Silabus : Aljabar Linear Elemener MA SKS Bab I Mariks dan Operasinya Bab II Deerminan Mariks Bab III Sisem Persamaan Linear Bab IV Vekor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vekor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Ruang Eigen 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear
Beberapa Aplikasi Ruang Eigen Uji Kesabilan dalam sisem dinamik Opimasi dengan SVD pada pengolahan Cira Sisem Transmisi dan lain-lain. Definisi : Misalkan A nn mariks mariks bujur sangkar v adalah vekor ak nol di R n dan λ adalah skalar Rill sehingga memenuhi : Av v maka λ dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vekor eigen dari A v 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear
Conoh : 4 5 5 Nilai eigen Vekor eigen 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear
Perhaikan!!! Av Av Inga. v Av v v I v A I v merupakan vekor ak nol Ini Berari de A I Persamaan Karakerisik 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 4
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 5 Conoh : Tenukan nilai eigen dari mariks Persamaan Karakerisik de (A λi) = - - A - - - - - - -
Dengan ekspansi kofakor sepanjang kolom ke- ( λ) ( ( λ) ( λ) ) = ( λ) ( λ² λ ) = ( λ) ( λ ) ( λ + ) = Jadi, mariks A memiliki iga buah nilai eigen yaiu : λ =, λ =, dan λ =. Conoh : Tenukan basis ruang eigen dari : A 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 6
Jawab : Nilai eigen dari A diperoleh saa - - - - - - - - - de A I - - - - - - - - - - - - (λ ){( λ ) } + ( λ +) (+( λ )) = (λ ){ λ 4 λ + } (λ ) (λ ) = (λ ){( λ )( λ )} (λ ) = (λ )(( λ )( λ ) ) = (λ )( λ 5 λ + 4) = (λ ) ( λ 4) = 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 7
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 8 Nilai Eigen dari mariks ersebu adalah dan 4. Unuk λ = Dengan OBE diperoleh maka z y - - - - - - - - - s s z y s dimana s, adalah parameer
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 9 Jadi Basis ruang eigen yang bersesuaian dengan = adalah, Inga bahwa Vekor eigen merupakan kelipaan dari unsur basis ersebu
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear Unuk λ = 4 Dengan OBE diperoleh maka Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =4 adalah - - - - - - z y s z y
Diagonalisasi Definisi : Suau mariks persegi Ann dikaakan dapa didiagonalkan (diagonalizable) jika erdapa mariks P yang mempunyai invers (Jadi kolom-kolomnya harus bebas linier) sehingga P AP merupakan mariks diagonal. Mariks P dinamakan mariks yang mendiagonalkan (pendiagonal) dari A. Vekor-vekor kolom dari mariks P adalah vekor-vekor eigen dari A. 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear Conoh : Tenukan mariks yang mendiagonalkan A. A I de Jawab : Persamaan karakerisik dari mariks A adalah : aau
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear de. de c a c a c a A I Dengan menggunakan ekspansi kofakor : Pilih Baris I Sehingga diperoleh nilai eigen ; ;
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 4 ~. A I ~ ~ Unuk Dengan OBE maka Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan, dimana adalah parameer ak nol P adalah
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 5 ~. A I ~ ~ Unuk Dengan OBE maka Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan, dimana adalah parameer ak nol P adalah
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 6 Unuk Dengan OBE maka Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan, dimana adalah parameer ak nol adalah ~. A I ~ P
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 7 P k P k P k k k k ~ ~ ~ ~,, P P P Perhaikan Jadi merupakan himpunan yang bebas linear Dengan OBE
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 8 Jadi, Mariks yang mendiagonalkan A adalah : Mariks diagonal yang dihasilkan adalah : Hal yang perlu diperhaikan, mariks Juga mendiagonalkan A. Tapi mariks diagonal yang erbenuk adalah : P AP P D P AP P D
Bnn dikaakan mariks orogonal jika B = B Pernyaaan beriku adalah ekivalen : Bnn adalah mariks orogonal. Vekor-vekor baris dari B membenuk himpunan oronormal di R n dalam RHD Euclides. Vekor-vekor kolom dari B membenuk himpunan oronormal di R n dalam RHD Euclides. Misalkan P merupakan mariks orogonal maka berlaku : P P = I P, unuk seiap di R n 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 9
