MINGGU KE-7 INTEGRAL LEBESQUE

Transkripsi

1 MINGGU KE-7 INTEGRAL LEBESQUE INTEGRAL LEBESQUE (Ω, A, µ): measure space Fungsi Ψ : Ω R disebut sederhana bila jelajahnya berhingga. Misalkan A A. Maka I A : Ω {0, 1} yang didefinisikan sebagai I A (X ) = { 1 x A 0 x / A Disebut fungsi indikator himpunan A.

2 Lemma Misalkan Ψ fungsi sederhana yang terdefinisikan pada Ω dengan jelajah {a 1, a 2,...a n }. Andaikan {E i, i = 1, 2,..., n} koleksi himpunan bagian Ω sedemikian hingga, I Ei (x) = a i. Maka {E i, i = 1, 2,..., n} adalah partisi dari Ω. Misalkan Ψ fungsi sederhana pada Ω dengan jelajah {a 1, a 2,..., a n }. Misalkan {E i, i = 1, 2,..., n} partisi Ω. Maka Ψ = n a i I Ei i=1 disebut penyajian baku dari Ψ. Contoh Misalkan Ω = N = {1, 2, 3,...}. Kita definisikan fungsi sederhana Ψ dengan { 2 bila x genap Ψ(x) = 3 bila x ganjil Penyajian baku untuk Ψ adalah Ψ = 2I E1 + 3I E1 Dengan E 1 : himpunan bilangan asli dan genap E 2 : himpunan bilangan asli dan ganjil.

3 Misalkan Ψ fungsi sederhana non negatif pada (Ω, A, µ) dengan penyajian baku. Integral Ψ terhadap µ, ditulis Ψ dµ kita definisikan n Ψdµ = a i µ(e i ) i=1 Contoh 1 dµ = µ (Ω) 1 = 1I E1 + 0I E2 dengan E 1 = Ω, E 2 = φ dµ = 1µ(Ω) + µ(φ) = µ(e1 ) = µ(ω). 2 Misalkan Ω = N dan A = 2 N. kan fungsi sederhana Ψ dengan { 2 bila x genap Ψ(x) = 3 bila x ganjil

4 Penyajian standar untuk Ψ adalah Ψ = 2I E1 + 3I E1 Dengan E 1 : {x : x N dan x genap} E 2 : {x : x N dan x ganjil} Sekarang kita definisikan µ dengan µ(n) = 1 2 n, µ(a) = µ(n). n A Maka Ψdµ = 2 i= i + 3 i= i 1. Bila f (x) 0, x Ω, maka kita definisikan fdµ = fdµ(x) = sup Ψdµ Ψ fungsi sederhana standar,0 Ψ(x) f (x). Untuk sebarang f (x) 0, misalkan f + (x) = max{f (x), 0} f (x) = min{ f (x), 0} maka f (x) = f + (x) f (x)dan fdµ = f + dµ f dµ

5 Integral f (x)dm(x) terhadap ukuran Lebesgue m biasanya ditulis f (x)dx dan sama dengan integral Riemann biasa bila terdefinisikan. Tetapi, terdapat fungsi dimana integral Lebesgue terdifinisikan tetapi tidak untuk integral Riemann. Sebagai contoh I Q (x) bila Q himpunan bilangan rasional. Dalam teori probabilitas, xdp biasanya ditulis dengan E[X ] dan disebut ekspektasi atau harga harapan dari X. Bila A Ω maka f (x)dµ(x) = f (x)i A (x)dµ(x) Dalam hal A = [a, b] maka A A f (x)dµ(x) = (a,b) f (x dµ(x) = a b f (x)dµ(x) Bila F adalah fungsi distribusi kumulatif dari ukuran probabilitas P, kadang-kadang kita menulis df (x) sebagai pengganti dp(x). Perhatikan bahwa ini tidak lebih dari sekedar abuse notation

6 Sifat-sifat dasar integral Misalkan (Ω, A, µ) ruang ukuran dan f, g fungsi terukur pada Ω. 1 Bila fdµ ada dan a R maka afdµ = a fdµ 2 (f + g)dµ = fdµ + gdµ 3 Bila f (x) g(x) untuk setiap x, maka fdµ gdµ. Pada khususnya fdµ f dµ. Andaikan s(x) adalah pernyataan yang memuat sebarang x Ω. Kita mengatakan s(x) berlalu hampir dimana-mana µ(µ.a.e) bila terdapat himpunan N A sedemikian hingga µ(n) = 0 dan s(x) benar untuk setiap x yang tidak berada dalam N. Himpunan N dengan ukuran 0 disebut himpuan 0. Dalam terminologi probabilitas disebut P-almost surely (P.a.s) atau a.s) RADON-NIKODYM DERIVATIF Misalkan (Ω, A, µ) ruang ukuran dan f fungsi Borel tak negatif. Dapat ditunjukkan bahwa fungsi himpunan λ(a) = f (A)dµ, A A (1) adalah ukuran pada (Ω, A). Perhatikan bahwa A µ(a) = 0 maka λ(a) = 0 (2) Bila (2) benar untuk dua ukuran λ dan µ yang terdefinisikan pada ruang terukur yang sama, maka kita katakan λ kontinu absolut terhadap µ dan ditulis λ << µ.

7 Rumus (1) tidak hanya memberikan kepada kita bagailana mengkonstruksikan ukuran, tetapi juga metode menghitung ukuran pada himpunan terukur. Misalkan µ adalah ukuran yang sudah kita kenal (sepeti ukuran Lebesque atau counting measure) dan λ ukuran yang relatif tidak kita kenal. Bila kita dapat menentukan f sedemikian (1) berlalu, maka menghitung λ(a) dapat dilakukan melalui integrasi. Syarat perlu untuk (1) adalah λ << µ juga merupakan syarat cukup. Misalkan (Ω, A, µ) ruang ukuran µ disebut σ finite bila Ω dapat ditulis sebagai Ω = A n, A n A, saling asing dan µ(a n ) < untuk setiap n. n=1 TEOREMA (RADON-NIKODYM) Misalkan λ dan µ dua ukuran pada (Ω, A) dan µ σ finite. Bila λ < µ, maka terdapat fungsi Borel tak negatif f sedemikian hingga λ(a) = fdµ, A A. Selanjutnya f adalah tunggal a.e. µ yaitu, bila λ(a) = A g dµ untuk sebarang A A makaf = g a.e µ A

8 Bila fdµ = 1 untuk suatu f 0 a.e µ dan λ yang diberikan pada (1) adalah ukuran probabilitas dan f disebut fungsi kepadatan probabilitas terhadap µ. Catatan f disebut derivatif atau densitas atau λ terhadap µ dan ditulis dλ dµ. Berikut adalah hubungan antara probabilitas dan teori ukuran biasanya dipakai Probabilitas Teori Ukuran Ruang sampel Semesta Probabilitas Ukuran bernorma Ruang Probabilitas Ruang Ukuran Kejadian Elementer Singleton Kejadian Himpunan terukur Kejadian pasti Semesta Ω Kejadian mustahil Himpunan kosong Almost sure (a.s) Almost every where (a.e) Random Variabel Fungsi terukur Ekspektasi Integral