Fakulas Teknik Jurusan Teknik Sipil Universias Brawijaa
B Momen Sais a Penampang Bidang Berenuk Tak Berauran Momen sais dari suau luasan eradap sumu dan didefinisikan seagai inegral dari asil kali luas seiap elemendiferensial da dengan jarak iik era luasan elemen erseu eradap suau sumu ang diinjau Teradap sumu : M s da (in aau mm )(-) Teradap sumu : M s da (in aau mm )(-5)
Momen sais isa eranda posiif dan isa eranda negaif erganung pada posisi sumu dan momen sais suau penampang sama dengan nol, ila momen sais erseu diiung eradap garis neral ang melalui iik pusa era penampang Penampang Bidang Yang Mempunai Tepi Tak Berauran Dan Tidak Terdefinisi Secara Maemais Sederana M M s s n i n i i i ΔA i ΔA i (-6) (-7) i dan i adala koordina dan pusa era elemen ke -i eradap sumu ang diinjau
C Tiik Pusa Bera Penampang Tiik pusa era suau penampang dapa dinaakan seagai iik angkap resulane gaa dalam ara orizonal dan verikal aau suau iik dimana semua era erpusa pada iik erseu Koordina dan dari pusa era sama dengan momen sais diagi dengan luas penampang M A s M A aau : s M A M A s s da (-8) da da (-9) da n n i n i n i i ΔAi i ΔAi ΔAi i ΔAi (-) (-)
Cara Menenukan Koordina Pusa Bera Suau Area Tampang segi empa
Tiik era diukur dari sumu M A s maka ŷ da [ ] d Tiik era diukur dari sumu M s da ( da d) d maka : ] ( da d ) Jadi iik pusa era ampang erleak pada koordina : ( ; )
Tampang segiiga da ' d da ' ' ' d ( ) ( ) Sais momen eradap sumu M s 6 A 6 maka :
Tampang L Momen Sais eradap Bagian Luas (5) 7,55 -(5)-5-5,5-875 -5-5 Jumla 5 5 75 o o M A M A s s 5 5 75 5 7,5 5
D BESAAN NESA a Momen nersia Suau Penampang () Momen inersia dapa dienukan dengan inegrasi da dan aau da eradap seluru luas irisan penampang aang seluru luas irisan penampang aang dan diiung eradap sumu neral irisan penampang Dan sumu ini arus melalui iik era irisan penampang
Langka perama unuk menenukan momen inersia suau penampang adala menenukan erlei daulu leak iik era dari penampang erseu, kemudian eru menenukan esar momen inersia eradap sumu aau sumu ang melalui iik era dari luas penampang erseu Momen inersia eradap sumu : da (cm )(-) Momen inersia eradap sumu : da (cm )(-) Kedua momen inersia ini dapa diseu juga seagai momen inersia karesian
Jari-jari nersia (adius Girasi) Jari-jari inersia eradap sumu : r A (cm) (-) Jari-jari inersia eradap sumu : r A (cm) (-5) dan eruru-uru sama dengan momen inersia eradap sumu dan sumu, dan A sama dengan luas idang
Eample : v Momen lemam / inersia segiempa eradap sumu melalui iik era [ ] ( ) ( ) ( ) 8 8 d da da
v Momen inersia segiiga eradap sumu, melalui iik era da a' a da a' d ( ) ( ) a' a 6 a ( ) d a
v Momen lemam / inersia segiiga eradap sumu, melalui alas a' a da a' d ( ) ( ) a' a a ( ) d a
v Momen lemam / inersia segiiga eradap sumu, melalui puncak segiiga a' a da a' a a' d a a d
Dari gamar erlia awa r Seingga rumus momen inersia polar dapa juga diulis s : p r da da p ( ) da da (- 7)
