STATISTIKA Distribusi Normal Distribusi Binomial Ingat contoh pemilihan 1 kegiatan (Kegiatan A) dari 4 kegiatan untuk didanai Distribusi Binomial Histogram Distribusi Probabilitas Sukses Statistika Distribusi Normal 1
Distribusi Binomial () Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana). Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5, 4, 3,, 1, 0? Statistika Distribusi Normal 3 Distribusi Binomial (3) Setiap kali pemilihan prob(as) = probabilitas kegiatan A terpilih prob(as) = ¼ = 0.5 = p prob(ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(ag) = 1 p = 0.75 = q Dalam 5 kali pemilihan peluang terpilih (sukses) 3 kali adalah f X 5 3 3 ( x; n, p) f ( 3;5,0.5) = 0.5 0.75 = 0. 088 = X Statistika Distribusi Normal 4
Distribusi Binomial (4) Dalam 5 kali pemilihan (n = 5) jumlah sukses jumlah kejadian 0 1 1 5 10 3 10 4 5 5 1 = peluang terjadi 0.37 0.396 0.64 0.088 0.015 0.001 1.000 koefisien binomial Statistika Distribusi Normal 5 0.45 0.40 0.35 0.40 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana probabilitas 0.30 0.5 0.0 0.15 0.10 0.4 0.6 0.09 n = 5 tahun 0.05 0.00 0.01 0.00 0 1 3 4 5 frekuensi perolehan dana Statistika Distribusi Normal 6 3
Distribusi Binomial Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang 10 tahun 0 tahun n tahun diperoleh n + 1 kemungkinan hasil Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah n kali, n 1 kali,... 0 kali Statistika Distribusi Normal 7 0.30 0.8 0.5 0.5 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana 0.0 0.19 probabilitas 0.15 0.10 0.05 0.06 0.15 0.06 n = 10 tahun 0.0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 frekuensi perolehan dana Statistika Distribusi Normal 8 4
0.5 0.0 0.0 0.19 0.17 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana probabilitas 0.15 0.10 0.05 0.00 0.13 0.07 0.0 0.00 0.11 0.06 0.03 n = 0 tahun 0.01 0.00 0.000.000.000.000.000.000.000.000.00 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 frekuensi perolehan dana Statistika Distribusi Normal 9 Distribusi Binomial vs Kurva Normal Apabila pemilihan (experimen) dilakukan sejumlah n kali dan n >> histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki interval kecil garis yang melewati puncak-puncak histogram kurva mulus berbentuk seperti lonceng Kurva Normal Statistika Distribusi Normal 10 5
0.5 0.0 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana probabilitas 0.15 0.10 0.05 n = 0 tahun 0.00 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 frekuensi perolehan dana Statistika Distribusi Normal 11 Kurva Normal Distribusi Normal Kurva Normal berbentuk seperti lonceng dengan karakteristik tertentu tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi Normal Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi normal Lebih mudah dilakukan karena karakteristik distribusi normal telah diketahui (didefinisikan) tabel distribusi normal perintah dalam MS Excel Statistika Distribusi Normal 1 6
Distribusi Normal Karakteristik simetri terhadap nilai rata-rata (mean) score mengumpul di sekitar nilai rata-rata kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran 3 kali simpangan baku dari nilai rata-rata Statistika Distribusi Normal 13 Distribusi Normal Luas = 1 + μ 4σ μ 3σ μ σ μ σ μ μ+σ μ+σ μ+3σ μ+4σ X Statistika Distribusi Normal 14 7
Distribusi Normal Luas = 0.00135 Luas = 0.9973 + Luas = 0.00135 μ 3σ μ σ μ σ μ μ+σ μ+σ μ+3σ X Statistika Distribusi Normal 15 pdf p X (x) Ν(μ,σ ) μ + p X 1 1 ( ) ( ) ( x μ) σ x = πσ e Statistika Distribusi Normal 16 8
