BAB V MOMENTUM ANGULAR Pengukuran Simultan Beberapa Properti Dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk elektron hidrogen adalah konstan. Kriteria apa saa yang dapat digunakan untuk menentukan properti apa saa dari suatu sistem yang nilainya dapat ditentukan secara simultan. Dalam mekanika kuantum ada pasangan-pasangan properti yang pengukurannya tidak dapat secara simultan, sebagai contoh posisi dan momentum merupakan dua properti pengukurannya tidak dapat secara simultan. Ada uga pasangan-pasangan properti yang pengukurannya dapat secara simultan, karena masing-masing mempunyai hasil pengukuran yang pasti. Jika fungsi adalah fungsi eigen dari operator A dengan nilai eigen a, maka a adalah nilai properti A.
Contoh ika adalah fungsi eigen dari operator energi kinetik T dengan nilai eigen t, maka t adalah nilai energi kinetik T. Jika secara simultan merupakan fungsi eigen dari dua buah operator yaitu A dan B dengan nilai eigen a dan b, (ditulis: A = a dan B = b, maka secara simultan dapat diketahui secara pasti nilai properti A dan B, yaitu a dan b. Kapankah teradi kemungkinan bahwa menadi fungsi eigen dari dua buah operator berbeda? Fungsi akan secara simultan merupakan fungsi eigen dari dua buah operator A dan B ika kedua operator tersebut adalah pasangan operator yang commute atau ika [ A,B ] = 0. Jika dua buah operator A dan B adalah commute, maka dapat menadi fungsi eigen bagi A maupun B.! Ingat! Commutator A dan B adalah [ A,B ] = A B B A.
Beberapa commutator identitas yang sangat membantu dalam mengevaluasi commutator. [ A, B ] = [B, A ] (5-1) [ A, A n ] = 0 (5-) [k A, B ] = [ A, kb ] = k[ A, B ] (5-3) [ A, A +C ] = [ A,B ] + [ A,C ]; [ A +B,C ] = [ A, C ] + [B,C ] (5-4) [ A, B C ] = [ A,B ]C + B [ A,C ] ; [ A B,C ] = [ A,C ]B + A [B,C ] (5-5) Contoh: Buktikanlah bahwa x dan p x tidak dapat diukur secara simultan! Jawab: Uilah bahwa [ x, p x] 0 [ x, p x] = [ x p x p xx ] Jika dioperasikan pada sembarang fungsi :
[ x, p x] = [ x p x p xx ] = x p x p xx Karena p x = i, maka: x [ x, p x] = x ( i i ( x i { x i { x i { x i { x ) ( i )x x x x ) x x ( x + x ) } x x x ( + x ) } x x x } x x x } x x
i { } i Jadi: [ x, p x] = i Karena [x, p x] 0, maka tidak mungkin merupakan fungsi eigen simultan terhadap x dan p x sehingga pengukuran x dan p x harus secara simultan dan mengikuti prinsip ketidakpastian. 5. Momentum Angular Sistem Partikel Tunggal Momentum Angular Dalam Mekanika Klasik Jika sebuah partikel bermassa m melintas dan dalam sistem koordinat Cartessius dengan r adalah vektor dari titik acuan ke posisi partikel pada saat itu, maka hubungan antara vektor r dengan komponen-komponennya adalah r = x i + y + z k (5-6)
dengan x, y dan z adalah koordinat partikel sedang i,, k adalah unit vektor berarah x, y dan x.
