Bab 2. Landasan Teori. 2.1 Fungsi Convex

Transkripsi

1 Bab 2 Landasan Teori Salah satu hal yang menarik dari topik tugas akhir ini adalah penggunaan sebuah ilmu dari dunia insurance (teori comonotonic) ke dunia matematika keuangan. Oleh karena itu untuk memahaminya diperlukan pemahaman terlebih dahulu terhadap konsep - konsep dalam matematika keuangan dan teori comonotonic. Pada bab ini akan diperkenalkan dasar - dasar teori ukuran, teori peluang, dan matematika keuangan yang akan membantu pemahaman selanjutnya. 2. Fungsi Convex Pada pembahasan di bab-bab selanjutnya penjelasan fungsi convex dan sifatsifatnya akan sangat membantu pemahaman dan pembuktian beberapa teorema. Untuk lebih jelasnya, konsep fungsi convex dapat dilihat pada buku rujukan [3] dan [4] Goovaerts, M.J. Berikut ini adalah beberapa pengertian yang akan diperlukan selanjutnya. 4

2 BAB 2. LANDASAN TEORI 5 De nisi Jika f adalah suatu fungsi convex maka untuk 0 berlaku f (x + ( )y) f(x) + ( )f(y): Sifat-sifat fungsi convex yang penting antara lain. Jika f adalah suatu fungsi convex maka untuk setiap x 0 2 D f (domain dari fungsi f) terdapat sebuah garis l(x) = a + bx dimana l(x 0 ) = f(x 0 ) dan l(x) f(x) untuk setiap x: 2. Jensen Inequality, Jika f adalah suatu fungsi convex dan X adalah suatu peubah acak maka f (E [X]) E [f (X)] : 2.2 Ruang Probabilitas Pembahasan dalam tugas akhir ini akan banyak memakai sudut pandang dari ilmu teori peluang. Oleh karena itu akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai ruang probabilitas dan segala hal yang terkait dengannya sampai pada ukuran probabilitas. Pembahasan yang lebih lengkap mengenai ruang probabilitas sampai dengan konsep model pergerakan harga saham dapat ditemukan di buku rujukan [8] Shreve, Steven dan [9] Syamsuddin, Dr.M Aljabar dan - Aljabar De nisi 2 Misal adalah sebuah himpunan dan F adalah koleksi sub-himpunan dari : 2 Suatu aljabar pada adalah koleksi himpunan F yang memenuhi sifat - sifat berikut De nisi di atas dikutip dari buku [3] Insurance Premiums : Theory and Applications karangan Goovaerts halaman 240 dan 260 serta buku [4] E ective Actuarial Methods karangan Goovaerts halaman De nisi 2-6, teorema 7, dan penjelasan pada sub - bab 2.2, 2.3, dan 2.4 dikutip dari buku [9] Catatan Kuliah Matematika Keuangan karangan Dr. M. Syamsuddin, M.Com.

3 BAB 2. LANDASAN TEORI 6. 2 F 2. Bila A 2 F maka A c 2 F 3. Bila A, B 2 F maka A [ B 2 F: De nisi 3 Misal adalah sebuah himpunan dan F adalah koleksi sub-himpunan dari : Koleksi himpunan F disebut dengan aljabar pada bila F adalah S aljabar dan bila A ; A 2 ; ::: adalah barisan di F maka A k 2 F: Dalam teori peluang aljabar dapat diartikan sebagai informasi mengenai hasil eksperimen acak. Catatan : Sebuah aljabar mempunyai sifat yang tertutup oleh operasi himpunan yang terhingga ( nite) sedangkan sebuah aljabar mempunyai sifat yang tertutup oleh operasi himpunan yang terhitung. De nisi 4 Apabila F ; F 2 ; ::: adalah keluarga sub aljabar dari F dengan sifat F F 2 F maka keluarga tersebut dinamakan ltrasi. k= De nisi 5 Misal C adalah kelas dari sub-himpunan dari : Pengertian aljabar yang dibangkitkan oleh C, dinotasikan dengan (C); adalah aljabar terkecil pada dengan C (C): De nisi 6 Misal R adalah himpunan semua bilangan riil. aljabar Borel pada R, dinotasikan dengan ß(R), adalah dibangkitkan oleh famili selang terbuka pada R. Pengertian aljabar yang Catatan : Setiap himpunan yang merupakan unsur dari ß(R) disebut dengan himpunan Borel.

