Pemafaata Geogebra utuk Meggambar Potret Fase Sistem Persamaa Diferesial The Use of Geogebra to Draw Phase Portrait of Differetial Equatios Systems Emiugroho Rata Sari Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY emiugroho@uy.ac.id ABSTRAK Perilaku solusi sistem persamaa diferesial serigkali aka lebih mudah diiterpretasika melalui grafik, tetapi hal ii tidak mudah digambar tapa batua software. Padahal software matematika serigkali membutuhka bahasa pemrograma yag rumit utuk medapatka hasil yag diigika. Hal ii tidak mudah dilakuka bagi pemula. Semetara, di lai pihak terdapat software yag lebih mudah diguaka, khususya dalam meggambar grafik. Tujua peulisa paper ii adalah bagaimaa memafaatka Geogebra sebagai software yag user friedly utuk meggambar potret fase sistem persamaa diferesial utuk megamati perilaku solusiya. Aka diberika lagkah-lagkah meggambar potret fase sistem persamaa diferesial baik liear maupu oliear. Berdasarka potret fase dapat diketahui perilaku solusi di sekitar titik ekuilibrium. Kata Kuci: Geogebra, potret fase, sistem persamaa diferesial ABSTRACT The behavior of solutios of differetial equatios systems will be more easily iterpreted by graphs, but this is ot easy draw without software. As kow, mathematics software ofte requires a complicated programmig laguage to get the desired results. It is ot easy for begiers. O the other had, there is software that is easier to use, especially i drawig a graph. The purpose of this paper is how to utilize GeoGebra as user friedly software to draw a phase portrait of a system of differetial equatios. Step-by-step drawig phase portrait systems of differetial equatios both liear ad oliear will be give. Based o the phase portrait ca be see the behavior of solutios aroud the equilibrium poit. Keywords: Geogebra, phase portrait, differetial equatios systems Pedahulua Persamaa diferesial merupaka persamaa yag memuat derivative atas satu atau lebih variable tak bebas terhadap satu atau lebih variable bebas. Jika persamaa haya memuat satu atau lebih variable tak bebas terhadap satu variable bebas, maka disebut persamaa diferesial biasa. Lebih lajut, suatu fugsi f disebut solusi dari persamaa diferesial jika f terdefiisi pada suatu persamaa diferesial beserta turuaturuaya pada suatu iterval I, da
apabila disubstitusi ke persamaa diferesial tersebut aka terpeuhi. Suatu persamaa diferesial disebut liear jika () variable tak bebas da/atau turuaturuaya buka merupaka fugsi trasede, () pagkat dari variable tak bebas da turua-turuaya adalah satu, (3) tidak ada perkalia atara variable tak bebas dega diriya sediri, atau dega turua-turuaya, atau atar turua-turuaya (Ross, 984). Himpua berhigga dari persamaa diferesial disebut sebagai sistem persamaa diferesial. Hal mearik yag dapat dilihat setelah medapatka solusi suatu sistem persamaa diferesial adalah dega megaalisa perilaku dari solusi sistem tersebut. Bucur (6) telah membahas megeai teori perilaku solusi suatu persamaa diferesial. Semetara Ademola () megaalisa kestabila utuk persamaa diferesial oliear. Perilaku solusi sistem persamaa diferesial juga serig diaplikasika dalam pemodela matematika di bidag biologi. Bagaimaa peyebara suatu peyakit dapat diaalisa sehigga dapat diprediksi kapa aka terjadi epidemic. Model SIR merupaka pemodela epidemiologi pertama kali yag diperkealka oleh Kermack & McKedrick (97). Pada model klasik ii diasumsika tidak ada kelahira da kematia. Modifikasi model ii terus megalami perkembaga, mulai dari mucul model SIR dega adaya kelahira da kematia, model SIR dega efek demografi, model SIR dega vaksiasi (Keelig, Tildesley, House, & Dao, 3), bahka dega cotrol (Bakare, Nwagwo, & Daso- Addo, 4). Aalisa megeai perilaku solusi ii tidak mudah dilakuka. Namu demikia, dapat juga diaalisa melalui potret fase. Meggambar potret fase tapa batua software serigkali juga tidak mudah dilakuka. Dewasa ii software matematika telah bayak ada atara lai MAPLE, MATLAB, WiGeom, WiPlot, maupu Geogebra. Geogebra merupaka salah satu software yag free dowload yag serig diguaka dalam pembelajara matematika karea fiturya yag legkap da iteraktif. Geogebra juga relative lebih mudah diguaka daripada software yag lai karea tidak membutuhka bahasa pemrograma yag rumit (Hohewarter, Hohewarter, Kreis, & Lavicza, 8). Salah satu yag bisa dimafaatka dari Geogebra adalah meggambar potret fase dari sistem persamaa diferesial. Pada paper ii aka dibahas megeai pegguaa Geogebra utuk meggambar trayektori solusi sistem
