BAHAN AJAR POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN Oleh : Muhammad Imo H 0 Modul Baisa da Deet Hal.
BARISAN DAN DERET A. POLA BILANGAN. Pegetia Baisa Bilaga Baisa bilaga adalah uuta bilaga-bilaga dega atua tetetu. Cotoh : a.,, 3, 4,,. b., 4, 6, 8, 0,. c. 4,, 8,,,. d.,,,,,,. e., ½, ¼, /8,. f. 8,4,3,,,,. g.,, 3, 7, 9,. Pada cotoh diatas, bilaga-bilaga pada a,b,c,d,e mempuyai atua tetetu sehigga disebut sebagai baisa bilaga, sedagka f da g tidak mempuyai atua. Tiap-tiap bilaga pada baisa bilaga disebut suku (U) Suku petama dilambagka dega U atau a Suku kedua dilambagka dega U Suku ketiga dilambagka dega U 3 Suku ke- dilambagka dega u dega A (bilaga Asli). Pola bilaga suku ke- Cotoh : Baisa bilaga :, 3,, 7,. maka U ( x ) U 3 ( x ) U 3 ( x 3) U 4 7 ( x 4). U ( x ) Cotoh : Baisa bilaga :, 4, 9, 6,.maka U ( x ) U 4 ( x ) U 3 9 (3 x 3) U 4 6 (4 x 4). U ( x ) Cotoh 3 : Tetuka tiga suku petama suatu baisa yag umus suku ke- ya U 3! U 3() 3 U 3() 0 U 3 3(3) 7 Jadi tiga suku petama baisa tesebut adalah, 0, Cotoh 4 : Tetuka umus suku ke- dai baisa a) 4, 6, 8, 0,. b), 9,, 49,. a) 4, 6, 8, 0,. U 4 + ( x ) + U 6 4 + ( x ) + U 3 8 6 + ( x 3) + U 4 0 8 + ( x 4) +. U ( x ) + + b) U (( x ) ) U 9 3 (( x ) ) U 3 (( x 3) ) U 4 6 7 (( x 4) ). U ( - ) Modul Baisa da Deet Hal.
Cotoh : Suatu baisa bilaga dega umus U a) Tulis empat buah suku petamaya b) Beapa suku ke- da ke-7? a) U U U U 3 U 4 3 4 4 8 6 Jadi baisaya adalah, 4, 8, 6,. b) Suku ke- adalah U Suku ke-7 adalah U 7 Cotoh 6 : Hituglah jika : a) U 3 + 3 30 b) U + 7 a) U 3 + 3 30 3 30 3 3 7 3 3 3 3 7 3 8 b) U + 7 7 6 ± 4 Kaea A maka yag belaku adalah 4 3. Pegetia Deet Deet adalah jumlah seluuh suku-suku dalam baisa da dilambagka dega S Cotoh : a) ++3+4++. b) +3++7+. c) +4+6+8+. Cotoh : Diketahui suatu deet : +3++7+. Tetuka a) Jumlah dua suku yag petama b) Jumlah lima suku petama a) S +3 4 b) S +3++7+9 Modul Baisa da Deet Hal. 3
LATIHAN. Tetuka 4 suku petama dai baisa-baisa dega umus suku ke a. U + d. U ( + ) b. U + e. U 3 c. U ( 3) f. U +. Hituglah ilai dai baisa-baisa beikut ii, jika : a. U 6 0 c. U 3 80 b. U 30 d. U + 6 0 3. Tetuka umus suku ke- dai baisa-baisa di bawah ii! a., 6,, 6,. f., 9, 6, 3,. b., 4, 8, 6,. g.,,,,... 4 6 8 c. 3 4,,,,... h.,,,,... 3 6 9 3 4 6 d. 00, 0,, ½,. i., 6,, 0,. e.,, 4, 8,. j., 4, 8, 6,. 4. Diketahui deet + + + +... Hituglah : 4 8 a. Jumlah dua suku petama b. Jumlah empat suku petama B. