Apa yang akan Anda Pelajari? Koordinat Cartesius Mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus Menentukan persamaan garis lurus Menggambar grafik garis lurus Menentukan Gradien, Persamaan garis A Menentukan Letak Titik Pada Bidang Cartesius Masih ingatkah kamu tentang koordinat cartesius? Sekarang perhatikan bidang cartesius di bawah ini! Kosa kata : Koordinat cartesius Kata Kunci : Gradien, Persamaan garis lurus - -- -0 - - - - Garis datar atau sumbu x dinamakan absis Garis tegak atau sumbu y dinamakan ordinat Latihan Lengkapilah G - - - - -- -0 N - - - - - - - K A I J a Koordinat titik : K (,) A (, ) I (, ) N (, ) J (, - ) G (, ) b Tentukan letak titik : P (, ) Q ( 0, - ) R ( -, - ) S ( -, )
Gambar di samping adalah sketsa suatu pulau Tentukan koordinat titik B, J, P, R, S dan T! J B R -9-8 - - - - -- -0 - T - - - - - - S P Gambarlah pada bidang Cartesius titik A ( -, - ), B ( 0, - ), C (, ) dan D ( -, ) Hubungan AB, BC, CD, dan DA, bangun apakah yang terjadi? Diketahui koordinat titik P ( -, ), Q (, ), dan R (, ) Jika PQRS adalah sebuah layang- layang, tentukan koordinat titik S ( jawaban tidak tunggal )! B Gradien Pengertian Gradien Jika kamu pergi ke daerah pegunungan seperti kota Malang, maka kamu akan menjumpai jalan yang menanjak atau jalan yang menurun S R Q P 9 Gambar di atas menunjukan suatu bagan ruas jalan dari P sampai S dengan posisi kemiringan yang berbeda dari P ke Q, Q ke R, dan R ke S Ukuran kemiringan dan kecondongan jalan dapat ditentukan dengan membandingkan jarak tegak terhadap jarak datar untuk masing- masing ruas jalan, yang selanjutnya disebut gradien
Dengan cara itu, maka gradien ruas jalan pada gambar di atas dapat ditentukan : Gradien / kemiringan garis PQ 9 Gradien / kemiringan garis QR Gradien / kemiringan garis RS Selanjutnya kita akan membahas gradien garis yang terletak pada bidang koordinat Cartesius C-,) - - - -- - 0 - - - E(-,-) - - - D (, - B (,) A (,) Garis Garis Ruas Garis OA OB OC OD Gradien Dari tabel di atas dapat ditarik kesimpulan Gradien suatu garis dapat ditentukan dengan memilih sebagian ruas garis yang terletak pada garis itu, jadi gradien tidak tergantung pada panjang pendeknya garis Gradien garis OA Komponen y dari OA Komponen x dari OA - Arah garis yang gradiennya positif ( garis l ), naik jika diikuti dari kiri ke kanan - Arah garis yang gradiennya negatif ( garis k ), turun jika diikuti dari kiri ke kanan
LATIHAN A B E(-,0) ---- - - 0 - D - - - C Dari gambar disamping, tentukan gradien ruas garis : a OA d OD b OB e OE c OC Tentukan gradien garis yang melalui pangkal koordinat O dan titik berikut : a K (, ) b L ( -0, ) c M ( 9, - ) d N ( -, -8 ) ---- - - 0 - - - - 0 - - - a Selidiki apakah gradien garis pada gambar di atas positif atau negatif! b Tentukan gradien masing- masing garis di atas Gradien Melalui Dua Titik y y O A (x, y ) x x x B (x, y ) y y C x Perhatikan gambar di atas, koordinat A ( x, y ) dan B ( x, y ), Sekarang kita akan menentukan gradien garis AB : Gradien garis AB Komponen x dari AB AC x - x Komponen y dari AB Komponen x dari AB
