PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde diamaka ruag - da diyataka dega R, R a,a,...,a / a R,i,,..., da ditulis sebagai {( ) } Cotoh: ) (,,,) R ) ( i,,, ) R ) (,, ) R 7. Ruag Vektor Umum Misalka V sebarag himpua sesuatu da didefiisika dua operasi berikut: ) Jika u r, v r V, maka ( u + v ) V (operasi pejumlaha) ) Jika k sebarag skalar riil da u V, maka ku V (operasi perkalia dega skalar) Karea V memeuhi defiisi di atas maka V merupaka ruag vektor umum. Sifat-sifat ruag vektor umum: r r r r u + v v + u u r + (v + w) (u r + v) + w
Ada sebuah u r + (-u r ) (-u r ) + u k(u + v) ku + kv u r (k+ l) u ku + lu u r u r k(lu) (kl)u. u u V sehigga + v v + v, utuk semua v V 7. Ruag Bagia Suatu ruag vektor dapat saja tergadug di ruag vektor yag lebih besar. Sebagai cotoh garis da bidag yag melalui titik asal adalah ruag vektor yag terkadug dalam ruag vektor R Defiisi Himpua bagia W dari sebuah ruag vektor V, diamaka ruag bagia dari V, jika W itu sediri adalah ruag vektor dega operasi pejumlaha da perkalia dega skalar yag didefiisika pada V. Teorema Jika W adalah himpua bagia dari ruag vektor V, maka W adalh ruag bagia dari V jika da haya jika dipeuhi: ) Jika u da v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v terletak di W. ) Jika k adalah sembarag skalar da u adalah sembarag vektor pada W, maka ku berada di W. Setiap ruag vektor V mempuyai palig sedikit dua ruag bagia yaitu V sediri da ruag bagia ol (zero subspace). Cotoh: Ruag vektor W c b bc, R
merupaka ruag bagia dari ruag vektor V a c b d abcd,,, R Cotoh: Misalka adalah sebuah bilaga bulat positif da W terdiri dari semua fugsi poliomial yag mempuyai derajat ; jadi W adalah himpua semua fugsi yag dapat diyataka dalam betuk ( x) a x + a x +... a x p + (*), di maa a,a,...,a adalah bilaga - bilaga riil Peyelesaia: Utuk meujukka hal di atas, misalka p da q merupaka poliom - poliom ( x) a x + a x +... a x p + da ( x) b x + b x +... b x q + maka (p + q) x p(x) + q(x) a b x + a + b x +... + a + b + ( ) ( ) ( ) x kp x kp x ka x + ka x +... + ka x Juga ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mempuyai betuk yag diberika dalam (*). Jadi p + q da kp berada di W. Berarti W adalah ruag bagia dari himpua semua fugsi berilai riil, yag diberi simbol p.
Ruag Baris, Ruag Kolom Defiisi Tijaulah matriks m, a a A : a Vektor - vektor ( a,a,...a ) m r ( a,a,...a ) r : : ( a,a,... a ) rm m m m a a a : m... a... a :::... a : m yag dibetuk oleh baris - baris matriks A diamaka vektor - vektor baris a a a dari A, da vektor - vektor a c, a c, a c : : : a m a m a m yag dibetuk oleh kolom - kolom matriks A, diamaka vektor - vektor kolom dari A. Sub ruag dari R yag diretag oleh vektor - vektor baris diamaka m ruag baris( row space) dari A da sub ruag dari R yag diretag oleh vektor - vektor kolom diamaka ruag kolom ( colum space) dari A. Cotoh: Misalka A, vektor - vektor baris dari A adalah r (,, ) da (,, ) r
Vektor - vektor kolom dari A adalah c c, c da Teorema Operasi baris elemeter tidak megubah ruag baris sebuah matriks. Teorema ii meujukka bahwa ruag baris sebuah matriks A tidak berubah dega mereduksi matriks tersebut mejadi betuk eselo baris. Aka tetapi, vektor - vektor baris yag tak ol dari sebuah matriks di dalam betuk eselo baris selalu bebas liier sehigga vektor - vektor baris yag tak ol ii membetuk sebuah basis utuk ruag baris tersebut. Teorema Vektor - vektor baris yag tak ol di dalam sebuah betuk eselo baris dari sebuah matriks A, membetuk sebuah baris utuk ruag baris dari A. Cotoh: Carilah sebuah baris utuk ruag yag diretag oleh vektor - vektor: v (,,, ), v (, 5,,, 6), (, 5, 5,, ) (, 6, 8, 8 6), v, v, Pemecaha: Ruag yag diretag oleh vektor - vektor ii adalah ruag baris dari matriks 5 6 5 5 6 8 8 6
