1 BAB III OPERATOR 3.1 Pengertian Operator Dan Sifat-sifatnya Perhatikan persamaan Schrodinger satu dimensi bebas waktu yaitu: d + V (x) ( x) E( x) m dx d ( x) m + (E V(x) ) ( x) 0 dx (3-1) (-4) Suku-suku yang berada di dalam kurung tersebut adalah operator. Operator adalah lambang matematika, yang memberi isyarat untuk mengubah suatu fungsi menjadi fungsi lain sesuai dengan operator yang dioperasikan. Contoh: D adalah operator diferensial yang tugasnya menurunkan suatu fungsi terhadap variabel/koordinat x. Pengoperasian D terhadap f(x) adalah D f(x) = f ' (x).
Contoh: 1) D (x + 5x + 6) = 4x + 5. ) Operator 3 adalah operator yang melipat tigakan suatu fungsi sehingga 3 (x + 5 e x ) = 3x + 15 e x. 3) Ada operator-operator lain seperti operator akar, logaritma, operator trigonometri dan lainlain yang tugasnya mengubah suatu fungsi menjadi fungsi lain. Secara umum jika operatot A mengubah f (x) menjadi fungsi g (x), maka ditulis A f (x) = g (x). Jumlah dan selisih dua buah operator A dan B didefinisikan oleh persamaan berikut: A B f ( x) Af ( x) Bf ( x) (3-) A B f ( x) Af ( x) Bf ( x ) Perkalian dua buah operator A dan B didefinisikan oleh persamaan berikut: A. B f (x) = A [B f (x) ] (3-3)
3 Dengan merujuk pada (3-3) berarti, yang beroperasi lebih dahulu terhadap fungsi adalah operator yang paling kanan baru kemudian operator yang kiri. Sudah barang tentu jika kita jumpai penulisan: B. A f(x) maka yang dioperasikan dulu harus A baru kemudian B. Yang perlu dipertanyakan adalah samakah A B f(x) dengan B A f(x). Pada umumnya A.B B. A. Tetapi untuk kasus-kasus khusus, dapat saja terjadi A.B = B. A. Contoh 1: Diketahui A = d/dx ; B = 3 sedang f (x) = x + 5. Akan kita selidiki apakah A.B =B. A jika dioperasikan pada f (x) Jawab: A.B f (x) = d/dx. 3 ( x + 5) = d/dx. [3 ( x + 5) ] = d/dx ( 3x + 15) = 6 x B. A = 3. d/dx ( x + 5) =3. [d/dx ( x + 5) ]
4 = 3 ( x) = 6 x Jadi A.B = B. A atau A.B B. A = 0 Contoh : Diketahui A = d/dx ; B = x sedang f (x) = x + 5. Akan kita selidiki apakah A.B = B. A jika dioperasikan pada f (x) Jawab: A.B f (x) = d/dx. x ( x + 5) = d/dx. [ x ( x + 5) ] = d/dx (x 4 + 5x ) = 4x 3 + 10 x B. A = x. d/dx ( x + 5) = x. [d/dx ( x + 5) ] = x ( x) = x 3 Jadi A.B B. A atau A.B B. A 0
5 Commutator, Commute dan Non Commute Jika kita mempunyai dua operator misal A dan B maka A.B B A disebut commutator A dan B dan ditulis A, B. Jadi A, B = A.B B. A = 0 (3-4) Dua buah commutator disebut commute jika A, B = 0 dan disebut non commute jika A, B 0. Contoh 3: Diketahui 3 buah operator yaitu operator A = d/dx (supaya praktis d/dx ditulis D) ; operatot B = x dan operator C = 3. Tentukan: a. Commutekah operator A dan B b. Commutekah operator A dan C Jawab: Caranya dicari dulu commutator pasangan tersebut. Untuk soal (a) harus ditentukan dulu commutator A, B. Untuk ini A, B dioperasikan terhadap sembarang fungsi gelombang misal fungsi F.
