x 2 + y 2 = 1 5 Solusi 2. (a) (x + 1) 2 + (y 2) 2 = 9 (b*) tidak ada persamaan lingkaran yang memenuhi Solusi 3. (x 2) 2 + (y 3) 2 = 25 Solusi 6. (a) m = 8 (b) m = ±2 (c*) m = 1 (d*) m > 10 Solusi 7. (a) pada keliling lingkaran (b) di luar lingkaran (c) di dalam lingkaran Solusi 8. (a) 3 74 7 2. (b*) 0 2 2 Solusi 4. (a) pusat : ( 1,1); jari-jari = 1 Solusi 9*. (a) 1 (b) 2 (b*) pusat : ( 1, 1 3 2 ); jari-jari = 2 2 2 Solusi 5*. (a) Tidak, karena jari-jarinya bukan bilangan real. ( r 2 = 1 r = 1 ) (b) Tidak, karena jari-jarinya bukan bilangan positif. ( r 2 = 0 r = 0 ) (c) Iya, pusat : ( 3 2, 7 2 ). Solusi 10. (a) p = 0 p = 4 (b*) p < 18 5 Bagian B Penyelesaian Penyelesaian 2b. Persamaan lingkaran yang pusatnya (2,1) adalah (x 2) 2 + (y 1) 2 = r 2. Selanjutnya, perhatikan bahwa jari-jari dari lingkaran ini adalah jarak dari (2,1) (titik pusatnya) dan garis y = 1, yang mana bentuknya sama dengan y 1 = 0. r = 0 2 + 1 1 1 0 2 + 1 2 = 0 Perhatikan bahwa jari-jari lingkaran tidak mungkin 0, jadi tidak ada persamaan lingkaran yang memenuhi kondisi pada soal. Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 1
Penyelesaian 4b. Ada beberapa cara untuk menemukan letak pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan 2x 2 + 2y 2 2x + 2y 8 = 0, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat. 2x 2 + 2y 2 2x + 2y 8 = 0 x 2 + y 2 x + y 4 = 0 x 2 x + y 2 + y = 4 x 2 x + ( 1 2 )2 + y 2 + y + ( 1 2 )2 = 4 + ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 (x 1 2 )2 + (y + 1 2 )2 = 4 + ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 (x 1 2 )2 + (y + 1 2 )2 = 9 2 Dari bentuk di atas, diperoleh letak pusat lingkaran adalah ( 1 2, 1 2 ) dan jari-jarinya 9 2 = 3 2 = 3 2 2. Penyelesaian 5a. Ada beberapa cara untuk menemukan letak pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 + 2x + 2 = 0, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat. x 2 + y 2 + 2x + 2 = 0 x 2 + 2x + y 2 = 2 x 2 + 2x + ( 2 2 )2 + y 2 = 2 + ( 2 2 )2 (x + 1) 2 + y 2 = 1 Dari bentuk di atas, diperoleh r 2 = 1 yang berarti r = 1. Perhatikan bahwa 1 bukan bilangan real, padahal jari-jari lingkaran haruslah bilangan real. Karena jari-jarinya bukan bilangan real, bentuk x 2 + y 2 + 2x + 2 = 0 bukan persamaan lingkaran. Penyelesaian 5b. y 2 + 4x 6y + 13 = 0, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat. x 2 + y 2 + 4x 6y + 13 = 0 x 2 + 4x + y 2 6y = 13 x 2 + 4x + ( 4 2 )2 + y 2 6y + ( 6 2 )2 = 13 + ( 4 2 )2 + ( 6 2 )2 (x + 2) 2 + (y 3) 2 = 0 Dari bentuk di atas, diperoleh r = 0. Perhatikan. Perhatikan bahwa jari-jari lingkaran tidak mungkin 0. Karena jari-jarinya bukan bilangan positif, bentuk x 2 + y 2 + 4x 6y + 13 = 0 bukan persamaan lingkaran. (Catatan : Cara mengerjakannya mirip dengan Soal 5a.) Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 2
Penyelesaian 5c. y 2 7y + 3x = 10, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat. x 2 + y 2 7y + 3x = 10 x 2 + 3x + y 2 7y = 10 x 2 + 3x + ( 3 2 )2 + y 2 7y + ( 7 2 )2 = 10 + ( 3 2 )2 + ( 7 2 )2 (x + 3 2 )2 + (y 7 2 )2 = 9 2 Dari bentuk di atas dapat disimpulkan bahwa bentuk x 2 + y 2 7y + 3x = 10 adalah persamaan lingkaran yang pusatnya terletak di titik ( 3 2, 7 2 ). (Catatan : Cara mengerjakannya mirip dengan Soal 5a dan Soal 5b.) Penyelesaian 6c. Supaya bentuk x 2 + my 2 + 2x + 2y = 2 adalah persamaan lingkaran, maka koefisien x 2 dan y 2 haruslah sama. Diperoleh m = 1. Selanjutnya akan dibuktikan apakah bentuk x 2 + y 2 + 2x + 2y = 2 adalah persamaan lingkaran atau bukan. Dengan cara melengkapkan kuadrat, diperoleh bahwa jari-jari lingkaran dengan persamaan itu adalah 2. Sehingga nilai m = 1 benar. (Catatan : Pembuktikan apakah bentuk x 2 + y 2 + 2x + 2y = 2 adalah persamaan lingkaran atau bukan diserahkan kepada pembaca.) Penyelesaian 6d. Supaya bentuk 2x 2 + 2y 2 4x 8y = m adalah persamaan lingkaran, maka jari-jarinya haruslah bilangan positif. 