BB VI PELUNG DN STTISTIK DSR. Kosep Peluag da Pegelolaa Data Peluag serigkali diperluka oleh seseorag utuk melihat besarya kemugkia atau kesempata utuk terjadiya sesuatu. Sebagai cotoh, coba ada perhatika tabel berikut ii. Tabel 6.1 Data Pemiat da Daya Tampug Suatu Program Studi Tahu kademik Pemiat SPMB Daya tampug SPMB Pemiat PMDK Daya tampug PMDK 2000/2001 307 35 84 10 2001/2002 289 35 78 10 2002/2003 379 45 100 10 2003/2004 324 45 77 17 2004/2005 420 45 61 17 Tabel tersebut berisika data tetag jumlah pemiat da daya tampug pada suatu program studi di sebuah uiversitas egeri, baik yag melalui jalur Seleksi Peerimaa Mahasiswa Baru (SPMB) maupu Peelusura Miat da Kemampua (PMDK). Data ii aka sagat bermafaat bagi seorag peserta seleksi utuk megetahui seberapa besar kemugkiaya utuk dapat diterima di program studi tersebut. Pada tahu akademik 2004/2005 misalya, 420 orag peserta harus bersaig utuk memperebutka 45 kursi yag tersedia pada jalur SPMB da 61 peserta harus bersaig memperebutka 17 kursi yag disediaka pada jalur PMDK. Hal ii berarti peluag seorag peserta SPMB utuk diterima 223
224 adalah atara 1 : 10 sampai 1 : 9, sedagka seorag peserta PMDK memiliki peluag lebih besar utuk diterima yaki atara 1 : 4 sampai 1 : 3. Tabel di atas juga memperlihatka fluktuasi jumlah pemiat da perkembaga daya tampug dari tahu ke tahu. Hal ii semaki jelas terlihat bila data tersebut disajika dalam betuk grafik, sebagaimaa yag tertera dalam gambar berikut ii. 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 00/01 01/02 02/03 03/04 04/05 Pemiat SPMB Pemiat PMDK Daya tampug SPMB Daya tampug PMDK Gambar 6.1 Grafik Pemiat da Daya Tampug suatu Program Studi Grafik tersebut dega jelas memvisualisasika fluktuasi pemiat da perkembaga daya tampug dari tahu ke tahu serta perbadiga atara pemiat da daya tampug per tahu akademik. Dega data yag cukup, maka pola yag ditujukka oleh grafik bisa juga diguaka utuk memprediksika kodisi yag aka terjadi pada tahu-tahu selajutya. Selai memberika visualisasi secara jelas tetag keadaa pemiat da daya tampug, maka dari sumber data yag sama juga dapat dihitug rata-rata jumlah pemiat da daya tampug selama 5 tahu terakhir serta rata-rata besarya
225 peluag seorag peserta seleksi utuk diterima selama 5 tahu terakhir. Hasilhasil perhituga tersebut sagat petig, selai utuk memperkiraka kodisi yag aka terjadi pada tahu-tahu selajutya, juga dapat mejadi sumber iformasi bagi lembaga uiversitas yag bersagkuta dalam megambil suatu kebijaka atau merecaaka suatu tidaka. Cotoh di atas memberika gambara petigya pegetahua tetag peluag, peyajia da pegelolaa data. Kosep-kosep dasar berkaita dega ketiga hal tersebut aka disajika dalam uraia berikut ii. 1. Permutasi, Kombiasi da Peluag Kosep peluag merupaka sebuah kajia matematis yag diguaka sebagai ladasa dalam pembahasa statistika. Semetara itu utuk dapat memahami kosep peluag diperluka suatu pemahama terhadap kosep permutasi da kombiasi. a. Permutasi Sebuah paitia ditugasi utuk meetuka wara kostum baru bagi sebuah tim sepak bola. Pihak maajer meyediaka 4 piliha wara: merah (M), putih (P), hijau (H) da biru (B), baik utuk celaa maupu kaosya, dega catata wara celaa tidak boleh sama dega wara kaos. Paitia tersebut harus meetuka satu pasag wara dari semua pasag wara yag mugki. Oleh kareaya pada tahap pertama, paitia meyusu daftar semua kemugkia tersebut.