6 a. A, B F = A B B. A. F = A.B F B. A F = D. x F x. DF = F + x DF x DF = F A, = 1 A dan B non commute. Jadi B b. A, C F = AC C. A. F = A.C F C. A F = D. 3 F 3 D F = 3 DF 3 D F = 0 pasangan A dan C commute Contoh 4: Tentukan harga kuadrat dari ( d/dx + x ). Jawab: Untuk menentukan ( d/dx + x ) maka kita operasikan operator tersebut pada sembarang fungsi F, dan supaya praktis d/dx ditulis D. ( D + x ) F = ( D + x ) ( D + x ) F = A.B F = ( D + x ) ( D F + x F ) = D F + D x F + x D F + x F = D F + F Dx + x DF + x DF + x
7 = D F + F + x DF + x F = ( D + x D + x + 1 ) F Jadi: ( D + x ) = ( D + x D + x + 1 ) Catatan: Dari contoh di atas tampak bahwa kuadrat jumlah operator tidak sama dengan kuadrat jumlah pada operasi aljabar. 3. Fungsi Eigen dan Nilai Eigen Jika operator mengubah fungsi f(x) menjadi fungsi baru yang merupakan kelipatan k kali fungsi asalnya sehingga terdapat hubungan: A f(x) = k.f(x) (3-5) dengan k adalah konstanta, maka f(x) disebut fungsi eigen dari operator A sedang k disebut nilai eigen. Contoh 5 : Diketahui operator d/dx dan dua buah fungsi yaitu F(x) = sin 3x dan fungsi G(x) = A e 3x. Tentukan fungsi yang mana yang eigen terhadap operator d/dx?
8 Jawab: Kita selidiki dulu: d/dx F(x) = d/dx (sin 3 x ) = 3 cos 3x F(x) bukan fungsi eigen dari d/dx sebab fungsi hasilnya yaitu 3 cos 3 x tidak merupakan kelipatan fungsi asalnya yaitu sin 3x. Selanjutnya kita selidiki operasi d/dx terhadap G(x): d/dx G(x) = d/dx (A e 3 x ) = 3 A e 3 x = 3 G(x) Karena hasil operasi merupakan kelipatan fungsi asalnya, maka G(x) merupakan fungsi eigen terhadap operator d/dx dengan nilai eigen = 3. Contoh 6: Diketahui bahwa F(x) adalah fungsi eigen dari operator A dengan nilai eigen = c. Buktikan bahwa fungsi cf(x) juga eigen terhadap operator A dengan nilai eigen yang sama. Jawab : Dari pernyataan bahwa F(x) adalah fungsi eigen dari operator A dengan nilai eigen = c maka dapat ditulis: A F(x) = c F(x)
9 Selanjutnya kita selidiki A cf(x): Ac F(x) = c AF(x) = c. c F(x) terbukti 3.3 Operator Mekanika kuantum Operator mekanika kuantum antara lain operator Hamilton atau operator energi yaitu H dan operator energi kinetik yaitu T. Menurut persamaan (1-5) dan (1-6) bab I: H d = + V m dx T d = m dx Secara lebih umum d /dx biasa ditulis sehingga : H = m + V (3-6) T = m (3-7) Karena energi potensial hanya merupakan fungsi koordinat (tak gayut waktu) dan sama sekali tidak berhubungan dengan harga momentum, sehingga
10 energi potensial tidak dipengaruhi oleh prinsip ketidakpastian Heissenberg. Selain dua jenis operator mekanika kuantum ada operator momentum linear satu dimensi yaitu p x. Dalam mekanika klasik kita tahu bahwa p x = m v x dengan m adalah massa partikel dan v x kecepatan dalam arah x. Hubungan antara energi kinetik T dengan p x dalam mekanika klasik adalah: T = atau p x = p x m = ½ mv = (m/m).1/ m.v.v mt (3-8) Jika kita masukkan T pada (3-7) menggantikan T pada (3-8) maka kita peroleh operator momentum linear satu dimensi yaitu: T = m (3-7) p x = mt (3-8)
11 p x = p x = 1 m m m m d d = (i/i).-i. = (/i) dx dx p d x = i dx (3-9) Analog dengan (3-9) maka: p d y = i dy p d z = i dz = (/i) d dy = (/i) d dz (3-10) (3-11) Untuk Apakah Operator-operator Kuantum itu? fungsi gelombang dapat memberikan informasi mengenai gerak partikel yang diwakilinya. Jika kita ingin mendapatkan informasi mengenai momentum, maka kita operasikan operator momentum terhadap. Jika ternyata merupakan fungsi eigen bagi operator momentum, maka nilai eigennya adalah momentum yang kita cari.
