SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a 0 adalah suku tetap yag merupaka kostata real - merupaka pagkat tertiggi dari x Meghitug ilai suku bayak: 1. Metoda Substitusi : Nilai suku bayak : f(x) x + a 1 utuk x = h adalah : f(h) h + a 1 x 1 h 1 + a 2 + a 2 x 2 h 2 cotoh: jika f(x) = 4 + 2 + x - 3 ilai suku bayak utuk x = -2 adalah : f(-2) = 4. (-2) 3 + 2.(-2) 2 + (-2) 3 = -32 + 8-2 - 3 = - 29 2. Metoda Horer: Nilai suku bayak : f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 + + a 2 h 2 +a 1 h + a 0 + + a 2 +a 1 utuk x = h adalah f(h) megguaka Metoda Horer diperlihatka sbb: A 1 = A. h + a 1 A 2 = A 1. h + a 2...... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0 x = h a a 1 a 2 - - - a 2 a 1 a 0 A.h A 1. h A 3.h A 2.h A 1.h A A 1 A 2 A2 A1 A 0 f(h) Cara peyelesaia cotoh metoda substitusi dapat diselesaika dega cara Horer sbb: f(x) = 4 + 2 + x - 3 utuk x = -2 didapat : x = -2 4 2 1-3 didapat f(-2) = -29-8 (+) 12 (+) -26 (+) 4-6 13-29 hasil dari f(-2) = kalika dega x = -2 Pembagia Suku Bayak: 1. Dega Pembagia Biasa: Sisa pembagia oleh (x h) terhadap f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah P(h) atau f(x) = (x h) H(h)+ P(h) www.pitarmatematika.web.id - 1
Dimaa : (x h) = pembagi H(h) = hasil bagi P(h) = sisa Cotoh sebelumya : Suku bayak f(x) = 4 + 2 + x - 3 dega x = -2 atau (x+2) (1) (2) (3) 4-6x +13 x +2 4 + 2 + x - 3 (4. (x+2)) 4 + 8 - - 6 +x (-6x. (x+2)) - 6-12x - 13x 3 (13. (x+2)) 13x +26 - - 29 Hasil bagi = H(h) = 4-6x +13 Sisa = P(h) = -29 Proses pegerjaa: uruta 1 : 4 dibagi dega x+2 didapat 4 2 : kalika 4 dega x+2 didapat 4 +8 3 : kuragi 4 + 2 dega 4 +8 didapat - 6 kemudia turuka x sehigga mejadi - 6 +x 4 : bagi - 6 dega x+2 didapat - 6x 5 : kalika - 6x dega x +2 didapat - 6-12x 6 : Kuragi - 6 +x dega - 6-12x didapat 13x kemudia turuka -3 sehigga mejadi 13x 3 7 : bagi 13 x dega x + 2 didapat 13 8 : kalika 13 dega x+2 didapat 13x + 26 9 : Kuragi 13x 3 dega 13x + 26 didapat 29 didapat hasil bagi = 4-6x +13 dega sisa = -29 2. Pembagia suku bayak dega cara Horer a. Pembagia suku bayak dega x - h f(x) = 4 + 2 + x - 3 dibagi dega x+2 x = -2 4 2 1-3 -8 (+) 12 (+) -26 (+) 4-6 13-29 Hasil bagi =: 4-6x + 13 dega sisa = -29 b. Pembagia suku bayak dega ax + b Pembagia suatu suku bayak oleh (ax + b) diyataka sebagai berikut : Diketahui, h = a b maka betuk (x h) dapat diyataka sebagai : x h = ( x (- a b ) ) = ( x + a b ) Pembagia suku bayak f(x) oleh (x + a b ) memberika hubuga berikut. f(x) = (x + a b ) H(h) + sisa 1 (ax + b) H(h) + sisa H ( h) = (ax + b) + sisa a Cotoh : Tetuka hasil bagi da sisa dari 12 + 4-27x 9 dibagi (2x + 3) jawab: www.pitarmatematika.web.id - 2