dega memproses matriks ii mejadi betuk eselo baris diperoleh vektor - vektor baris yag tak ol di dalam matriks ii adalah w (,,,,), w (,,,, ), w (,,,, ) vektor - vektor ii membetuk sebuah basis utuk ruag baris tersebut da sebagai kosekuesiya aka membetuk sebuah basis utuk ruag yag diretag oleh v, v, v, v Kombiasi Liier Defiisi Kombiasi Liier Suatu vektor W diamaka kombiasi liier dari vektor - vektor v, v,..., v r, jika vektor tersebut dapat ditulis dalam betuk w k v + k v +... + k v r r, dega ketetua k k,...k r merupaka skalar. Cotoh: Diketahui vektor - vektor u (,,-) da v (6,,) di R. Tujukka w (9,,7) merupaka kombiasi liier u da v serta z (, -, 8) buka merupaka kombiasi liier u da v. Peyelesaia: Agar w merupaka kombiasi liier u da v, maka harus ada skalar k da k sedemikia higga k u k v, yaitu: (,,7) k (,, ) k ( 6,,) 9 + atau w + ( 9,,7) ( k + 6k,k + k, k + k)
Peyamaa kompoe - kompoe yag bersesuaia meghasilka: k + 6k k + k 9 k + k 7 Sistem ii meghasilka, k, sehigga w u + v k Demikia juga utuk w yag merupaka kombiasi liier u da v harus ada skalar k da k sehigga w" k u + k u, yaitu: (,,8 ) k (,, ) k ( 6,,) + atau (,,8 ) ( k + 6k,k + k, k + ) k Peyamaa kompoe - kompoe yag bersesuaia meghasilka: k + 6k k + k k + k 8 Sistem persamaa ii tidak kosiste (buktika), sehigga tidak ada skalar - skalar seperti itu. Sebagai kosekuesiya z bukalah kombiasi liier u da v. Pembagu Defiisi Jika v,,..., adalah vektor - vektor pada ruag vektor V da masig - v v r masig vektor pada V dapat diyataka sebagai kombiasi liier v, v,..., maka kita megataka bahwa vektor - vektor ii membagu V. v r
Cotoh: Tetuka apakah v (,,), v (,5,) da v (,,8 ) membagu di R. Peyelesaia: Utuk meyelidiki vektor di atas membagu di R maka harus diselidiki utuk sembarag vektor b ( b,b, b ) pada R dapat diyataka sebagai kombiasi liier dari ketiga vektor di atas, sehigga diperoleh (,b,b ) k (,, ) + k (,5,) k (,,8 ) b + atau ( b,b,b ) ( k + k + k,k + 5k + k,k + 8 ) k Dalam betuk SPL: k + k + k b k + 5k + k k + 8k b b SPL di atas dapat diselesaika utuk setiap ilai b karea matriks koefisieya dapat dibalik (ivertable). Kebebasa Liier Da Ketergatuga Liier Diketahui bahwa ruag vektor V dibagu oleh himpua vektor S { v, v,..., v r }, maka setiap vektor di dalam V adalah kombiasi liier dari v, v,..., v r. Dega membagu himpua tersebut aka bergua dalam berbagai soal, karea kita serig meelaah ruag vektor V dega mealaah terlebih dahulu vektor-vektor dega membagu himpua S, da dega memperluas hasil-hasil tersebut pada bagia selebihya dari V, kemudia perlu dipertahaka membagu himpua S sekecil mugki. Permasalaha utuk medapatka pembagua himpua
terkecil utuk ruag vektor bergatug pada pegertia kita megeai kebebasa liier, yag aka kita telaah pada bagia ii. Defiisi Jika { v, v,..., } k S adalah himpua vektor, maka persamaa vektor v r v + k v +...k v r r mempuyai palig sedikit satu pemecaha yaki k, k,...kr atau dapat diyataka sebagai: Himpua r buah vektor {, v,..., } v disebut bebas liier bila v r megakibatka kj j,,..., r. Himpua r buah vektor {, v,..., } jika SPL v adalah bebas liier jika da haya v r u u u u : : u u.. um s.. u m s,.. : :.. um sm haya puya jawab trivial sj, j,,..., m
Soal-soal Kombiasi Liear :. Diketehui : a (,,, ) b (,,, ) c ( 8,,8, ) Apakah c merupaka kombiasi liear dari a da b?. Diketehui : a (,,, ) b (,,, ) c ( 5,5,,7 ) Apakah c merupaka kombiasi liear dari a da b?. Diketehui : a (,,,, ) b (,,,,5 ) c ( 6,,,,6) Apakah c merupaka kombiasi liear dari a da b?. Diketehui : a (,,, ) b (,,, ) c (,,, ) d ( 9,,8, ) Apakah d merupaka kombiasi liear dari a, b da c?