1 Jika kita butuh harga energi kinetik, maka kita operasikan operator energi kinetik terhadap. Jika ternyata merupakan fungsi eigen terhadap operator energi kinetik maka nilai eigennya adalah energi kinetik yang kita cari. Bagaimana jika tidak merupakan fungsi eigen bagi operator tertentu? Untuk ini maka informasi mengenai suatu besaran, dapat dicari dengan menghitung harga rata-ratanya. Dipostulatkan bahwa jika Operator p x adalah operator yang berhubungan dengan besaran b, maka rata-rata harga b dinyatakan oleh: < b > = * B d (3-11) all space dengan * adalah konjugate dari. Untuk fungsi real * = sedang untuk fungsi kompleks, * adalah yang i-nya diganti i. Contoh 1: Dengan menggunakan fungsi gelombang partikel dalam kotak satu dimensi, tentukan:
13 a) harga p x b) harga rata-rata p x c) harga energi kinetik partikel
14 3.4 Persamaan Schrodinger 3 Dimensi Untuk Banyak Partikel Persamaan Schrodinger Bebas Waktu 3 dimensi untuk sebuah partikel adalah: m + V = E (3-1) m + V operator Hamilton H, jadi H = m + V (3-13) dengan adalah operator Laplace, yang dalam koordinat rektangular adalah: = x + + y z (3-14) sedang dalam koordinat polar adalah:
15 = + 1 r..r 1 +..sin r r r sin 1 sin r (3-15) Suku pertama ruas kanan persamaan Hamilton (3-13) disebut operator energi kinetik, yaitu: T = m (3-16) Sekarang kita akan membahas sistem yang terdiri atas n partikel. Kita misalkan partikel ke i mempunyai massa m i dan koordinat x i, y i, z i dengan i = 1,, 3,.... n. Energi kinetik sistem adalah total dari energi kinetik masing-masing partikel, jadi: T = 1 3... m 1 m n m 3 m n (3-17) atau
16 T = n i1 m i i (3-18) Selanjutnya kita amati fungsi energi potensialnya. Kita tahu untuk 1 buah partikel 1 dimensi, energi potensialnya hanya ditentukan oleh koordinat x, jadi: V = V(x) Untuk 1 partikel dalam 3 dimensi, energi potensial ditentukan oleh masing-masing sebuah koordinat x, y dan z, jadi: V = V ( x, y, z) Jika sistem terdiri atas n partikel dalam 3 dimensi, maka energi potensialnya tentu ditentukan oleh 3n koordinat, yaitu: V = V( x 1, y 1, z 1, x, y, z...... x n, y n z n ) (3-19) Dengan demikian operator Hamilton untuk n partikel dalam 3 dimensi adalah: H n = i + V (x 1.... z n ) (3-0) i1 m i Selanjutnya persamaan Schrodinger untuk sistem n partikel dalam 3 dimensi adalah:
17 ) z...... V (x n 1 1 n i i m i = E (3-1) dengan adalah fungsi gelombang bebas waktu n partikel dalam 3 dimensi, jadi: = (x 1............... z n ) (3-) Sebagai contoh: Untuk dua partikel yang koordinatnya (x 1, y 1, z 1 ) dan (x, y,z ) sehingga jaraknya adalah { (x 1 x ) + (y 1 y ) + (z 1 z ) } 1/, maka energi potensialnya (berbanding terbalik dengan jaraknya) adalah V = 1/ 1 1 1 z y x z y x c, jadi persamaan Schrodinger bebas waktunya adalah: E 1 1 1 1 z y x m z y x m 1/ 1 1 1 z y x z y x c (3-3) = (x 1, y 1, z 1, x, y, z )
18 Dipostulatkan oleh Bohr, untuk sistem 1 partikel dalam 1 dimensi, probabilitasnya adalah: ( x, t) dx (3-4) Untuk sistem 1 partikel dalam 3 dimensi, probabilitasnya adalah: ( x, y, z, t) dx dy dz (3-5) Untuk sistem n partikel dalam 3 dimensi, probabilitasnya adalah: ( x1, y1, z1, x... zn, t) dx1 dy1 dz1 dx... dzn (3-6) Sedang kondisi normalisasinya adalah:... ( x1, y1, z1, x... zn, t) dx1 dy1 dz1 dx... dz = 1 (3-7) Dalam mekanika kuantum, (3-6) biasa ditulis: d (3-8) Sedang (3-7) biasa ditulis: d = 1 (3-9) n
