1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan garis lurus ssebagai dasar pembuatan program, contohnya adalah program pascal. Pernahkan anda ke bank? Apa yang pertama kali anda lakukan sewaktu berada di dalam bank? Pasti semua jawaban anda adalah mengambil kertas antrian pada mesin antrian bukan?. Program yang digunakan untuk menjalankan mesin antrian tersebut menggunakan persamaan garis dan bias diprogram menggunakan turbo pascal. Dalam ilmu lain aplikasi persamaan garis lurus juga banyak digunakan di antaranya adalah perhitungan kecepatan jarak dan waktu dalam ilmu fisika, perhitungan harga barang dan titik impas dalam ilmu ekonomi. Pada modul 2 ini terdiri atas 3 kegiatan belajar. Tujuan dari ketiga kegiatan belajar ini adalah anda akan menentukan persamaan gradien garis lurus, menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter garis lurus di bidang dan di ruang, menentukan persamaan umum garis lurus di bidang dan di ruang, menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang, menentukan sudut antara dua garis lurus di bidang dan di ruang, menentukan jarak titik ke garis di bidang dan di ruang, menentukan jarak antara dua garis lurus di ruang, menentukan persamaan vektoris bidang rata, dan menentukan persamaan linier bidang rata, menentukan vektor normal dari bidang rata 0.
2 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter garis lurus di bidang dan di ruang, 3. menentukan persamaan umum garis lurus di bidang dan di ruang. A. Gradien Perhatikanlah ilustrasi 3.1 agar anda dapat memahami konsep gradien pada persamaan garis lurus. Ilustrasi 3.1 Pernahkan anda melihat suatu bangunan miring? misalnya Menara Miring Pisa (bahasa Italia: Torre pendente di Pisa atau disingkat Torre di Pisa, atau yang terkenal di Italia yang terletak pada posisi miring. Menurut penelitian, kemiringan menara Pisa tersebut adalah 5,5 derajat. Setiap tahunnya kemiringan menara bertambah 1 milimeter dihitung secara vertikal dari puncak menara ke tanah. Bangunan tersebut menjadi bangunan yang unik, bersejarah dan diminati oleh seluruh masyarakat dunia untuk melihatnya. Tahukah anda negara kita sendiri Indonesia juga mempunyai bangunan berupa menara miring? Menara miring yang terletak di Indonesia bernama menara Syahbandar. Perhatikanlah gambar 3 berikut ini.
3 Gambar 3.1. Menara Syahbandar Menara Syahbandar tersebut dibangun oleh VOC pada tahun 1839 yang terletak di Muara Ciliwung, Jakarta Utara. Menurut Mohammad Isa, salah satu petugas jaga museum, pada tahun 2001 kemiringan menara ini 2,5 derajat dan sekarang kemiringannya mencapai 4 derajat. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan kemiringan? Dalam kegiatan belajar ini anda diharuskan untuk merumuskan persamaan gradien dan persamaan garis lurus di bidang dan di ruang. Anda dapat menentukan gradien suatu garis lurus dengan melakukan kegiatan berikut ini. Kegiatan 3.1. Persamaan Gradien Suatu Garis Lurus Untuk menentukan gradien suatu garis lurus lakukan langkah-langkah berikut. 1. Tentukan 2 titik sebarang pada bidang koordinat, beri nama kedua titik tersebut, misal titik A dan titik B. 2. Hubungkanlah 2 titik tersebut, sehingga diperoleh suatu garis, beri nama garis tersebut dengan nama garis. 3. Hitunglah selisih absis dari dua titik tersebut. 4. Hitunglah selisih ordinat dari dua titik tersebut. 5. Carilah selisih ordinat dibagi selisih absis dua titik tersebut dengan menggunakan hasil pada langkah 3 dan 4. 6. Tentukan 2 titik yang lain pada garis, namakan titik C dan D. ulangi langkah-langkah 3 sampai dengan 5 di atas. 7. Tentukan 2 titik yang lain lagi pada garis, namakan titik E dan F. ulangi langkah-langkah 3 sampai dengan 5 di atas.
