DASAR-DASAR TEORI PELUANG

DASAR-DASAR TEORI PELUANG Herry P. Suryawan 1 Ruang Peluang Definisi 1.1 Diberikan himpunan tak kosong Ω. Aljabar-σ (σ-algebra pada Ω adalah koleksi subhimpunan A dari Ω dengan sifat (i, Ω A (ii jika A A, maka A c A (iii jika A 1, A 2,... A, maka k=1 A k A. Definisi 1.2 Diberikan aljabar-σ pada Ω. Fungsi P : A [0, 1] disebut ukuran peluang (probability measure jika memenuhi: (i P ( = 0 dan P (Ω = 1 (ii jika A 1, A 2,... A, maka ( P A k k=1 P (A k. k=1 Kesamaan berlaku jika A 1, A 2,... adalah barisan himpunan yang saling asing (disjoint Diberikan A aljabar-σ pada Ω dan P ukuran peluang pada A. jika A 1, A 2,... A, maka k=1 A k A jika A 1, A 2,..., A n A, maka n k=1 A k A, n k=1 A k A jika A 1, A 2 A dengan A 1 A 2, maka P (A 1 P (A 2 jika A 1, A 2 A, maka P (A 1 A 2 = P (A 1 + P (A 2 P (A 1 A 2 1

Definisi 1.3 Diberikan himpunan tak kosong Ω, aljabar-σ A pada Ω, dan ukuran peluang P pada A. (i (Ω, A disebut ruang terukur (measurable space (ii (Ω, A, P disebut ruang peluang (probability space Diberikan ruang peluang (Ω, A, P A A disebut kejadian (event dan ω Ω disebut titik sampel (sample point. Seringkali Ω disebut ruang sampel (sample space. P (A disebut peluang kejadian A Sifat yang berlaku kecuali pada kejadian dengan peluang nol dikatakan berlaku hampir pasti (almost surely. 2 Peubah Acak Definisi 2.1 Diberikan ruang peluang (Ω, A, P. Fungsi X : Ω R n disebut peubah acak (random variable jika untuk setiap B B(R n berlaku X 1 (B A. B(R n adalah aljabar-σ Borel pada R n, yakni aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan terbuka (open set pada R n. Peubah acak X : Ω R n tidak lain adalah fungsi terukur-a B(R n. Dalam hal ini seringkali R n space dari X. disebut sebagai ruang keadaan (state Lema 2.2 Diberikan peubah acak X : Ω R n. Koleksi A(X := {X 1 (B : B B(R n } adalah subaljabar-σ terkecil dari A sehingga X terukur. A(X disebut aljabarσ yang dibangun (generated oleh X. 2

Definisi 2.3 (i Koleksi peubah acak {X t = X(t : t 0} disebut proses stokastik (stochastic process. (ii Untuk setiap ω Ω, fungsi t X t (ω = X(t, ω disebut lintasan sampel (sample path. Proses stokastik dapat dipandang sebagai fungsi dua peubah X. (. : [0, Ω R n yakni (t, ω X t (ω = X(t, ω. Definisi 2.4 Diberikan X peubah acak pada ruang peluang (Ω, A, P. (i Nilai harapan (expectation / expected value dari X adalah E(X := X dp. (ii Variansi (variance dari X adalah V (X := X E(X 2 dp. Nilai harapan disebut juga nilai rata-rata (mean value. V (X = E( X E(X 2 = E( X 2 E(X 2. Lema 2.5 Ketaksamaan Chebyshev Jika X peubah acak dan 1 p <, maka untuk setiap λ > 0. Ω Ω P ( X λ 1 λ p E( X p Bukti. Ambil sebarang p dengan 1 p < dan λ > 0, E( X p = X p dp X p dp λ p dp = λ p P ( X λ. { X λ} Ω { X λ} 3

