BAB I METODE NUMERIK SECARA UMUM Aplikasi modl matmatika banyak muncul dalam brbagai disiplin ilmu pngtahuan, sprti isika, kimia, konomi, prsoalan rkayasa (tknik msin, sipil, lktro). Modl matmatika yang muncul trsbut bukanlah modl matmatika yang dapat dislsaikan scara analitik (mnggnakan rumus-rumus yang baku/lazim). Bbrapa contoh modl matmatika yang tidak dapat dislsaikan scara analitik : i). Tntukan akar-akar prsamaan polinom : 6.. = ii). Tntukan harga yang mmnuhi prsamaan : ( ).8 = cos 6 iii). Slsaikan systm prsamaan linar :.a b c d.8. g = 8.9a b c 6d g =.6a b 6c d 8. 6g = 6.a b 8c d 8. 6g = 9.a b c 6d. 8g = 9.9a b c 9d g =.6a b.8c d. g = iv). Diprolh tabulasi (,y) sbagai brikut : Y=()..6..6....896 6..86 Hitung taksiran nilai untuk =.8! ' Hitung nilai (.)? METODE ANALITIK VS METODE NUMERIK Mtod analitik disbut juga mtod sjati karna hasilnya adalah solusi sjati (act solution) atau solusi yang ssungguhnya yaitu solusi yang mmiliki galat (rror) sama dngan nol.
Mtod numrik adalah tknik yang digunakan untuk mmormulasikan prsoalan matmatika shingga dapat dipcahkan dngan oprasi aritmtika biasa (tambah, kurang, kali, bagi). Solusi numrik disbut juga solusi hampiran (approimation). Solusi hampiran jlas tidak tpat sama dngan solusi sjati, shingga ada slisih antara kduanya. Slisih inilah yang disbut galat (rror). Contoh prsoalan : I = ( ) d Tntukanlah nilai intgral trsbut scara analitik! y = ( ) p q r s - - -.. I p q r s {[ ( ) ( / )]*./ } {[ ( / ) ()]*./ } {[ () (/ )]*./ } {[ (/ )./ {. ( ) ( / ) ()./ {. 8. } ()]*./ } (/ ) ()} Solusi dari analitik disbut solusi sjati dan solusi dari numrik disbut solusi hampiran. Galat = solusi hampiran solusi sjati Tntukan galat dari prsoalan trsbut!
BAB II DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DEFENISI DERET TAYLOR Andaikan dan smua turunannya,,,..., mnrus didalam slang [a,b]. Misalkan X ε [a,b], maka untuk nilai-nilai diskitar X dimana ε [a,b], maka () dapat diprluas (dikspansi) kdalam drt Taylor. X Drt Taylornya : ( ) ( ) ( ) m m = ( ) '( ) ''( )... ( )!! m! Apabila =, maka drtnya dinamakan drt Maclaurn yang mrupakan drt Taylor baku.... Contoh :. Hampiri ungsi () = sin () kdalam drt Taylor di skitar =! = sin ' = cos '' = sin( ) ''' = cos( )... () ( '( = sin ( ) sin( ) = sin()! ) = sin() ''( ) = cos() '''( () ( ) = sin() ) = cos() ) = sin() ( ) cos()! Sdangkan untuk drt Maclaurnnya : ( ) sin = sin()!... =...!! ( ) cos()! ( ) ( sin())! ( ) ( sin())! ( ) ( cos())! ( ) ( cos())! sin()... sin().... Uraikan, cos(), dan ln () kdalam drt Maclaurn! =, ' =, '' =, ''' =, = () ( ) () ( ) =!!... =...!!! () ( )! (),... ( )! ()...