2x 2 + 2y 2 4x 8y = m x 2 + y 2 2x 4y = m 2 x 2 2x + y 2 4y = m 2 x 2 2x + ( 2 2 )2 + y 2 4y + ( 4 2 )2 = m 2 + ( 2 2 )2 + ( 4 2 )2 (x 1) 2 + (y 2) 2 = m 2 + 5 Dari bentuk di atas, diperoleh r 2 = m 2 + 5. Perhatikan bahwa nilai r2 harus lebih besar dari nol, jadi diperoleh m 2 + 5 > 0 m + 10 > 0 m > 10 Jadi, m > 10. Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 3
Penyelesaian 8b. Untuk menghitung jarak antara titik ( 1 2, 1 2 ) dan lingkaran dengan persamaan x2 + y 2 + 5x + 7y = 6, pertama hitung jarak antara titik tersebut ke pusat lingkaran, lalu dikurangi jari-jari lingkarannya. y 2 + 5x + 7y = 6, salah satunya adalah dengan melengkapkan kuadrat. x 2 + y 2 + 5x + 7y = 6 x 2 + 5x + y 2 + 7y = 6 x 2 + 3x + ( 5 2 )2 + y 2 7y + ( 7 2 )2 = 6 + ( 5 2 )2 + ( 7 2 )2 (x + 5 2 )2 + (y + 7 2 )2 = 98 4 Dari bentuk di atas diperoleh titik pusat lingkaran terletak di ( 5 2, 7 2 ) dan jari-jarinya 98 4 = 7 2 2. Jarak antara titik ( 1 2, 1 2 ) dan ( 5 2, 7 2 ) adalah ( 5 2 ( 1 2 )) 2 + ( 7 2 1 2 )2 = 2 5. Karena 2 5 < 7 2 2, yang berarti jarak titik ( 1, 1 ) dengan pusat lingkaran lebih kecil daripada jari-jari lingkaran, dapat 2 2 disimpulkan bahwa titik ( 1, 1 ) berada di dalam lingkaran. Jadi, jarak titik ( 1, 1 ) dengan lingkaran 2 2 2 2 x 2 + y 2 + 5x + 7y = 6 adalah 0. Banyaknya Titik Potong yang Terbentuk oleh 1 Garis dan 1 Lingkaran Gambar : www.teknosains.com Pada gambar (i), garis k tidak memotong maupun menyinggung lingkaran. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 0. Pada gambar (ii), garis l menyinggung lingkaran. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 1 (titik A). Pada gambar (iii), garis m memotong lingkaran. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 2 (titik B dan C). Penyelesaian 9a. Substitusikan y = x ke persamaan lingkaran (x 1) 2 + (y 1) 2 = 2. (x 1) 2 + ( x 1) 2 = 2 x 2 2x + 1 + x 2 + 2x + 1 = 2 2x 2 = 0 Dari persamaan di atas, diperoleh nilai a = 2, b = 0, c = 0. Selanjutnya, masukkan bilangan-bilangan ini ke rumus diskriminan. D = b 2 4ac = 0 2 4.2.0 = 0 Karena D = 0 maka garis y = x menyinggung lingkaran (x 1) 2 + (y 1) 2 = 2. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 1. Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 4
Penyelesaian 9b. Substitusikan x = 0 ke persamaan lingkaran (x 1) 2 + (y 1) 2 = 2. (0 1) 2 + (y 1) 2 = 2 1 + y 2 2y + 1 = 2 y 2 2y = 0 Dari persamaan di atas, diperoleh nilai a = 1, b = 2, c = 0. Selanjutnya, masukkan bilangan-bilangan ini ke rumus diskriminan. D = b 2 4ac = ( 2) 2 4.1.0 = 4 > 0 Karena D > 0 maka garis y = x memotong lingkaran (x 1) 2 + (y 1) 2 = 2. Jadi, banyak titik potong yang terbentuk adalah 2. (Catatan : Cara mengerjakannya mirip dengan Soal 9a.) Penyelesaian 10b. Substitusikan garis 3x y = 6 yang sama dengan y = 3x + 6 ke persamaan lingkaranx 2 + y 2 = p. x 2 + (3x 6) 2 = p x 2 + 9x 2 36x + 36 p = 0 10x 2 36x + (36 p) = 0 Dari persamaan di atas diperoleh nilai a = 10, b = 36, c = 36 p. Agar garis 3x y = 6 tidak memotong maupun menyinggung lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 = p, maka nilai D haruslah kurang dari 0. D = b 2 4ac < 0 ( 36) 2 4.10. (36 p) < 0 1296 1440 + 40p < 0 40p < 144 p < 18 5 Jadi, p < 18 5. Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 5