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA. Baisa Aitmetika Baisa Aitmetika adalah baisa bilaga yag selisih ataa dua suku yag beuuta sama atau tetap. Cotoh : a) 3, 8, 3, 8,. (selisih/beda 8 3 3 8 8 3 ) b) 0, 7, 4,,. (selisih/beda 7 0 4 7 4 3) c), 4, 6, 8,. (selisih/beda 4 6 4 8 6 ) d),,,,. (selisih/beda 0) Selisih dua suku yag beuuta disebut beda (b) Rumus : b U U b U 3 U b U U - b U 4 U 3 dst Jika suku petama a da beda b, maka secaa umum baisa Aitmetika tesebut adalah: U U U 3 U 4 U a, a + b, a + b, a + 3b, a + (-)b Jadi umus suku ke- baisa aitmetika adalah U Suku ke- U a + ( )b U Suku petama U beda atau selisih U bayakya suku Cotoh : Diketahui baisa Aitmetika :, 6, 0,. Tetuka suku ke-4 a b 6 4 4 U a + ( )b U 4 + (4 ). 4 + 3. 4 + 4 Modul Baisa da Deet Hal. 4
Cotoh : Diketahui suatu baisa Aitmetika dega U 7 da U 6 9, tetuka : a) Beda b) Suku petama c) Suku ke-4 U 6 a + b 9 U 4 a + 40 b U a + b 7 4 + 40(3) 4 b 4 + 0 b 3 4 U a + b 7 Jadi didapatka a + (3) 7 a) Beda 3 a + 3 7 b) Suku petama 4 a 7 3 c) Suku ke-4 4 a 4 Cotoh 3 : Diketahui baisa Aitmetika 4, 7, 0,. Tetuka a) beda b) U 0 c) Rumus suku ke- a) b 7 4 3 c) U a + ( )b b) U a + ( + )b U 4 + ( )3 U 0 4 + (0 ) 3 U 4 + 3 3 4 + 9. 3 U 3 + 4 + 7 3 Cotoh 4 : Pada suatu baisa Aitmetika diketahui U 8 4 da U 0 30. Tetuka : a) Beda da suku petamaya b) Suku ke- c) 6 suku yag petama a) U 0 a + 9b 30 U 8 a + 7b 4 b 6 b 3 U 8 a + 7b 4 a + 7(3) 4 a + 4 a 3 Jadi didapat beda 3 da suku petama 3 b) U a + ( )b U 3 + ( )3 U 3 +. 3 U 36 c) Eam suku yag petama adalah 3, 6, 9,,, 8 Cotoh : Pada tahu petama sebuah butik mempoduksi 400 stel jas Setiap tahu ata-ata poduksiya betambah stel jas Beapakah bayakya stel jas yag dipoduksi pada tahu ke-? Bayakya poduksi tahu I, II, III, da seteusya membetuk baisa aitmetika yaitu 400, 4, 40,. a 400 da b sehigga U a + ( )b 400 + 4. 400 + 00 00 Jadi bayakya poduksi pada tahu ke- adalah 00 stel jas. Modul Baisa da Deet Hal.
LATIHAN :. Tuliska 6 suku petama dai baisa aitmetika dega ketetua : a) U + b) U 3 c) a 3 da b 4 d) a 00 da b 0 e) U ( ) f) a 0 da b. Tetuka umus suku ke- dai baisa aitmetika beikut : a) 4, 6, 8, 0,. b), 0,, 0,. c), 4, 7, 0,. d) 4, 30,,. 3. Tetuka suku ke- dai tiap-tiap baisa aitmetika beikut : a), 7, 9,. b) 4,,,. c) 3,, 0,. d),,,. e) 0, 7, 4,,. f),,,,... 4 4 4. Pada baisa aitmetika, tetuka suku petama, beda, da U 7 jika a) U 4 4 da U 8 b) U 0 da U 7 30 c) U 6 da U 0 d) U 6 da U 7. Suatu baisa Aitmetika diketahui U 9 da U 4. Tetuka a) Suku petama da bedaya b) Suku ke- 6. Tetuka umus suku ke- dai baisa aitmetika jika diketahui a) U 3 9 da U 6 b) U 6 3 da U 0 4 c) U 7 0 da U 3 d) U 0 39 da U 4. Deet Aitmetika Deet Aitmetika adalah jumlah dai seluuh suku-suku pada baisa aitmetika. Jika baisa aitmetikaya adalah U, U, U 3,., U maka deet aitmetikaya U + U + U 3 +.+ U da dilambagka dega S S U + U + U 3 + + U S a + (a + b) + (a + b) + + (U b) + (U b) + U S U + (U b) + (U b) +.+ (a + b) + (a + b) + a S (a + U) + (a + U) + (a + U) +. + (a + U) + (a + U) + (a + U) + S (a + U) suku S (a + U) Kaea U a + ( )b maka jika disubstitusika ke umus mejadi S (a + a + ( )b ) S (a + ( )b ) Modul Baisa da Deet Hal. 6
