A. PENGERTIAN PROGRAM LINEAR

Transkripsi

1 Pertemuan 1 Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier Kompetensi dasar : Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier Indikator : Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya Sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel ditentukan daerah penyelesaiannya Tujuan Pembelajaran : Menjelaskan pengertian program linier Menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier Menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel Materi Ajar A. PENGERTIAN PROGRAM LINEAR Program linear adalah suatu cara atau metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi. Dengan kata lain, program linear merupakan suatu teknik dalam mendapatkan nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif dengan kendalakendala tertentu. Kendala-kendala mi diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Pengetahuan nilai optimum mi sangat penting dan banyak digunakan baik dalam kegiatan yang berhubungan dengan matematika itu sendiri maupun dalam kehidupan sehari-hari. Pada industri misalnya, terdapat perhitungan biaya produksi, batiyak karyawan yang diperlukan atau bahan yang diperlukan dalam produksi satu unit barang tertentu sehingga dapat diprediksi tingkat pengeluaran dan pendapatan yang diperoleh. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut mi. Misalkan perusahaan memproduksi dua jenis komponen. Untuk memenuhi permintaan pasar, perusahaan mungkin akan menemui hambatan berupa persediaan bahan baku yang terbatas,

2 banyak komponen yang mampu diproduksi, biaya produksi untuk tiap komponen, atau kendala lainnya. Dengan kendala in bagaimana perusahaan mengoptimumkan keuntungannya? Disinilah peran program linear untuk menyelesaikan permasahan-permasalahan tersebut. Dengan fungsi sasaran (objektif) yang diketahui, maka dapat diketahui teknik produksi optimal yang dapat dilakukan perusahaan. B. GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR Sebuah model masalah program linear yang dinyatakan dalam dua variabel dapat diselesaikan dengan grafik yang merepresentasikan kedua variabel tersebut. Pendekatan solusi masalah dengan grafik sangat membantu terutama dalam melihat dan memahami kendalakendala dan fenomena yang mungkin terjadi dalam penyelesaian masalah mi. 1. Grafik Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Sebagaimana diketahui bahwa pertidaksamaan merupakan kalimat matematika terbuka yang memuat (atau yang dihubungkan dengan) tanda pertidaksamaan, yaitu <,, >,, dan #. Untuk mempermudah penyajian pada diagram Cartesius, variabel dinyatakan dalam x atau y. Contoh:

3 a. a.x 1 Gambar terlebih dahulu garis x = 1, lalu tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi x 1.

4

5 Menggambarkan grafik pertidaksamaan linear satu variabel seperti di atas dapat membantu kamu menggambarkan grafik pertidaksamaan linear dua variabel. Soal

6

7 Pertemuan 2 Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier Kompetensi dasar : Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier Indikator : Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya Sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel ditentukan daerah penyelesaiannya Tujuan Pembelajaran : Menjelaskan pengertian program linier Menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier Menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel Materi Ajar 2. Grafik Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sebagian besar masalah program linear dihadapkan dengan kendala yang berbentuk sistem dan pertidaksamaan linear dua variabel. Solusi yang tergambar dapat merepresentasikan solusi optimisasi yang dicari. Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang memuat dua vaniabel, misalnya x dan y. Bentuk pertidaksamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk:

8 Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel ini dapat disajikan pada koordinat Cartesius. Perhatikan contoh berikut.

9 Dengan demikian, daerah penyelesaian merupakan daerah yang diraster.

10 Soal

11

12 Pertemuan 3 Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier Kompetensi dasar : Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier Indikator : Pertidaksamaan linier ditentukan daerah penyelesaiannya Sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel ditentukan daerah penyelesaiannya

13 Tujuan Pembelajaran : Menjelaskan pengertian program linier Menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier Menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel Materi Ajar 3. Grafik Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear dua variabel terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Untuk menggambarkan himpunan (daerah) penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut, masing-masing pertidaksamaan dibuat penyelesaiannya dan diletakkan pada satu sistem koordinat Cartesius. Himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dan masing-masing penyelesaian pertidaksamaan tersebut.