4 8. Berdasarkan hasil pada langkah 5, 6 dan 7, apa yang dapat anda simpulkan? 9. Jika hasil langkah 5, 6 dan 7 dinamakan gradien, coba jelaskan apa yang dimaksud dengan gradien? 10. Berdasarkan kegiatan di atas, jelaskan bagaimana cara mencari gradien dari garis lurus yang melalui dua titik, dan,. Kegiatan 3.1 di atas, jika anda perhatikan garis-garis tersebut mempunyai kemiringan atau kecondongan. Kemiringan dari suatu garis lurus disebut gradien dari garis lurus tersebut. Jika titik, dan, terletak pada suatu garis, sehingga komponen pada garis adalah dan komponen pada garis adalah. Dengan demikian gradien garis lurus yang melalui titik, dan, adalah: (1) Jika dari kegiatan 1 yang anda lakukan maka diperoleh: (1) suatu garis membentuk sudut lancip dengan sumbu positif, maka koefisien arahnya positif. Sedangkan garis yang membentuk sudut tumpul dengan sumbu positif, maka koefisien arahnya negatif. (2) garis tersebut sejajar dengan sumbu, maka koefisien arahnya adalah nol, sedangkan garis tersebut sejajar dengan sumbu, maka koefisien arahnya adalah tidak terdefinisikan. (3) jika < 0, maka inklinasinya adalah sudut lancip; jika > 0, maka inklinasinya adalah sudut tumpul; jika 0, maka inklinasinya adalah 0 o dan jika tidak terdefinisikan, maka inklinasinya adalah 90 o. Masalah 3.1 Tentukan nilai jika garis yang menghubungkan titik-titik 5, 10 dan 3, 2 mempunyai gradien 2. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari masalah 3.1 di atas dapat dilihat bahwa untuk menentukan gradien yang melalui dua titik kita temukan pada kegiatan 3.1 yaitu:
5 Karena nilai gradiennya adalah 2 maka, 2 10 2 3 5 2 8 2 4 8 Sehingga diperoleh nilai 2 B. Persamaan Garis Lurus di Bidang Anda dapat menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter garis lurus di bidang dengan melakukan kegiatan berikut ini. Kegiatan 3.2.. Persamaan Garis Lurus di Bidang Untuk menentukan persamaan parameter dan persamaan vektoris garis lurus di bidang, lakukan langkah-langkah berikut. 1. Buatlah suatu garis yang melalui titik-titik, dan, dengan atau. 2. Ambil sebarang titik, yang terletak pada garis, sehingga dapat kita peroleh panjang, panjang, panjang dan panjang. 3. Dari langkah 2, untuk setiap titik sebarang, pada garis maka berlaku, dimana adalah suatu parameter, yaitu bilangan yang berubah-ubah. Catatan: Perlu kita ketahui apabila 0, maka titik berimpit dengan titik ; jika 1, maka titik berimpit dengan titik ; jika > 0, maka titik terletak pada setengah garis yang menembus titik melalui titik (sinar garis ); dan jika < 0, maka titik terletak pada setengah garis yang menembus titik dalam arah yang berlawanan dengan. 4. Dari langkah 1, jika diperhatikan gambar garis tersebut terlihat bahwa. 5. Kesimpulan apa yang dapat kalian peroleh berdasarkan jawaban yang di temukan pada langkah-langkah di atas? Dari kegiatan 3.2 di atas, kita perhatikan garis yang melalui titik, dan, diperoleh persamaan vektoris garis lurus dibidang adalah,,, (2) sedangkan persamaan parameter suatu garis lurus diperoleh dari penjabaran persamaan vektoris garis lurus yaitu,
6 (3) CATATAN (1) 1) Koordinat dan dinyatakan linier kepada. 2) Bilangan-bilangan arah dan adalah sepasang bilangan arah yang terletak pada garis itu. 3) Koordinat dan adalah koordinat suatu titik yang terletak pada garis tersebut. Dari persamaan (3), kita bisa mendapatkan persamaan garis lurus dengan menentukan nilai terlebih dahulu, dan Sehingga diperoleh persamaan umum garis lurus di bidang yang melalui titik, dan, adalah: (4) Jika kita teruskan persamaan di atas, kita peroleh suatu persamaan baru yaitu: Sehingga di peroleh suatu persamaan garis lurus yang melalui titik, dan bergradien adalah (5) Kerjakan kegiatan dibawah ini dengan berkelompok. 1. Dari persamaan 5, jika titik, di ganti dengan titik 0, 0, apa yang dapat anda peroleh? 2. Jika titik, diganti dengan titik 0,, apa yang dapat anda peroleh? 3. Dari kegiatan 1 dan 2 tersebut apa yang dapat anda simpulkan berdasarkan jawaban di atas? Berdasarkan kegiatan tersebut dapat disimpulkan bahwa persamaan garis lurus yang melalui titik 0, 0 dan mempunyai gradien adalah (6) Sedangkan persamaan garis lurus melalui titik 0, dan mempunyai gradien adalah (7)
7 Masalah 3.2 Diketahui garis h melalui titik 3,2 dan titik, 5. Tentukan nilai jika gradien garis h adalah, selanjutnya tentukan persamaan garis h tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, perhatikan langkah-langkah di bawah ini. 1. Misalkan gradien garis h adalah, selanjutnya gunakan persamaan gradien yang melalui dua titik yang telah kita peroleh pada kegiatan sebelumnya, yaitu: 5 2 3 3 3 Karena gradien garis h di ketahui yaitu, sehingga diperoleh 3 7 3 3 3 3 21 3 9 21 3 12 4 Jadi, nilai 4, maka titik 4, 5. 2. Selanjutnya ditentukan persamaan garis h, karena garis h melalui titik 3, 2dan 4, 5, maka kita menggunakan persamaan garis lurus yang melalui dua titik yaitu: 2 3 5 2 4 3 2 3 3 7 7 2 3 3 7 14 3 9 3 7 23 0 Jadi, persamaan garis h adalah 3 7 23 0.
