PENYELESIN SISTEM PESMN TK LINIE Mater Kulah: Pengantar; Iteras Satu Tt; Iteras Newton # PENGNT # erut n adalah contoh seumpulan buah persamaan ta lner smulta dengan buah varabel ang ta detahu:... ( 57... ( Dengan cara gra, harga dan ang merupaan penelesaan sstem persamaan n terlhat dar perpotongan (ntersecton antara urva. Perhatanlah bahwa penelesaan sstem persamaan tersebut d atas adalah: dan (lhat gambar berut...!!! 6 5 57 Secara umum, sstem atau umpulan persamaan ta lner ang melbatan n buah persamaan dengan n buah varabel ang ta detahu, dapat dtulsan dalam bentu: (,,..., n (,,..., n n (,,..., n atau, dapat uga dtulsan sebaga: ( dengan:,,..., n d mana menataan ungs atau persamaan ta lner dan [... n ] Penelesaan sstem persamaan tersebut merupaan nla-nla ang membuat sstem persamaan sama dengan nol. Sepert halna penentuan aar persamaan ta lner tunggal, dua metode berut n dapat dterapan untu penelesaan sebuah sstem persamaan ta lner:. Metode substtus berurut (atau teras satu tt, atau teras tt tetap. Metode teras Newton-aphson # METODE ITESI STU TITIK # Sepert penelesaan persamaan ta lner tunggal, ormula teras satu tt untu seumpulan persamaan ta lner melbatan sebuah proses penusunan ulang persamaan: ( menad berbentu: g (,,..., n Metode n mempuna strateg ang sama dengan metode teras tt tetap dan metode Gauss- Sedel (Lhat embal mater ulah sebelumna. Masng-masng persamaan ta lner dselesaan d/analss numer/penelesaan sstem persamaan ta lner/ebruar 8/halaman dar 9 Penelesaan: (,
untu memperoleh sebuah nla ang ta detahu. Sstem persamaan n selanutna dproses secara terat untu menghtung nla-nla ang baru, ang dharapan aan onvergen epada penelesaan ang sesungguhna. ontoh: Gunaan metode substtus berurut untu menentuan aar-aar persamaan:...(a 57...(b Gunaan nla tebaan awal:,5 dan,5 andngan haslna dengan nla dan ang sesungguhna. Penelesaan: Masng-masng persamaan (a dan (b dapat dsusun ulang (rearrangng untu memperoleh harga dan sebaga berut: dan 57 Iteras pertama: Dengan menggunaan nla awal,5 dan,5, maa (baru dapat dhtung dengan cara: (,5,9,5 Nla (baru n dan nla (lama selanutna dapat dhtung untu menghtung nla (baru: 57 (,9 (,5,756 Iteras edua: Dengan cara ang sama, dperoleh: (,9,9,756 57 (,9 (,756 9,79 Perhatanlah bahwa pendeatan n menghaslan penelesaan ang dvergen...!! Oleh arena tu, persamaan (a dan (b dsusun ulang embal dengan cara ang berbeda, msalna: Dar persamaan (a : 57 da dar persamaan (b : Iteras pertama: (,5 (,5,795 Iteras edua: 57,5 (,795,865 (,795 (,865,95 57,865 (,95,955 Perhatanlah bahwa pendeatan n menghaslan penelesaan ang onvergen e arah nla-nla ang sesungguhna ( dan Hasl-hasl perhtungan selengapna dsaan dalam tabel berut n: d/analss numer/penelesaan sstem persamaan ta lner/ebruar 8/halaman dar 9
# METODE ITESI NEWTON-PHSON # Ingat embal metode Newton-aphson untu menentuan aar persamaan ta lner tunggal (pada mater sebelumna. Untu persamaan ta lner tunggal, cara lan untu menusun ormulana adalah dengan menurunanna dar espans deret Talor order-pertama: ( ( '( ( d mana adalah nla tebaan awal dan adalah nla ang merupaan perpotongan antara slope ( dengan sumbu. Karena pada perpotongan ( bernla nol, maa persamaan d atas dapat dsusun ulang menad: ( '( ang merupaan ormula Newton-aphson untu persamaan tunggal. Pendeatan d atas selanutna dapat dterapan untu umpulan atau sstem persamaan ta lner, ang terdr atas n buah persamaa dengan n buah varabel bebas ang ta detahu. Sebaga contoh, espans