Jika vektor momentum linear adalah p maka hubungan antara vektor p dengan komponen-komponennya adalah: p = p x i + p y + p z k (5-7) dengan p x = m v x ; p y = m v y dan p z = m v z
Menurut mekanika klasik, vektor momentum angular L didefinisikan sebagai : i k L = r x p = x p = y. p z. p z x y y p y z p i xp zp z z + xp yp x y k (5-8) Karena hubungan antara vektor L dan komponen-komponennya adalah: L = L x i + L y + L z k (5-9) Maka kita peroleh: Lx y. pz z. py Ly z. px x. pz (5-10) L x. p y. p z y x x
Hubungan antara harga L dengan L x, l y dan L z adalah: L = L L L (5-11) x y z Operator Momentum Angular Operator momentum angular diperoleh dari persamaan klasik (5-11) dan (-10) setelah mengganti p x, p y dan p z dengan operator p x, p y dan p z yaitu: p x = i x p y = i (5-1) y p z = i z
sehingga: L x = i y z z y L y = i z x (5-13) x z L z = i x y y x Selanutnya kita tahu bahwa besarnya harga skalar L adalah: L = L L L x Jadi operator y L = L x + z L + y L z (5-14)
Commutator antara Momentum Angular dengan Komponenkomponennya Selanutnya karena pasangan commutator sangat penting untuk mengetahui apakah dua buah properti dapat diukur secara simultan atau tidak, maka sekarang kita akan melihat bagaimana harga pasangan-pasangan commutator antar komponen momentum angular, yaitu [ L x, L y]; [ L x, L z]; [ L y, L z] dan uga pasangan commutator antara operator momentum angular L dengan komponen-komponennya yaitu commutator [ L, L x]; [ L, L y] dan [ L, L z]. Pertama kita akan mengevaluasi commutator [ L x, L y]. Kita tahu bahwa: [ L x, L y] = Lx L y Ly L x Jika dioperasikan pada sembarang fungsi F maka: [ L x, L y] F = Lx L y F Ly L x F
= { y z z y z x x z F z x x z y z z y F} y z F yx F z F zx F zy F z F xy F x z F z x z yx yz xz xy z z y y z F zx F zy F x z F z x yz xz z y F F y x x y y x F x y = i L F z Jadi: [ L x, L y] = i L z (5-15)
Analog dengan cara diatas maka diperoleh (Buktikan): [ L y, L z] = i L x (5-16) [ L z, L x] = i L y (5-17) Dari (-11) tampak bahwa pasangan commutator antar komponen momentum angular adalah non-commute. Sekarang akan kita selidiki pasangan commutator antara operator momentum angular dengan komponen-komponennya yaitu: [ L, L x] ; [ L, L y] dan [ L, L z]. Pertama akan kita selidiki dulu: [ L, L x] dengan memanfaatkan sifat commutator identitas pada awal bab ini. Karena: [ L, x L = Lx L ] = [ = [ Lx + Ly + Lz Lx + Ly + Lz, x, L x] + [ Ly, x maka: L ] L ] + [ L ] Lz, x
Menurut sifat (5-), [ L, L x] = 0, adi: [ L, L x] = [ L, L x] + [ L, L x] atau: [ L, L x] = [ Ly L y, L x] + [ L z L z, L x] Dengan menggunakan sifat (5-5) yaitu [ A B,C ] = [ A,C ] B + A [ B, C ], maka: [ L, L x] = [ L y, L x] L y+ L y [ L y, L x] + [ L z, L x] L z + L z [ L z, L x] = i Lz L y i Ly L z + i Ly L z + i Lz L y = 0 Jadi: [ L, L x] = 0 (5-18) Analog dengan cara di atas maka diperoleh: [ L, L y] = 0 (5-19) [ L, L z] = 0 (5-0)