226 Kaos M M M P P P H H H B B B Celaa P H B M H B M P B M P H Dari daftar tersebut jelas bahwa pasaga-pasaga yag mucul merupaka pasaga terurut, yag berarti pasaga (M,P) misalya, berbeda dega pasaga (P,M). Pasaga (M,P) berarti kaos merah da celaa putih, sedagka pasaga (P,M) berarti kaos putih da celaa merah. Peyusua usur-usur semacam ii disebut dega permutasi. Permutasi r dari usur dega r adalah susua terurut terdiri dari r usur berbeda yag diambil dari usur berbeda. Pada cotoh di atas, susua terurut dari wara kaos da celaa meghasilka 12 kemugkia susua. Bayakya kemugkia tersebut dapat dijelaska dalam chart berikut ii. Wara kaos M P H B Wara celaa P H B M H B M P B M P H
227 Utuk wara kaos terdapat 4 kemugkia da utuk setiap wara kaos dapat dipasagka 3 wara celaa, sehigga bayakya kemugkia pasaga wara kaos da celaa adalah 12 4.3 4.3.2.1 2.1 4! 4! 2! (4 2)! Rumusa tersebut merupaka bayakya permutasi 2 usur yag diambil dari 4 usur yag berbeda. Secara umum bayakya permutasi r usur berbeda yag diambil dari usur adalah P r!, dega (1 r ) ( r)! Selajutya jika r = maka otasi P, dapat disigkat P. Bayakya permutasi dari usur berbeda adalah P! Sekarag bagaimaa jika dari usur tadi terdapat k kelompok usur yag sama? Misalya, berapa bayakya permutasi huruf-huruf dari kata MT. Jika kedua huruf tersebut dipadag sebagai dua usur yag berbeda, sehigga kumpula huruf tersebut mejadi M 1 T 2, maka berdasarka formula di atas aka dihasilka 4! 24 permutasi: M 1 T 2 M 2 T 1 M 1 2 T M 2 1 T 1 M 2 T 2 M 1 T 1 2 MT 2 1 MT 1 MT 2 2 MT 1 MT 1 2 MT 2 1 T 1 M 2 T 2 M 1 T 1 2 M T 2 1 M 1 T 2 M 2 T 1 M 1 2 TM 2 1 TM 1 TM 2 2 TM 1 TM 1 2 TM 2 1 Tetapi jika kedua tersebut dipadag sebagai usur yag sama, maka dari permutasi-permutasi tersebut terdapat 12 pasag permutasi yag sama, sehigga permutasi-permutasi berbeda yag terjadi tiggal 12 permutasi saja. Kedua belas permutasi tersebut dapat ditelusuri melalui chart berikut ii.
228 M T T T M T T T M M T M M T T M M M Sehigga didapat: MT MT MT MT MT TM TM TM MT TM TM TM Pada cotoh di atas permutasi M 1 T 2 da M 2 T 1, misalya, dipadag sebagai satu permutasi saja yaki MT. Permutasi M 1 2 T da M 2 1 T dipadag sebagai satu permutasi yaki MT, demikia seterusya karea setiap kali kita meemuka kelompok-kelompok dega 2 permutasi yag sama maka bayakya permutasi yag berbeda didapat dari bayakya seluruh kemugkia permutasi, yaki 4!, dibagi 2. Bilaga 2 ii didapat dari 2!, yaki bayakya permutasi dari 1 2. Cotoh lai misalya permutasi utuk kata RY. Jika ketiga huruf yag ada diaggap berbeda, maka ada 5! = 120 permutasi. Tetapi jika ketiga huruf dipadag sama maka setiap kali kita aka medapatka kelompok permutasi sama yag terdiri dari 3! = 6 permutasi. Misalya utuk permutasi RY, kita memiliki 1 R 2 Y 3, 1 R 3 Y 2, 2 R 1 Y 3, 2 R 3 Y 1,
229 3 R 1 Y 2, da 3 R 2 Y 1. Utuk permutasi RY, kita memiliki R 1 2 3 Y, R 1 3 2 Y, R 2 1 3 Y, R 2 3 1 Y, R 3 1 2 Y, da R 3 2 1 Y. Demikia seterusya, sehigga bayakya permutasi yag berbeda dari kelompok 5! 120 huruf RY adalah 20 permutasi. 3! 6 Sekarag pehatika kata GGSN. Pada kata tersebut terdapat dua kelompok usur yag sama, yaki huruf G ada 2 da huruf ada 3. alog dega dua cotoh sebelumya maka seluruh kemugkia permutasi terbagi ke dalam kelompok-kelompok yag terdiri dari 2!3! = 12 permutasi yag sama. Dega demikia bayakya permutasi yag berbeda utuk kata GGSN 7! 5040 adalah 420 permutasi. 2!3! 12 Secara umum, jika dalam suatu himpua usur terdapat k kelompok yag setiap kelompok ke i, (1 i k), terdiri atas i aggota yag sama, maka seluruh kemugkia permutasi dari himpua tersebut aka terbagi ke dalam kelompok-kelompok yag terdiri dari!!! permutasi yag sama. Oleh 1! 2 3 k karea itu bayakya permutasi yag berbeda dari himpua tersebut adalah P,! 1 2!!!... 3 k! Sebagai latiha tetag permutasi, kerjaka cotoh soal berikut ii. 1. Buatlah suatu diagram utuk meetuka bayakya kemugkia bilaga 3 agka yag dapat disusu dari agka-agka 3, 4, 5, 9, dega syarat bahwa agka yag meempati ratusa, puluha da satua pada suatu bilaga tidak boleh sama.