pdf p X (x) Ν(μ 1,σ 1 ) Ν(μ,σ ) μ 1 = μ = μ 3 σ 1 < σ < σ 3 Ν(μ 3,σ 3 ) μ + Statistika Distribusi Normal 17 pdf Ν(μ 1,σ 1 ) Ν(μ,σ ) Ν(μ 3,σ 3 ) p X (x) μ 1 < μ < μ 3 σ 1 = σ = σ 3 μ + Statistika Distribusi Normal 18 9
Distribusi Normal Jika X berdistribusi normal, N(μ,σ ), maka probabilitas X x dapat dicari dengan: prob x 1 1 ( ) ( ) ( ) ( t μ X x = P x = πσ e ) X σ dt luas di bawah kurva pdf cdf Statistika Distribusi Normal 19 pdf - cdf p X (x) cdf P X (x) 1 pdf μ 0 + Statistika Distribusi Normal 0 10
Distribusi Normal Luas di bawah kurva menunjukkan probabilitas suatu event menunjukkan percentile rank prob(x x) = prob( X x) = luas di bawah kurva antara s.d. x prob( X + ) = 1 = luas di bawah kurva antara s.d. + prob(x x) = prob(+ X x) = luas di bawah kurva antara x s.d. + = 1 prob(x x) Statistika Distribusi Normal 1 Distribusi Normal Probabilitas prob(x μ) = prob(x μ) = 0.50 prob(μ x X μ) = prob(μ X μ+x) Statistika Distribusi Normal 11
Distribusi Normal Probabilitas prob(x = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x = 0 prob(x x) = prob(x < x) prob(x x) = prob(x > x) prob(x a X x b ) = prob(x a < X < x b ) Statistika Distribusi Normal 3 Distribusi Normal Standar Distribusi normal umumnya disajikan dalam bentuk distribusi normal standar dipakai nilai z scores z X = X μ σ Z berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1, N(0,1) distribusi normal standar Statistika Distribusi Normal 4 1
Distribusi Normal Standar p Z 1 z ( z) = e z + π prob ( Z z) = PZ ( z) = z 1 e π t dt Statistika Distribusi Normal 5 Distribusi Normal Standar + 3 1 0 1 3 Z μ 3σ μ σ μ σ μ μ+σ μ+σ μ+3σ X Statistika Distribusi Normal 6 13
Tabel Distribusi Normal Standar Tabel zvsordinat kurva normal standar zvsordinat pdf (probability density function) Tabel zvsluas di bawah kurva zvscdf (cumulative distribution function) luas kurva dari 0 s.d. z x luas kurva dari s.d. z x Statistika Distribusi Normal 7 Perintah (Fungsi) MS Excel Distribusi Normal NORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative) x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya mean = nilai rata-rata (aritmetik) standard_dev = nilai simpangan baku cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin menghitung pdf NORMINV(probability,mean,standard_dev) probability = probabilitas suatu distribusi normal mean = nilai rata-rata (aritmetik) standar_dev = nilai simpangan baku Statistika Distribusi Normal 8 14
Perintah (Fungsi) MS Excel Distribusi Normal Standar Ingat NORMSDIST(z) menghitung nilai cdf distribusi normal standar NORMSINV(probability) kebalikan dari NORMSDIST(z) mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui Distribusi Normal Standar mean = 0 simpangan baku = 1 Statistika Distribusi Normal 9 Perintah (Fungsi) MS Excel Contoh 1 NORMDIST(15,1,3,TRUE) rata-rata = 1 simpangan baku = 3 prob(x < 15) = NORMDIST(15,1,3,TRUE) = 0.841 NORMINV(0.8,1,3) prob(x < x) = 0.8 x = NORMINV(0.8,1,3) = 14.5 Statistika Distribusi Normal 30 15
Perintah (Fungsi) MS Excel Contoh NORMSDIST(3) rata-rata = 0 simpangan baku = 1 prob(z < 3) = NORMSDIST(3) = 0.9987 prob(0 < Z < 3) = NORMSDIST(3) 0.5 = 0.4987 prob(1 < Z < 3) = NORMSDIST(3) NORMSDIST(1) prob(z > 1.5) = 1 NORMSDIST(1.5) NORMSINV(0.65) prob(z < z) = 0.65 z = NORMSINV(0.65) = 0.385 Statistika Distribusi Normal 31 Perintah (Fungsi) MS Excel Tugas Buatlah tabel distribusi normal standar tabel pdf tabel cdf Dapat memakai perintah MS Excel untuk mengerjakannya Statistika Distribusi Normal 3 16