Dari persamaan (5-18) sampai dengan (5-0) tampak bahwa operator momentum angular L dan salah satu komponenkomponen bersifat commute, adi antara L dengan salah satu L x atau L atau y Lzmempunyai fungsi eigen yang sama. Operator Momentum Angular dalam Koordinat Spherik Persamaan (5-13) dan (5-14) itu adalah operator untuk menghitung L x, L y dan L z dengan menggunakan koordinat Cartessius. Mengingat momentum angular teradi pada partikel yang bergerak melengkung, maka penggunaan operator kuantum angular dalam koordinat bola, ternyata lebih menguntungkan, oleh karena itu, kita perlu mengetahui, bagaimana pernyataan operator tersebut dalam koordinat bola. Buku ini tidak akan membahas bagaimana penurunan operator tersebut dalam koordinat bola, tetapi bagi yang ingin mengetahui
penurunannya dianurkan untuk membaca literatur mekanika kuantum. Adapun dalam koordinat bola (Hanna, 1969: 137): L x= i sin cot cos L y = i cos cot sin (5-14) L z= i Telah kita ketahui, bahwa hubungan antara suatu vektor dengan komponen-komponennya adalah kuadrat vektor = umlah kuadrat komponen-komponennya, adi: L Lx Ly Lz Dengan demikian diperoleh: L = 1 1 sin sin sin (5-18)
atau: L = 1 sin cot (5-19) Fungsi Eigen Dan Nilai Eigen Momentum Angular Orbital Partikel Tunggal Sekarang kita akan menurunkan fungsi eigen dari operator L dan L z. Dengan memperhatikan bahwa operator tersebut melibatkan dan, maka fungsi tersebut kita sebut fungsi (,) yang merupakan fungsi dan fungsi dalam relasi: (,) = f(). f() (5-0) Jika agar praktis f() ditulis T dan fungsi f() ditulis, maka: (,) = T. (5-1)
Jika b adalah nilai eigen untuk Lzdan c adalah nilai eigen untuk L, maka persamaan eigennya dapat ditulis: Lz = b (5-) L = c (5-3) Kita selesaikan dulu (5-). Dengan menggunakan operator L z dan fungsi ditulis T. maka (5-) dapat ditulis: i T. = b T. atau i T d = b T.atau d T d = (b/ i d ) T.atau d ib =.atau d 1 dib d atau
ln = ib C atau ib / C = e C ib / = e e ib / = A e (5-4) dengan A adalah tetapan sembarang. Apakah setiap (5-4) dapat menadi fungsi eigen? Jawabnya tidak. Karena tidak semua bentuk (5-4) adalah bernilai tunggal (singled valued). Agar (5-4) singled valued maka ika ditambah harga tidak berubah. Jadi (5-4) adalah fungsi eigen ika: ib / e A sehingga ib / = A ib( )/ e = A ib / e e ib / e = 1 (5-5) ib / e adalah cos b/ + i sin b/. Jadi cos b/ + i sin b/ = 1 (5-6) Untuk memenuhi (5-6) maka b/ harus = m dengan m = 0, 1,, 3.....
sehingga b = m m = 0, 1,, 3, 4, 5..... (5-7) Karena b adalah nilai eigen dari operator L z maka harga L z pasti = b, atau: L z = m m = 0, 1,, 3, 4, 5...... (5-8) Jika harga b dimasukkan ke dalam (5-4) maka fungsi eigen diperoleh, yaitu: = A e i m (5-9) Dengan normalisasi, harga A diperoleh, yaitu A = sehingga: 1 1/ = 1 1/ e i m (5-30)
dengan m adalah bilangan kuantum magnetik. Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan (5-3) yaitu = c yang dapat ditulis: 1 cot sin = c atau 1 cot sin = c atau 1 1/ 1 e i m 1/ = c 1 e i m atau cot sin d T c cot dt m T d d sin (Buktikan!) (5-31) Untuk menyelesaikan (5-31) kita lakukan dengan melakukan manipulasi matematika, pertama diadakan perubahan variabel bebas, dengan cara mensubstitusi: cos = x (5-3) L