Keteaga : S Jumlah suku petama deet aitmetika U Suku ke- deet aitmetika a suku petama b beda bayakya suku Utuk meetuka suku ke- selai megguaka umus U a + ( )b dapat juga diguaka umus yag lai yaitu : U S S Cotoh : Tetuka jumlah 0 suku petama deet 3+7++ a 3 S (a + ( )b ) b 7 3 4 0 S. 0 (. 3 + (0 )4 ) S 0 (6 + 9. 4 ) S 0 (6 + 76) S 0 (8) S 80 Cotoh : Suatu baisa aitmetika dega suku ke-4 adalah da suku kedubelas adalah 8. Tetuka jumlah suku petama! U a + b 8 Sehigga S [a + ( )b ] U 4 a + 3 b 8 b 6 b U 4 a + 3 b a + ( ). [ 8] a + ( 6) a + 6. [ 40] a 6 Cotoh 3 : 300 Suatu deet aitmetika dega S 0 da S 00, tetuka U! U S S U S S U 0 00 0 Cotoh 4 : Suatu baisa aitmetika diumuska U 6 tetuka umus S! a U 6() 4 U 6() 0 b U U 0 4 6 S [a + ( )b ] S [. 4 + ( )6 ] S [ 8 + 6 6] S [ 6 + ] S 3 + S. [ ( 6) + ( )( )]. [ + 4( )] Modul Baisa da Deet Hal. 7
Cotoh : Tetuka jumlah semua bilaga gajil ataa 0 da 00! Jumlah bilaga-bilaga tesebut adalah + 3 + + 7 + + 99 yag meupaka deet aitmetika dega a, b da U 99. U a + ( )b 99 Sehigga S (a + U) + ( ) 99 + 99 S. 9 ( + 99) 9 + 99 90 9 S. 9 (0) S 997 LATIHAN 3 :. Dibeika sebuah baisa aitmetika dega umus suku ke- adalah U 3 + a) Tuliska lima suku petama b) Suku ke beapakah yag besaya 00? c) Hituglah jumlah 0 suku petama. Hituglah jumlah 0 suku petama dai deet aitmetika beikut : a) + 4 + 7 + 0 + b) 0 + 0 + + c) 0 + + 0 + d) + 3 + + 3. Hituglah jumlah suku petama dai deet aitmetika jika diketahui a) U 4 4 da U 8 6 b) U 6 da U 0 c) U 60 da U 7 0 d) U 7 da U 6 4. Rumus jumlah suku yag petama dai suatu deet adalah S +. Tetuka a) Jumlah 8 suku petama b) 3 suku petama. Tetuka bayakya bilaga ataa 0 da 00 yag habis dibagi 3 da hituglah jumlah bilaga-bilaga itu! 6. Sebuah pabik batako pada bula petama dapat mempoduksi sebayak 000 buah batako. Kaea peambaha teaga keja maka tejadi peigkata poduksi sehigga pabik tesebut dapat meambah hasil poduksiya sebayak 00 buah batako setiap bulaya. Jika pekembaga poduksi kosta, beapakah hasil poduksi batako pada bula ke-0 da beapakah batako yag telah dipoduksi selama 0 bula? C. BARISAN DAN DERET GEOMETRI. BARISAN GEOMETRI Baisa geometi adalah suatu baisa bilaga yag hasil bagi dua suku yag beuuta selalu tetap (sama). Hasil bagi dua suku yag beuuta disebut asio () Cotoh : a) 3, 6,, 6 3 6 b) 000, 00, 0, 00 0 000 00 0 c), 3, 9, 3 9 3 3 d), ½, ¼, 4 Jika suku petama dai baisa geometi U a da asio, maka baisa geometi tesebut adalah a, a, a, a 3,., a - U U3 da U U dst Modul Baisa da Deet Hal. 8