deret Talor order-pertama untu buah varabel dapat dtulsan sbb.:,,, (,, (,,,,,, (,, (,, Karena, dan, bernla nol, maa edua persamaan d atas dapat dsusun ulang menad:,,,,,,,,,,,, Suu-suu ang mengandung subscrpt telah detahu nlana; sedangan suu-suu ang mengandung subscrpt ang aan dhtung. Dengan cara la edua persamaan d atas dapat dsusun dalam bentu matrs (an peralan sebuah matrs buur sangar dengan sebuah vetor ang menghaslan sebuah vetor menad:,,,, d/analss numer/penelesaan sstem persamaan ta lner/ebruar 8/halaman dar 9,,,,,,,,,,,,, b,,,,,,
Selanutna, besarna vetor dapat dtentuan. Matrs dalam sstem persamaan n serng dsebut sebaga matrs Jacoban. Nla-nla, dan, uga dapat dtentuan melalu manpulas alabar (msalna dengan cara ramer, menghaslan:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ontoh: Gunaan metode Newton-aphson multple-equatons untu menentuan aar-aar persamaan:...(a 57...(b Gunaan nla tebaan awal:,5 dan,5 andngan haslna dengan nla dan ang sesungguhna. Penelesaan: Persamaan (a dan (b dapat dtulsan embal dalam bentu: 57 Fungs turunan parsal pertama untu dan : 6 Iteras pertama: Untu nla tebaan awal:,,5 dan,,5, nla-nla turunan parsalna adalah:,,, (,5,5 6,5,,,,,5, (,5 6,, 6,75 6 (,5 (,5,5 Nla determnan matrs Jacoban: Δ (6,5 (,5 (,5 (6,75 56,5 Nla ungs dan : (,5 (,5(,5,,,, 57,5 (,5 (,5 57,,,,,5,65 Dengan dema dan (baru dapat dhtung sebaga berut: d/analss numer/penelesaan sstem persamaan ta lner/ebruar 8/halaman dar 9
,5 (,5,65 (,5,5,6 56,5,65 (6,5 (,5 (6,75,5,888 56,5 Komentar: Langah perhtungan n dapat dulang hngga dperoleh tngat auras ang dngnan. Perhatan bahwa hasl perhtungan bersat onvergen menuu nla-nla dan ang sesungguhna. Hasl-hasl perhtungan selengapna dsaan dalam tabel berut n: ontoh: Tentuan aar persamaan: ( e atau: (, e ( (Persamaan lngaran atau: (, secara terat dengan menggunaan metode Newton. Penelesaan: Secara gra, terlhat bahwa sstem persamaan ta lner n mempuna buah aar (ang terlhat dar perpotongan antara gra dan. ar-aar persamaan - - - - - - Dengan cara ang sama dengan contoh penelesaan soal sebelumna, aan dcoba buah nla tebaan awal dan ang berbeda. Hasl-hasl perhtungan selengapna, dengan mengambl nla awal: ; - d/analss numer/penelesaan sstem persamaan ta lner/ebruar 8/halaman 5 dar 9
Hasl-hasl perhtungan selengapna, dengan mengambl nla awal: -; Komentar: Perhatanlah bahwa dengan mengambl nla tebaan awal dan ang berbeda, maa hasl perhtungan masng-masng bersat onvergen dan mengarah epada poss aar persamaan ang berbeda pula. Generalzaton Secara umum, untu seumlah n buah persamaan ta lner, dengan n buah varabel bebas ang ta detahu, berlau hubungan:,,,,..., n,,,,,... dengan menataan persamaan atau varabel ang ta detahu; menataan nla (atau teras searang; dan menataan nla (atau teras berutna. Ja persamaan umum d atas dsusun untu,,..., terlhat bahwa sstem persamaan ang terbentu merupaan seumpulan persamaan lner smulta ang dapat dselesaan secara numer melalu beberapa metode. Dalam bentu matrs, sstem persamaan d atas dapat dtulsan sebaga: [Z] [ ] - [] [Z] [ ] dengan turunan parsal ang dtulsan sebaga matrs Jacoban dnataan sebaga:, n d/analss numer/penelesaan sstem persamaan ta lner/ebruar 8/halaman 6 dar 9