230 2. Seorag ketua koperasi terpilih diberi keweaga utuk meetuka sediri susua tim pegurusya yag terdiri dari wakil ketua, sekretaris, bedahara. Sag ketua melihat ada 5 orag yag memeuhi criteria utuk meduduki jabata-jabata tersebut. da berapa macam susua pegurus yag mugki dibetuk? 3. Tetuka bayakya permutasi dari huruf-huruf yag diambil dari kata M T E M T I K! b. Kombiasi Cara peyusua usur-usur selai permutasi adalah kombiasi. Bedaya, jika pada permutasi, uruta usur diperhatika, yaki misalya "a,d,i" tidak sama dega "i,d,a", maka pada kombiasi uruta usur tersebut diabaika. Fokus permutasi adalah pada susua terurut, sedagka fokus dari kombiasi adalah himpua, sehigga {a,d,i} = {a,i,d} = {d,i,a} = {d,a,i} = {i,d,a} = {i,a,d}. Cotoh persoala yag peyelesaiaya megguaka kombiasi adalah memprediksika 2 dari 5 besar Idoesia Idol yag aka maju ke babak grad-fial. Misal iisial kelima fialis adalah, B, C, D da E, maka ada 10 kemugkia pasag fialis yag bisa tampil di babak grad-fial, yaki -B, -C, -D, -E, B-C, B-D, B-E, C-D, C-E, da D-E. Hasil 10 kombiasi ii dapat dijelaska sebagai berikut. Bayakya permutasi dari 2 usur yag diambil dari 5 5! usur yag berbeda adalah 20. Karea setiap permutasi ada 2 usur, (5 2)!
231 maka setiap dua permutasi aka memiliki usur yag sama, sehigga bayakya kombiasi yag terjadi adalah 10 20 5! 2 (5 2)! 2! Secara umum rumus bayakya kombiasi r usur dari usur yag berbeda dapat dituruka dari rumus permutasi. Sebagaimaa telah kita ketahui bahwa permutasi r usur dari usur yag berbeda adalah P, r!. Karea ( r)! kombiasi tidak memperhatika uruta, maka permutasi-permutasi yag memiliki usur yag sama dipadag sebagai 1 kombiasi. Dalam hal ii setiap permutasi terdiri dari r usur, sehigga setiap r! permutasi memiliki usur yag sama. Oleh karea itu bayakya kombiasi r usur yag diambil dari usur yag berbeda adalah P, r C, r atau r! C, r! dega 1 r ( r)! r! Sebagai latiha pada kombiasi, kerjaka soal latiha berikut. 1. da 10 mahasiswa yag memeuhi syarat utuk memperoleh suatu bea siswa. da berapa cara utuk memilih mereka jika bea siswa haya diperutukka 5 orag saja? 3 orag saja? 1 orag saja? 2. da empat kelompok pemai dalam sebuah tim sepak bola, yaki pejaga gawag, pemai belakag, pemai tegah da pemai depa. Susua kelompok iilah yag diperguaka utuk meamai pola yag dimaika oleh suatu tim. Pada saat meghadapi timas Thailad, timas Idoesia
232 meerapka pola 1 3 5 2. Jika timas Idoesia terdiri dari 3 pejaga gawag, 7 pemai belakag, 8 pemai tegah da 5 pemai depa, ada berapa kemugkia susua pemai utama yag dapat dibetuk? 3. Satu katog berisi 4 kelereg merah da 7 kelereg putih. Secara acak diambil 5 buah kelereg. Tetuka bayakya semua kemugkia susua 5 kelereg tersebut! c. Peluag Peluag dimaksudka sebagai ilai kemugkia muculya sebuah kejadia sebagai hasil dari suatu percobaa. Percobaa adalah proses pegamata atau pegukura yag hasilya megadug ketidaktetua. Ii berarti bahwa kita tidak bisa memastika hasilya sebelum proses pegamata atau pegukura tersebut dilakuka. Seleksi Peerimaa Mahasiswa Baru (SPMB) sebagaimaa yag di cotohka di awal bab ii, dapat dipadag sebagai sebuah percobaa, karea hasilya tidak bisa dipastika sebelum proses tersebut dilakuka. Kapasitas peluag dalam hal ii haya utuk meetuka seberapa besar kemugkia seorag peserta lulus seleksi, da buka utuk memastika apakah seseorag lulus atau tidak lulus. Oleh karea hasil sebuah percobaa megadug ketidaktetua, maka peluagpu juga bersifat tak tetu. Cotoh lai dari percobaa adalah Percobaa melambugka mata uag logam; hasil yag mugki adalah mucul agka () atau gambar (G);