Fungsi Linear Distribusi Normal Variabel random X berdistribusi normal, N(μ,σ ) Jika Y = a + b X, maka Y berdistribusi normal N(a + b μ, b σ ) Statistika Distribusi Normal 33 Teorema Limit Sentral X i, i = 1,,,n masing-masing variabel random yang berdistribusi n normal N(μ,σ ) s n = X i i= 1 Jika n distribusi s n mendekati (asimtotis) distribusi normal N(nμ,nσ ) Statistika Distribusi Normal 34 17
Kurva Normal Data Pengamatan Perbandingan antara data pengamatan vs distribusi normal Contoh data debit maximum (lihat tabel) klas ke-: 00 300 m 3 /s 50 m 3 /s debit rata-rata 659 m 3 /s 660 m 3 /s simpangan baku debit 1 m 3 /s 10 m 3 /s Statistika Distribusi Normal 35 Data Debit Puncak Sungai XYZ Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) 1 473 3 1110 45 843 544 4 717 46 450 3 87 5 961 47 84 4 657 6 95 48 460 5 915 7 341 49 804 6 535 8 690 50 550 7 678 9 734 51 79 8 700 30 991 5 71 9 669 31 79 53 468 10 347 3 66 54 841 11 580 33 937 55 613 1 470 34 687 56 871 13 663 35 801 57 705 14 809 36 33 58 777 15 800 37 431 59 44 16 53 38 770 60 06 17 580 39 536 61 850 18 67 40 708 6 89 19 115 41 894 63 887 0 461 4 66 64 60 1 54 43 110 65 403 943 44 440 66 505 Statistika Distribusi Normal 36 18
Debit puncak Sungai XYZ selama 66 tahun 100 1000 800 Debit (m 3 /s) 600 400 00 0 0 10 0 30 40 50 60 70 Tahun ke- Statistika Distribusi Normal 37 Histogram Data Pengamatan Debit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun Frekuensi Relatif 0.0 0.18 0.16 0.14 0.1 0.10 0.08 0.06 0.04 0.0 0.00 100-00 00-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-100 m 3 /s Statistika Distribusi Normal 38 19
Pengamatan vs Teoretik Debit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun 0.0 Frekuensi Relatif 0.18 0.16 0.14 0.1 0.10 0.08 0.06 Distribusi Normal Teoretik Data Pengamatan 0.04 0.0 0.00 100-00 00-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-100 m 3 /s Statistika Distribusi Normal 39 Pengamatan vs Teoretik Expektasi frekuensi relatif klas ke- f Q 300 ( ) ( = 50 ) = ( π ) 1 q Q q s e = 00 300 00 = F ( 10 ) 1 ( q 660 π e ) Q = 0.093 Q 1 1 ( 300 ) F ( 00 ) Q 300 660 = FZ F 10 = 0.4857 0.4564 Z sq d q 10 00 660 10 d q Statistika Distribusi Normal 40 0
Pengamatan vs Teoretik Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatif dalam suatu interval klas f p Q Q ( q ) = Δq p ( q ) i ( q ) = p ( z ) i Z i i Q i d z = d q pz σ ( z ) Q i Statistika Distribusi Normal 41 Pengamatan vs Teoretik Cara lain (lanjutan) i = : Δq q i p f Z Q i = 100m = 50 m ( z ) i 3 3 s z = 0.0593 0.0593 10 50 660 = = 1.95 10 ( q ) = 100 = 0. 08 i s i Statistika Distribusi Normal 4 1
Hitungan dan Penggambaran Hitungan dan penggambaran dilakukan dengan spreadsheet: ST Contoh Data Debit Statistika Distribusi Normal 43 Distribusi Normal vs Distribusi Random Kontinu Umumnya distribusi normal cukup baik untuk mendekati distribusi-distribusi yang lain, baik distribusi diskrit atau kontinu khususnya di bagian tengah distribusi kurang baik di sisi pinggir (tail) Apabila distribusi kontinu dipakai untuk mendekati distribusi diskrit, diperlukan koreksi koreksi tengah interval, x ½, x + ½ misal: prob(x = x) prob(x ½< X < x + ½) Statistika Distribusi Normal 44
Distribusi Normal vs Distribusi Random Kontinu Diskrit Kontinu X = x x X y X x X x X < x X > x x ½ X x + ½ x ½< X < y + ½ X < x ½ X > x + ½ X x ½ X x + ½ Statistika Distribusi Normal 45 3