Contoh : Komponen y dari AB CB y y y x B(,) A (,) ---- - - 0 - - y x Perhatikan garis AB pada gambar di samping A (, ), maka x dan y B (, ), maka x dan y y y y y m AB atau m BA x x x x Ternyata hasilnya sama, m AB m BA Contoh Tentukan gradien garis PQ, jika diketahui koordinat titik P ( -, ) dan Q (, ) P ( -, ), maka x - dan y Q (, ), maka x dan y y y m PQ x x ( ) P(-,) Q (,) ---- - - 0 - - Gradien Garis Tertentu a Garis yang sejajar dengan sumbu Dari gambar di bawah, ruas garis PQ, RS dan TU sejajar dengan sumbu Koordinat titik P (, ) dan Q (, ) maka : m PQ 0 P Q R S 0 -- -- ---0 - - m RS T - U - 0 -
0 Kesimpulan : Garis yang sejajar dengan sumbu x ( garis datar ), gradiennya nol b Garis yang sejajar dengan sumbu Dari gambar disamping ruas garis DE, FG, dan HJ sejajar dengan sumbu Koordinat titik D (, - ) dan E (, ), maka : ( ) m DE H D F 0 tidak didefinisikan Koordinat titik F ( -, ) dan G ( -, - ), maka : m FG ( ) J -- -- -- -0 - - E - G - - 0 tidak didefinisikan Kesimpulan : Garis yang sejajar dengan sumbu, tidak mempunyai gradien c Gradien dua garis sejajar Dari gambar disamping ruas gari AB sejajar dengan ruas garis CD (AB // CD), koordinat titik A ( -, ) dan B (, - ) m AB ( ) - Koordinat titik C ( -, ) dan D (, - ) m CD ( ) C A - -- - 0 - D - B - - - - Ternyata m AB m CD Kesimpulan : Garis- garis yang sejajar memiliki gradien yang sama, atau ; Jika dua garis atau lebih memiliki gradien yang sama maka garis- garis tersebut sejajar Mengecek ketrampilan dan konsep Gambarlah dua ruas garis yang sejajar pada bidang Cartesius (sesukamu), kemudian tentukan gradien masing- masing ruas garis,
apakah kedua gradiennya sama besar? Jika ya, berarti kedua garis itu sejajar d Dua garis yang saling tegak lurus Dari gambar disamping ruas garis KL tegak lurus dengan ruas garis MN Koordinat titik K (-,-) dan L (,), maka: M (-,-) ( ) m KL ( ) L (,) N (,0) - 0 - -- - - - K (-,-) - - Koordinat titik M (-,) dan N (,0), maka: 0 m MN (_ ) m KL x m MN x Kesimpulan : Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah - Catatan : Untuk garis tegak dan garis mendatar, walaupun kedua garis itu saling tegak lurus, kesimpulan di atas tidak belaku, karena garis vertikal ( sejajar dengan sumbu ) tidak mempunyai gradien Mengecek ketrampilan dan konsep Gambarlah pada bidang Cartesius dua garis yang saling tegak lurus (sesukamu), kemudian tentukan gradien masing- masing ruas garis Apakah hasil kali keduanya adalah -? Jika ya, berarti kedua garis yang kamu gambar saling tegak lurus Gradien Garis yang Berbentuk y mx atau y mx + c Pada persamaan y mx + c, x dan y merupakan variable, sedangkan m merupakan gradien dan c merupakan konstanta Jadi untuk menentukan gradien garis y mx + c, sama halnya mencari koefisien dari x Contoh : Gradien garis y x adalah Gradien garis y -x adalah - Gradien garis y 9 x adalah Gradien Garis yang Berbentuk x a atau y b Gradien garis yang berbentuk x a Garis x a adalah garis yang sejajar dengan sumbu, jadi tidak mempunyai gradien Gradien garis yang berbentuk y b