Definisi 2.6 (i Fungsi distribusi (distribution function dari peubah acak X adalah fungsi F X : R n [0, 1] dengan untuk setiap x R n. F X (x := P (X x, (ii Diberikan sejumlah berhingga peubah acak X 1,..., X n : Ω R n. Fungsi distribusi bersama (joint distribution function dari X 1,..., X n adalah F X1,...,X m : (R n m [0, 1] dengan F X1,...,X m (x 1,..., x m := P (X 1 x 1,..., X m x m. Definisi 2.7 Diberikan peubah acak X : Ω R n dan fungsi distribusi dari X yaitu F := F X. Apabila ada fungsi tak negatif terintegral f : R n R sehingga x1 xn F (x = F (x 1,..., x n =... f(y 1,..., y n dy n... dy 1, maka f disebut fungsi kepadatan (density function dari X. P (X B = B f(x dx, untuk setiap B B(Rn. Fungsi kepadatan terkait dengan konsep turunan Radon-Nykodim (Radon- Nikodym derivative. Contoh 2.8 1. Peubah acak X : Ω R dikatakan berdistribusi normal (normally distributed dengan rata-rata (mean m dan variansi (variance σ 2, ditulis X N (m, σ 2, jika X mempunyai fungsi kepadatan 1 x m 2 f(x = e 2σ 2, x R. 2πσ 2 4

2. Peubah acak X : Ω R n dikatakan berdistribusi normal dengan ratarata m R n dan matriks kovariansi (covariance matrix C, dengan C suatu matriks simetrik (symmetric positif definit (definite positive, jika X mempunyai fungsi kepadatan f(x = 1 1 ((2π n e 2 (x mc 1(x m, x R n det C 1/2 Lema 2.9 Diberikan peubah acak X : Ω R n dan fungsi distribusinya F mempunyai fungsi kepadatan f. Jika g : R n R dan Y = g(x terintegral, maka E(Y = g(xf(x dx. R n Khususnya, E(X = xf(x dx R n dan V (X = X E(X 2 f(x dx. R n 3 Kebebasan Definisi 3.1 Peluang bersyarat (conditional probability dari A apabila diberikan B adalah P (A B P (A B =, P (B asalkan P (B > 0. Definisi 3.2 Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas (independent jika P (A B = P (A.P (B. Definisi 3.3 Kejadian-kejadian A 1,..., A n,... dikatakan saling bebas jika untuk setiap pemilihan 1 k 1 < k 2 <... < k m berlaku P (A k1 A k2... A km = P (A k1 P (A k2... P (A km. 5

Definisi 3.4 Barisan aljabar-σ {A i } i N dengan A i A dikatakan saling bebas jika untuk setiap pemilihan 1 k 1 < k 2 <... < k m dan untuk setiap pemilihan kejadian A ki A ki, P (A k1 A k2... A km = P (A k1 P (A k2... P (A km. Definisi 3.5 Barisan peubah acak {X i } i N dengan X i : Ω R n dikatakan saling bebas jika untuk setiap k 2 dan untuk setiap pemilihan himpunan Borel B 1,..., B k B(R n, P (X 1 B 1,..., X k B k = P (X 1 B 1... P (X k B k. Dengan kata lain, barisan aljabar-σ {A(X i } i N saling bebas. Lema 3.6 Diberikan sejumlah berhingga peubah acak X 1,..., X m+n dengan X i : Ω R k, g : (R k n R, dan h : (R k m R. Maka saling bebas. Y := g(x 1,..., X n dan Z := h(x n+1,..., X n+m Teorema 3.7 Peubah acak X 1,..., X m : Ω R n saling bebas jika dan hanya jika F X1,...,X m (x 1,..., x m = F X1 (x 1... F Xm (x m, jika dan hanya jika f X1,...,X m (x 1,..., x m = f X1 (x 1... f Xm (x m, apabila F mempunyai fungsi kepadatan f. Teorema 3.8 Jika X 1,..., X m adalah peubah acak - peubah acak bernilai real yang saling bebas dengan E( X i < untuk setiap i = 1,..., m, maka E( X 1... X m < dan E(X 1... X m = E(X 1... E(X m. Teorema 3.9 Jika X 1,..., X m adalah peubah acak - peubah acak bernilai real yang saling bebas dengan V (X i < untuk setiap i = 1,..., m, maka V (X 1 +... + X m = V (X 1 +... + V (X m. 6

