BB XI. LINGKRN (x- x ) (x- x ) + (y- y ) (y- y ) 0 Contoh soal: Pengertian : Lingkaran adalah tepat kedudukan titik-titik yang berjarak konstan/saa terhadap sebuah titik tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan titiktitik yang berjarak saa itu disebut jari-jari (r). r 0. Persaaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari jari adalah. ( x 0) + ( y 0 ) r x + y r x + y x + y Persaaan lingkarannya adalah: x + y Persaaan lingkaran:. Berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r ( x 0) + ( y 0 ) r x + y r Suatu titik (a,b) dikatakan terletak :. Persaaan lingkaran yang berpusat di (5,) dan berjari-jari adalah. (x a) + (y b) r (x 5) + (y ) a. pada lingkaran x + y r a + b r b. di dala lingkaran x + y r a + b < r c. di luar lingkaran x + y r a + b > r. Berpusat di (a,b) dan berjari-jari r (x a) + (y b) r jika lingkaran berpusat di (a,b) : a. Menyinggung subu X, aka b b. Menyinggung subu Y, aka a c. enyinggung garis x y + C, aka a b + C 3. titik ujung diaeternya diketahui (x,y ) dan (x,y ), aka persaaannya adalah : x - 0x + 5 + y - y + 6 x + y - 0x - y + 5 + - 6 0 x + y - 0x - y + 3 0 Jadi persaaan lingkarannya adalah: x + y - 0x - y + 3 0 3. Persaaan lingkaran yang berpusat di (3,) dan elalui titik (6,8) adalah. Diketahui a 3 dan b (x a) + (y b) r (x 3) + (y ) r lingkaran elalui titik (5,), aka titik tersebut berada pada lingkaran. Maukkan titik tersebut ke dala persaaan lingkaran : www.belajar-ateatika.co -
. SOL-SOL LINGKRN EBTNS999. Diketahui lingkaran x + y + px +0y + 9 0 epunyai jari-jari 5 dan enyinggung subu x. Pusat lingkaran tersebut adalah. (-5,-3) C.(6,-5) E. ((3,-5) B. (-5,3) D. (-6,-5) Persaaan lingkaran: x + y + px +0y + 9 0 Jawab: (x a) + (y b) r a ; b ;? pabila enyinggung garis x y + c, aka a b + C x y + C 3x-y 0 3; B - ; C - p: B 0 : C 9 Menyinggung subu x aka b 5 3.+ ( ). + ( ) 3 + ( ) Pusat lingkaran (-, - B) 3 6 9 + 6 5 9 + 6 5 3 5 + B 5 ( p ) + (0) 9. p +.00 9 p + 5 9 p + 6 5 p + 6 p 9 p ± 3 Pusat lingkaran: jika p 3 (-.6, -.0) (-3,-5) jika p -3 (-.-6, -.0) (3,-5) aka jawaban yang ada adalah (3,-5) E UN005. Persaaan lingkaran yang berpusat di (,) dan enyinggung garis 3x-y 0 adalah. x + y + 3x -y - 0 B. x + y + x -6y -3 0 C. x + y + x +8y -8 0 D. x + y -x -8y +8 0 E. x + y + x +8y -6 0 Persaaan lingkaran : (x ) + (y ) 3 x -x + + y - 8y + 6 9 x + y -x - 8y + 7 9 0 x + y -x - 8y + 8 0 Jawabannya adalah D UN00 3. Jarak antara titik pusat lingkaran x -x + y + 0 dari subu Y adalah.. 3 B. C. D. Pusat lingkaran (-, - B) - ; B 0 E. Pusat lingkaran (-.-, -.0) (,0) Y jaraknya adalah Jawabannya adalah C (,0) www.ateatika-sa.co