8 Kegiatan 3.3. Persamaan Garis Hesse (Persamaan Garis Normal) Untuk menentukan persamaan garis normal, lakukan langkah-langkah berikut. Gambar 3.2. Persamaan Garis Hesse 1. Perhatikan Gambar 3.2, garis yang melalui titik, 0dan 0,, kemudian tarik garis tersebut melalui titik yang tegak lurus dengan garis maka kita namakan dengan garis. 2. Karena garis, maka persamaan tersebut dinamakan dengan persamaan garis normal. 3. Perhatikan garis, kita misalkan garis, disebut panjang garis normal dan sudut yang dibentuk dengan sumbu positif adalah. 4. Perhatikan segitiga, siku-siku di, sehingga diperoleh nilai sin. 5. Perhatikan segitiga, siku-siku di, sehingga diperoleh nilai cos. 6. Karena garis memotong sumbu dan sumbu di titik, 0dan 0,, maka diperoleh persamaan garis. 7. Selanjutnya substitusikan langkah 4 dan 5 ke langkah 6, sehingga diperoleh suatu persamaan garis normal. Berdasarkan kegiatan 3.3 di atas, diperoleh suatu persamaan garis normal yaitu cos sin. Dengan Catatan (3): 1. Karena positif (jarak titik 0, 0 ke garis ) maka suku ke-3 selalu negatif. 2. Koefisien cos dan koefisien sin maka 1. Untuk mempermudah kita mengingat kedua persyaratan di atas, setiap persamaan 0 dapat diubah ke Persamaan Normal Hesse dengan cara:
9 Apabila kedua ruas persamaan ini dikalikan dengan 0, maka diperoleh: 0 Jika dibandingkan dengan persamaan normal, maka diperoleh hubungan, 1 1 1 ± Sehingga persamaan normal dari 0 adalah ± 0 Dari normal ini dapat disimpulkan bahwa jarak titik asal ke garis lurus dengan persamaan 0 adalah ± dipilih harga positifnya. Masalah 3.3 Ubahlah persamaan garis 3 4 10 0 ke dalam persamaan normal Hesse. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Langkah penyelesaian 3 4 10 0 ( kalikan dengan (-1)) 3 4 10 0 Cari nilai dengan cara: 1 ± 3 4 1 ± 9 16 ± 1 25 ± 1 5 Karena 10 adalah bilangan bulat negatif, maka nilai yang dipilih adalah yang bertanda positif, yaitu. Jadi dapat disimpulkan bahwa bentuk normalnya adalah: 3 5 4 2 0. 5
10 C. Persamaan Garis Lurus Di Ruang Anda dapat menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter garis lurus di ruang dengan melakukan kegiatan berikut ini. Kegiatan 3.4.. Persamaan Garis Lurus di Ruang Untuk menentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter garis lurus di ruang, lakukan langkah-langkah berikut. 1. Buatlah suatu garis yang melalui titik-titik,, dan,, dengan, atau. 2. Ambil sebarang titik,, yang terletak pada garis, sehingga dapat kita peroleh panjang, panjang, panjang dan panjang. 3. Dari langkah 2, untuk setiap titik sebarang,, pada garis maka berlaku, dimana adalah suatu parameter, yaitu bilangan yang berubah-ubah. Perlu diingat, apabila 0 maka titik berimpit dengan titik ; jika 1, maka titik berimpit dengan ; jika positif maka titik terletak di sebelah kanan ; dan jika negatif maka titik terletak di sebelah kiri. Berarti dapat disimpulkan bahwa nilai bergantung kepada letak titik pada garis yang memuat. 4. Dari langkah 1, jika diperhatikan gambar garis tersebut terlihat bahwa. 5. Kesimpulan apa yang dapat anda peroleh berdasarkan jawaban yang di temukan pada langkah-langkah di atas? Dari kegiatan 3.4 di atas, perhatikan gambar garis yang melalui titik,, dan,, diperoleh persamaan vektoris garis lurus diruang adalah,,,,,, (8) Sedangkan persamaan parameter suatu garis lurus diperoleh dari penjabaran persamaan vektoris garis lurus yaitu, (9) Dari persamaan parameter di atas kita bisa mendapatkan persamaan garis lurus dengan menentukan nilai terlebih dahulu,, dan
11 Dengan demikian diperoleh persamaan umum garis lurus di ruang yang melalui titik,, dan,, sebagai berikut: bila, dan (10) Karena garis lurus memiliki vektor arah yaitu,, maka kita dapat mengubah persamaan (10) menjadi: (11) Jadi, dapat disimpulkan bahwa persamaan garis lurus yang melalui,, dengan vektor arah,, adalah:, dengan a 0, b 0 dan c 0 (12) CATATAN (2) Persamaan garis lurus tidak selalu dapat digunakan, jika beberapa bilangan arahnya sama dengan nol. Jika salah satu bilangan arahnya sama dengan nol, yaitu: 1) Jika 0, maka persamaan garis lurusnya menjadi: dan Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan bidang. 2) Jika 0, maka persamaan garis lurusnya menjadi: dan Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan bidang. 3) Jika 0, maka persamaan garis lurusnya menjadi: dan Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan bidang. 4) Jika 0 dan 0, maka persamaan garis lurusnya menjadi: dan Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan sumbu. 5) Jika 0 dan 0, maka persamaan garis lurusnya menjadi: dan Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan sumbu. 6) Jika 0 dan 0, maka persamaan garis lurusnya menjadi: dan
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 12 Berarti garis lurus tersebut sejajar dengan sumbu. Masalah 3.4 Tentukan persamaan vektoris, persamaan parameter dan persamaan garis lurus yang melalui titik 3, 2, 2 dan 4, 2, 1. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Persamaan vektoris garis lurus melalui titik-titik 3, 2, 2 dan 4, 2, 1 adalah:,,,,,,,, 3, 2, 2 4 3, 2 2, 1 2,, 3, 2, 2 1, 4, 1 Jadi, persamaan vektoris garis lurus adalah,, 3, 2, 2 1, 4, 1. Dari persamaan vektoris garis lurus di atas, dapat kita peroleh suatu persamaan parameter garis lurus adalah 3 2 4 2 Berdasarkan persamaan parameter tersebut bisa kita peroleh persamaan garis lurus yang melalui dua titik sebagai berikut 3 2 2 4 Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda peroleh. Kegiatan 3.5. Cosinus Arah dan Bilangan Arah Untuk menentukan cosinus arah dan Bilangan Arah garis lurus di ruang, pahami langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sudut,, dan di ruang. Arah dari sebuah garis dalam ruang ditunjukkan dengan tiga sudut yaitu,, dan, ketiga sudut ini disebut sudut arah dari garis tersebut. 2. Sudut atau garis itu melalui titik asal yang sejajar dengan garis tersebut dibuat dengan menggunakan sumbu koordinat. Seperti Gambar 3.3(a) di bawah ini, di mana ketiga sudut tersebut sudah menunjukkan arah garis pada ruang dengan menggunakan sudut,, dan.