233 Percobaa melambugka dadu; hasil yag mugki adalah mucul muka 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Percobaa tedaga pialti pada sebuah pertadiga sepak bola; hasil yag mugki adalah gol atau tidak gol. Sebuah percobaa aka megakibatka muculya kemugkia hasil yag bermacam-macam. Himpua semua hasil yag mugki dari suatu percobaa disebut ruag sampel (S). Ruag sampel sebuah percobaa yag terbetuk bisa berbeda-beda da sagat tergatug dari tujua dari percobaa itu sediri. Cotoh: Sebuah percobaa pelempara sebuah dadu dega tujua utuk megamati muka yag mucul; maka ruag sampelya adalah {1,2,3,4,5,6}; tetapi jika tujuaya utuk megamati apakah yag diperoleh adalah muka geap atau gajil, maka ruag sampelya adalah {geap, gajil}. Percobaa melambugka sebuah mata uag logam sebayak dua kali; jika yag diamati adalah bagia yag mucul dega memperhatika uruta, maka ruag sampelya berupa himpua permutasi, yaki S={(G,G),(G,),(,G),(,)}; jika tapa memperhatika uruta maka ruag sampelya berupa himpua kombiasi, yaki S={(2G),(1G,1),(2)}; atau jika yag diamati adalah bayakya gambar yag mucul maka S={0,1,2}.
234 Serigkali kosetrasi sebuah pegamata tidak meliputi semua eleme dalam ruag sampel. Himpua bagia dari ruag sampel yag mejadi fokus perhatia pegamata disebut dega kejadia. Misalya dalam percobaa melambugka sebuah mata uag logam sebayak dua kali dega ruag sampel S={GG,G,G,}, maka kejadia memperoleh palig sedikit satu mata uag mucul gambar adalah {GG,G,G}. Sekarag seberapa besar kemugkia muculya sebuah kejadia dalam suatu percobaa? Peluag sebuah kejadia K dalam ruag sampel S, diotasika dega P(K), memeuhi sifat-sifat: 0 P ( K) 1; jumlah peluag semua hasil percobaa sama dega P ( S) 1. Jika setiap hasil percobaa pada ruag sampel berkesamaa maka ruag sampel tersebut dikataka seragam. Misalka S ruag sampel dega (S) bayakya hasil percobaa yag berkesamaa da K sebarag kejadia pada S, maka jika K himpua kosog maka P(K) = 0; jika K seluruh ruag sampel maka P(K) = P(S) = 1; jika K kejadia terdiri atas (K) hasil percobaa maka P( K) ( K) ( S) Cotoh: Dalam percobaa melambugka sebuah mata uag logam sebayak dua kali dega ruag sampel S={GG,G,G,}, maka kejadia memperoleh palig
235 sedikit satu gambar adalah {GG, G, G}. Oleh kareaya peluag muculya palig sedikit satu gambar adalah ¾. pa maka peluag sebuah kejadia? mbil suatu cotoh percobaa melambugka sebuah dadu berbetuk kubus sebayak satu kali. Jika tujua percobaa adalah megamati muka yag mucul, maka ruag sampelya adalah S {1,2,3,4,5,6}. Ruag sampel ii merupaka ruag sampel seragam karea setiap elemeya memiliki peluag yag sama utuk mucul, yaki 1/6. Lalu apa maka 1/6 ii? mbil suatu kejadia muculya muka 5. Sama seperti peluag muculya muka yag laiya, maka peluag kejadia muculya muka 5 adalah 1 P ({ 5}). Ii berarti semaki bayak percobaa melambugka dadu tersebut 6 dilakuka, maka bayakya kemucula muka 5 aka semaki medekati 1/6 kali seluruh percobaa yag dilakuka. Misalya jika percobaa tersebut dilakuka sebayak 1.000.000 kali maka kemucula muka 5 aka semaki medekati 166.666 kali. Dega demikia maka 1/6 tersebut dalam satu kali percobaa adalah bahwa keeam muka dadu aka bersaig da memiliki kesempata yag sama utuk meduduki satu tempat kemucula sebagai hasil dari percobaa. 2. Peyajia Data Suatu peelitia pada umumya berkeaa dega sebuah populasi. Misalya, peelitia tetag jeis kegiata ekstrakurikuler yag bayak dimiati oleh siswa SD di kota Surabaya. Populasi dari peelitia ii meliputi seluruh
236 siswa dari semua SD yag ada di kota Surabaya. ka tetapi karea keterbatasa waktu, daa da teaga, tidak semua aggota populasi dapat diteliti satu persatu. Oleh kareaya seorag peeliti kemudia megambil sampel, yaki himpua bagia dari populasi yag diasumsika dapat mewakili populasi, utuk diteliti. Cara pegambila sampel ii ada bermacam-macam. Sampel bisa berasal dari semua SD dimaa dari setiap SD diambil beberapa siswa sebagai perwakila, atau dari seluruh SD yag ada di kota Surabaya diambil beberapa SD saja sebagai tempat peelitia, atau bisa juga kombiasi dari keduaya. gar