Garis y b adalah garis yang sejajar dengan sumbu, jadi gradiennya nol Gradien Garis yang Berbentuk ax + by + c 0 Untuk menentukan gradien dari garis ax + by + c 0 dilakukan dengan cara mengubah bentuk ax + by + c 0 ke bentuk y mx + c Contoh ; Tentukan gradien dari garis yang persamaannya : x y + 0 x y + 0 ( menulis persamaan tersebut ) -y -x - ( ubahlah, sehingga di ruas kiri tinggal variabel y saja ) y x ( kedua ruas dibagi - ) y x + ( bandingkan dengan y mx + c ) Jadi gradiennya adalah Tentukan gardien dari garis yang persamaannya : y + x 0 y + x 0 y -x + y x + m LATIHAN Dari gambar disamping tentukan gradien dari garis AB, BC, CD, DA B (,) Dari keempat gradien yang sudah kamu cari, apakah A (-,) ada dua garis yang saling sejajar? sebutkan! C (,) - -- - 0 - - - D (-,-) - - Tentukan gradien garis yang melalui titik : a K (, ) dan L (, 0 ) c S (, 0 ) dan T ( -, 8 ) b P ( -, 9 ) dan R (, ) d D ( -, -9 ) dan E ( -, - ) Sebuah garis melalui titik (, a) dan (, a ), jika garis itu mempunyai gradien, tentukan nilai a! Sebuah garis melalui titik (, b ) dan ( a, 8 ), jira garis tersebut sejajar dengan sumbu x, tentukan nilai b! Diketahui garis l : y -x + a Tentukan gradien garis l! b Jika garis g sejajar dengan garis l, tentukan gradien garis g! 8
c Jika garis h tegak lurus dengan garis l, tentukan gradien h! Diketahui garis l : -8x + y 0 a Tentukan gradien garis l! b Jika garis g tegak lurus dengan garis l, tentukan gradien garis g! Garis l melalui titik A (, ) dan B (9, ) a Garis g melalui titik C ( -, ) dan titik D Jika garis g sejajar dengan garis l, tentukan koordinat titik D ( jawaban tidak tunggal ) b Garis h melalui titik E (, 0 ) dan titik F jika gari h tegak lurus dengan garis l, tentukan koordinat titik F ( jawaban tidak tunggal ) C Persamaan Garis Lurus Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik ( x, y ) Persamaan umum garis dengan gradien m dan melalui titik P ( x, y ) adalah y mx + c dengan c konstanta Jika garis itu melalui titik ( x, y ), yang berarti x x dan y y, maka : y mx + c y mx + c c y mx Selanjutnya, subsitusikan nilai c tersebut ke dalam persamaan y mx + c, sehingga diperoleh y mx + ( y mx ) y - y mx mx y y m ( x x ) Kesimpulan : Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik ( x, y ) adalah y - y m ( x x ) Contoh : Tentukan persamaan garis yang mempunyai gradien dan melalui titik (, ) m, x, y, y y m ( x x ) y ( x ) y - x 0 y x, atau y x -, atau -x + y + 0, atau x y 0 Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0, -) dan sejajar dengan l : y -x + Ingat! : Bagaimana hubungan gradien dua garis yang sejajar?, Dua garis yang sejajar mempunyai gradien Garis l : y -x +, maka m 9
Jadi, soal di atas adalah menentukan persamaan garis yang memiliki gradien, dan melalui titik ( 0, - ) y y m ( x x ) y ( - ) - ( x 0 ) y + -x y -x, atau y + x -, atau x + y + 0 Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-, ) dan tegak lurus dengan garis g : x + y 0 Masih ingat bagaimana menentukan gradien garis yang persamaannya berbentuk ax + by + c 0? x + y 0 y -x + y x + m Ingat! : Bagaimana hubungan gradien dari dua garis yang saling tegak lurus? m x m x m - m Jadi, soal di atas adalah menentukan persamaan garis yang memiliki gradien dan melalui titik (-, ) y y m ( x x ) y [ x (-) ] y ( x + ) (y ) ( x + ) ( dikalikan ) y 0 x + y x +, atau y - x, atau -x + y - 0, atau x -y + 0 Persamaan garis melalui dua titik Tentunya anda masih ingat gradien garis yang melalui dua titik (x,y ) dan y y (x,y ), yaitu : x x Selanjutnya dengan menggunakan rumus persamaan garis : y y m ( x x ) y y y y y y ( x x ) ( m diganti x x x x ) 0