13 Gambar 3.3(a) Sudut-sudut arah,, dan di mana 0,, masing-masing sudut antara arah positif di sumbu,, dan garis berarah (positif berarah ke atas). 3. sudut arah dari garis ini ketika diarahkan berlawanan arah seperti yang terlihat pada Gambar 3.3(b) adalah, dan. Gambar 3.3(b) Dengan demikian, sebuah garis yang tidak berarah mempunyai dua himpunan sudut-sudut arah,, dan,,, dan dua himpunan cosinus arah cos, cos, cos dan cos, cos, cos karena cos cos. 4. Supaya tidak ada kebingungan antara membedakan koordinat titik dengan cosinus arah garis maka cosinus arah garis diberi tanda kurung siku-siku seperti ini [ ], sehingga arah garis tersebut dapat ditulis menjadi :,, untuk menunjukkan garis yang cosinus arahnya adalah a, b, c.
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 14 5. Cosinus arah dari dapat ditentukan dengan mengambil dua buah titik sebarang yang berada pada garis tersebut yaitu titik,, dan,,. Garis tersebut diarahkan dari ke yang dapat dilihat pada Gambar 4.3. Berdasarkan gambar di atas, dapat ditentukan nilai cos, cos,dan cos. cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos Karena nilai sama maka di peroleh persamaan garis lurus adalah: Dan persamaan parameter garis lurus adalah: Dimana adalah jarak antara titik x, y, z ke titik x, y, z. Jumlah dari kuadrat cosinus arah dari sebarang garis sama dengan 1, yaitu (13) (14) (15)
15 Akibat langsungnya adalah bahwa paling sedikit satu dari cosinus arah dari sebarang garis bukanlah 0. Masalah 3.5 Tentukan cosinus arah garis yang melalui titik titik 3, 2, 2dan 4, 2, 1? Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Berdasarkan permasalahan di atas, kita dapat menentukan persamaan vektoris garis lurus yang melalui titik-titik 3, 2, 2 dan 4, 2, 1 yaitu,, 3, 2, 2 1, 4, 1 dan persamaan parameternya adalah 3, 2 4 dan 2. Jika di eliminasi maka di peroleh persamaan garis lurus yaitu, 3 2 2 4 1 4 1 18,, cos, cos, cos Vektor cosinus dari garis di atas adalah 1 1 1, 4, 1 atau 18 18, 4 18, 1 18, Berarti persamaan garis dapat di tulis: 4 3, 2 18 18, 2 18 selanjutnya kerjakanlah latihan berikut ini. Rangkuman 1. Gradien garis lurus yang melalui titik, dan, adalah 2. Persamaan vektoris garis lurus di bidang yang melalui dua buah titik adalah,,, Dengan persamaan parameter garis lurusnya adalah:
16 Sedangkan persamaan vektoris garis lurus di ruang yang melalui dua buah titik adalah:,,,,,, Dengan persamaan parameter garis lurusnya adalah: 3. Persamaan linier garis lurus yang melalui titik,, dengan vektor arah,, adalah: bila a 0, a b 0 dan c 0 c 4. Persamaan linier garis lurus yang melalui titik, dan, adalah: 5. Persamaan garis lurus yang melalui titik, dan bergradien adalah: 6. Persamaan garis lurus yang melalui titik 0, 0 dan mempunyai gradien adalah Sedangkan persamaan garis lurus melalui titik 0, dan mempunyai gradien adalah
17 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2. Sudut antara dua garis lurus di bidang dan di ruang 3. Menentukan jarak titik ke garis di bidang dan di ruang 4. Menentukan jarak antara dua garis lurus di ruang. A. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Hubungan dua garis lurus dapat kita kaitkan dengan situasi sehari-hari. Jika terdapat dua garis lurus, maka ada beberapa hubungan atau situasi yang bisa terjadi. Kedua garis tersebut dapat sejajar, saling tegak lurus, berimpit, atau berpotongan. Kegiatan 4.1. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang Untuk menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang, lakukan langkahlangkah berikut. 1. Pilih dua titik pada bidang koordinat, missal titik A dan B, kemudian hubungkan kedua titik tersebut, sehingga diperoleh suatu garis lurus AB, namakan garis h. 2. Hitunglah gradien garis h. 3. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis h, pilihlah dua titik pada garis, kemudian hitunglah gradien garis. 4. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis, pilihlah dua titik pada garis, kemudian hitunglah gradien garis.