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear Conoh : A B Beriku adalah conoh mariks orogonal : Terliha bahwa seiap vekor baris/kolom merupakan vekor sauan Dan HkD anar vekor ersebu adalah nol
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear I A A I B B 6 8 4 4 96 6 8 Perhaikan bahwa : dan Semenara iu,
Definisi : Suau mariks Ann dikaakan dapa didiagonalkan secara orogonal jika erdapa sedemikian hingga mariks orogonal P P AP (=P AP) merupakan mariks diagonal. 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear
Perhaikan bahwa : D = P AP aau A =PDP Misalkan P merupakan mariks orogonal, maka A = PDP Sehingga diperoleh hubungan A = (PDP ) = (P ) D P = PDP = A A dapa didiagonalkan secara orogonal jika dan hanya jika A mariks simeri 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear
Misal Ann, cara menenukan mariks orogonal P yang mendiagonalkan A : Tenukan nilai eigen Tenukan basis ruang eigen unuk seiap nilai eigen yang diperoleh Ubah seiap basis pada (b) menjadi basis ruang eigen yang oronormal. Benuk mariks P dimana vekor-vekor kolomnya berupa basis ruang eigen yang oronormal. Conoh : Tenukan mariks yang mendiagonalkan secara orogonal mariks A 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 4
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 5 Jawab : Basis ruang eigen : Unuk adalah Unuk adalah Unuk adalah
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 6 Sehingga mariks orogonal yang mendiagonalkan A adalah : P Dengan demikian, secara beruruan basis ruang eigen yang oronormal mariks ersebu,, dan
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 7 Inga Kembali Pers. Diferensial Misalkan sekumpulan PD orde diulis : Solusi sisem PD ersebu adalah : ) ( ) ( y a d dy a ce y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( r d dr r d dr r d dr ' ' ' r r r r r r r c e r c e r c e
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 8 Sisem persamaan diferensial idak selalu memberikan mariks koefisien yang berbenuk mariks diagonal. Benuk Umum SPD orde : Langkah-langkah menyelesaikan SPD orde linear : Menenukan mariks P yang mendiagonalkan A. Tulis SPD dummy dalam benuk dimana Tenukan solusi SPD dummy Solusi SPD adalah n nn n n n n n a a a a a a a a a ' ' ' U DU ' AP P D U DU ' X PU
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 9 Conoh 6 : Tenukan solusi dari sisem persamaan diferensial Jawab : Tulis SPD dalam benuk : Dengan PK Nilai eigen dari mariks koefisien, 4 ' ' 4 d d d d 4 = dan =
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear BRE yang bersesuaian dengan = BRE yang bersesuaian dengan = Sehingga diperoleh Karena maka SPD dummy berbenuk : Solusi SPD dummy adalah dan P AP P D ' ' u u u u c e u e c u
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear Solusi dari SPD aau X PU e c c e e c c e e c c e
Conoh 8.9 : Tenukan solusi dari masalah nilai awal dp d q( ) p. dq p q( ) d dengan kondisi awal p dan q 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear A A de.i 4 4 4 ; diperoleh Jawab : Kia peroleh Persamaan Karakerisiknya adalah Akhirnya diperoleh
Unuk. I A ~ ~ Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan adalah vekor ak nol yang berbenuk 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 4, dimana merupakan parameer. Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan adalah P
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 5 ~ ~. A I P Unuk Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan adalah vekor ak nol yang berbenuk Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan adalah, dimana merupakan parameer
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 6 e e U X PU e c c e q p e c c e p e c c e q Sehingga Solusi Umum SPD U = D U adalah Dengan demikian solusi SPD kia adalah : aau sehingga
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 7 C C C C ; C C e e p ) ( e e q ) ( Unuk Dengan Eliminasi didapa Jadi solusi masalah nilai awal ersebu adalah p q dan sehingga
6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 8 Laihan Bab 8. Tenukan basis ruang eigen dari. Dikeahui : Apakah B mariks dapa didiagonalkan? Jelaskan!. Suau Mariks A memiliki basis ruang eigen : λ = λ = Tenukan mariks A! 4 4 B A
4. Tenukan solusi dari masalah nilai awal : dp p( ) q( ) d dq 4 p( ) 5 q( ) d dengan kondisi awal p() dan q'() 6/5/4 :56 MA- Aljabar Linear 9