dapat diperoleh gambara yag jelas tetag data yag diambil dari hasil peelitia terhadap sampel, maka data tersebut perlu diolah da kemudia disajika. Pegelolaa data semacam ii merupaka bagia dari statistika deskriptif. Deskripsi yag dihasilka dari sampel tersebut kemudia perlu diaalisis lebih lajut agar dapat diperoleh geeralisasi terhadap populasi. Proses semacam ii merupaka iti dalam statistika iferesial. Pada bagia ii aka dibahas sebagia dari statistika deskriptif, yag meliputi peyajia data da perhituga ukura terpusat. Proses pegamata, pegukura atau perhituga dalam sebuah peelitia aka meghasilka data yag salah satuya berupa sekumpula bilaga. Utuk merigkas da meyajika data tersebut perlu dibuatka tabel distribusi frekuesi da diagramya. Sebagai cotoh, berikut disajika tabel sebara jumlah peserta pada 10 item kegiata ekstrakurikuler yag diikuti oleh 600 siswa di sebuah sekolah dasar. Tabel 6.2 Jumlah Peserta Kegiata Ekstrakurikuler Teater Gamela Bia Vokalia Bia Musika Pramuka Pers Cilik Padua Suara Meari Olah Raga Melukis 38 43 31 78 162 32 42 35 96 43
Jumlah peserta 237 Data tersebut dapat diyataka dalam diagram batag berikut ii. 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Kegiata Ekstrakurikuer Teater Gamela Bia Vokalia Bia Musika Pramuka Pers Cilik Padua Suara Meari Olah Raga Melukis Gambar 6.2 Diagram Batag dari Data Jumlah Peserta Ekstrakurikuler Data di atas dapat juga ditampilka dalam diagram ligkara. Utuk meggambar diagram ligkara perlu diperhatika bahwa pembagia pada ligkara harus dilakuka secara proporsioal sesuai dega frekuesi masigmasig item. Misalya, Jumlah peserta Teater digambar sebagai jurig ligkara dega sudut pusat = 38 600 360 22, 8 ; Jumlah peserta Gamela digambar sebagai jurig ligkara dega sudut pusat = 43 600 360 25, 8 ; Demikia seterusya sehigga jumlah sudut pusat dari keseluruha data adalah 360.
238 Teater Gamela Bia Vokalia Bia Musika Pramuka Pers Cilik Padua Suara Meari Olah Raga Melukis Gambar 6.3 Diagram Ligkara dari Data Jumlah Peserta Ekstrakurikuler Data di atas juga dapat disajika dalam diagram garis berikut ii. 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Teater Gamela Bia Vokalia Bia Musika Pramuka Pers Cilik Padua Suara Meari Olah Raga Melukis Gambar 6.4 Diagram Garis dari Data Jumlah Peserta Ekstrakurikuler pabila item dataya sagat besar, maka data dapat dikelompokka dalam kelas-kelas pada daftar distribusi frekuesi. Misalya dari hasil tes matematika di kelas VI diperoleh data ilai sebagai berikut. 84, 75, 68, 63, 69, 64, 80, 73, 58, 60, 75, 78, 46, 86, 84, 72, 76, 98, 79, 91, 56, 71, 64, 78, 81, 70, 79, 99, 63, 50, 84, 60, 65, 87, 74, 68, 92, 81, 78, 86, 76, 92
239 Utuk membuat daftar distribusi frekuesi dari data di atas, perlu peetapa retaga data, bayak kelas iterval, da pajag kelas iterval. Retaga data adalah data terbesar dikuragi data terkecil. Dalam hal ii data terbesar adalah 99 da data terkecil adalah 46, sehigga retag data adalah 99 46 53. Bayak kelas iterval biasaya atara 5 sampai 15 kelas, disesuaika dega kebutuha. Utuk yag besar, yaki 200, dapat megguaka atura Sturges (Sudjaa, 2002:47): bayak kelas = 1 + (3,3) log dega meyataka bayak data da hasil akhir dijadika bilaga bulat. Sekedar utuk meujukka atura tersebut, maka pada cotoh di atas, = 42, sehigga bayak kelas = 1 + (3,3) log 42 = 1 + (3,3) (1,623) = 6,357 Dega demikia kita bisa membuat daftar distribusi frekuesi dega bayak kelas 6 atau 7 buah. Pajag kelas iterval (p) adalah retaga data dibagi bayak kelas. Utuk data di atas maka p = p 53: 7 7, 57, sehigga agar kelas-kelas yag dihasilka dapat memuat seluruh data yag ada maka pajag tiap kelasya adalah 7 atau 8. Megguaka bayak kelas 7 buah da pajag tiap kelas 8, maka daftar distribusi frekuesi dari data di atas dapat diyataka dalam tabel berikut ii.
