BAB XVII. PROGRAM LINEAR Bukti : + a + b a.b b a Pengertian Program Linear : Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan ang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau peminimalan suatu tujuan ang dapat digunakan untuk mencari keuntungan maksimum seperti dalam bidang perdagangan, penjualan dsb Daerah Penelesaian:. Dalam penelesaian persoalan program linear adalah pemahaman dalam pembuatan grafik pertidaksamaan linear aitu penentuan daerah himpunan penelesaian dari suatu sstem pertidaksamaan linear. Yang perlu diingat dalam pembuatan grafik pertidaksamaan linear ini aitu mengenai persamaan garis.. Persamaan garis melalui suatu titik (, dengan gradien m adalah: ( - m ( - p (, Gunakan persamaan di atas : Persamaan garis melalui (b,0 (, dan (0, a (, 0 a 0 b 0 b b a b - b a(-b - b a ab ab a + b a + b ab terbukti 4. Dua gradien sama apabila dua garis saling sejajar. m m. Persamaan garis melalui titik (, dan (, adalah: h h (, (, p 3. Persamaan garis lurus ang memotong sumbu (0 di titik (b,0 dan memotong sumbu (0 di titik (0, a adalah: + a + b a.b b a 5. Hasil perkalian dua gradien adalah apabila dua garis saling tegak lurus m. m - h (0,a a + b a.b h (b,0 www.belajar-matematika.com -
Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear: Tentukan persamaan garis dari gambar di bawah ini : Untuk menentukan daerah himpunan penelesaian pertidaksamaan linear dapat dilakukan dengan menggunakan metoda grafik dan uji titik. Langkah-langkahna ( a + b c aitu : garis h melalui (3,0 dan (0, ; garis h h dan melalui (,0.. Gambar garis a + b c. Lakukan uji titik dengan menentukan titik sembarang (, ang terletak di luar garis a + b c, kemudian substitusikan ke dalam persamaan a + b c. a. Jika benar, maka himpunan penelesaianna adalah daerah ang memuat titik tersebut dengan batas garis a + b c b. Jika salah, titik tersebut bukan himpunan penelesaianna persamaan garis h (gunakan rumus b + a + 6 3 persamaan garis h + 3 6 3 - + 6-3 + 6 Tanpa melakukan uji titik himpunan penelesaian pertidaksamaan dapat dilihat dari gambar berikut dimana garis membagi bidang menjadi bagian : untuk a >0 dan b>0 (0,a a + b ab persamaan garis h : h h sehingga m. m - m - 3 maka m 3 melalui (,0 a + b ab untuk a > 0 dan b <0 (b,0 a + b c ( - m ( - 0 3 ( a - b -ab (0,a 3 ( 3 3 persamaan garis h adalah 3-3 (-b,0 a - b -ab www.belajar-matematika.com -
Untuk a < 0 dan b > 0 -a + b -ab (b,0 titik potong dengan sb jika 0 8 4 didapat koordinat (,0 dan (0,4 (0,-a -a + b -ab 4 4+8 Untuk a < 0 dan b <0 (-b,0 -a b ab -a b ab (0,-a titik potong +36 3 Untuk menentukan daerah himpunan penelesaian, ujilah titik (0,0. Titik(0,0 memenuhi pertidaksamaan +3 6 ; 4 + 8 ; 0 ; 0, maka (0,0 merupakan anggota himpunan penelesaian. Daerah ang diarsir menunjukkan himpunan penelesaian dari sstem pertidaksamaan linear. Tentukan daerah himpunan penelesaian dari sstem pertidaksamaan : +3 6 ; 4 + 8 ; 0 ; 0 untuk dan R jawab: Tambahan: Titik potong dua persamaan adalah: Substitusikan persamaan dan : + 3 6 4 8 + 4 4 + 8 8 + 4 6-8 8 + 3 6 + 3. 6 Langkah : gambar persamaan +3 6 Buat garis +3 6 titik potong dengan sb jika 0 6 3 titik potong dengan sb jika 0 3 6 didapat koordinat (3,0 dan (0, Langkah : gambar persamaan 4 + 8 Buat garis 4 + 8 titik potong dengan sb jika 0 4 8 titik potongna adalah (, Nilai Optimum (Maksimum dan Minimum dalam daerah penelesaian Untuk menentukan nilai optimum dalam daerah penelesaian, dapat ditentukan dengan menggunakan metode titik pojok (titik ekstrim atau garis selidik. Jika diketahui sstem pertidaksamaan +3 6 ; 4 + 8 ; 0 ; 0 untuk dan R, Tentukan nilai optimum untuk A +3 dan B +5 dimana, R www.belajar-matematika.com - 3
Jawab: Model Matematika Model matematika adalah penerjemahan dari situasi ang disajikan dalam bahasa sehari-hari menjadi bahasa matematika (pertidaksamaan linear Q (0, P (, O R(,0 (3,0 titik P merupakan titik potong garis + 3 6 4 8 + 4 4 + 8 8 + 4 6-8 8 Tempat parkir di suatu gedung mempunai luas 800m, untuk memarkir sebuah mobil diperlukan tempat seluas 0m dan untuk suatu bus atau truk diperlukan tempat seluas 0m. Tempat parkir tersebut maksimal hana dapat menampung tidak lebih dari 50 mobil dan bus. Jika ongkos parkir untuk mobil adalah Rp.000,- dan untuk bus/truk Rp.4000,- berapa ongkos maksimal parkir ang didapat?. Jawab: langkah : buat model matematika dalam bentuk table + 3 6 + 3. 6 titik potongna adalah titik P (, Daerah ang diarsir merupakan himpunan penelesaian dari sstem pertidaksamaan. Titik-titik ekstrimna adalah P(,, Q(0,, R(,0 dan O(0,0. Tabel. Titik O P Q R X 0 0 Y 0 0 A+3 0 6 4 B+5 0 8 0 4 dari tabel dapat disimpulkan bahwa : nilai maksimum dari A adalah 6, minimum adalah 0 nilai maksimum dari B adalah 0, minimum adalah 0 Jenis Luas Banak Mobil 0 X Bus 0 Y Tersedia 800 50 Diperoleh model matematika: 0 + 0 800 + 80 + 50 0 0 fungsi tujuanna adalah f(,000 + 5000 dengan saratsarat di atas. Langkah : menggambar daerah penelesaian Daerah + 80 X 0 80 Y 40 0 Titik (0,40 80,0 daerah + 50 X 0 50 Y 50 0 Titik (0,50 (50,0 www.belajar-matematika.com - 4
Titik potong garis + 80 dan + 50 + 80 + 50-30 titik potongna (30,0 + 50 50 30 0 (0,50 titik potong (0,30 (0,40 (0,0 (50,0 (80,0 Daerah ang diarsir adalah daerah penelesaiana Langkah 3 : Menentukan nilai optimum fungsi tujuanna Dengan menggunakan metoda titik-titk sudut : Terdapat 4 titik sudut aitu (0,0, (50,0, (0,30 dan (0,40 Titik (0,0 (50,0 (0,30 (0,40 X 0 50 0 0 Y 0 0 30 40 000+4000 0 00.000 60.000 60.000 Jadi ongkos maksimal ang didapat adalah Rp.60.000 dengan jumlah parkir untuk mobil sebanak 0 mobil dan untuk bus/truk sebanak 30 bus/truk catatan: nilai untuk titik (0,40 jumlahna sama dengan untuk (0,30 tetapi tidak mungkin satu lahan parkir hana digunakan untuk bus/truk saja sehingga nilai tersebut diabaikan. www.belajar-matematika.com - 5