Rumus suku ke- baisa geometi adalah U a - Cotoh : Diketahui baisa geometi 3, 6,,. Tetuka suku ke-0! a 3, 3 6, da 0 Maka U a - U 0 3. () 0 U 0 3. U 0 36 Cotoh : Suatu baisa geometi diketahui U 3 44 da U 7 9. Tetuka U 6! 6 U 7 a 9 U 3 a 44 4 sehigga 6 4 U 3 a 44 a 44 a 44 4 a 44 x 4 76 Sehigga U 6 a 76 76 8 3 LATIHAN 4. Tetuka suku yag ke-6 dai baisa geometi beikut ii! a),,,,... 3 9 7, 4 b) 0,,,... c), 4, 6, 64,. d), 0, 0, 40,. Tulislah 6 suku petama dai baisa geometi dega a da ditetuka sebagai beikut : a) a 3 da b) a 6 da ½ c) a da ¼ d) a ¼ da ½ 3. Hituglah suku petama da asio dai baisa geometi dega ketetua sebagai beikut : a) U da U 4 4 b) U da U 6 c) U 4 da U 6 d) U 6 da U 3 8 Modul Baisa da Deet Hal. 9
. DERET GEOMETRI Deet geometi adalah jumlah dai semua suku-suku pada baisa geometi. Jika baisa geometiya U, U, U 3,., U maka deet geometiya U + U + U 3 +.+ U da dilambagka dega S. S U + U + U 3 + + U S a + a + a + + a + a S a + a + + a + a + a S S a a S ( ) a( ) maka S a( Keteaga : S Jumlah suku petama a suku petama asio / pembadig bayakya suku ) utuk < atau S a( ) utuk > Cotoh : Tetuka jumlah 0 suku petama deet 3 + 6 + +. a 3 6 ( > ) 3 a( ) 3( 0 ) 3(04 ) S 3(03) 3069 Cotoh : Suatu deet geometi + 3 + 9 + 7 + tetuka e) da U 8 f) Jumlah 8 suku yag petama (S 8 ) U 3 a) 3 U U 8 a -. 3 8 3 7 87 a( ) b) S Cotoh 3 : (3 8 3 ) (66 ) 660 380 Suku petama suatu deet geometi adalah 60 da asioya 3 Tetuka jika S 0! a 60 3 S 0 a( ) S 60 ( 3 ) 0 3 ( ) ( 3 ) ) 60 0 Modul Baisa da Deet Hal. 0
0 ( ) ( 3 ) ( 3 ) 30 0/ 30/ 3 43 3 3 3 + ( ) ( ) 3 ( 3 ) 3 3 Cotoh 4 : Poduksi sebuah pabik oti pada bula petama adalah 00 buah, jika poduksi pada bula-bula beikutya meuu / dai poduksi bula sebelumya, tetuka : a) Jumlah poduksi pada bula ke- b) Jumlah poduksi selama bula petama Pabik mempoduksi oti Pada bula petama 00 Pada bula kedua 00 (/ x 00) 00 00 400 Pada bula ketiga 400 (/ x 400) 400 80 30 da seteusya sehigga membetuk baisa geometi 00, 400, 30, dega a 00 400 4 00 a) Jumlah poduksi pada bula ke- U U a 4 4 6 00 00 00 04,8 0 6 Jadi jumlah poduksi pada bula ke- adalah 0 oti. b) Jumlah poduksi selama bula petama adalah S 04 a( ) 00( ( 4 ) ) 00( ( ) 3 0 S 00 ( 4 ) ( ) 3 Jadi jumlah poduksi selama bula petama adalah 68 oti. 4 00 3 680,8 68 LATIHAN :. Diketahui suatu deet geometi dega U 8 da U 3. Tetuka a) Nilai a da b) Jumlah 0 suku petama. Diketahui deet geometi dega da U 4 4. Tetuka a) suku petama b) suku ke-30 c) Jumlah 30 suku petama 3. Ahmad medepositoka uagya pada sebuah bak sebesa Rp 0.000.000,00 dega buga % petahu. Beapa jumlah uag Ahmad setelah 8 tahu, jika ia tidak peah megambil uagya? 4. Sebuah peusahaa membeli mesi bau sehaga Rp.000.000,00. Tiap tahu mesi tesebut megalami peyusuta haga 0%. Taksilah haga mesi tesebut pada akhi tahu ke empat! Modul Baisa da Deet Hal.