18 5. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis, pilih dua titik pada garis, kemudian hitunglah gradien garis. 6. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai garis-garis h,, dan? 7. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai gradien dari garis-garis h,, dan. Dari kegiatan 4.1 di atas, jika kita perhatikan garis-garis h,, dan adalah garisgaris yang saling sejajar, dan jika hitung gradiennya maka mempunyai nilai gradien yang sama sehingga dapat di simpulkan bahwa garis-garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama yaitu : (16) Masalah 4.1 Diketahui persamaan garis 3 5, tentukan gradien garis tersebut, kemudian tentukan gradien garis h yang sejajar dengan garis 3 5 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari masalah di atas, gradien garis 3 5 adalah 3. Maka gradien garis h yang sejajar dengan garis 3 5 adalah 3. Kegiatan 4.2. Persamaan Gradien Garis Lurus Jika Garisnya Tegak Lurus Untuk menentukan gradien garis-garis yang saling tegak lurus maka lakukan langkah-langkah berikut. 1. Gambarlah grafik garis dengan persamaan 2 3 6 0 2. Hitunglah gradien garis. 3. Gambarlah grafik garis h dengan persamaan 3 2 2 0 4. Hitunglah gradien garis h. 5. Selidiki apakah garis tegak lurus pada garis h? 6. Tentukan hasil kali antara gradien garis dengan gradien garis h 7. Apa yang dapat kalian simpulkan dari hasil langkah ke-6 berdasarkan kedudukan garis dan h? Dari kegiatan 4.2 di atas, jika kita perhatikan garis dan h diperoleh hasil kali gradien-gradien yang saling tegak lurus adalah -1. Dengan demikian dapat (17)
19 diambil kesimpulan bahwa hasil kali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1. Persamaan garis-garis yang saling tegak lurus adalah: Masalah 4.2 Diketahui titik 4, 5 dan titik 6, 3. Jika garis tegak lurus dengan garis, tentukan gradien garis. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Berdasarkan permasalahan di atas, pertama sekali kita menghitung nilai gradien yang melalui titik 4, 5 dan titik 6, 3 dengan menggunakan persamaan gradien pada kegiatan 3.1 yaitu: Maka di dapat nilai gradiennya adalah 4 5 Setelah memperoleh nilai gradien, karena garis tegak lurus dengan maka kita menggunakan persamaan pada kegiatan 3 yaitu: maka, 1 Sehingga diperoleh, 4 5 1 5 4 Apabila dan adalah dua buah garis lurus pada bidang XOY, maka hubungan yang mungkin terjadi antara kedua garis tersebut adalah 1. berimpit dengan Misalkan 0 dan 0 maka g 1 dan g 2 dikatakan berimpit jika dan hanya jika: 2. sejajar dengan (tidak berimpit) Misalkan 0 dan 0 maka g 1 dan g 2 dikatakan sejajar jika dan hanya jika: 3. berpotongan dengan
20 Misalkan 0 dan 0 maka dan dikatakan berpotongan jika dan hanya jika: Masalah 4.3 Diketahui garis 3 2 2 0, h 4 5 7 0 dan 6 4 4 0. Tentukan kedudukan antara garis dengan dan garis dengan h, apakah sejajar, berimpit atau berpotongan. Penyelesaian: Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Garis 3 2 2 0, dan 6 4 4 0 3 6 2 2 4 4 Kerena nilainya sama maka garis berimpit dengan garis. Garis 3 2 2 0, h 4 5 7 0 3 4 2 5 Karena nilainya tidak sama maka garis berpotongan dengan garis h. 4.1 Kedudukan Dua Garis Lurus di Ruang Misalkan,,,,,, dan,,,,,, Ada beberapa kemungkinan kedudukan antara garis dan. 1. Garis sejajar jika dan hanya jika :,,,, atau 2. Garis berimpit dengan jika dan hanya jika:,,,,,,,,
21 Masalah 4.4 Tunjukkan bahwa garis sejajar dengan garis. 7 6 2 dan 2 1 11 6 2 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Vektor arah garis adalah 6, 2, 1 dan vektor arah adalah 6, 2, 1. Karena vektor arah sama dengan vektor arah berarti kedua garis tersebut sejajar tetapi tidak berimpit, karena hasil penggurangan 2 7, 1 0, 11 0 6, 2, 1 9, 1, 11 6, 2, 1. 3. Jika,,,,, maka garis dan mungkin saja berpotongan atau bersilangan. Misalkan berpotongan dengan, berarti ada titik potong,,. sehingga,, dan,, sebagai titik potong garis dan. Jika,, maka,,,,,,..(1) Jika,, maka,,,,,,..(2) Dari persamaan (1) dan (2) jika di kurangkan menjadi:,,,,,,,, atau Berdasarkan teori persamaan linier, nilai dan ada, jika nilai determinannya: (18) Merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada suatu titik. Jika nilai determinannya tidak sama dengan nol maka kedua garis tersebut bersilangan. Sedangkan persamaan bidang yang memuat kedua garis dan adalah: (19)