= cos, ' = sin( ), '' = cos( ), ''' = sin, = cos,... ( ) cos = cos()!... =...!! ( ) ( sin())! ( ) ( cos())! ( ) (sin())! cos()... = ln( ) ' = = ( ) ( ) '' = ( ) ''' = ( )... () = 6( ) ( ) = ln() ''( '''( '( () ) = () ) = () ( ) = () ) = 6() ( ) ( ) ln( ) = ln() ()!! 6... =...!!! ( ) ( )! ( ) ()! ( 6)... Karna suku-suku drt Taylor tak brhingga banyaknya, maka drt Taylor biasanya dipotong sampai ord trtntu, dinyatakan olh : ( ) ( ) ( ) n = ( ) '( ) ''( )... ( ) Rn( )!! n! Dngan : ( ) n n Rn = ( c)... < c < disbut galat atau sisa (rsidu). ( n )! n Contoh :. Hampiri ()=sin() dngan drt Taylor sampai ord diskitar =. ( ) ( ) ( ) ( ) sin( ) = sin() cos() ( sin()) ( cos()) sin() R!!!! ( ) () ( ) R = ( c) = cos( c)!!. Hampiri dngan drt Maclaurn untuk ()= sampai ord, ()=cos() sampai ord 6, dan ()=ln() sampai ord. = R R =!!!! ( c)
6 cos( ) = R6 R6 =!! 6! cos( c)! 6 ln( ) = R R = ( c )!!!! dalam hal ini <c<. Hitunglah hampiran nilai cos(,), sudut dinyatakan dalam radian, dngan drt Maclaurn sampai suku ord n = 6. 6 cos = R6 R6 = cos( c)!! 6!! 6 6 (,) (,) (,) cos = =!! 6! =.9866 untuk slanjutnya blum dapat ditntukan galat atau R 6 () karna nilai c yang blum pasti. ANALISIS GALAT Galat brasosiasi dngan sbrapa dkat solusi hampiran trhadap solusi sjatinya. Smakin kcil galatnya, smakin tliti solusi numrik yang didapatkannya. Sumbr Utama Galat : ) Galat pmotongan ) Galat pmbulatan Slain kdua galat, masih ada sumbr lain : ) Galat ksprimntal, yaitu galat yang timbul dari data yang dibrikan. ) Galat pmrograman, yaitu galat yang trdapat didalam program. Sring disbut dngan kutu (bug). Galat pmotongan : mngacu pada galat yang ditimbulkan akibat pnggunaan hampiran sbagai pngganti ormali ksak. Maksudnya, ksprsi matmatik yang lbih komplks diganti dngan ormula yang lbih sdrhana. Dalam drt Taylor, galat nilai hampiran diakhibatkan olh pmotongan suku-suku drt, galat pmotongan ini dapat dihampiri dngan rumus suku sisa : Rn( ) = ( ) n ( n )! n ( c)... < c <
Contoh : 6 cos( ) =!! 6! 8 8!...! nilai hampiran galat pmotongan Rn = cos( c)... < c <! Nilai R n yang tpat hampir tidak prnah dapat diprolh, karna nilai c tidak diktahui, trkcuali inormasi bahwa c trltak pada suatu slang trtntu. Yang mungkin dicari adalah nilai maksimum dari R n () untuk c dalam slang yang dibrikan. R < ma n ( n ) ( ) ( c) * < c< n n Galat pmbulatan : prhitungan dngan mtod numrik hampir slalumnggunakan bilangan riil, masalah timbul bila komputasi numrik dikrjakan olh msin karna smua bilangan riil tidak dapat disajikan scara tpat didalam computr. Ktrbatasan komputr dalam mnyajikan bilangan riil mnghasilkan galat pmbulatan. Contoh : Gunakan drt Taylor ord diskitar = untuk mnghampiri ln(,9) dan brikan taksiran galat pmotongan maksimumnya. Pnylsaian Tntukan turunan ungsi = ln trlbih dahulu = ln () = ' = / '() = '' = / () () = 6 / = / ''() = () () () = 6 ( c) = / c Drt Taylornya adalah : ln( ) = ( ) ( ) / ( ) / ( ) / R Shingga ln(.9) =. (.) / (.) / (.) / R =.8 R (.) R (.9) < ma *.9< c< c!. Jadi, ln(.9) = -.8 dngan galat pmotongan lbih kcil dari.