UMPTN998. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x + y + x -5y - 0, aka nilai k adalah... - atau - C. - atau 6 E. atau 6 B. atau D. 0 atau 3 Jawab: asukkan nilai (-5, k) ke dala persaaan lingkaran: (-5) + k +.(-5) 5.k 0 5 + k - 0 5.k - 0 k - 5 k 6 0 (k + ) (k 6) 0 k - atau k 6 jawabannya adalah C EBTNS99 5. Lingkaran dengan persaaan x + y - x + y + c 0 elalui titik (0,-), Jari-jarinya.. B. C. 5 D. 0 E. 5 Masukkan nilai (0,-) ke dala persaaan: 0 + (-) - 0 + (-) + c 0 + c 0 c, sehingga persaaan lingkarannya x. x + y. y + (x + x ) + B ( y + y ) + C 0 x -9 ; y : 0: B - ; C 0 x. -9 + y. +. 0 (x -9) +.(-) (y+) + 0 0-9x + y + 5x -5-6y -6 + 0 0 -x 5y -3 0 x + 5y + 3 0 jawabannya adalah D UN006 7. Persaaan lingkaran dengan pusat P (3,) dan enyinggung garis 3x +y + 7 0 adalah. x + y - 6x - y + 6 0 B. x + y - 6x - y + 9 0 C. x + y - 6x - y - 6 0 D. x + y + 6x - y -9 0 E. x + y + 6x + y + 6 0 persaaan lingkaran dengan pusat (3,) : (x-3) + (y-) r a 3 ; b enyinggung garis : 3x +y + 7 0 identik dengan x y + C 0 3; B dan C 7 enjadi x + y - x + y + 0 didapat - : B dan C a b + C + B ( ) + () + Jawabannya adalah B UN005 6. Persaaan garis singgung lingkaran x + y +0x -y +0 0 yang elalui titik (-9,) adalah.. x 5y + 3 0 D. x + 5y + 3 0 B. x 5y + 0 E. x + 5y + 0 C. x 5y - 3 0 www.ateatika-sa.co 3.3 +.+ 7 3 + 0 0 5 5 sehingga persaaan lingkarannya: (x-3) + (y-) r x - 6x + 9 + y - y + x + y - 6x - y + 9 + - 6 0 x + y - 6x - y - 6 0 jawabannya adalah C
UN007 8. Salah satu persaaan garis singgung pada lingkaran (x ) + (y + ) 3 di titik yang berabsis - adalah. 3x y 3 0 D. 3x + y + 9 0 B. 3x y 5 0 E. 3x + y + 5 0 C. 3x + y 9 0 Titik berabsis - berarti x - asukkan ke dala persaaan: (- ) + (y+) 3 (-3) + (y+) 3 9 + (y+) 3 (y+) 3 9 (y+) y + y + ± y - ± y atau y -3 jadi titiknya adalah (-, ) dan (-, -3) Persaaan garis singgung elalui titik (a,b) adalah ( x- a) ( x -a) + (y-b)(y -b) r a ; b - ; elalui titik (-,) x - dan y : (x ) (--) + (y+) ( + ) 3-3x + 6 + y + - 3 0-3x + y 5 0 di jawaban tidak ada elalui titik (-,-3) x - dan y -3 (x ) (--) + (y+) (-3 + ) 3-3x + 6 -y - - 3 0-3x -y 9 0 3x +y + 9 0 jawabannya adalah D UN00 9. Persaaan garis singgung lingkaran x + y -x -6y + 0 yang tegak lurus garis 3x-y 0 adalah. y 3-3 (x-) ± 3 0 B. y 3-3 (x-) ± 0 C. y 3-3 (x-) ± 0 D. y 3-3 (x-) ± 3 0 E y 3-3 (x-) ± 9 0 y b ( x a ) ± r x + y -x -6y + 0 -; B -6 ; C + Pusat (-, - B) dan Pusat (-.-, -.-6) ) (, 3) a ; b 3.( ) +.( 6) + 9 9 persaaan garis 3x-y 0 y 3x 3 isal ini adalah a isal b gradient garis singgung karena tegak lurus aka : a. b - 3. b - b - 3 Maka persaaan garis singgung lingkarannya adalah: y b ( x a ) ± r + y 3 - (x -) ± 3 9 + ( ) 3 y 3 - (x - ) ± 3 9 + 9 y 3 - (x - ) ± 3 9 0 9 90 y 3 - (x - ) ± 3 9 www.ateatika-sa.co 3
y 3-3 (x - ) ± 0 jawabannya adalah C EBTNS000 0. Garis singgung dititik (,-5) pada lingkaran x + y 69 enyinggung lingkaran (x-5) + (y-) p. Nilai p.. 07 B. 69 C. 7 D. 9 E. 3 Persaaan garis singgung di titik (,-5) pada lingkaran x + y 69 adalah: x. x + y. y r x ; y -5 x - 5 y 69 x 5 y 69 0 x y + C ; B -5 dan C -69 lingkaran (x-5) + (y-) p a 5; b jika lingkaran berpusat di (a,b) enyinggung garis x y + C, aka a b + C Jawab: titik (0,) berada di luar lingkaran : karena 0 + > persaaan garis singgung elalui titik (0,): y x +c x 0; y y - y ( x - x ) ; y (x-0) y x+ aka c cari nilai y - b (x - a) + c ; diana c r c r + c r ( + ) 6 (+ ) 6 + 3 ± 3 asukkan ke dala persaaan y x+. jika 3 y 3 x + jika - 3 y - 3x + Jawabannya adalah D + p r.5 + ( 5). 69 + ( 5) 69 69 69 3 3 p r 3 69 Jawabannya adalah B EBTNS00. Salah satu persaaan garis singgung dari titik (0,) pada lingkaran x + y adalah... y x + C. y -x + E. y -x + B. y x + D. y -x 3 + www.ateatika-sa.co