22 Masalah 4.5 Tunjukkan bahwa garis berpotongan dengan garis. Jika berpotongan maka tentukan titik potong kedua garis tersebut serta tentukan bidang yang memuat kedua garis tersebut. 1 1 10 2 3 8 Penyelesaian dan 4 3 4 1 7 Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.,, 1, 1, 10 2, 3, 8,, 4, 3, 1 1, 4, 7 Jika kita perhatikan vektor arah kedua garis tersebut tidak berkelipatan berarti kedua garis tersebut tidak sejajar dan tidak berimpit. Untuk menunjukkan kedua garis tersebut berpotongan, kita harus mencari determinannya terlebih dahulu, dan nilai determinannya harus sama dengan nol. 0 2 1 4 1 3 4 3 1 0 8 7 1 10 2 1 3 2 1 3 4 2 3 4 0 8 7 9 8 7 72 16 63 27 28 96 0 151 151 0 0 0 Karena determinannya sama dengan nol maka garis berpotongan dengan garis. Titik potong kedua garis tersebut diperoleh dari persamaan: 2 3 3 4 2 8 7 9 Cukup kita ambil dua persamaan, sehingga diperoleh nilai dan dengan cara mengeliminasikan kedua persamaan tersebut. Setelah di eliminasi maka diperoleh nilai 2 dan 1. Untuk memperoleh titik potong kedua garis tersebut kita menggunakan persamaan:,,,,,,
23,, 1, 1, 10 22, 3, 8,, 5, 7, 6 Jika kita menggunakan persamaan:,,,,,,,, 4, 3, 1 11, 4, 7,, 5, 7, 6 Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah 5, 7, 6 Bidang rata yang memuat garis dan adalah: 0 2 1 1 2 1 3 4 1 3 4 0 8 7 10 8 7 8 10 8 1 21 1 3 10 14 1 32 1 = 0 8 80 8 8 21 21 3 30 14 14 32 32 0 11 6 5 67 0 Jadi, persamaan bidang yang memuat kedua garis tersebut adalah 11 6 5 67 0. B. Garis Lurus Memotong Dua garis Lurus Lain di Bidang dan di Ruang 4.2 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Bidang Misalkan 0 dan 0. Untuk menentukan persamaan garis lain kita menggunakan persamaan berkas garis, berkas garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan arahnya berlainan. Persamaan berkas garis adalah dimana disebut dengan parameter dan harus linier. Titik potong S kedua garis dan terletak pada garis, berarti koordinat titik potong tersebut memenuhi ke dalam persamaan garis maupun ke dalam garis. Serta untuk tiap-tiap harga bentuk 0 selalu linier, sehingga menghasilkan sebuah garis lurus yang melalui S. Jadi dapat disimpulkan bahwa semua garis yang didapat dari persamaan 0 selalu melalui titik potong kedua garis dan. (20) Masalah 4.6 Diketahui dua garis lurus 1 dan 2
24 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua garis tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Buatlah berkas garis sehingga dapat di tulis menjadi: 1 1 2 0 2.. 1 1 1 1 1 2 0 2 Karena garis tersebut melalui titik pangkal yaitu 0, 0 maka diperoleh: 0 0 1 2 0 sehingga di dapatlah nilai. Subsitusikan nilai ke persamaan (1) yaitu: 1 1 2 1 2 0 2 2 1 1 2 0 2 2 2 2 1 2 0 2 3 3 0 2 1 2 Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua garis tersebut adalah. 4.3 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Ruang Jika 0 dan 0 maka persamaan umum dari garis lurus yang memotong dan adalah dan (21) Masalah 4.7 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2, 1, 1 dan memotong garis-garis lurus 2 4 0, 2 0 serta 3 4, 2 5 8.
25 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Persamaan umum garis lurus yang memotong dan adalah: dan Pertama kita menggunakan persamaan 2 4 2 0 2 1 2 4 0 (22) Karena melalui titik 2, 1, 1 maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan (22), 22 1 1 21 4 0 4 1 2 4 0 1 0 1 Subsitusikan nilai 1 ke persamaan (22) sehingga diperoleh persamaan garis: 2 1 1 21 4 0 2 2 2 4 0 2 0 Jadi, persamaan garis lurus adalah. Kedua kita menggunakan persamaan 3 4 2 5 8 0 1 2 3 5 4 8 0 (23) Karena melalui titik 2, 1, 1 maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan (23), 1 22 3 51 4 8 0 2 4 3 5 4 8 0 1 0 1 Subsitusikan nilai 1 ke persamaan (23) sehingga diperoleh persamaan garis: 1 2 1 3 5 1 4 8 1 0 2 4 0 2 4 0 Jadi, persamaan garis lurus adalah.