Jika cos = x maka: sin = (1 x ) 1/ (5-33) icot = x / (1 x ) 1/ Akibat perubahan variabel ini, maka teradi transformasi fungsi T yang semula fungsi menadi fungsi x. Kita misalkan fungsi baru sebagai akibat transformasi itu adalah G (x) Jadi: T = G (x) (5-34) sehingga, dengan aturan berantai yaitu: dt d dg. dx dx d = dg d cos. = sin dg dx d dx = (1 x ) 1/ dg dx (5-35) Untuk mengevaluasi d d = (1 x ) 1/ dt d d dx kita gunakan operator alabar:
Jadi dt d = (1 x ) 1/ d [(1 x ) 1/ dg ] dx dx = (1 x ) 1/ d [ (1 x ) 1/ dg ] dx dx = (1 x ) 1/ d { (1 x dx ) 1/ dg. + (1 x dx ) 1/ d G ] dx = (1 x ) 1/ { (1/) (1 x ) 1/ dg (x). + (1 x dx ) 1/ = (1 x ) 1/ { (1/) (1 x ) 1/ dg (x). + (1 x dx ) 1/ = (1 x ) 1/ { x) (1 x ) 1/ dg. + (1 x dx ) 1/ dg = x + (1 x d G dx ) dx Jadi: dt d = (1 x d G dg ) x dx dx (5-36) d G ] dx d G ] dx d G ] dx Dengan menggunakan (5-3) s/d (5-36), maka (5-31) dapat ditulis: (1 x d G dg ) x + c m dx dx G = 0 (5-37) 1 x
dengan x adalah 1 < x < +1 (Mengapa?) atau: (1 x c m ) G'' x G'+ G = 0 (5-38) 1 x Agar penyelesaiannya tidak rumit ketika kita melakukan penyelesaian dengan menggunakan metode deret penyelesaian, maka kita nyata G kedalam fungsi x yang lain yaitu H (x) dengan relasi: G = 1 x m / H (5-39) Dari (5-39) kita cari G' dan G'' untuk disubstitusikan ke (5-38) dan setelah dibagi dengan 1 x m / (1 x ) H'' m 1 x H' + [ c, maka (5-38) menadi: m 1 m H = 0 (5-40)
Sekarang akan kita selesaikan (5-40) dengan metode deret, yaitu dengan memisalkan: H = ax (5-41) 0 Turunannya adalah: H' = H'' = ax (5-4) 0 ( 1).. a x = ( 1).. a x (5-43) 0 0 Substitusi (5-41) s/d (5-43) ke dalam (5-40) menghasilkan:: ( 1). ( ). a m c/ m m a x = 0 0 Karena x pasti tidak nol maka koefisiennya yang nol adi: ( 1). ( ). a m c/ m m a x = 0 0 dan diperoleh:
a = m m 1 c/ 1 a (5-44) Sebagaimana dalam osilator harmonis, bentuk umum penyelesaian (5-40) adalah kombinasi linear dari fungsi berpangkat genap (yang koefisiennya ditentukan oleh harga a 0 ) dan fungsi berpangkat ganil (yang koefisiennya ditentukan oleh harga a 1 ). Kedua fungsi penyelesaian ini tampak merupakan fungsi berbentuk deret pangkat sampai tak terhingga, sehingga tidak merupakan well behaved eigenfunctions. Namun seperti halnya yang sudah kita kenal pada osilator harmonis, kita dapat membuat salah satu deret penyelesaian itu berhenti pada suku berpangkat tertentu, yaitu dengan membuat koefisien pada suku tersebut berharga nol. Jika kita misalkan deret penyelesaian berhenti pada suku berpangkat k, artinya ika kita mengganti dengan k, maka koefisiennya suku itu, yang dapat
dihitung dari (5-38) menadi berharga nol, sehingga kita akan memperoleh: c = k m k m 1 (5-45) dan karena k adalah, sedang berharga 0, 1,,...., maka k uga berharga 0, 1,,..... Selanutnya karena m uga berharga 0, 1,,.... maka k m uga berharga 0, 1,, 3... yang untuk selanutnya k m disebut bilangan kuantum azymuth atau bilangan kuantum angular translasi dan diberi notasi adi: = k m (5-46) dan dengan demikian maka (5-45) menadi: c = ( +1) (5-47) Karena menurut (5-3), c adalah nilai eigen dari operator momentum L, maka dapat disimpulkan bahwa harga skalar L adalah:
L = atau: L = 1 ( +1) (5-48) (5-49) Marilah kita amati lagi persamaan (5-46). Hal penting yang diperhatikan dari persamaan (5-45) itu adalah bahwa harga m tidak melebihi, sebab ika m melebihi maka k akan negatif. Padahal harus diingat bahwa k adalah sedang adalah pangkat x dari deret penyelesaian persamaan diferensial orde dua, dengan harga paling kecil nol. Karena paling kecil nol, maka k paling kecil nol. Kalau k paling kecil nol, maka m paling besar = atau kita biasa menulis: m < (5-50) atau: m = 0, + 1, +, +3,.......... + (5-51)
Penurunan Fungsi Menurut (5-34) fungsi nya adalah T = G (x) dengan G = 1 x m / T = m / H (menurut -31) sehingga: 1 x H (5-5) Karena x adalah cos, maka: m T = (sin ) H (5-53) Menurut (5-41), H = T = (sin ) m ax, sehingga: 0 ax (5-54) 0 Karena fungsi dikehendaki hanya sampai suku k dengan k = m, maka (5-54) dapat ditulis: T = (sin ) m. m ax (5-55) 0
Karena penyelesaian ax pada dasarnya adalah salah satu 0 kemungkinan genap, atau ganil, maka (5-55) dapat dipecah bentuknya menadi: = T = (sin ) m m (sin ). ax ika m 0,, 4.. m m. ax ika m 1, 3,.... genap (5-56) T ganil (5-57) Jika x kita kembalikan ke asalnya yaitu cos, maka: ika T = T = (sin ) m. m 0,, 4.... m genap (5-58) (sin ) m. m 1, 3,.... ika ganil (5-59) a cos a cos
Koefisien a, mengikuti (5-44), yang setelah harga nilai eigen c, dimasukkan menadi: a = ( m ) ( m 1) ( 1) a (5-60) 1 Setelah T diperoleh, maka (,) uga diperoleh, yaitu: 1/ 1 e i m (5-61) dengan T adalah salah satu dari (-49). Karena (,) ditentukan oleh dan m, maka fungsi eigen momentum angular uga sering ditulis (, m), sehingga: 1/ 1 (, m) = e i m (5-6)
Contoh: Sebuah partikel yang diperikan oleh bilangan kuantum = 3 dan m = 1, tentukan: a) Komponen momentum L z b) Momentum angular L c) Fungsi gelombang eigennya Jawab: a) L z = m = b) L = ( 1) = 6 c) karena = 3 dan m = 1, maka m =, adi fungsi genap, dan untuk menentukan fungsi T kita gunakan (5-58): T = (sin ) m. 0,. a cos = sin ( a 0 + a cos ) a kita cari dari relasi:
a = ( m ) ( m 1) ( 1) 1 a = ( m ) ( m 1) ( 1) 1 (0 1) (0 11) 3(31) a = a 0 = a 0 (0 ) (0 1) Jadi: : T = sin ( a0 a 0 cos ) = a 0 sin (1 5cos ) = a 0 sin (5cos 1) Harga a 0 dicari dengan normalisasi: * T T d = 1 0 d = r dr sin d d a a
Karena T hanya fungsi, maka : * T T sin d = 1 atau: 0 * T T sin d = 1 atau: 0 a0 sin (5cos 1) sin d = 1 0 3 4 sin (5cos 10cos 1) d = 1/a 0 0 5 cos 4 sin 3 d 10 0 0 cos sin 3 d + sin 3 d = 1/a 0 5 (1/105) 10 (4/15) +4/3 = 1/a 0 160/105 = 1/a 0 105 a 0 = + = + 40 = + 1 160 640 8 4 0
Kita pilih a 0 = 1 4, supaya fungsi T 8 Jadi: T = 1 4 8 sin (5cos ) Karena T sudah diperoleh maka orbital momentum angularnya adalah: 1/ 1 (, m) = e i m (3, 1) = 1 1/ 1 4 sin (5cos ) e i 8 Cara lain menentukan fungsi T (fungsi ) Persamaan (5-38) sangat dikenal dalam matematika, dan disebut Persamaan Legendre terasosiasi, Yang penyelesaiannya adalah:
m P = 1.! (1 - cos m / ) d m d(cos ) (cos m - 1) (5-63) Penyelesaian (5-6) di atas disebut Polinomial Legendre m m terasosiasi, P. Setelah P diperoleh, fungsi tetha T diperoleh dengan cara sebagai berikut: 1/ +1 - m! P m (5-64). + m! Jika T sudah diperoleh maka (,m) segera diketahui. Contoh: Sekarang kita akan mencoba menghitung 3,1) tetapi menggunakan Polinomial Legendre. Jawab: Kita hitung dulu m P = m P : 1.! (1 - cos m / ) d m d(cos ) (cos m - 1)
4 1 = 3. 3! (1 - cos d ) 1 / = 1 4 48 sin d 4 d(cos ) (cos - 1) 3 Kita selesaikan dulu sederhana cos kita ganti x sehingga: 4 d 4 d(cos ) (cos - 1) 3 4 d = 4 dx (x 1) 3 4 d = 4 dx (x6 3x 4 + 3x 1) 3 d = 3 dx (6x5 1x 3 + 6x) d = dx (30x4 36x + 6) d 4 4 d(cos ) (cos - 1) 3 4 d(cos ) (cos - 1) 3 dan supaya tampak
d = dx (10x3 7x) = (360x 7) = (360 cos 7) = 7 (5 cos 1) Jadi: m P = 1 4 48 sin d 4 d(cos ) (cos - 1) 3 = 1 48 sin { 7 (5 cos 1) } = 3 sin (5 cos 1) Setelah itu, T dapat ditentukan: 1/ +1 - m! m P. + m! 1/ 7! 3. 4! sin (5 cos 1)
14 48 1 4 8 1/ 3 sin (5 cos 1) sin (5 cos 1) Akhirnya ( 3, 1) diperoleh, yaitu: 1/ 1 (, m) = e i m ( 3, 1) = 1 1/ 1 4 sin (5cos ) e i 8
Soal-soal Bab 5 1. Buktikan commutator identitas berikut: (a)[ A, B ] = = [ B, A ] (5-1) (b)[ A, A n ] = 0 (5-) (c)[k A, B ] = [ A, k B ] = k[ A, B ] (5-3) (d)[ A, B + C ] = [ A, B ] + [ A, C ]; [ A + B,C ] = [ A,C ] + [ B,C ] (5-4) (e)[ A, B C ] = [ A, B ] C + B [ A,C ]; [ A B,C ] = [ A,C ] B + A [ B,C ] (5-5). Buktikan [ p x p x, H ] = i V x 3. Buktikan [ x, p x ] = i 4. Dengan menggunakan [ x, p x] = i dan commutator identitas, tentukan [ x, p x ] 5. Diketahui vektor A mempunyai komponen (3,, 6) dan vektor B komponennya (1,4, 4). Tentukan (a) harga skalar A dan B; (b) A + B ; (c) A B; (d) A. B (e) A x B; (f) sudut antara A dan B.
6. Buktikan bahwa: Jika f dan g masing-masing adalah fungsi koordinat, buktikan bahwa: f. g = g f + f. g + f g 7. Jika f = x 5 xyz + z 1, maka tentukan (a) gradien f ; (b) f 8. Buktikan bahwa cross vektor L x L = i L 9. Tentukan [ L, L y ] 10. Tentukan koordinat polar dari titik-titik yang koordinat rektangularnya adalah: (a) ( 1,, 0 ) ; (b) ( 1, 0, 3 ) ; (c) ( 3, 1, ) ; (d) ( 1, 1, 1 ) Tentukan koordinat rektangular dari titik-titik yang koordinat polarnya adalah: (a) ( 1,, ) ; (b) (, 4 ; 0 )
1. Tentukan kemungkinan-kemungkinan sudut antara L dengan z, ika =. 13. (a) Jika kita mengukur Lz dari sebuah partikel yang bilangan kuantum momentum angularnya adalah =, ada berapakah kemungkinan hasilnya? (b) Jika kita mengukur Lz dari sebuah partikel yang momentum angularnya adalah 1, ada berapakah kemungkinan hasilnya? 14. Pada saat tertentu, sebuah partikel mempunyai fungsi = N. ar e 1 (, (a) Tentukan berapa momentum angular L nya? (b) berapa Lz nya? (c) Berapa sudut antara L dengan sumbu z? 15. Fungsi orbital momentum angular sebuah partikel adalah: = A sin i cos e (a) Tentukan berapa momentum angular L nya? (b) berapa Lz nya?
(c) Berapa sudut antara L dengan sumbu z? 16. Jika = 3 dan m = 3, tentukan fungsi gelombang orbital momentum angularnya. ===000===