d Momen nersia Pada Sisem Koordina Translasi a & koordina pusa era O eradap sumu sumu // sumu sumu // sumu
Suau penampang dalam sisem koordina sumu X-Y Tiik (,) adala iik era penampang erseu Apaila ssem koordina X, Y ergeser pada ssem koordina X, Y dimana : a Maka, momen inersia eradap sumu : ' ' ( ' ) da ( a ) da a da a ams a A da da
Momen inersia eradap sumu ' '' ' ' da da ''da ( ) da da ( ) ( a ) ( a a ) da da Ms a Ms a A da Ole karena sisem koordina X, Y eriik angkap pada iik era penampang, maka Ms dan Ms, seingga persamaan erseu diaas dapa disederakan s:
' ' ' ' a A A a A (a) () (-8 a,, c) (c) Dari persamaan erseu diaas, dapa disimpulkan awa nilai momen inersia akan erama esar apaila sisem koordina, ergeser menjaui pusa era penampang, adala produk inersia eradap sumu dan ang didefinisikan seagai inegral dari luas elemen da dikalikan dengan koordina dan dari elemen da eradap sumu ang diinjau adala produk inersia eradap pusa era idang ang diinjau Produk inersia dapa eranda posiif, negaif, aau ernilai erganung pada leak sumu eradap penampang erseu
Beranda posiif apaila penampang erseu erleak pada kuadran perama dan eranda negaif apaila penampang erseu erleak pada kuadran kedua karena seiap elemen da akan mempunai koordina ang posiif dan koordina ang negaif Demikian seerusna unuk penampang ang erleak pada kuadran-kuadran lain Produk-produk inersia ernilai o, apaila sala sau sumuna merupakan sumu simeris penampang seperi pada gamar diawa ini :
Seiap elemen - elemen da ang erleak simeris eradap sumu akan selalu mempunai koordina ang sama dan mempunai koordina ang selalu erlawanan ara, seingga nilai, da saling meniadakan dan nilai da sama dengan nol Huungan momen inersia polar dengan eori sumu sejajar Menuru eori sumu sejajar : maka ( ) ( ) c A a c A Beruung p p : : c c A a c c A a ( ) ( A ) ( ) ( 9a)
Apaila : a c p c c Ac (-9) Dalam al ini p ang dimaksud adala momen inersia polar eradap pusa O ang isa dieri noasi p Unuk momen inersia polar eradap pusa era c isa dieri noasi p c p c c c(- ) Dengan demikian rumus momen inersia polar eradap pusa O dapa dirumuskan s : p o pc Ac (-)
Dengan memperaikan momen diaas maka dapa disimpulkan awa momen inersia polar nilaina makin esar apaila iik ang diinjau erleak makin jau dari pusa era idang Cono Soal : Suau penampang pada gamar Tenukan : Momen inersia eradap sumu dan sumu dari penampang Momen senrafugal (produk inersia)
Jawa : Beruung sumu adala sumu simeris, maka Sumu dan sumu adala sumu uama Penampang diagi aas 8 agian
Menenukan lokasi sumu : Bagian Luas A (cm ) Jarak eradap sumu Momen sais: AY Leak sumu : 5 5 5 7,5 6875 A A 5 5 755 9 5 5 5 75 65,5 5,5 5787,5 5759 85 V 75 5,5 5787,5 V ½ (5) (5),5 65-5-/55 5787,5 7,8 V,5 5 5787,5 V ½ () () 5/(),67 V,67 Toal 85 Toal 5759
699,96 5956,86
ma min ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cono Soal : Suau penampang seperi pada gamar Tenukan : Leak iik era penampang erseu ma & min Leak sumu uama
Jawa : Menenukan iik era penampang