Teorema 3.10 (Borel-Cantelli Jika n=1 P (A n <, maka P (lim sup n A n = 0. Bukti. P (lim sup A n = P n ( n=1 m=n Selanjutnya ambil limit n. A m P ( m=n A m P (A m. m=n P (lim sup n A n seringkali dituliskan dengan P (A n i.o. yang berarti peluang kejadian A n muncul tak hingga kali (i.o. = infinitely often. Definisi 3.11 Barisan peubah acak {X n } n N yang didefinisikan pada ruang peluang yang sama dikatakan konvergen di dalam peluang (convergent in probability ke peubah acak X, ditulis X n P X, apabila untuk setiap ε > 0 lim P ( X n X > ε = 0. n Teorema 3.12 Jika X P n X, maka ada subbarisan {X nj } j N sehingga X nj X hampir pasti. Bukti. Gunakan Borel-Cantelli. 4 Fungsi Karakteristik Definisi 4.1 Diberikan peubah acak X : Ω R n. ( characteristic function dari X adalah Fungsi karakteristik φ X (λ := E ( e iλx. Contoh 4.2 Jika X N (m, σ 2, maka φ X (λ = e imλ λ2 σ 2 2. Lema 4.3 (i Jika X 1,..., X m adalah peubah acak - peubah acak yang saling bebas, maka untuk setiap λ R n φ X1 +...+X m (λ = φ X1 (λ... φ Xm (λ. 7

(ii Jika X adalah peubah acak bernilai real maka φ (k (0 = i k E(X k, k N 0. (iii Jika φ X (λ = φ Y (λ untuk setiap λ R n, maka F X (x = F Y (x untuk setiap x R n. (iii mengatakan bahwa fungsi karakteristik menentukan ( mengkarakterisasi fungsi distribusi dari peubah acak. 5 Teorema Limit Pusat Definisi 5.1 Barisan peubah acak {X n } n N dikatakan berdistribusi secara identik (identically distributed jika untuk setiap x R n. F X1 (x = F X2 (x =... = F Xn (x =..., Teorema 5.2 Hukum Kuat Bilangan Besar/ Strong Law of Large Number Jika {X n } n N adalah barisan peubah acak terintegral yang saling bebas dan berdistribusi secara identik, yang terdefinisi pada ruang peluang yang sama serta m := E(X i, maka ( P lim n X 1 +... + X n n = m = 1. Lema 5.3 Jika {X n } n N adalah barisan peubah acak bernilai real yang saling bebas dan berdistribusi secara identik dengan P (X i = 1 = p, P (X i = 0 = q, p + q = 1, maka E(X 1 +... + X n = np dan V (X 1 +... + X n = npq. Teorema 5.4 Laplace-De Moivre Jika {X n } n N adalah barisan peubah acak seperti pada Lema 5.3 dan S n := X 1 +... + X n, maka untuk setiap a, b dengan < a < b <, lim P n ( a S n np npq b = 1 b 2π 8 a e x2 2 dx.

Jadi distribusi dari jumlahan X n setelah dilakukan renormalisasi untuk akan konvergen ke distribusi normal standar N (0, 1 untuk n. Teorema 5.5 Teorema Limit Pusat/Central Limit Theorem Jika {X n } n N adalah barisan peubah acak bernilai real yang saling bebas dan berdistribusi secara identik dengan E(X n = m, V (X n = σ 2, dan S n := X 1 +... + X n, maka untuk setiap a, b dengan < a < b <, ( lim P a S n nm n nσ 2 b = 1 2π b a e x2 2 dx. Daftar Pustaka Durret, R. 2010. Probability: Theory and Examples, 4th edition. Cambridge University Press. Jacod, J. and Protter, P. 2003. Springer Verlag. Probability Essentials, 2nd edition. 9