4 BAB 2. LANDASAN TEORI Ukuran, Ruang Probabilitas, dan Peubah Acak De nisi 7 (; F) disebut ruang terukur bila adalah suatu himpunan dan F adalah aljabar pada : Unsur F disebut dengan sub-himpunan dari yang F- terukur. De nisi 8 Misal adalah suatu himpunan dan F adalah suatu aljabar pada serta adalah fungsi himpunan yang non-negatif : F! (0; ): Fungsi disebut aditif apabila memenuhi sifat berikut. (?) = 0 2. Apabila A ; A 2 2 F dan A \ A 2 =? maka (A [ A 2 ) = (A ) + (A 2 ): De nisi 9 Fungsi disebut aditif terhitung bila memiliki sifat - sifat berikut. (?) = 0 2. Apabila A ; A 2 ; ::: adalah barisan di F dan A i \ A j =? untuk setiap S i 6= j dan S P A k 2 F maka A k = (A k ): k= k= k= De nisi 0 Misal (; F) adalah suatu ruang terukur. nisikan dengan : F! (0; ) Fungsi yang dide - disebut ukuran pada (; F) bila adalah aditif yang terhitung dan (; F; ) akan disebut dengan ruang ukuran. De nisi Ukuran P disebut ukuran probabilitas jika P adalah ukuran pada ruang terukur (; F) dan P () = : Dengan kata lain P adalah ukuran probabilitas jika P adalah ukuran pada ruang terukur (; F) yang mempunyai sifat

5 BAB 2. LANDASAN TEORI 8. P () = 2. Untuk barisan A ; A 2 ; ::: di F dengan A i \ A j =? untuk setiap i 6= j S P akan berlaku P A k = P (A k ): k= k= De nisi 2 Suatu ruang probabilitas (; F; P ) terdiri dari 3 objek. Ruang sampel 2. Suatu aljabar F = himpunan kuasa() 3. Suatu ukuran probabilitas P di suatu ruang terukur (; F), yaitu P(A) terde nisi 8A 2 F: Catatan : Himpunan kuasa () adalah himpunan semua himpunan bagian dari : De nisi 3 Misal (; F; P ) adalah ruang probabilitas. Suatu fungsi X :! R akan disebut dengan peubah acak jika dan hanya jika X (B) = f! j X (!) 2 Bg 2 F untuk setiap himpunan Borel B. 2.3 Martingales Pada tugas akhir ini semua pembahasan selanjutnya akan berada dalam suatu ruang probabilitas (; F; Q) dimana Q adalah suatu ukuran probabilitas. De nisi 4 Proses stokastik adalah suatu keluarga peubah acak fx(t)g dengan t 2 T dan T R: Apabila T = f; 2; :::g maka fx(t)g adalah proses stokastik dengan waktu diskrit dan apabila T = [0; ) maka fx(t)g adalah proses stokastik dengan waktu kontinu. De nisi 5 Proses stokastik fx(t)g teradaptasi oleh ltrasi ff(t)g apabila X(t) adalah F(t) terukur untuk 8t 2 T:

6 BAB 2. LANDASAN TEORI 9 De nisi 6 Proses stokastik fx(t)g disebut martingales apabila memenuhi sifat-sifat berikut. X(t) dapat diintegralkan 8t 2 T: 2. fx(t)g teradaptasi oleh ltrasi ff(t)g: 3. E [X(t) j F(s)] = X(s) untuk s < t: Catatan : Bahasan mengenai ruang probabilitas dan ltrasi dapat ditemukan dalam buku -buku mengenai kalkulus stokastik. Pada pembahasan selanjutnya suatu proses stokastik fe t A(t); t 0g adalah martingales di bawah ukuran probabilitas Q. Dalam hal ini A(t) adalah harga saham dan adalah suku bunga risk-free yang konstan sepanjang waktu. 2.4 Gerak Brownian Pada model Black Scholes (973), harga dari sebuah aset beresiko (dalam tugas akhir ini adalah saham) dijelaskan dengan suatu proses stokastik fa(t); t 0g yang mengikuti gerak geometrik Brownian dengan koe sien drift dan volatilitas : Untuk itu akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai gerak geometrik Brownian. Gerak Acak Simetris Apabila hasil pelantunan suatu koin dinyatakan dalam suatu variabel acak X j dimana j = ; 2; ::: dan dide nisikan 8 < apabila! j = Muka X j (! j ) = : : apabila! j = Belakang Diasumsikan lantunan koin yang satu dengan yang lainnya bersifat saling bebas. Oleh karena itu X ; X 2 ; ::: bersifat saling bebas. Dalam hal ini peluang munculnya muka dan belakang pada pelantunan koin diasumsikan sama yaitu