26 C. Sudut Antara Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Sekarang kita perhatikan sudut yang merupakan sudut diantara dua garis lurus di bidang seperti yang terlihat pada Gambar 4.1. Jika dan. Sudut adalah sudut perpotongan antara kedua garis tersebut. tan dan tan tan tan tan tan tan 1 tan. tan karena tan dan tan maka di peroleh suatu persamaan: tan 1. Supaya sudut selalu lancip, maka tan harus bernilai positif, oleh karena itu diambil harga mutlaknya yaitu:. (24). (25) CATATAN (4) Jika, maka. Ini berarti dua garis tersebut sejajar atau berimpit. Dua garis tersebut akan sejajar apabila dan dua garis tersebut berimpit, apabila.
27 Jika harga tan besarnya tak berhingga, yaitu, maka. atau.. Ini berarti kedua garis tersebut saling tegak lurus. Masalah 4.8 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2, 1 dan mengapit sudut yang besarnya 45 dengan garis 2 3 4 0. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Perhatikan gambar 4.2 di bawah ini adalah sketsa dari ketentuan-ketentuan dalam soal dan garis dan adalah garis-garis yang mengapit sudut yang besarnya 45 dengan garis 2 3 4 0. Tanjakan garis 2 3 4 0 adalah. Misalkan tanjakan garis yang dicari adalah, maka tan 45 1. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3
28 1 2 3 2 3 1 3 5 3 1 5 Jadi, persamaan garis adalah garis dengan gradien 2, 1, yaitu: dan melalui titik 1 1 2 5 5 5 2 5 3 0 Gradien garis adalah 5, karena garis tegak lurus dengan garis sehingga diperoleh persamaan garis melalui titik 2, 1 dengan gradien 5 adalah 1 5 2 1 5 10 5 11 0 Berdasarkan proses di atas, persamaan garis lurus yang melalui titik 2, 1 adalah dan. Sedangkan sudut antara garis dan di ruang adalah sudut antara vektor-vektor arah,, dan,, yaitu: cos,,.,,,,,, cos Jadi, persamaan untuk menentukan sudut antara dua garis lurus di ruang adalah: CATATAN (5) (25) Jika kedua garis dan saling tegak lurus apabial dot product vektor arah mereka sama dengan nol sehingga diperoleh suatu persamaan:,,.,, (26)
29 Masalah 4.9 Tentukan sudut antara garis h,, 1, 2, 0 2, 1, 2 dan garis,, 2, 6, 3. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Sudut antara garis h dan garis adalah cos 2. 2 1. 6 2. 3 cos 2 1 2 2 6 3 4 6 6 cos 4 1 44 36 9 4 cos 9. 49 4 cos 3.7 cos 4 21 Jadi, sudut antara garis h dan garis adalah cos. D. Jarak Sebuah Titik Ke Sebuah Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Sebelumnya kita sudah mempelajari kegiatan 3.3 yaitu persamaan normal Hesse adalah cos sin dengan adalah jarak dari titik pangkal ke garis dan adalah sudut antara jarak tersebut dengan sumbu positif serta titik, yang berjarak dari garis seperti yang terlihat pada Gambar 4.3 di bawah ini.
30 Gambar 4.3. Garis Lurus sejajar dengan garis Dari persamaan normal Hesse tersebut dapat ditentukan persamaan normal garis yang melalui titik, dan sejajar dengan garis. Jelas bahwa panjang normal dari normal dari garis adalah, maka persamaan normal garis adalah. Karena titik, pada garis, maka koordinat-koordinat titik memenuhi persamaan garis, sehingga diperoleh. Jadi,. Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula jarak tersebut apabila titik-titik dan terletak sepihak terhadap garis, sehinga diperoleh. Karena adalah jarak, maka nilainya harus positif, sehingga harus diambil harga mutlaknya. (27) Jika persamaan garisnya merupakan persamaan untuk umum, maka untuk menentukan jarak suatu titik pada garis tersebut harus diubah ke persamaan normal. Karena persamaan normal garis 0 adalah ± 0 Maka jarak titik, ke garis tersebut adalah Bentuk persamaan normal garis adalah ± 0 1 Maka jarak titik, ke garis adalah (28)
31 (29) Masalah 4.10 Tentukan jarak titik 2, 3 ke garis 3 4 3 0 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Jarak titik 2, 3 ke garis 3 4 3 0 adalah 3 4 3 3 4 32 43 3 9 16 6 12 3 25 9 5 9 5 Sedangkan jarak titik ke garis di ruang, kita misalkan titik,, dan garis tersebut berada di ruang. Kita dapat di menghitungnya dengan cara sebagai berikut: 1. Buat bidang melalui yang tegak lurus garis. 2. Cari titik, titik ini adalah titik tembus garis pada bidang. 3. Setelah dapat titik maka hubungkan titik ke sehingga terbentuklah sebuah garis lurus yaitu garis. Garis adalah suatu garis yang tegak lurus garis dan melalui titik sehingga panjang adalah jarak titik ke garis. Seperti yang terlihat pada Gambar 4.4 dibawah ini. Gambar 4.4. Bidang rata tegak lurus terhadap garis
