Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Itegral Admittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com Abstrak Diberika adalah daerah itegral da adalah iteger positif dega 2, serta M adalah himpua semua matriks bujur sagkar dega orde atas. Dibetuk suatu himpua bagia dari M yaitu himpua matriks di M yag ivertibel yag selajutya diotasika dega G. Himpua M ii membetuk semigrup terhadap operasi perkalia matriks biasa, G membetuk subsemigrup. Utuk suatu semigrup S, S S jika semigrup S memuat eleme ol da S S jika semigrup S tidak memuat eleme ol. Suatu semigrup S dikataka admit struktur rig jika terdapat suatu operasi + pada sedemikia sehigga S,,. membetuk struktur rig. Dalam tulisa ii diselidiki sifat subsemigrup M, yaitu semua matriks yag determiaya. G S, juga subsemigrup dari Diperoleh hasil bahwa: baik G maupu subsemigrup dari G yaitu himpua semua matriks yag determiaya buka merupaka semigrup admit struktur rig. Hal ii sebagai suatu akibat bahwa subsemigrup dari G yag memuat semua matriks yag determiaya buka merupaka semigrup admit struktur rig. Kata Kuci: Daerah itegral, Semigrup, Semigrup, admit struktur rig. Pedahulua Dalam peelitia oleh Yupapor Kemprasit & Maoj Siripitukdet, telah diteliti tetag sifat-sifat suatu semigrup matriks atas rig dega eleme satua yag merupaka semigrup admit struktur rig. Daerah itegral merupaka rig dega eleme satua yag tidak memuat pembagi ol sejati ( Adkis : 5 ). Dega demikia, daerah itegral merupaka rig. Disampaika pada Semiar Nasioal Jurusa Matematika, FMIPA, UNS, Surakarta 7 Mei 25
Diberika adalah daerah itegral da adalah iteger positif dega 2, serta M adalah himpua semua matriks bujur sagkar dega orde atas. Dibetuk suatu himpua bagia dari M yaitu himpua matriks di M yag ivertible, selajutya diotasika dega G, yaitu: G A M A ivertibel Himpua ii merupaka semigrup dari M. Dari sifat matriks M diperoleh bahwa matriks A M ivertibel jika da haya jika det A U( ), dega U () adalah himpua semua uit di. Dega kata lai A M ivertibel jika da haya jika det A ivertible di (Brow : 6 ). Dega demikia, himpua G dapat diyataka sebagai: G A M det A ivertibel di. Selajutya himpua A M det A G, da jika merupaka lapaga, maka himpua G A M det A. Sifat determia yag lai, atara lai: det( AB) det A. det B utuk setiap A, B M da A (det A) det utuk setiap A M ( Brow :6 ). da Utuk suatu semigrup S, S S jika semigrup S memuat eleme ol S S jika semigrup S tidak memuat eleme ol. Suatu semigrup S dikataka admit struktur rig jika terdapat suatu operasi + pada S sedemikia sehigga S,,. membetuk struktur rig ( Kemprasit & Siripitukdet : 49 ). Dari defiisi tersebut, maka semigrup M merupaka admit struktur rig terhadap operasi stadar pejumlaha matriks. Dalam tulisa ii diselidiki sifat subsemigrup G maupu himpua bagia dari G, yaitu himpua semua matriks yag determiaya. 2. Pembahasa Lemma berikut meyataka salah satu sifat semigrup M (),., dega adalah daerah itegral dega karakteristikya tidak sama dega dua, yag aka bergua utuk pembuktia pada teorema selajutya: 2
Lemma 2.. ( Yupapor & Siripitukdet: 4 ). Misalka adalah daerah itegral dega karakteristikya tidak sama dega dua. Jika A M() sedemikia sehigga suatu AB BA utuk setiap B M () dega detb, maka A ai utuk a dega I adalah matriks idetitas atas. Bukti: Diketahui : Himpua adalah daerah itegral dega karakteristikya tidak sama dega dua. Matriks A M (), AB BA utuk setiap B M () dega detb Dibuktika : A ai utuk suatu a dimaa I adalah matriks idetitas atas. Pembuktia : Utuk membuktika lemma ii, maka utuk setiap ( k) k,2,, dibetuk suatu matriks M ( ), dega etri-etriya didefiisika sebagai berikut: ( ) ij k, jika i, jika k, utuk yaglai i j j k Sehigga diperoleh (),.. (2).. () da... 3