( ) ( ) ( ) min ma,, 86,9 87,7 67, 7, 6 7, 5, 6 7, 67, 87,7 86,9 87,7 86,9 ø ø arcg arcg ø cm cm
F SOAL-SOAL DAN PENYELESAAN Tenukan momen inersia ang diinginkan dan dipergunakan dalam periungan lenuran, maka momen inersia ini arusla diperiungkan eradap sumu ang melalui iik era penampang
Jawa : Beruung momen inersia ang diinginkan akan dipergunakan dalam periungan lenuran, maka momen inersia ini arusla diperiungkan eradap sumu ang melalui iik era penampang Menenukan iik era penampang Keerangan Luas (A) (mm ) Jarak iik era d garis awa (mm) A (mm ) Luas Toal 6 7 Luas ongga dalam - ( ) - 6 5-6 5 - A 8 A 5
A A 5 8,8 mm dari dasar Momen inersia eradap sumu Ø unuk luas oal o A ( )( 6) ( 8,) A 7,69,5 mm,69 7 mm,69 mm mm
Ø unuk rongga dalam o A 6 ( )( ) ( 5 8,) A 7,9 mm,5,69,5 5 mm,69 mm mm unuk penampang erluang ( 7,69 7,9 ) 65,5 mm
Tenukan momen inersia polar dan karesian dari suau lingkaran ang erjari-jari eradap pusana Jawa : da π r dr π r keliling seua cincin r jari-jari cincin dr lear cincin r
( ) ) ( r r dr r dr r r da da da r da r p p p p π π π π π π π
Teradap sumu ang // sumu Momen inersia polar eradap iik B 5 ' A π π π A p p c B π π π
Tenukan momen inersia dari suau aung erpenampang lingkaran seperi pada gamar diawa ini Jawa : ( ) r dr r r dr r da r p π π π π π π
Suau konsruksi erdiri aas seua pla adan egak, ua pla siku- siku dan dua ua pela sisi seperi pada gamar diawa ini Hiungla dari konsruksi ini Jawa : Gamar konsruksi diagi dalam agian : Bag Pela Badan Keempa aja siku-siku Pela-pela sisi
Tael Periungan Keerangan : Berdasarkan Dafar Profil Baja pela siku-siku : L 5 mempunai ukuran :
Keerangan : Berdasarkan Dafar Profil Baja pela siku-siku : L 5 mempunai ukuran : d 5 mm mm e,5 cm i i 6 cm F,9 cm
5 Suau idang erenuk empa persegi panjang dengan lear dan inggi sama dengan seperi pada gamar Koordina pusa era eradap sumu dan adala s : Teradap sumu ' Teradap sumu ' ( ) C ( ) C Tenukan produk inersia eradap sumu
Jawa : ( ) ( )A C C ' ' Produk nersia eradap sumu era idang ang diijau sama dengan nol, seingga ( )( ) ( ) ( ) ( ) C C C C C C A C C A C A C A A C C ' '
6 Suau idang erenuk segiiga siku-siku dengan alas sama dengan dan inggina sama dengan a Tenukan produk inersia eradap sumu era Tenukan produk inersia eradap sumu
Jawa : Diinjau luas elemen da dengan inggi d dan dengan lear ( ) ' ' ' ( ) ' luas da ' d ( )d a Produk inersia eradap sumu ang melalui pusa era segiiga siku-siku Koordina pusa era elemen eradap sumu ang melalui pusa era segiiga siku-siku eradap : sumu sumu ( ) - ( ) -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) { } d d d d d d d da d c 8 6 5 8 7 6 9 6 9 - ' 6 ' 9 6 ' 9-9 ' 6 ' 9 ' 6 ' 9 ' - 6 ' 9 ' ' '
7 7 7 9 7 7 7 8 8 8 5 6 7 8 8 8 5 6 7 8 8 5 6 7 5 8 6 5 8 7 d d d d
Produk inersia eradap sumu Koordina pusa era elemen eradap sumu dan eradap sumu ( ) ( ) ( )d a a a Luas da ' eradap sumu ( ) d a d d a d d d a d d d a d d d a a da d ' -
8 8 6 8 8 ' ' ' ' a a a a a a a d a d d a d d