Soal-soal Bebas Liear atau Tidak Bebas Liear : 5. Diketehui : Vektor di R a b c (,, ) (,, ) ( 8,, ) Apakah vector a, b da c bebas atau tidak bebas liear? 6. Diketehui : Vektor di R a (,, ) (,, ) (,,5) b c Apakah vector a, b da c bebas atau tidak bebas liear? 7. Diketehui : Vektor di R a (,,, ) (,,, ) ( 8,,8, ) b c Apakah vector a, b da c bebas atau tidak bebas liear? 8. Diketehui : Vektor di R 5 a b c (,,,,) (,,,,5 ) ( 6,,,,6) Apakah vector a, b da c bebas atau tidak bebas liear?
Karakteristik Batasa A x matriks bujur sagkar - Vektor karakteristik dari A : x R jika Ax λ x ; x <>, λ bilaga yata - λ ilai karakteristik - x vektor karakteristik yag ber-korespodesi dega λ Peetua ilai karakteristik dari matriks bujur sagkar SPL homoge yag melibatka matriks bujur sagkar, matriks satua, vektor di R da bilaga yata λ Jawab SPL Persamaa karakteristik λ ilai karakteristik matriks bujur sagkar (memeuhi pers. karakteristik) Peetua vektor karakteristik dari matriks bujur sagkar SPL homoge yag melibatka matriks bujur sagkar, matriks satua, vektor di R da λ Vektor jawab tak ol dari SPL Ruag karakteristik dari matriks yag berkorespodesi dega λ Vektor karakteristik dari matriks Nilai karakteristik da vektor karakteristik dari suatu trasformasi liier Trasformasi liier T : V --> V
V ruag vektor atas R berdimesi higga λ ilai karakteristik dari T x < > di V vektor karakteristik dari T yag berkorespodesi dega λ jika T(x) λx Matriks represetasi dari trasformasi liier A matriks represetasi dari trasformasi liier T Nilai karakteristik dari T ilai karakteristik dari A x vektor karateristik dari T yag berkorespodesi dega λ [x] s vektor karakteristik dari A yag berkorespodesi dega λ Nilai karakteristik dari matriks segitiga Soal-soal Nilai Eige da Vektor Eige :. Tetuka semua ilai karakteristik atau ilai eige dari matriks A, 7 Jika A!. Tetuka semua ilai karakteristik atau ilai eige dari matriks A, Jika A!. Tetuka semua ilai karakteristik atau ilai eige dari matriks A, 8 9 9 Jika A! 9 9
. Tetuka semua ilai karakteristik atau ilai eige dari matriks A, Jika 6 5 A! 5. Tetuka semua ilai karakteristik atau ilai eige da Vektor eige dari matriks A, Jika 8 A! 6. Tetuka semua ilai karakteristik atau ilai eige da Vektor eige dari matriks A, Jika 5 7 A! 7. Tetuka semua ilai karakteristik atau ilai eige da Vektor eige dari matriks A, Jika 5 A!