Dega demikia diperoleh: det utuk setiap k,2,,. (k) Meurut yag diketahui, dipeuhi: ( k ) ( k) A A k,2,,. Selajutya, jika i, j,2,, da i j diperoleh: utuk setiap ( j) ( j) A ij Aikkj k Sehigga diperoleh ij Aij da Aij ( j) ( j) A ij ik Akj Aij k A, atau A. Dega megigat 2 ij A ij da adalah daerah itegral dega karakteristik tidak sama dega dua, maka persamaa tersebut haya dipeuhi utuk A ij utuk setiap i, j,2,, da i j. Selajutya, utuk setiap k,2,, dibetuk suatu matriks ( k) D M ( ) dega etri-etriya didefiisika sebagai berikut: ( Dij k ) jika jika utuk i j i, j k yaglai Sehigga: () D, (2) D.., () D... (k) Sehigga det D utuk setiap k,2,,. Meurut yag diketahui, maka dipeuhi: da diperoleh juga: ( i) AD ii ( i) AikDki k Sehigga diperoleh Aii ( k ) ( k) AD D A da ( i) D A ii A A22 A. utuk setiap ( i) Dik Aki k Dari kodisi A ij utuk i j da A A22 A, maka : Aii k,2,,, 4
A A A A AI A Sehigga A ai, dega a A. Sudah dijelaska di depa bahwa M (),. membetuk semigrup. Semetara itu, dari himpua M () dapat dibetuk suatu himpua bagia, yaitu himpua semua matriks di M () yag mempuyai ivers, atau ivertibel. Selajutya himpua tersebut diotasika dega G (), sehigga () G (),. M A M ( ) A ivertibel. Himpua ii merupaka subsemigrup dari. Teorema berikut mejami bahwa himpua semua matriks matriks yag ivertible dega determiaya rig. bukalah suatu semigrup admit struktur Teorema 2.. ( Yupapor & Siripitukdet: 4 ) Misalka adalah daerah itegral dega karakteristikya tidak sama dega dua. Jika S subsemigrup dari G () yag memuat semua matriks A G () dega deta, maka S buka semigrup admit struktur rig. Bukti: Diketahui : adalah daerah itegral dega karakteristikya tidak sama dega dua. S subsemigrup dari G () yag memuat semua matriks A G () dega deta Dibuktika : S buka semigrup admit struktur rig Pembuktia : Misalka terdapat operasi bier pada S,,. S sedemikia sehigga 5
membetuk suatu rig. Jelas bahwa deti, sehigga I S dega I adalah matriks idetitas dega ukura. Sehigga terdapat matriks I A, da utuk setiap B S berlaku: Hal ii berakibat B AB ( I A) B B( I A) Lemma 2., maka dipeuhi atas daerah itegral A S sedemikia sehigga dipeuhi B BA AB BA utuk setiap B S. Dega megguaka demikia dipeuhi juga I ai. A ai utuk suatu a. Dega Selajutya dibetuk M (), dega etri-etriya didefiisika sebagai berikut: ij, jika, jika, jika, utuk i, j 2 i 2, j i j 3 yag lai yaitu: 2 Jelas bahwa I, ai, I, det, sehigga S. Diketahui bahwa I ai da ai, sehigga dipeuhi I. Diketahui bahwa S subsemigrup dari G (), sehigga: ( I ) 2 I I Dipeuhi pula I, sehigga persamaa tersebut haya dipeuhi I. Hal ii kotradiksi dari yag dibetuk., yaitu I. Akibatya S buka semigrup admit struktur rig 6
Akibat dari Teorema 2. meyataka bahwa grup G () da suatu subgrup G (), yaitu himpua matriks di G () yag determiaya adalah buka merupaka semigrup admit struktur rig. Selegkapya diberika sebagai berikut: Akibat 2.. Jika adalah daerah itegral dega karakteristik tidak sama dega dua, maka G () da subgrup G (), yaitu himpua matriks di G () yag determiaya adalah buka merupaka semigrup admit struktur rig. Bukti: Diketahui : daerah itegral dega karakteristik tidak sama dega dua, G () suatu grup U G ( ) det A A Dibuktika : G () da A G ( ) det A buka semigrup admit stuktur rig Pembuktia : Diketahui G () suatu grup, maka dega sediriya merupaka semigrup, yag sekaligus merupaka subsemigrup trivialya. Diketahui pula G () memuat U A G ( ) det A. Sehigga meurut Teorema 2. berakibat G () buka merupaka semigrup admit struktur rig. Diketahui U A G ( ) det A suatu subgrup, maka dega sediriya merupaka subsemigrup. Jelas bahwa U memuat semua matriks dega determiaya. Sehigga meurut Teorema 2. berakibat U G ( ) det A A buka merupaka semigrup admit struktur rig. 7
DAFTA PUSTAKA [] Adkis & Weitraub. 992. Algebra: A Approach via Module Theory. Spriger- Verlag, New York. [2] Brow, W.. 993. Matrices Over ommutative igs. Marcel Dekker, Ic, New York. [2] Kemprasit, Y ad Siripitukdet, M. 22. Matrix Semigroup Admittig ig Structure. Bulleti alcutta Mathematics Soc. Volume 5 (22) 49-42 8