7 BAB 2. LANDASAN TEORI 0 Prf! j = Mukag = Prf! j = Belakangg = 2 : Berikut ini adalah sifat-sifat dari variabel acak X j. E[X j ] = () Prf! j = Mukag + ( ) Prf! j = Belakangg = 0 2. V ar[x j ] = () 2 Prf! j = Mukag + ( ) 2 Prf! j = Belakangg = 3. Fungsi pembangkit momen dari X j adalah M Xj (t) = E[e tx j ] = e t Prf! j = Mukag + e t Prf! j = Belakangg = 2 (et + e t ): Berikutnya de nisikan kx M k = X j : j= Proses fm k g k=0 inilah yang disebut dengan gerak acak simetris. Sifatsifat dari gerak acak simetris adalah " # kp P 4. E[M k ] = E X j = k E [X j ] = 0 j= j= P 5. V ar[m k ] = k V ar [X j ] = k j= 6. Inkremen dari M k yaitu M k M k = X k bersifat saling bebas. Gerak Acak Simetris Berskala Misalkan n adalah bilangan bulat positif dan misalkan k = tn: De nisikan gerak acak simetris berskala W (n) (t) dengan W (n) (t) = p n M k :

8 BAB 2. LANDASAN TEORI Teorema 7 Untuk t 0 dan n!, distribusi dari W (n) (t) akan konvergen ke distribusi normal dengan mean 0 dan variansi t. Dari teorema di atas, untuk n! proses W (n) (t) akan konvergen menjadi proses fw (t)g dengan sifat-sifat. W (0) = 0 2. W (t) adalah fungsi yang kontinu di t. 3. Misalkan 0 < s < t maka W (s) dan W (t) W (s) saling bebas dan berlaku E[W (t)w (s)] = E[W (s) (W (t) W (s) + W (s))] = E[W (s) (W (t) W (s))] + V ar[w (s)] = s = minfs; tg 4. Apabila 0 = t 0 < t < t 2 < ::: < t n dan dide nisikan inkremen dari W (t) sebagai Y n = W (t n ) W (t n ) maka (a) Y ; Y 2 ; :::; Y n saling bebas dan berdistribusi normal. (b) E[Y j ] = 0 8j = ; 2; :::; n (c) V ar[y j ] = E[Y 2 j ] = E[(W (t j ) W (t j )) 2 ] = t j 2t j + t j = t j t j : Proses stokastik fw (t)g yang memenuhi sifat-sifat di atas disebut gerak Brownian atau proses Wiener. Jadi dalam hal ini gerak acak simetris berkala akan menghasilkan gerak Brownian asalkan n! :

9 BAB 2. LANDASAN TEORI Model Pergerakan Harga Saham Saham adalah suatu aset yang beresiko. Oleh karena itu model pergerakan harga saham haruslah mempunyai bagian stokastik selain bagian deterministik. Bagian deterministik dari model ini melambangkan return dari saham (sebagai suatu aset keuangan) sedangkan bagian deterministiknya menggambarkan resiko dari saham. Pergerakan harga saham dapat dianalogikan sebagai suatu gerak acak. A(t), adalah dengan Model dari pergerakan harga saham, yang dinotasikan dengan A(t) = A(0) exp ( Z N(0; ): 2 2 )t + p tz Dengan demikian ln A(t) N ( A(0) 2 2 )t; 2 t : Catatan: Peubah menyatakan suku bunga tanpa resiko. Kita asumsikan bahwa terdapat suatu ukuran probabilitas Q sehingga fe t A(t); t 0g adalah martingales dibawah ukuran probabilitas Q. Akibatnya untuk t 0, ekspektasi bersyarat e t A(t) apabila diberikan informasi pada saat t = 0 akan sama dengan harga saham saat t = 0. Apabila dituliskan ke dalam bahasa matematika maka E Q [e t A(t) j F(0)] = A(0); t 0 atau dalam persamaan yang lebih "ringkas" E Q [e t A(t)] = A(0); t 0:

10 BAB 2. LANDASAN TEORI Opsi 2.6. Konsep Umum Opsi adalah perangkat keuangan yang memberikan hak bagi pemiliknya untuk membeli atau menjual saham dengan harga tertentu (yang tercantum di dalam opsi tersebut dan dinamakan dengan exercise price). Opsi memiliki waktu dimana pemiliknya dapat menggunakannya / melakukan exercise (menjual atau membeli saham), yang dide nisikan sebagai maturity time. Pada umumnya ada 2 jenis opsi yaitu opsi eropa dan opsi amerika. Yang membedakan keduanya adalah waktu exercise-nya. Opsi eropa hanya dapat di-exercise saat maturity time sedangkan opsi amerika dapat di-exercise sejak opsi mulai berlaku sampai maturity time. Untuk masing-masing kelompok opsi ini, terdapat 2 jenis kelompok lagi yaitu opsi call atau opsi put. Opsi call memberikan hak untuk membeli suatu saham sedangkan opsi put memberikan hak untuk menjual saham. Dari masing -masing kelompok opsi ini dide nisikan payo -nya yaitu:. untuk opsi call eropa EC(K; T ) = 8 < : A(T ) 0 K = maxfs(t ) K; 0g bila A(T ) > K bila A(T ) K 2. untuk opsi put eropa EP (K; T ) = 8 < : 0 K A(T ) = maxfk A(T ); 0g bila A(T ) K bila A(T ) < K 3. untuk opsi call amerika A m C(K; t) = 8 < : A(t) 0 K = maxfa(t) K; 0g bila A(t) > K bila A(t) K

11 BAB 2. LANDASAN TEORI 4 4. untuk opsi put amerika A m P (K; t) = 8 < : K 0 A(t) = maxfk A(t); 0g bila A(t) K bila A(t) < K dengan K adalah exercise price, T adalah maturity time, A(t) adalah harga saham pada saat t. Payo dari suatu opsi dapat dideskripsikan sebagai nilai dari opsi saat akan dilakukan exercise Opsi Asia Opsi yang akan dibahas di dalam tugas akhir ini adalah opsi asia. Opsi asia adalah jenis opsi yang mengandalkan harga-harga saham sebelum maturity time. Opsi asia dapat digolongkan ke dalam jenis opsi eropa karena waktu exercise-nya berada pada maturity time. Pada umumnya opsi asia dibagi menjadi 2 bagian yaitu opsi average value dan opsi average strike. Misalkan terdapat suatu opsi call asia dengan maturity time T dan strike price K. Payo dari opsi average price dide nisikan sebagai AC = max fb K; 0g sedangkan payo dari opsi strike price dide nisikan sebagai AC = max fa(t ) B; 0g dengan B = n nx A(t i ) i= untuk kasus aritmatik diskrit B = Z T 2 A(t)dt untuk kasus aritmatik kontinu T 2 T T

12 BAB 2. LANDASAN TEORI 5 " n # Y n B = A(t i ) i= untuk kasus geometrik diskrit 0 B = T 2 T Z T 2 T ln [A(t)] dta untuk kasus geometrik kontinu. Perhatikan bahwa untuk kasus diskrit opsi asia bergantung pada n harga saham sebelum T sedangkan pada kasus kontinu opsi asia bergantung pada harga saham antara interval waktu T 2 dan T : Sebagai catatan, untuk kasus aritmatik bentuk dari fungsi padat peluang B tidak mudah untuk diketahui sedangkan pada kasus geometrik fungsi padat peluang dari B jelas adalah distribusi lognormal. Hal inilah yang mengakibatkan untuk kasus aritmatik, penentuan harga opsi asia dilakukan (salah satunya) dengan menggunakan simulasi Monte Carlo.Pembahasan selanjutnya hanya akan difokuskan kepada opsi call asia aritmatik diskrit jenis average value.

13 BAB 2. LANDASAN TEORI Formula Black Scholes Persamaan Black Scholes digunakan untuk mempermudah pencarian harga suatu asset (dalam kasus di bawah ini adalah opsi call C(K; T ) dengan exercise price K dan maturity time T). Perlu diketahui sebelumnya bahwa dalam formula Black Scholes, asumsi yang digunakan adalah. Peubah acak ln A(t) A(0) berdistribusi normal 2 2 t; 2 t di bawah ukuran probabilitas Q. Dalam hal ini A(t) adalah harga saham pada waktu t. 2. A(0) = e t E Q [A(t)] : Harga opsi call eropa dide nisikan sebagai C(K; T ) = e T E Q (A(T ) K) + dan rumus Black Scholes untuk persamaan di atas adalah C(K; T ) = A(0)(d ) Ke T (d 2 ) dengan dan ln A(0) + ( + K 2 2 )T d = p T ln A(0) + ( K 2 2 )T d 2 = p : T 2.8 Simulasi Monte Carlo Pada pembahasan selanjutnya, harga dari opsi asia (sebagai pembanding) akan ditaksir dengan simulasi Monte Carlo. Simulasi Monte Carlo telah menjadi alat umum untuk mencari harga dari opsi asia. Dengan simulasi ini batas atas dan batas bawah harga opsi asia juga bisa didapatkan, yaitu dengan memanfaatkan konsep selang kepercayaan dimana pada umumnya digunakan selang kepercayaan 95%. Hasil dari simulasi ini akan dipakai nantinya sebagai pembanding dengan hasil dari konsep comonotonic.