(x 3) + (y ) r (6 3) + (8 ) r 3 + (-) r 9 + 6 r 5 r 5 5 r diketahui aka persaaan lingkarannya: (x 3) + (y ) r (x 3) + (y ) 5 x - 6x + 9 + y - 8y + 6 5 x + y - 6x - 8y + 9 + 6 5 x + y - 6x - 8y + 5-5 0 x + y - 6x - 8y 0 Jadi persaaan lingkarannya adalah: x + y - 6x - 8y 0. Persaaan lingkaran berpusat di (3,5) dan enyinggung subu x adalah. diketahui a 3 dan b 5 Menyinggung subu x aka b 5 (x a) + (y b) r (x 3) + (y 5) 5 x - 6x + 9 + y - 0y + 5 5 x + y - 6x - 0y + 9 + 5-5 0 x + y - 6x - 0y + 9 0 aka persaaan lingkarannya adalah: x + y - 6x - 0y + 9 0 x + y - ax - by + a + b - r 0 persaaan terakhir dapat disepurnakan enjadi persaaan berikut: x + y + x y + C 0 dengan -a a - B -b b - B C a + b - r r a + b - C Persaaan uu lingkaran adalah: Pusat (a,b) dan jari-jari r atau Pusat (-, - B) dan contoh soal: a + b. Pusat dan jari-jari lingkaran x + y + x - 6y + 3 0 adalah.. Pusat (-, - B) dan x + y + x y + C 0 persaaan uu lingkaran Persaaan Uu Lingkaran : Lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r adalah (x a) + (y b) r apabila dijabarkan diperoleh : x - ax + a + y - by + b r x + y + x - 6y + 3 0 persaaan lingkaran soal aka diketahui, B -6 dan C 3 sehingga, pusat (-, - B) (-., -.-6) (-,3) www.belajar-ateatika.co -
+ B. + ( 6) 3. pabila D0 Garis g enyinggung lingkaran garis g + 9 3 0 Perpotongan Garis dan Lingkaran: persaaan uu lingkaran: x + y + x y + C 0 garis g dengan persaaan: 3. pabila D<0 Garis g tidak eotong dan enyinggung lingkaran garis g y x + n jika persaaan garis g disubstitusikan ke persaaan lingkaran diperoleh: x + (x + n) + x (x + n) + C 0 x + x + nx + n + x x n + C 0 ( + ) x + (n ++B)x + n +Bn +C 0 Diskriinan: D b - ac Diana b n ++B a + c n +Bn +C da 3 keungkinan perpotongan garis g dengan lingkaran:. pabila D>0 garis g eotong lingkaran garis g contoh soal: Diketahui sebuah lingkaran x + y 5 akan enyinggung garis y x + p apabila nilai p. cara : Persaaan lingkaran x + y 5 () Persaaan garis y x + p () substitusi () ke () : x + (x+p) 5 x + x + xp + p 5 x + xp + p -5 0.(3) garis akan enyinggung lingkaran apabila diskriinan (D) persaaan (3) 0 D b - ac 0 (p) -.. (p -5) 0 p - 8 p + 00 0 www.belajar-ateatika.co - 3
- p + 00 0 p 00 p 50 p 50 ± 5 Garis y x + p akan enyingung lingkaran apabila p ± 5 Cara : garis x y + C akan enyinggung lingkaran aka a b + C persaaan lingkaran x + y 5 ( x 0) + ( y 0 ) 5 a 0, b 0 dan 5 persaaan garis y x + p x - y + p 0 ; B - dan C p 5 5 a b + C.0 + ( ).0 + p p ; + ( ) karena nilai p adalah nilai utlak aka ada nilai : 5 p p - 5 atau 5 aka nilai yang eenuhi adalah: p ± 5 p p 5 Persaaan Garis Singgung Lingkaran. Garis singgung lingkaran elalui sebuah titik yang diketahui pada lingkaran a. Persaaan garis singgung elalui titik (x, y ) pada lingkaran x + y r adalah : x. x + y. y r b. Persaaan garis singgung elalui titik (x, y ) pada lingkaran (x a) + (y b) r adalah : ( x- a) ( x -a) + (y-b)(y -b) r c. Persaaan garis singgung elalui titik (x, y ) pada lingkaran x + y + x y + C 0 adalah: x. x + y. y + (x + x ) + B ( y + y ) + C 0 dari ana dan B? -awal dari persaaan lingkaran adalah x dan By - karena ada tabahan enjadi x + x sehinga enjadi kali aka nya enjadi deikian juga dengan B contoh soal:. Persaaan garis singgung di titik (3,) pada lingkaran x + y 3 adalah.. x. x + y. y r. x 3 ; y ; r 3 aka persaaan garis singgungnya adalah : x. 3 + y. 3 3.x +.y 3 www.belajar-ateatika.co -
. Persaaan garis singgung elalui titik (5,) pada lingkaran x + y - x + 6y - 0 adalah. Cara : Diketahui x 5 ; y ; - ; B6; C -. Garis singgung dengan gradien yang diketahui a. jika garis y x + n enyinggung lingkaran x + y r aka persaaan garis singgungnya adalah : Lingkaran adalah berpusat di (0,0) sehingga persaaan garis singgungnya adalah: x. x + y. y + (x + x ) + B ( y + y ) + C 0 y 0 (x 0) ± r + 5.x + y +. (-) (x + 5) +.6 (y+) 0 y x ± r + 5x + y -x -0 + 3y + 3 0 3x + y -9 0 Persaaan garis singgungnya adalah 3x + y -9 0 b. jika garis y x + n enyinggung lingkaran (x a) + (y b) r, aka persaaan garis singgungnya adalah: Cara : y b ( x a ) ± r + x + y - x + 6y - 0 cari pusat dan r: (x-) - + (y+3) - 9 0 (x-) + (y+3) - 5 0 (x-) + (y+3) 5 atau : Pusat (-, - B) dan -; B 6 ; C - Pusat (-.-, -.6) (, -3) a ; b -3 ( ) + (6) ( ) + 9 + 5 r 5 persaaan garis singgung: Contoh soal : Persaaan garis singgung pada lingkaran x + y - 6x + y + 8 0 dan sejajar garis x y + 0 adalah. Jawab: y b ( x a ) ± r + persaaan lingkaran : x + y - 6x + y + 8 0-6; B ; C 8 Pusat (-, - B) dan Pusat (-.-6, -. ) (3,-) a 3; b- ( x- a) ( x -a) + (y-b)(y -b) r diketahui a ; b -3 ; r 5 ; x 5; y + B ( 6) + () 8 ( x- ) ( 5 - ) + (y + 3)(+3) 5 ( x- ).3 + (y + 3)() 5 3x 6 +y + -5 0 3x + y -9 0 9 + 8 5 www.belajar-ateatika.co - 5
Persaaan garis x y + 0 x + y y x+ y x + isal garis tersebut adalah a, aka didapat Gradient garis a a, Misal gradient garis singgung pada lingkaran b Karena sejajar aka a b catatan : a. b - tegak lurus y b ( x a ) ± r y (-) (x-3) ± 5 y + x 6 ± 5. 5 y x 6 - ± 5 y x 8 ± 5 + + Contoh soal: Persaaan garis singgung elalu titik ( 0,5) pada lingkaran x + y 0 adalah titik (0,5) berada di luar lingkaran : karena 0 + 5 > 0 persaaan garis singgung elalui titik (0,5): y x +c x 0; y 5 y - y ( x - x ) ; y 5 (x-0) y x+5 aka c 5 cari nilai aka persaaan garis singgung pada lingkarannya adalah : y x 8 + 5 x 3 dan y x 8-5 x 3 3. Garis singgung elalui sebuah titik yang berada di luar lingkaran. y - b (x - a) + c ; diana c r c r + c r ( + ) 5 0 (+ ) 5 0 + 0 5 0 + isal: nilai koordinat titik tersebut adalah (x, y ) dan enyinggung lingkaran ( x a) + (y b) r, aka persaaan garis singgungnya adalah: y - y ( x - x ) ± asukkan ke dala persaaan y x+5. jika y x + 5 y x + 0 x y -0 nilai dan c didapat dari : y - b (x - a) + c ; diana c r + jika - y - x + 5 y - x + 0 x + y 0 r 0 (x, y ) r www.belajar-ateatika.co - 6