persamaa diferesial, lebih lajut bagaimaa potret fase dari sistem tersebut. Pertama aka dibahas utuk sistem persamaa diferesial liear. Pada bagia ii, aka diberika cotoh-cotoh sistem persamaa diferesial liear yag kemudia diaalisa bagaimaa perilaku solusi sistem tersebut melalui potret fase yag diperoleh dega Geogebra. Selajutya aka dibahas bagaimaa pegguaa Geogebra utuk meggambar trayektori solusi sistem persamaa diferesial oliear, dalam hal ii yag aka dibahas utuk model SIR. Utuk itu, berikut diberika beberapa defiisi yag berkaita dega sistem persamaa diferesial. Atara lai defiisi solusi sistem persamaa diferesial, titik ekuilibrium da kestabila. Sistem Persamaa Diferesial Pada bagia ii aka dibahas megeai defiisi sistem persamaa diferesial, titik ekuilibrium, kestabila, bidag fase, trayektori da potret fase. Diberika sistem persamaa diferesial biasa f f ( x, x,, x ), ( x, x,, x ), f ( x, x,, x ), dega kodisi awal i ( ) i...,. () x t x, i,, Sistem () dapat ditulis sebagai ( x) f () dega x ( x, x,, x ) R, f ( f,, f ) da kodisi awal ( ) (,,, ) x t x x x x R. Selajutya otasi x ( t ) x(,t) x meyataka solusi Sistem () yag melalui x. Selajutya aka diberika defiisi titik ekuilibrium suatu sistem pada R. Defiisi (Perko, 99) Titik xˆ R disebut titik ekuilibrium f ˆ. Sistem () jika ( x) Defiisi (Perko, 99) Diberika Sistem (). xˆ R titik ekuilibrium i. Titik ekuilibrium xˆ dikataka stabil lokal jika utuk setiap bilaga ε >, terdapat bilaga δ δ (ε) >, sedemikia sehigga utuk setiap solusi x ( t) yag memeuhi ( ) xˆ < δ x t berlaku ( t) xˆ < ε, x utuk setiap t t. ii. Suatu titik ekuilibrium xˆ dikataka tak stabil, jika tidak dipeuhi (i). iii. Titik ekuilibrium xˆ dikataka stabil asimtotik lokal, jika titik ekuilibrium xˆ stabil da jika terdapat δ >, sehigga utuk 3
utuk meggambar potret fase maupu solusi S da I dega Geogebra:. Meetapka maksimum ilai t yag diguaka dalam gambar. Misal maxt 5.. Membuat titik A da B di sumbu-y sebagai ilai awal dari solusi S da I, berturut-turut. Misal A (,4) da B (,) 3. Membuka jedela sebagai tempat utuk meggambar grafik yag kedua (dalam hal ii disebut Graphic ), dega cara klik view > graphic, seperti tampak pada gambar berikut Gambar 8. Membuka Graphic Tujuaya adalah utuk meggambar trayektori solusi da potret fase Sistem (8) 4. Membuat titik C ditempatka di Graphic, yaitu C (y(a),y(b)), sebagai ilai awal dari trayektori solusi 5. Megiput fugsi ruas kaa dari Sistem (8), dalam hal ii diambil α.33 da β.48, sedagka S diyataka dega x da I diyataka dega y, jadi f(x,y)-.48*x*y da g(x,y).48*x*y -.33*y 6. Meggambar trayektori solusi yag aka mucul di Graphic, dalam hal ii sumbu-x meyataka S da sumbu-y meyataka I, yaitu SolveODE[g, f, x(c), y(c), maxt,.] 7. Meggambar potret fase Sistem (8), yaitu Sequece[Sequece[Vector[(i,j), (i,j) +.5(f(i,j),g(i,j)) / sqrt(f(i,j)^ + g(i,j)^)], i,, 5,.], j,, 5,.] 8. Membuat barisa t, yag diguaka utuk melihat perilaku masigmasig solusi S da I, yaitu t Sequece[i, i,,,.] maxt 9. Membuat barisa R, utuk titik-titik solusi dari S, yaitu RSequece[x(Poit[umericalIt egral, i]), i,,,.]. Meggambar solusi dari S pada Graphic, dalam hal ii sumbu-x sebagai t, sedagka sumbu-y sebagai S, yaitu Polylie[Sequece[(Elemet[t, i], Elemet[R, i]), i,, ]]. Membuat barisa F, utuk titik-titik solusi dari I, yaitu FSequece[y(Poit[umericalIt egral, i]), i,,,.] 9
. Meggambar solusi dari I pada Graphic, yaitu Polylie[Sequece[(Elemet[t, i], Elemet[F, i]), i,, ]] Berdasarka lagkah, maka diperoleh Gambar 9. Graphic (sebelah kiri) meyataka solusi dari S (wara merah) da I (wara hijau). Graphic meyataka trayektori solusi da potret fase Sistem (8). Berdasarka Gambar 9 bagia Graphic tampak bahwa populasi S turu karea masuk ke kelas I, pada saat itu populasi I aka aik. Semetara dari Graphic dapat terlihat bahwa solusi meuju ke titik ekuilibrium (,) T, artiya di titik ii solusiya stabil. Kesimpula Geogebra sagat bermafaat dalam pembuata grafik fugsi. Pada paper ii lebih meekaka bagaimaa cara medapatka trayektori solusi da potret fase suatu sistem persamaa diferesial baik liear maupu oliear dega memafaatka Geogebra. Diharapka dega megguaka software ii peguasaa kosep megeai perilaku solusi suatu sistem persamaa diferesial mejadi lebih baik lagi. Pustaka Ademola, A. T., & Arawomo, P. O. (). Stability, Boudedess ad Asymptotic Behaviour of Solutios of Certai Noliear Differetial Equatios of the Third Order. Kragujevac Joural of Mathematics, 35(No 3), 43-445. Bakare, E., Nwagwo, A., & Daso-Addo, E. (4). Optimal Cotrol Aalysis of a SIR epidemic Model with Costat