,,, n,,, [ Z] n n Nla-nla awal dan ahr dtulsan dalam bentu vetor: [ ] T [,,... ] dan [ ] T [,,... ] Nla ungs pada dapat dnataan dalam bentu: [] T [,,... ] Permasalahan ang dumpa dalam penelesaan sstem persamaan ta lner dengan metode Newton-aphson sama dengan permasalahan penelesaan persamaan tunggal, an: Evaluas ungs turunan pertama adang-adang sult dlauan; hal n bsa datas dengan penerapan nte-derence appromato dan Pemlhan nla tebaan awal ang tepat dperluan untu menamn teradna onvergens penelesaan. Fnte-derence appromaton: ( Δ ( Δ (orward derence ( Δ ( Δ Δ (central or center derence ( ( Δ Δ (bacward derence ontoh plas: erut n adalah sema reas omples dar sebuah sstem reas ase car: r r dengan: r / r r r r r D [] gmol/l.det [] gmol/l.det [] gmol/l.det [] gmol/l.det Sebuah contnuousl strred tan reactor (ST bervolume ( lter dgunaan untu sstem reas n. eatan dengan onsentras (, mol/l dumpanan dengan lau alr volumetr ( 5 lter/det. ST drancang beroperas pada eadaan stead dan sstem reas dasumsan beroperas pada onds sotermal., det -, lter / /gmol /.det,5 L/gmol.det, L/gmol.det d/analss numer/penelesaan sstem persamaan ta lner/ebruar 8/halaman 7 dar 9
d/analss numer/penelesaan sstem persamaan ta lner/ebruar 8/halaman 8 dar 9 Neraca massa (mol untu masng-masng omponen reas dapat dtulsan sebaga berut: Out In Generaton - onsumpton Komponen : (r - (r r Komponen : ( r - (r Komponen : (r r - (r Komponen D: D (r - Dengan mensubsttusan persamaan r e dalam neraca mol d atas, maa dperoleh buah persamaan ta lner smultan berut: D Tentuan besarna,,, dan D dengan menngunaan metode Newton. Gunaan nla-nla awal:,,, D,, Penelesaan: Untu menerapan metode Newto turunan parsal dar masng-masng persamaan terhadap masng-masng varabel perlu dtentua untu menghaslan matrs Jacoban. erut merupaan non-zero partal dervatves untu sstem n: 5, ( 5, D Hasl perhtungan secara terat (slaan nda coba menghtung sendr...!!!: D,,,,,57,99,8786,699,89,7875,58877,85886,8865,78887,59776,957,88658,7888,598,96789 erdasaran hasl perhtungan d atas, terlhat bahwa langah teras telah menunuan hasl (atau penelesaan ang onvergen. # LTIHN SOL #. Tentuan penelesaan sstem persamaan ta lner smultan berut n: -,5 5 Gunaan metode Newton-aphson dan gunaan nla tebaan awal,
. Tentuan penelesaan sstem persamaan ta lner smultan berut n: 5 menggunaan: (a metode gra (b metode substtus berurut; dengan nla tebaan awal,5 (c metode Newton-aphson; dengan nla tebaan awal,5. Lauan langah teras dengan metode Newton untu menelesaan seumpulan persamaan ta lner berut: ( 5 ( 9 Gunaan nla awal [ ]. Selesaan sstem persamaan ta lner berut: 5 ( ( Gunaan,, dengan metode Newton. Gunaan nla awal ang la a perlu. 5. Selesaan sstem persamaan ta lner berut: e snh,688 (, 5, Gunaan,,, dengan metode Newton. Gunaan nla awal ang la a penelesaan ang dperoleh tda onvergen. 6. Tnaulah sstem reas beresetmbangan berut n: H (g H O (g O (g H (g... ( O (g H O (g O (g H (g... ( Pada K, onstanta esetmbangan untu sstem reas n masng-masng adalah sebesar,9 - dan 5,58. Gas mula-mula mengandung %-mol H (g dan 8% H O (g, ang berada pada onds K dan atm. Konstanta esetmbangan untu edua reas dnataan sebaga: O H O H K P dan K H H O O H O Ja mol gas dplh sebaga bass perhtungan; ε menataan tngat reas untu reas ( dan ε menataan tngat reas untu reas (, maa ras mol omponen-omponen reas pada esetmbangan dapat dnataan sebaga: ε ε ε ε 8 ε ε O H H O ε ε ε ε ε O ε H ε Dengan mensubsttusan 5 persamaan ras mol d atas e dalam persamaan onstanta esetmbangan reas, dperoleh: ( ε ε ( ε ε,9 ( ε (8 ε ε ( ε ε ( ε ε 5,58 ( ε ε (8 ε ε Pertanaan: Tentuan omposs gas pada esetmbangan untu sstem reas n! Selamat elaar!!! d/analss numer/penelesaan sstem persamaan ta lner/ebruar 8/halaman 9 dar 9