x = - 2 3 12 4-27 -9 + -18 21 9 12-14 -6 0 12x 2 14x 6 Jadi hasil bagiya adalah 2 = 6-7x - 3 da sisaya adalah 0 c. Pembagia suku bayak dega a + bx + c Dega cara pembagia biasa: cotoh: - + 4x 4 dibagi oleh - 1 (1) (2) x - 1-1 - + 4x 4 (x. ( -1)) - x - - +5x (-1. ( -1)) - + 1-5x 5 (berderajat lebih kecil dari - 1, maka perhituga selesai da ii merupaka sisa) Hasil bagi adalah x 1 da sisa 5x - 5 Teorema Sisa: Jika f(x) dibagi g(x) mempuyai hasil h(x) da sisa s(x) ditulis : f(x) = g(x) h(x) + s(x) f(x) = suku bayak yag dibagi g(x)= pembagi h(x) = hasil bagi s(x) = sisa pembagia Jika f(x) berderajat da g(x) berderajat m (m ) maka derajat h(x) da s(x) masig-masig sebagai berikut. derajat h(x) adalah ( m) derajat maksimum s(x) adalah (m 1) Apabila suku bayak f(x) : - dibagi (x-a) maka sisaya adalah f (a). - dibagi (ax-b) maka sisaya adalah f( a b ) - habis dibagi (x-a) maka f(a) = 0 Teorema Faktor: - Jika pada suku bayak f(x) berlaku f(a)=0, f(b) =0 da f(c)= 0 maka f(x) habis dibagi (x-a) (x-b) (x c) - jika f(a) = 0 maka x-a adalah faktor dari f(x) - jika (x-a) adalah faktor dari f(x) maka x adalah akar dari f(x) Akar-akar Suku bayak 1. Jika, da adalah akar-akar persamaa a + b + cx +d = 0 maka + b + c d 2. Jika,, da adalah akar-akar persamaa a + b + c + dx + e = 0 maka + + b + + + c + + d e - jika h(x) x +b maka s(x) = kosta - jika g(x) + bx +c maka s(x) = Ax + B Akar-akar Rasioal dari persamaa suku bayak: www.pitarmatematika.web.id - 3
Persamaa suku bayak : a x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 =0 dapat diselesaika dega mecari ilai peggati x yag memeuhi persamaa suku bayak itu. Nilai x tersebut diamaka peyelesaia atau akar persamaa suku bayak tersebut. Jika f(x) adalah suku bayak maka (x-h) merupaka faktor dari f(x) jika h adalah akar dari persamaa suku bayak f(x) = 0. Akar-akar persamaa suku bayak f(0) dapat dicari dega megguaka uruta lagkah-lagkah sbb: 1. Meetuka akar-akar yag mugki dari f(x) =0, yaitu m, Karea soal berderajat 4 maka cari miimal 2 ilai akar terlebih dahulu: ambil ilai x=1 : f(1) = 1 15 10 + 24 = 0 x = 1 adalah akar persamaa ambil ilai x = 2 f(2) = 16 60 20 + 24 = -40 x= 2 buka akar ambil ilai x = -2 f(-2) = 16-60 + 20 + 24 = 0 x = -2 adalah akar persamaa didapat dua ilai yaitu x = 1 da x = -2 kalika dua ilai sbb: dimaa: m = factor bulat positif dari a 0 = factor bulat dari a 0 2. Akar-akar yag sebearya harus memeuhi f ( m ) = 0 (x-1)(x+2) = + x - 2 Bagi persamaa dega ilai tsb : -x -12 +x- 2-15 - 10x + 24 Cotoh: f(x) = - 15-10x + 24 = 0 maka + -2 - - -13-10x - - + 2 x - a = 1 da a 0 = 24 m = faktor bulat positif dari a 0 = 24, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 = faktor bulat dari a 0 yaitu, -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6, -8,8-12, 12, -24,24 akar yag mugki adalah( m ) : 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, 6,-6,8,-8 substitusika akar yag mugki ke dalam persamaa apakah f( m ) = 0? -12-12x + 24-12 -12x + 24-0 ( sisa 0 ) sehigga hasil akhirya didapat : f(x)= (x-1)(x+2)( -x -12) = 0 atau (x-1)(x+2) (x -4 ) (x +3) = 0 didapat akar-akar persamaa : x = 1 ; x = -2 ; x= -3 da x = 4 www.pitarmatematika.web.id - 4