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 32 4. Untuk mencari panjang kita menggunakan persamaan jarak antara dua titik yaitu. Masalah 4.11 Tentukan jarak titik 4, 5, 3 ke garis lurus 5 3 6 3 4 5 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk mencari jarak titik ke garis lurus kita ikuti langkah-langkah di atas: 1. Buat bidang melalui titik,, yang tegak lurus garis Persamaan bidang rata yang melalui titik,, adalah 4 5 3 0 Karena bidang maka sehingga di peroleh,,,, 3, 4, 5,, Berarti 3, 4 dan 5, subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu 3 4 4 5 5 3 0 3 12 4 20 5 15 0 3 4 5 47 0 (1) 2. Cari titik,, titik ini adalah titik tembus garis pada bidang. Untuk menentukan titik tembus garis pada bidang, kita gunakan persamaan parameter garis lurus yaitu 5 3 3 4..(2) 6 5 Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), untuk memperoleh niai. 3 4 5 47 0 35 3 4 3 4 5 6 5 47 0 15 9 12 16 30 25 47 0 50 50 0 1
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 33 Subsitukan nilai 1 ke persamaan (2), sehingga diperoleh 5 3 8 3 4 7 6 5 1 Jadi, titik adalah 8, 7, 1. 3. Jarak antara titik 4, 5, 3 ke titik 8, 7, 1 adalah 8 4 7 5 1 3 4 2 4 16 4 16 36 6 Jadi, jarak titik ke garis tersebut adalah 6 satuan panjang. E. Jarak Antara Dua Garis Lurus di Ruang Untuk mencari jarak antara dua garis lurus dan di ruang ada beberapa hal yang harus di perhatikan yaitu: 1. Jika dan sejajar, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini. a. Pilihlah sebarang titik pada garis berarti,, b. Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis, yang dengan sendirinya juga tegak lurus pada pada garis. Seperti yang terlihat pada Gambar 4.5 di bawah ini. Gambar 4.5. Bidang rata tegak lurus terhadap dua garis yang sejajar c. Tentukan titik, titik adalah titik tembus garis pada. d. Setelah titikk di dapat maka carilah panjang dimana panjang ini adalah jarak antara garis dan garis. Seperti yang terlihat pada Gambar 4.6 di bawah ini.
34 Gambar 4.6. Bidang B rata sejajar dengan garis lurus e. Mencari panjang dengan menggunakan persamaan jarak antara dua titik yaitu: 2. Jika dan bersilangan, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini. a. Buat bidang rata yang melalui garis dan sejajar dengan garis. b. Pilih sebarang titik pada garis. c. Tentukan jarak titik ke bidang, jarak ke bidang ini adalah jarak antara garis dan garis. d. Untuk menghitung jarak titik ke bidang, kita menggunakan Masalah 4.12 persamaan jarak antara titik ke bidang rata yaitu Tentukan jarak antara garis lurus dan dibawah ini. 2 2 2 3 4 8 2 3 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Pertama-tama kita perhatikan apakah kedua garis tersebut sejajar atau bersilangan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka kita menggunakan langkah yang pertama, dan jika tidak maka kita menggunakan langkah yang kedua. Perhatikan vektor arah kedua garis lurus tersebut, apakah sama atau tidak. Ternyata kedua garis tersebut memiliki vektor arah yang sama yaitu 2, 3, 1,
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 35 berarti kedua garis tersebut sejajar. Karena maka kita menggunakan langkah yang pertama yaitu: 1. Pilihlah sebarang titik pada garis, berarti,, Titik 2, 0, 2 yang terletak pada garis berarti 2, 0, 2. 2. Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis yang juga akan tegak lurus dengan garis. Persamaan bidang rata yang melalui titik 2, 0, 2 adalah 0 2 0 2 0 2 2 0 Karena bidang maka sehingga di peroleh,,,, 2, 3, 1,, Berarti 2, 3 dan 2, subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu 2 2 3 2 0 2 4 3 2 0 2 3 6 0..(1) 3. Tentukan titik,, titik adalah titik tembus garis pada. Untuk menentukan titik tembus garis pada bidang rata adalah dengan menggunakan persamaan parameter garis lurus yaitu 2 4 3.(2) 8 Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai yaitu 2 3 6 0 22 34 3 8 6 0 4 12 9 8 6 0 14 14 0 1 Subsitusikan nilai 1 ke persamaan (2) sehingga diperoleh 2 4 3 1 1 8 1 7 Jadi titik adalah 2, 1, 7. 4. Jarak antara titik,, ke titik,, adalah
36 2 2 1 0 7 2 4 1 5 16 1 25 42 Jadi, jarak antara garis ke garis adalah 42 satuan panjang. Rangkuman 1. Kedudukan dua garis lurus di Bidang, Jika garis sejajar dengan garis maka Jika garis tegak lurus dengan garis maka. Garis berimpit dengan garis jika dan hanya jika dan. Garis berpotongan dengan garis jika dan. 2. Kedudukan dua garis lurus di Ruang, Jika garis sejajar dengan garis maka Garis berimpit dengan garis jika dan hanya jika dan,, Garis berpotongan dengan garis jika dan hanya jika. 3. Persamaan garis lurus yang perpotongan dengan dua buah garis lurus di bidang adalah sedangkan persamaan garis lurus yang berpotongan dengan garis lain adalah dan. 4. Sudut antara dua buah garis lurus di bidang adalah sedangkan sudut antara dua buah garis lurus di ruang adalah 5. Jarak sebuah titik, ke garis 0 adalah