19 Catatan: 1) Penulisan fungsi gelombang dengan psi kapital, berarti fungsi koordinat dan waktu, ) jika ditulis dengan psi huruf kecil atau, berarti fungsi gelombangnya hanya fungsi koordinat saja dan tidak bergantung waktu. Hubungan antara dan adalah: iet / (x,t) = e (x) (3-30) Fungsi gelombang disebut fungsi stasioner, jika: = (3-31)
0 3.5 Partikel Dalam Kotak 3 Dimensi Fungsi Gelombang Partikel Dalam Kotak Tiga Dimensi Fungsi gelombang sebuah partikel dalam satu dimensi yang panjang kotaknya a dengan energi potensial dalam kotak = 0, yaitu: (x) = 1/ n sin x a a Bisa jadi a = b = c atau tidak. dengan (x) adalah fungsi gelombang untuk arah x. Analog dengan ini maka untuk arah y dan arah z yang panjang kotaknya berturut-turut adalah b dan c, fungsi gelombangnya adalah: 1/ n (y) = sin y b b (z) = 1/ n sin z c c Fungsi gelombangnya dalam tiga dimensi, yaitu: 1/ (x, y, z) =.. n n n sin x sin y sin z abc a b c (3-3)
1 dengan n = 0, 1,... dan seterusnya. Karena n untuk arah masing-masing tidak harus sama, maka persamaan (3-3) sebaiknya ditulis: 1/ (x, y, z) = 8 n x n y n z sin x sin y sin z abc a b c (3-33) Jika kotaknya berbentuk kubus, jadi a = b = c, maka persamaan (3-33) dapat ditulis: (x, y, z) = a 3/ n n y n sin x sin y sin a a a (3-34) z z z
Energi Partikel Dalam Kotak Tiga Dimensi dan Pengertian Degeneracy Untuk menentukan energi Partikel Dalam Kotak Tiga Dimensi maka yang perlu kita lakukan adalah memasukkan (x, y, z) ke dalam persamaan Schrodinger bebas waktu. Dengan memasukkan V = 0 akan kita peroleh: h n n E = x y nz 8 (3-35) m a b c Jika kotak berbentuk kubus, jadi a = b = c, maka, persamaan (3-35) boleh ditulis: h E = n x ny nz (3-36) 8ma Terdapat kebiasaan orang menyatakan n x, n y dan n z sebagai indek untuk mengetahui state dari fungsi gelombang yang bersangkutan. Sebagai contoh: Jika n x = 1 ; n y = 1 dan n z = 1, maka fungsi gelombang dan energinya (kotaknya berbentuk kubus)
3 h 111 dengan energi E =.3 8ma Jika n x = ; n y = 1 dan n z = 1, maka fungsi gelombang dan energinya (kotaknya berbentuk kubus) h 11 dengan energi E =. 6 8ma Jika n x = 1 ; n y = dan n z = 1, maka fungsi gelombang dan energinya (kotaknya berbentuk kubus) h 11 dengan energi E =. 6 8ma Jika n x = 1 ; n y = 1 dan n z =, maka fungsi gelombang dan energinya (kotaknya berbentuk kubus) h 11 dengan energi E =. 6 8ma dan seterusnya sehingga kita dapat membuat tabel energi sebagai berikut:
4 Fungsi Gelombang Energi Fungsi Gelombang Energi 111 11 6 E o 13 11 6 E o 13 14 E o 11 13 14 E o 1 9 E o 31 14 E o 1 9 E o 14 E o 1 9 E o 14 E o 113 dan seterusnya 311 131 11 E o 11 E o Catatan: Dalam rangka kepraktisan maka E o = h /8ma Dari tabel di atas tampak bahwa ada fungsi-fungsi gelombang berbeda yang energinya sama. Contoh yang energi levelnya 6E o ada 3 fungsi yaitu 11, dan 11. Energi level 9E o dan 11E o juga dimiliki oleh 3 fungsi gelombang,
5 energi level 14E 0 terdiri atas 6 fungsi gelombang. Beberapa fungsi gelombang berbeda tetapi energinya sama disebut degenerate. Sedang banyaknya fungsi gelombang untuk energi level tertentu disebut tingkat degenerasi. Jadi tingkat degenerasi untuk energi level 6E o adalah 3 dan disebut three fold degeneracy. Jika tingkat degenerasinya = 6 seperti pada energi level 14 E o maka ia disebut six fold degeneracy. 3.6 Kombinasi linear Fungsi-Fungsi Degeneracy dan Himpunan Linearly Independent Teoremanya adalah sebagai berikut: Jika terdapat n buah fungsi gelombang yang saling independen yaitu 1,... n yang mempunyai energi yang sama yaitu misal W. sehingga berlaku: H 1 = W 1 ; H = W ; H n = W n (3-37)