240 Tabel 6.3 Distribusi Frekuesi Nilai Matematika Siswa Kelas VI Kelas Titik tegah Frekuesi 46 53 49,5 2 54 61 57,5 4 62 69 65,5 8 70 77 73,5 9 78 85 81,5 11 86 93 89,5 6 94 101 97,5 2 Diagram batag yag diperguaka utuk megekspresika distribusi frekuesi data berkelompok semacam ii disebut histogram. Histogram bisa digambarka berdasarka itervalya atau berdasarka titik tegahya. 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 45,5 53,5 61,6 69,5 77,5 85,5 93,5 101,5 Gambar 6.5 Histogram berdasarka itervalya Pada histogram tersebut, jika titik tegah pucak batag yag berdekata dihubugka maka aka diperoleh sebuah poligo yag disebut sebagai poligo frekuesi..
241 3. Perhituga Ukura Tedesi Pusat Ukura tedesi pusat dimaksudka sebagai kecederuga pemusata data pada ilai tertetu berdasarka kriteria yag ditetuka. Ukura tedesi pusat terdiri atas rata-rata hitug (mea), ilai tegah (media) da ilai yag serig mucul (modus). Rata-rata hitug (mea) dari sekumpula data tuggal x x, x,, x 1, 2 3 adalah x x x 1 2 x 3 x atau apabila frekuesi dari x x, x,, x 1, 2 3 berturut-turut adalah f, 1, f 2, f3, f maka rata-rata hitugya adalah: x f 1 x 1 f 1 f 2 x f 2 2 f x f x 3 f f 3 3 i1 i1 f i f x i i Misalka diberika data 3,3,5,6,7,6,5,5,7,4,4,3,3,6,6,7,8,8,5,6 maka distribusi frekuesi tuggalya adalah sebagai berikut. Tabel 6.4 Daftar Distribusi Frekuesi Tuggal x f fx 3 4 12 4 2 8 5 4 20 6 5 30 7 3 21 8 2 16 20 107 sehigga mea utuk data di atas adalah 4.3 2.4 4.5 5.6 3.7 2.8 12 8 20 30 2116 107 x 5,35 4 2 4 5 3 2 20 20
242 pabila data yag disajika merupaka data berkelompok, rumusa mea sama dega mea utuk data tuggal, haya saja merupaka titik tegah da frekuesi kelas. x i da f i masig-masig Cotoh: Perhatika kembali cotoh pada tabel 6.3. Pada tabel tersebut haya perlu ditambahka kolom perkalia frekuesi da titik tegah. Tabel 6.5 Persiapa peghituga mea Kelas Titik tegah f fx 46 53 49,5 2 99 54 61 57,5 4 230 62 69 65,5 8 524 70 77 73,5 9 661,5 78 85 81,5 11 896,5 86 93 89,5 6 537 94 101 97,5 2 195 42 3143 Rata-rata hitug data di atas adalah x i1 i1 f i f x i i 3143 74,8 42 Nilai tegah (media) dari sekumpula data adalah bilaga yag terletak di tegah apabila data tersebut diurutka meurut besarya. Jika x 1, x2, x3,, x telah diurutka meurut besarya, maka mediaya adalah Me x 1 jika gajil; 2 x x 1 2 2 Me jika geap. 2 Cotoh: Media dari 4,6,6,6,7,8,9,9,9 adalah 7
243 Media dari 4,6,6,6,7,8,9,9 adalah 6,5 Media dari 4,6,6,6,8,9,9,9 adalah 7. pabila data yag disajika merupaka data berkelompok, maka media dihitug megguaka rumusa: dega Me ( tb) Me ( tb) Me = tepi bawah kelas media 1 F2 2 p f Me F 2 = jumlah seluruh data = frekuesi kumulatif sebelum kelas media f Me = frekuesi kelas media p = pajag kelas Cotoh: perhatika kembali data dari tabel 6.3 Tabel 6.6 Persiapa peghituga media Kelas Frekuesi Frekuesi kumulatif 46 53 2 2 54 61 4 6 62 69 8 14 70 77 9 23 78 85 11 34 86 93 6 40 94 101 2 42 Utuk kelas media diperluka frekuesi ½, yaki 21. Kelas media adalah kelas yag memuat frekuesi kumulatif 21, yaki kelas 70 77. Frekuesi kelas media adalah 9. Tepi bawah kelas ii adalah 69,5. Frekuesi kumulatif sebelum