3. DERET GEOMETRI TAKHINGGA Deet geometi takhigga adalah deet geometi dega bayak suku takbehigga. Deet geometi takhigga dega asio > tidak dapat dihitug. Sedagka deet geometi dega asio ataa da tetapi buka 0 dapat dihitug sebab ilai sukuya semaki kecil medekati ol (0) jika semaki besa. Deet geometi takhigga yag tidak mempuyai ilai disebut Deet Divege sedagka Deet geometi takhigg yag mempuyai ilai disebut Deet Kovege Rumus deet geometi kovege adalah S a Cotoh : Tetuka S dai : a) + + +... 4 8 + b) 000 + 00 + 0 + + a) a a S b) a 000 00 000 0 a 000 000 0 S 000,... 9 9 0 0 Cotoh : Suatu deet geometi tak higga jumlahya 0 da suku petamaya 0. Hituglah jumlah 6 suku petamaya! a S a( ) S 6 0 0 6 0( ) 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 LATIHAN 6 :. Hituglah jumlah dai deet geometi takhigga beikut ii!. Suatu deet takhigga dega a 4 da ¼. Tetuka 3. Suatu deet takhigga dega a da limit jumlahyas 0. Hituglah asio deet tesebut! 4. Tetuka asio dai deet geometi takhigg, jika S 8 9 da U ¼ + S 6 S 6 0(. Diketahui deet geometi + + +... maka 4 8 a) Tetuka umus suku ke- dai baisa geometiya! b) Tetuka umus jumlah suku petama (S)! c) Hituglah jumlah takhigga deet tesebut! ( ) ) 64 63 ) S 6 ( S 6 0 64 3 9 6 6 Modul Baisa da Deet Hal.
SOAL APLIKASI DERET DALAM EKONOMI DAN BISNIS. Tua A mempuyai utag sebesa Rp 0 juta, yag aka dicicil pe tiga bula sebesa Rp juta ditambah,% dai sisa utag sebagai buga. Hituglah jumlah total buga yag mesti dibaya Tua A higga utagya luas.. Tua B medepositoka uagya pada tahu 990 sebesa M0 dega suku buga % pe tahu. Jika bugaya tidak diambil utuk jagka waktu 0 tahu kemudia, maka beapa jumlah uag Tua B tesebut pada akhi tahu ke-0. 3. PT. X mempoduksi 400 ibu to seme pada tahu petamaya da meaikka poduksiya 400 ibu to pe tahu. Hituglah poduksi seme tahu ke-0, da jumlah poduksi sejak tahu petama higga tahu ke-0. 4. Ideks haga beas pada tahu 993 adalah 00 da pada tahu 003 adalah 0. Jika diasumsika peubaha ideks haga beas megikuti deet hitug, maka hituglah ideks haga beas pada tahu 00.. Jumlah peduduk Idoesia pada tahu 990 adalah 78 juta dega laju petumbuha,78% pe tahu. Hituglah : a. Jumlah peduduk Idoesia pada tahu 000 b. Pada tahu beapakah, peduduk Idoesia aka mecapai jumlah 0 juta. 6. Dega tigkat buga 7% pe tahu suatu bak mejajika bahwa M. Y aka meeima uag sebesa US$ 6000 jika ia medepositoka sejumlah uag selama tahu. Beapa jumlah uag yag haus didepositoka Tua B di bak tesebut? 7. Ms. X mempuyai uag sebesa US$ 0.000. Ia megigika uagya mejadi US$ 000 dalam waktu 6 tahu, maka ia haus medepositoka uagya di salah satu bak yag membeika suku buga pe tahu beapa? 8. Tua AA meabug di suatu bak dega suku buga sebesa % pe tahu. Ia meabug setiap akhi tahu sebesa 0 juta upiah betuut-tuut selama tahu. Hitug jumlah uag Tua AA pada akhi tahu ke-6. 9. Suatu peusahaa eksadaa meawaka kepada seoag calo klieya bahwa dega megivestasika sejumlah daa maka selama tahu medatag ia aka meeima pembayaa sebesa US$ 000 pe tahu. Jika peusahaa tesebut membeika keutuga bagi klieya sebesa % pe tahu, maka beapakah jumlah uag yag haus disediaka oleh klie tesebut. Modul Baisa da Deet Hal. 3