6 maka sembarang kombinasi linear dari fungsifungsi tersebut juga mempunyai energi level W. Teorema di atas akan kita buktikan. Jika kita mempunyai n buah fungsi gelombang yaitu 1,. n dan kombinasi linear dari fungsi-fungsi tersebut kita sebut, maka hubungan antara dengan 1,... n adalah: = c 1 1 + c +... c n n (3-38) Kita harus membuktikan bahwa energi level juga W yang dalam bahasa mekanika kuantum kita harus membuktikan bahwa H = W. Bukti: H = H (c 1 1 + c +... c n n ) = H c 1 1 + H c +... H c n n = c 1 H 1 + c H +... c n H n = c 1 W 1 + c W +... c n W n = W (c 1 1 + c +... c n n ) = W (terbukti) Sebagai contoh, fungsi gelombang stasioner 11, 11 dan 11 untuk partikel dalam kotak berbentuk kubus adalah degenerate dengan energi level 6E 0
7 dengan demikian maka kombinasi linearnya yaitu c 1 11 + c 11 + c 3 11 juga mempunyai energi yang sama yaitu 6Eo. Karena c 1, c dan c 3 adalah sembarang bilangan konstan, maka kita dapat membuat kombinasi linear yang tak terhingga banyaknya, yang berasal dari ketiga fungsi gelombang tersebut. Meskipun kita dapat membuat kombinasi linear yang tak terhingga banyaknya namun secara aktual kita hanya tertarik pada kombinasi fungsi eigen yang linearly independent. Suatu himpunan n fungsi f1, f.... fn adalah linearly independent jika c 1. f 1 + c f..... + c n fn = 0 hanya dapat dipenuhi manakala c1 = c =.... cn = 0. Dengan perkataan lain himpunan fungsi akan linearly independent jika tidak ada salah satu fungsipun dari himpunan tersebut yang merupakan kombinasi linear dari fungsi yang lain. Contoh: Suatu himpunan fungsi terdiri atas f1 = 3x ; f = 5x x dan f3 = x adalah bukan linearly independent karena c1 f1 + c f + c3 f3 = 0 dapat dipenuhi oleh c1 = 1/3; c = 1 dan c3 = 5. Padahal disebut linearly independen jika c1 = c = c3 = 0.
8 3.7 Persyaratan-persyaratan fungsi gelombang dalam Mekanika Kuantum Fungsi gelombang pada dasarnya adalah fungsi matematik, tetapi harus diingat bahwa tidak semua fungsi matematik adalah fungsi gelombang. Persyaratan-persyaratan yang harus dipenuhi oleh fungsi gelombang adalah 1) kontinus. ) Harga * d harus eksis (dapat dihitung) Bagi partikel yang berada dalam bound system, maka * d adalah probabilitas, untuk mengevaluasinya kita harus mengintegralkan. Jika integral tersebut eksis, maka dikatakan bahwa adalah quadratically integrable, dan ini merupakan syarat yang kedua bagi fungsi gelombang partikel dalam bound system. Dengan logika terbalik, maka dapat dinyatakan fungsi gelombang yang tidak quadratically integrable adalah fungsi gelombang untuk
9 partikel dalam unbound system atau pada partikel bebas. 3) Fungsi harus bernilai tunggal karena * harus bernilai tunggal Kita telah tahu bahwa * adalah probabilitas kerapatan partikel, karenanya ia harus bernilai tunggal (singled valued). Akan sangat membingungkan jika diperoleh dua harga berbeda dalam perhitungan probabilitas menjumpai partikel pada titik tertentu. Sebagai tambahan, biasanya juga disyaratkan bahwa selain harus kontinus, turunan-turunannya juga harus kontinus. Fungsi gelombang yang memenuhi persyaratanpersyaratan di atas disebut well behaved. Jadi suatu fungsi disebut well behaved jika: (1) kurvanya dan kurva turunannya kontinus, () bersifat quadratically integrable dan (3) bernilai tunggal.