244 kelas media adalah 14. Dega pajag kelas 8 da jumlah seluruh data adalah 42, maka 2114 Me 69,5 8 9 = 75,7 Media disii berkapasitas sebagai pembatas ilai dua kelompok data. Misalya jika media meujuk 75,7 maka 50 % data dari kumpula data tersebut ilaiya di bawah 75,7 da 50 % yag laiya ilaiya di atas 75,7. Modus dari sekelompok data adalah data yag palig serig mucul. Jika semua data memiliki frekuesi yag sama maka kelompok data tersebut tidak memiliki modus, jika bermodus tuggal maka diamaka ui modal, jika ada dua data yag berfrekuesi tertiggi maka disebut bi modal, da jika modusya lebih dari dua maka disebut multi modal. Cotoh: 4,6,8,7,9,3 da 6,7,7,4,9,3,4,6,3,9,8,8, keduaya merupaka kelompok yag tidak bermodus; 3,4,6,2,2,6,1,2,4,5,7,9,2,6 merupaka kelompok ui modal dega modusya adalah 2; 5,2,6,3,3,6,1,8,9,0,4 merupaka kelompok bi modal dega modusya adalah 3 da 6; 4,7,2,1,5,6,5,7,5,2,7,4,2 merupaka kelompok multi modal dega modusya 2, 5 da 7. pabila data yag disajika merupaka data berkelompok, maka modus dihitug megguaka rumusa:
245 L1 Mo tb L1 L2 p dega tb L 1 = tepi bawah kelas modus = frekuesi kelas modus frekuesi kelas sebelumya L 2 p = frekuesi kelas modus frekuesi kelas sesudahya = pajag kelas Cotoh: perhatika kembali tabel 6.6. Kelas modus adalah kelas yag memiliki frekuesi tertiggi, yaki kelas 78 85 dega frekuesi 11. Tepi bawah kelas modus adalah 77,5. L 11 9 2 ; L 11 6 5 ; sehigga L L 7. 1 2 1 2 Dega demikia modus dari kelompok data di atas adalah: 2 Mo 77,5 8 79,8 7 Pada data berkelompok, modus 79,8 meujukka bahwa data yag palig bayak mucul adalah data-data yag ilaiya medekati 79,8. Sebagai latiha coba ada buatka tabel distribusi frekuesi da tetuka mea, media serta modus dari data hasil tes Matematika di bawah ii. 47 67 72 61 75 50 42 75 64 72 94 83 53 47 31 56 61 53 67 92 42 90 58 78 72 72 69 69 53 67 69 67 67 47 67 75 67 72 67 36 81 69 75 83 75 53 47 72 47 28 50 89 69 56 61 92 83 72 72 61 67 50 36 42 50 78 61 89 64 75 94 36 72 83 86
246 B. Materi Pegukura da Statistika Dasar di SD Berdasarka stadar kompetesi pada kurikulum 2004 mata pelajara matematika SD/MI, peaama kosep pegukura sudah dimulai sejak kelas I. Dimulai dega ituisi tetag pegukura da megguaka alat ukur yag tidak baku, siswa dilatih utuk memiliki rasa da imajiasi terhadap pegukura. Pada tahap awal, beberapa tugas pegukura yag diberika pada siswa atara lai: membadigka berat dari dua beda yag berbeda, misalya buku tulis da peghapus, dega cara megagkat kedua beda bersama-sama; meyebutka cotoh beda-beda yag berat da yag riga; membadigka pajag dua beda; megukur pajag beda dega satua tak baku, seperti depa, jegkal, atau dega memafaatka pajag suatu beda sebagai satua pajag, misalya pesil, kapur tulis da sebagaiya. Setelah memiliki gambara tetag pegukura, secara bertahap siswa kemudia dilatih utuk melakuka pegukura pajag da berat megguaka alat ukur da satua yag baku, selai juga dikealka pada pegukura waktu da sudut. Pada perkembaga lebih lajut, siswa juga diarahka utuk bisa melakuka aalisa utuk meetuka hubuga atar satua dalam pegukura pajag, berat da waktu, serta memperguakaya utuk meyelesaika masalah dalam kehidupa sehari-hari. Masalah pegukura dalam kurikulum 2004 lebih bayak diorietasika pada geometri, terutama yag berkaita dega perhituga luas da volume