y y y y x x x x ( kedua ruas dibagi y y ) Kesimpulan : Persamaan garis yang melalui dua titik adalah : Contoh : tentukan persamaan garis yang melalui titik (,) dan (,) (, ) dan (, ) y y y y x x x x x y x y y y x x y y x x y x y x y ( x- ) y x y x - atau y x - atau y x + 0 Jadi persamaan garis yang melalui titik (,) dan (,) adalah y x LATIHAN Tentukan persamaan garis berikut : a Garis yang melalui titik (,) dan bergradien b Garis yang melalui titik (,-) dan bergradien c Garis yang melalui (,0) dan sejajar dengan garis : x - y + 0 0 d Garis yang melalui (,-) dan sejajar dengan garis : y - x + 8 e Garis yang melalui (-,8) dan tegak lurus dengan garis : y x 9 f Garis yang melalui (0,) dan tegak lurus dengan garis : x + y -9 0 Tentukan persamaan garis yang melalui titik : a A (,8) dan B (,) c E (,-9) dan F (-8,-0) b C (-,) dan D (,0) d G (0,-) dan H (-,)
Menggambar Grafik garis Lurus a grafik garis yang melalui dua titik Contoh : Gambarlah garis ang melalui titik A(,) dan titik B(-,-) Langkah : a Tentukan letak titik A dan B pada bidang cartesius b Tarik garis yang melalui kedua titik - - A --- -0 - - B - - - - - b Grafik Garis melalui satu titik dan dengan Gradien tertentu Contoh : Gambarlah garis, yang melalui titik C (,) dan mempunyai gradien Langkah : atentukan letak titik C pada bidang cartesius b m, artinya komponen tegak adalah dan komponen mendatar adalah Jadi dari titik C melangkah ke kanan sejauh satuan, kemudian dilanjutkan satuan ke atas Berhenti di titik D(,) c Tarik garis melalui kedua titik tersebut - - - - -- -0 - - - - - - - C, D, Gambarlah garis Melalui titik E(-,) dan mempunyai gradien - a Tentukan letak titik E pada bidang cartesius b m -, artinya dari titik E kita melangkah ke kanan sejauh satuan, dilanjutkan ke E bawah sejauh satuanberhenti di titik F (-,) c Tarik garis melalui kedua titik F - - - - -- -0 - - - - - - -
c Menggambar grafik garis yang diketahui persamaannya Contoh : Gambarlah garis t, yang persaannya : y x + Langkah : a Tentukan dua titik sembarang yang memenuhi persamaan garis t Untuk x y + y Diperoleh titik (,) Untuk x y + y Diperoleh titik (,) b Tentukan letak kedua titik pada bidang cartesius c Tarik garis melalui kedua titik - - - - -- -0 - - - - - - - Gambarlah garis g yang persamaannya : x - y Untuk x 0 0 + y -y y - diperleh titik (0,-) Untuk y 0 x - 0 x x - - - - -- diperleh titik (,0) -0 - - - - - - - LATIHAN Gambarlah garis berikut : a Melalui titik (,) dan mempunyai gradien b Melalui titik (-,) dan mempunyai gradien - c Melalui titik (-,-) dan mempunyai gradien d Melalui titik (0,) dan mempunyai gradien - Gambarlah garis yang persamaannya : a x +y e x y + 8 0 b y x f x + y