30 Soal-Soal Bab 3: 1. Jika g = A f, tentukanlah g jika: a) A = d/dx dan f = cos (x + 1) b) A = 5 dan f = sin x c) A = ( ) dan f = sin x d) A = exp dan f = ln x e) A = d / dx dan f = ln 3x. Nyatakanlah entitas berikut, termasuk fungsi atau operator? a) A f(x) b) B A f(x) c) A B f(x) d) f(x) A e) [ A, B] f) f(x) A B jfg(x) 3) Jika D = d/dx buktikan bahwa (D + x ) (D x ) = D x 1 4) a. Buktikan bahwa untuk sembarang operator berlaku ( A + B) = (B + A). b. Kapan ( A + B) = A + A B + B?
31 5) Apakah artinya, jika sebuah operator berpangkat nol? 6) Buktikanlah commutator identitas [ A, B] = [B, A] 7) Tentukanlah: a) [ sin z, d/dz ] b) [d /dx, ax + bx + c ] c) [d/dx, d /dx ] 8. Manakah di antara fungsi-fungsi berikut yang merupakan fungsi-eigen dari d /dx? a) e x b) x c) sin x d) 3 cos x e) sin x + cos x Tentukan nilai eigennya, jika fungsinya adalah fungsi eigen. 9. Tentukan operator momentum untuk besaran fisik berikut: a) p b) x p y y p x c) (x p y y p x ) 3 x
3 10. Evaluasilah commutator berikut: a) [x, p x ] b) [x, p x ] c) [x, p y ] d) [x, H ] dengan H adalah operator Hamilton; e) [x y z, p x ] 11. Sebuah elektron berada dalam kotak tiga dimensi dengan a = 1 nm, b = nm dan c = 5 nm. Tentukan berapa probabilitasnya agar pada pengukuran posisinya akan dijumpai elektron pada batas-batas 0 < x < 0,4 nm ; 1,5 nm < y < nm dan 0 < z < 5 nm? 1. Apakah fungsi gelombang partikel dalam kotak tiga dimensi, merupakan fungsi eigen terhadap operator-operator berikut: a) p x b) p c) d) x p x z 13. Jika tak ternormalisasi, dan A adalah suatu bilangan konstan yang membuat A menjadi
33 ternormalisasi, maka tentukan A dinyatakan dalam. (Catatan: A disebut faktor normalisasi) 14. Dalam mekanika kuantum istilah state tidak sama dengan istilah energi level. Untuk partikel dalam kotak berbentuk kubus tentukan ada berapa state dan ada berapa energi level yang terletak pada rentang E < 15 h /8ma? 15. Jika h /8ma disebut Eo, tentukan berapa tingkat degeneracy dari energi level: a) 3 Eo b) 1 Eo c) 7 Eo? 16. Mana di antara himpunan berikut yang merupakan himpunan fungsi independen secara linear (Linearly independent function? a) x ; x ; x 6 b) 8, x, x, 3x 1 ; c) sin x, cos x d) sin x, cos x, e ix ===000====
34 1. Gantilah ungkapan mekanika klasik berikut dengan operator mekanika kuantum yang sesuai mv T = p = mv, dalam ruang 3 dimensi momentum angular komponen y: L y = zp x -zp z Petunjuk: p x T = m p = mv d p x = i dx T d = m dx T = m d i -i.i dx i = x d dx + +. Pasangkan fungsi eigen dalam kolom B dengan operatornya dalam kolom A. Berapakah harga eigen dari masing-masing fungsi eigen? y z No. Kolom A Kolom B
35 1 3 4 5 d d 4x 4 1x + 3 dx dx 5x d 4 dx d e 3x + e -3x x dx x d 4x + x dx (1-x ) ( x ) d dx d x (1 x) dx v-i,ii-iii,i-ii,iv-v d dx 4x 3 3x 3. Partikel bermasa m bergerak dalam box 1 dimensi sepanjang L dengan batas pada x = 0 dan x = L. Jadi V(x) = 0 utk 0 x L dan V(x) = selainnya. Fungsi eigen ternormalisasi Hamiltonian utk sistem ini adalah n (x) = nx n Sin, dengan E n =, dimana L L ml bilangan kuantum n = 1,,3, Asumsikan bahwa partikel berada dalam keaaan eigenstate