247 bagu-bagu geometri. Namu demikia kemampua siswa dalam pegukura aka bayak membatu dalam mempelajari statistika dasar, karea pegukura merupaka salah satu cara utuk megumpulka data. Statistika Dasar dalam kurikulum SD/MI 2004 baru dimuculka di kelas VI. Stadar kompetesi dalam pegelolaa data meliputi megumpulka, meyajika da meafsirka data. Pada awalya siswa dilatih utuk memiliki kemampua dalam membaca data yag disajika dalam betuk diagram garis, batag, maupu ligkara. Kemampua membaca data ii terutama utuk meetuka ilai data dega ukura tertetu, data terbesar da data terkecil. Pada tahap selajutya siswa juga diharapka mampu utuk megumpulka da meyajika data sediri. Kemampua-kemampua tersebut merupaka kompetesi dasar pegelolaa data yag harus dimiliki oleh siswa SD da aka diperluka dalam mempelajari materi-materi statistika pada sekolah lajuta. C. Siswa Mampu Megelola Data Pecapaia kompetesi dasar pegelolaa data sebagaimaa telah disebutka di atas, sagat memugkika utuk siswa praktek lagsug di lapaga. Praktek ii merupaka pemataba kemampua siswa setelah mereka medapatka dasar-dasar pegelolaa data di kelas. Berikut beberapa cotoh kegiata yag dapat diberika kepada siswa dalam ragka praktek pegelolaa data:
248 1. Data jeis da jumlah kedaraa yag lewat di jala depa sekolah: Bagilah siswa dalam beberapa kelompok (1 kelompok terdiri dari 4-5 orag); Bekali setiap kelompok dega jam da lembar kerja; jak siswa ke piggir jala di depa sekolah da aturlah jarak atar kelompok; Tugasi masig-masig kelompok utuk mecatat jeis da jumlah kedaraa yag lewat di hadapa mereka dalam batas waktu tertetu, misalya selama 15 meit sejak waktu yag ditetapka; Di dalam kelas setiap kelompok harus meyajika data yag telah diperoleh melalui diagram. Dari data yag disajika oleh suatu kelompok, mitalah siswa dari kelompok lai utuk meetuka jeis kedaraa yag palig bayak da yag palig sedikit lewat di depa sekolah. 2. Data tiggi bada siswa: Bagilah siswa ke dalam beberapa kelompok (1 kelompok terdiri dari 8-10 orag); Bekali masig-masig kelompok dega metera da lembar kerja; Tugasi setiap kelompok utuk megukur da mecatat tiggi bada semua aggota kelompokya serta meyajika hasilya melalui diagram; Dari data yag disajika oleh suatu kelompok, mitalah siswa dari kelompok lai utuk meetuka tiggi maksimal, tiggi miimal, da rata-rata tiggi bada aggota kelompok tersebut. Kegiata ii juga dapat dilakuka utuk medapatka data berat bada da usia siswa. 3. Tugas pecatata yag diberika kepada setiap kelompok yag terbetuk dalam sebuah kegiata tidak harus sama, mereka bisa diberika tugas yag berbeda-beda, misalya mecatat da meyajika dalam betuk diagram data tetag: Jeis da jumlah barag dalam kelas; Nama-ama beda di sekolah da sekitarya yag berbetuk ligkara, segitiga, persegi da persegi pajag; Jumlah siswa pada masig-masig kelas dega sumber data dokumetasi sekolah; Jeis da jumlah poho yag ditaam di ligkuga sekolah; Jeis da jumlah ruag yag ada di sekolah.
249 Kegiata-kegiata tersebut selai utuk membuat variasi pada pembelajara, juga utuk meigkatka motivasi da kemampua siswa karea mereka bisa mempraktekka pegelolaa data secara lagsug. Idikator keberhasila dari kegiata ii adalah apabila siswa mampu megklasifikasi da mecatat data sesuai dega ketetua yag diberika, mampu meyajika dataya dalam betuk tabel da diagram, serta mampu meetuka ilai tertiggi, ilai teredah da ilai rata-rata baik dari data yag didapatka oleh kelompokya maupu data yag disajika oleh kelompok lai.