14 BAB 2. LANDASAN TEORI Konsep Dasar Misalkan X adalah peubah acak dengan E[X] = a dan V ar[x] = b 2 : Misalkan pula X ; X 2 ; :::; X n adalah barisan peubah acak yang berdistribusi identik dengan X. Dengan demikian a n = n adalah penaksir tak bias untuk a dan b 2 n = n adalah penaksir tak bias untuk b 2 : n! berlaku np X i i= b p n na nx i= X i nx (X i a n ) 2 i= Menurut teorema limit pusat, untuk N(0; ): Dengan memanfaatkan hasil ini maka didapatkan 0 np X i na Pr B b p n :96C A = 0:95 atau Prfa n :96 b p n a a n + :96 b p n g = 0:95: Dengan mengambil b b n maka Prfa n :96 b n p a a n + :96 b n p g 0:95: n n Dengan demikian selang kepercayaan untuk a adalah a n :96 b n p a; a n + :96 b n p : n n Metode Antithetic Pada pembahasan ini hanya akan dibahas mengenai metode Monte Carlo dengan antithetic untuk kasus peubah acak normal. Hal ini dikarenakan pada

15 BAB 2. LANDASAN TEORI 8 penaksiran harga dan selang harga opsi asia, metode Monte Carlo yang dibutuhkan adalah antithetic untuk kasus peubah acak normal. Misalkan I = E [f(u)] ; dimana U N(0; ) adalah nilai yang akan ditaksir dengan simulasi Monte Carlo. Penaksir tak bias yang sesuai adalah I n = n nx f(u i ); i= dimana U i N(0; ) dan i.i.d. Penaksir tak bias di atas hanya akan dipakai pada metode Monte Carlo standard. Pada metode antithetic, penaksir tak bias yang akan digunakan adalah I n = n nx i= f(u i ) + f( U i ) ; dimana U i N(0; ) dan i.i.d Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Asia Misalkan terdapat suatu opsi call asia (kasus aritmatik diskrit) dengan maturity time T dan jumlah saham yang terlibat di dalamnya adalah n saham yaitu fa(t n + ); :::; A(T )g dimana A(t) adalah harga saham pada saat t. Harga dari opsi asia pada saat awal (t = 0) ditentukan oleh dengan AC = e T E [max fb K; 0g] B = n nx A(t i ): i= dan menyatakan suku bunga tanpa resiko. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa A(t) ln N ( A(0) 2 2 )t; 2 t : Prosedur dari Monte Carlo antithetic untuk kasus ini diberikan adalah sebagai berikut.. Kembangkan data acak Z i berditribusi normal baku.

16 BAB 2. LANDASAN TEORI 9 2. Kembangkan data saham pertama yang terlibat sejak awal (t = 0) sampai saat maturity time (t = T) dimana A() = A(0) exp ( A(2) = A() exp ( 2 2 )t + p tz 2 2 )t + p tz 2 dan seterusnya sampai dengan A(T ) = A(T ) exp ( 2 2 )t + p tz T : 3. Hitunglah C = e T max ( n TX t=t n+ A(t) K; 0 ) 4. Kembangkan data saham kedua yang terlibat sejak awal (t = 0) sampai saat maturity time (t = T) dimana A() = A(0) exp ( A(2) = A() exp ( 2 2 )t p tz 2 2 )t p tz 2 dan seterusnya sampai dengan A(T ) = A(T ) exp ( 2 2 )t p tz T : 5. Hitunglah D = e T max ( n TX t=t n+ A(t) K; 0 ) : 6. Ulangi proses di atas sebanyak m kali sehingga kita mendapatkan fc ; C 2 ; :::; C m g dan fd ; D 2 ; :::; D m g: 7. Hitung E i = C i + D i ; 8i = ; 2; :::; m: 2

17 BAB 2. LANDASAN TEORI Taksiran harga opsi asia AC(n; K; T ) dapat ditentukan dari AC(n; K; T ) = m mx E i : i= 9. Hitung V ar [AC(n; K; T )] = m mx [E i AC(n; K; T )] 2 : 0. Selang kepercayaan 95% untuk harga opsi asia AC(n; K; T ) diberikan i= oleh " r r # V ar [AC(n; K; T )] V ar [AC(n; K; T )] AC(n; K; T ) :96 ; AC(n; K; T ) + :96 : m m. Standard errornya diberikan oleh r V ar [AC(n; K; T )] s:e = : m