14

15 Soal

16

17 Pertemuan 4 Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier Kompetensi dasar : Menentukan model matematika dari soal ceritera (kalimat verbal) Indikator : Soal cerita (kalimat verbal) diterjemahkan ke kalimat matematika Kalimat matematika ditentukan daerah penyelesaiannya Tujuan Pembelajaran : Menjelaskan pengertian model matematika Menentukan apa yang diketahui dan ditanyakan Menyusun sistem pertidaksamaan linier Menentukan daerah penyelesaian Materi Ajar MODEL MATEMATJKA Masalah-masalah program linear dalam bidang teknik, perdagangan maupun dalam kegiatan perindustrian akan lebih mudah diselesaikan jika permasalahan tersebut diterjemahkan terlebih dahulu ke dalam pernyataan matematika. Pernyataan matematika mi menggunakan variabel (peubah) dan notasi matematika. Dengan mi akan diperoleh suatu model matematika. Pada umumnya pemodelan matematika melibatkan banyak variabel dan tidak linear, tetapi pada bahasan mi pemodelan yang akan dibuat hanya melibatkan dua variabel dan modelmodel yang linear. Perhatikan ilustrasi pemodelan berikut mi. Contoh : 1. Seorang pemilik toko sepatu hendak menjual dua jenis sepatu, yaitu sepatu untuk anak-anak dan dewasa. Rata rata harga beli sepasang sepatu untuk anak-anak adalah Rp50.000,00 dan sepatu dewasa RplOO.000,00. Etalase yang tersedia hanya dapat menampung 80 pasang sepatu

18 dan modal yang tersedia Rp ,00. Keuntungan yang diperoleh pada tiap penjualan adalah Rp ,00 dan Rp15.000,00 masing-masing untuk sepatu anakanak dan dewasa. Buatlah model matematika untuk memaksimumkan keuntungan dan penjualan tersebut. Jawab:. Misalkan, banyak sepatu anak-anak: x pasang banyak sepatu dewasa: y pasang Pemyataan di atas dapat dibuat dalam tabel seperti berikut.

19 Soal

20

21 Pertemuan 5 Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier Kompetensi dasar : Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier. Indikator : Fungsi obyektif ditentukan dari soal Nilai optimum ditentukan berdasar fungsi obyektif Tujuan Pembelajaran : Menentukan fungsi objektif Menentukan titik optimum dari daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier Menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif Materi Ajar NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTF Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari bagaimana menerjemahkan masalah program linear ke dalam model matematika dan menentukan fungsi objektifnya. Selanjutnya adalah menyelesaikan masalah tersebut yakni dengan menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) fungsi objektif. Perhatikan kembali contoh-contoh pada hal. 156 sub bab sebelumnya. Pada contoh 1, sasaran yang dituju adakh menentukan besar keuntungan maksimum yang dapat diperoleh, sedangkan pada contoh 2 adalah menentukan biaya minimum yang dapat dikeluarkan.

22 Untuk menentukan nilai-nilai mi, kita dapat menyelidiki nilai fungsi objektif pada titiktitik pojok daerah penyelesaian. Metode mi disebut au titik pojok. Langkah-langkah yang ditempuh dalam menggunakan uji titik pojok antara lain: a. Ubah persoalan verbal (kalimat matematika) ke dalam model matematika (sistem pertidaksamaan) dan tentukan fungsi objektifnya. b. Gambar daerah penyelesaian (daerah feasible) sistem pertidaksamaan yang diperoleh pada langkah a. c. Identifikasikan dan tentukan titik koordinat dan setiap titik pojok pada daerah penyelesaian. d. Hitung nilai dan bentuk objektif (syarat untuk maksimum atau minimum) yang bersesuaian dengan titik pojok yang diperoleh sebelumnya sehingga didapatkan nilai optimum (maksimum atau minimum). Contoh :

23 Soal

24

25