Cotoh Soal: Soal UN2010 UN2012 UN2010 1. Suku bayak +2 -px+q, jika dibagi (2x 4) bersisa 16 da jika dibagi (x + 2) bersisa 20. Nilai dari 2p+ q =. A. 17 C. 19 E. 21 B. 18 D. 20 Jawab: Guaka metoda Horer: 4 2x- 4 x = = 2 2 4 x = = 2 1 2 -p q 2 2 8 16 2p (+) 1 4 8-p q+16-2p (sisa) q+16-2p = 16 q 2p = 0 (1) x+2 x = -2 x = -2 1 2 -p q Substitusi 1 da 2: Elimiasi q q 2p = 0 q+2p = 20 - - 4p = - 20 p = 5 q 2p = 0 q = 2p = 2. 5 = 10-2 0 2p (+) 1 0 -p q+2p (sisa) q+2p = 20 (2) Sehigga 2p + q = 2. 5 + 10 = 20 Jawabaya adalah D UN2011 2. Diketahui suku bayak P(x) = 2 + a - 3 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x-1) sisa 11, dibagi (x+1) sisa -1, maka ilai (2a+b) =... A. 13 B. 10 C. 8 D. 7 E. 6 Jawab: Perguaka Metoda Substitusi dibagi dega (x-1) x =1 P(1) = 2. 1 4 + a. 1 3-3. 1 2 + 5.1 + b = 11 2 + a 3 + 5 + b = 11 a + b + 4 = 11 a + b = 7... (1) dibagi dega (x+1) x = -1 P(-1) = 2. (-1) 4 + a. (-1) 3-3. (-1) 2 + 5.(-1) + b = - 1 2 - a 3-5 + b = -1 -a + b - 6 = -1 -a + b = 5... (2) Substitusi dega elimiasi (1) da (2) a + b = 7 -a + b = 5 + 2b = 12 b = 6 a + b = 7 a = 7 b = 7 6 = 1 2a + b = 2. 1 + 6 = 8 Jawabaya adalah C UN2012 4. Suku bayak berderajat 3, jika dibagi ( x - 6) bersisa 5x-2, jika dibagi ( - 2x - 3 ) bersisa ( 3x + 4 ). Suku bayak tersebut adalah... A. 2 + x + 4 C. 2 - x - 4 E. + 2-4 B. 2 + x - 4 D. 2 + 4 Jawab: cara 1: Suku bayak berderajat 3 f(x) + b + cx + d f(x) = ( x - 6) h(x) + 5x 2 = (x 3)(x + 2) h(x) + 5x 2 www.pitarmatematika.web.id - 5
f(3) = 27 a + 9b + 3 c + d = 5. 3 2 = 13 f(-2) = -8 a + 4b - 2 c + d = 5.(-2) 2 = -12-35 a + 5b + 5c = 25 : 5 7a + b + c = 5...(1) f(x) = ( - 2x - 3 ) h (x) + 3x + 4 = (x 3)(x + 1) h(x) + 3x + 4 f(3) = 27 a + 9b + 3 c + d = 3. 3 + 4 = 13 f(-1) + b c + d = 3. (-1) + 4 = 1-28 a + 8b + 4c = 12 : 4 7 a + 2 b + c = 3...(2) elimiasi c: 7a + b + c = 5 7 a + 2 b + c = 3 - -b = 2 b = -2 masukka ilai b: 7a + b + c = 5 7a 2 + c =5 7a + c = 7 a adalah variabel pagkat tiga ( 0), diasumsika bahwa a buka pecaha da ilaiya 1, ilai yag memugkika adalah a = 1 sehigga c = 7 7a = 7 7 = 0 ilai d : 27 a + 9b + 3 c + d = 13 27. 1 + 9. (-2) + 3. 0 + d = 13 d = 13 27 + 18 = 4 Maka suku bayak tersebut adalah : f(x) + b + cx + d = - + 0. x + 4 = - + 4 Jawabaya D Cara 2: f(x) = ( x - 6) h(x) + 5x 2 = (x 3)(x + 2) h(x) + 5x 2 f(3) = 5.3 2 = 13 f(-2) = 5. (-2) 2 = -12 masukka ilai salah satu f(3) atau f(-2) ke salah satu jawaba. Didapat D yag bear www.pitarmatematika.web.id - 6