c x + y g x - y d x y Menentukan koordinat titik potong dua garis Untuk menentukan koordinat titik potong dua garis, kita harus menggambar kedua garis tersebut pada suatu bidang Cartesius Dari gambar tersebut kita bisa menentukan koordinat titik potong kedua garis ( jika kedua garis tidak sejajar ) Contoh : Tentukan koordinat titik potong garis y x dan x + y Menggambar garis y x dan x + y Garis : y x x y y 0 Diperoleh titik (, 0) x y y Diperoleh titik (, ) Garis x + y x 0 0 + y y Diperoleh titik (0, ) x + y + y y - Diperoleh titik (, -) Jadi, koordinat titik potong garis y x - dan garis x + y adalah (,) Contoh : Tentukan koordinat titik potong garis x + y dan y x + Untuk menggambar garis pada bidang Cartesius, kita harus menentukan minimal dua titik yang dilalui Selama ini untuk menentukan kedua titik tersebut, kita melakukan dengan cara mengambil nilai x tertentu, dan disubtitusikan pada persamaan Sekarang kita mencoba untuk menentukan dua titik tersebut, dengan cara menentukan titik potong garis tersebut dengan sumbu dan sumbu Garis x + y Titik potong dengan sumbu x, maka y 0 x + 0 x x - - - - -- -0 - - - - - - - (,)
Diperoleh titik (,0) Titik potong dengan sumbu y, maka x 0 0 + y y y Diperoleh titik (0, ) Garis : y x + Titik potong dengan sumbu x, maka y 0 0 x + x - x - Diperoleh titik (-, 0) * Titik potong dengan sumbu y, maka x 0 y 0 + y Diperoleh titik (0, ) Jadi, koordinat titik potong garis x + y dan y x + adalah (0, ) - - - - -- -0 - - - - - - - (0, ) Contoh : Tentukan koordinat titik potong garis x + y 8 dan y Garis : x + y 8 Titik potong dengan sumbu x, maka y x + 0 8 x 8 x y Diperoleh titik (, 0) Titik potong dengan sumbu y, maka x 0 + y 8 y 8 Diperoleh titik (0, 8) - - - - -- -0 - - - - - - (, ) Garis y adalah garis yang sejajar dengan sumbu x dan melalui (0, ) Jadi, titik potong garis x + y 8 dan y adalah (, ) Catatan : Garis x a, adalah garis lurus sejajar dengan sumbu y dan melalui titik (a, 0) Garis y b, adalah garis lurus sejajar dengan sumbu x dan melalui titik (0, b) LATIHAN Tentukan koordinat titik potong dua garis berikut : x dan y y x dan x y x - dan x + y y x dan y x x + y dan x y - x + y 0 dan x + y 0
SOAL- SOAL LATIHAN KD ( PERSAMAAN GARIS LURUS ) Gradien garis yang melalui titik R (, -) dan S (, ) adalah a b c d Gradien melalui garis AB adalah A a - c - 0 B b- d Sebuah garis melalui titik (a, 8) dan (a, b), jika garis tersebut sejajar dengan sumbu x, maka nilai b adalah a b c d 8 Gradien garis yang persamaannya -x + y + 0 adalah a b c - d Diketahui persamaan garis h: g x, jika garis l tegak lurus dengan garis h, maka gradien garis l adalah a b c d Persamaan garis yang melalui titik K (, ), dan mempunyai gradien adalah a y x b y x - c x y - d x y Persamaan garis yang melalui titik D (, -) dan sejajar dengan garis x y adalah a x y 0 c x + y 0 b x y 0 d y x + 0 8 Persamaan garis lurus melalui titik (, ) dan tegak lurus dengan garis x y adalah a y + x b y + x c y x d y x - 9 Garis k : y x + 0 melalui titik (, c) nilai c adalah a b c d - 0 Titik potong garis l : x y + 8 0 dengan garis l : -x + y 9 adalah a (, 0) b (, ) c (, ) d (-, )