PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO w PADA BEBERAPA GRAF EULER

PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO PADA BEBERAPA GRAF EULER Isa 1, Luca Ratasar, R. Heru Tjahjaa 3 1,,3 Jurusa Matematka, Fakultas Sas da Matematka, Uverstas Dpoegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalag, Semarag. satokbae7@gmal.com ratasar.luca@yahoo.com heru.math.udp@gmal.com ABSTRACT. A graph G th q edges s sad to be oe modulo graceful graph ( Z + f there s a jectve fucto from vertex set of graph G to * {,1,,( 1,,( 1,...,( q 1,( q 1 1} such a ay that duces a fucto from edge set of graph G to {1, 1, 1,...,( q 1 1} defed as * ( uv ( u ( v s ( bjectve. I ths Last Project, the follog Euler graphs : -polygoal sakes, C t ad P uder certa codtos hch admt oe modulo graceful labelg ( Z + are leared. Keyords: odd-graceful labelg, oe modulo graceful labelg, Euler graph, polygoal ( sake, C t, P. I. PENDAHULUAN Pada tahu 1963, terdapat metode baru pelabela pada graf, yatu pelabela dega megguaka blaga bulat (yag memeuh kods tertetu. Metode tersebut pertama kal dperkealka oleh Sedláček [8] pada tahu 1963, yatu tetag pelabela magc. Setelah tu, metode pelabela graf tersebut berkembag, sebaga cotoh Rosa [7] pada tahu 1967 medefska suatu -valuato (Golomb [3] meyebutya dega stlah pelabela graceful yag dguaka sampa sekarag pada suatu graf G yag memlk q ss, sebaga fugs jektf dar hmpua ttk graf G ke hmpua {,1,,..., q } sedemka hgga ketka setap ss uv dber label ( u ( v, maka meghaslka la yag berbeda. Pelabela graceful merupaka salah satu metode pegembaga dar pelabela graf. Beberapa peuls yag telah membahas pelabela graceful dataraya adalah Gaajoth [] memperkealka tetag pelabela graceful gajl, Sekar [9] memperkealka tetag pelabela graceful satu modulo 3, Putr [5] membahas tetag graceful ss berarah pada graf yag meghubugka graf skel da graf star da Astr [4] membahas tetag pelabela graceful pada graf duplkas ttk da graf duplkas ss dar graf skel. II. HASIL DAN PEMBAHASAN Defs.1 [1] Tral Euler adalah tral yag melalu masg-masg ss d dalam graf tepat satu kal. Bla tral tersebut kembal ke ttk asal da membetuk tral tertutup, maka tral tertutup tersebut damaka srkut Euler. Graf yag mempuya srkut Euler dsebut graf Euler. 1

Defs. [1] Suatu graf G dega q ss dsebut graf graceful jka terdapat suatu fugs jektf dar hmpua ttk graf G ke {,1,,..., q } sedemka hgga megakbatka fugs * dar hmpua ss graf G ke {1,,..., q } yag ddefska oleh * ( uv ( u ( v bersfat bjektf. Defs.3 [1] Suatu graf G dega q ss dsebut graf graceful gajl jka terdapat suatu fugs jektf dar hmpua ttk graf G ke {,1,,3,..., q 1} sedemka hgga megakbatka fugs oleh * ( uv ( u ( v bersfat bjektf. * dar hmpua ss graf G ke {1,3,..., q 1} yag ddefska Defs.4 [6] Suatu graf G dega q ss dsebut graf graceful satu modulo ( Z + jka terdapat suatu fugs jektf dar hmpua ttk graf G ke {,1,,( 1,,( 1,...,( q 1,( q 1 1} sedemka hgga megakbatka * fugs dar hmpua ss graf G ke {1, 1, 1,...,( q 1 1} yag ddefska oleh * ( uv ( u ( v bersfat bjektf. Pada kasus 1, pelabela pada graf G dsebut pelabela graceful da pada kasus, pelabela pada graf G dsebut pelabela graceful gajl. Defs.5 [6] Suatu graf ular -polgoal merupaka graf yag memuat polgo sebayak k yag dperoleh dar path u1, u,..., u dega megdetfkaska ttk-ttk peda pada sala ke- dar path P dega u 1 ad u utuk 1,,..., k. Cotoh.1 Gambar.1 Graf ular 8-polgoal dega k = Teorema.1 [6] Graf ular -polgoal dega (mod 4 merupaka graf graceful satu modulo utuk setap blaga bulat postf.

3 Bukt : Dberka 4r utuk r 1 da sebarag k polgo dega r adalah blaga bulat postf. Dega otas ttk u utuk j 1,,...,4 r da 1,,..., k yag ( j merupaka ttk ke- j pada polgo ke-. Ttk u (4 r (1 3 u u (4 r (1 1, ttk u u (4 r (1 1 u da seterusya. Dplh sebarag la, fugs ddefska oleh, ( u ( u dega d 1,,3,... (1 (4 r d1 ( d1 4 r( d 1 (1 (4 r ( ud ( ud 1 dega d 1,,3,... 4 rk ( 1 r 4 r( d 1 ( (4r 1 Utuk ud 1,..., u d 1 dega d 1,,3,... ( j 4 rk ( 1 4 r( d 1 utuk j,4,6,...,4r ( j ( ud 1 4 r( d 1 utuk j 3,5,7,...,r 1 ( j 4 r( d 1 utuk j r 1,r 3,...,4r 1 ( (4r 1 Utuk u,..., u dega d 1,,3,... d d, ttk ( j (r 1 4 r( d 1 utuk j,4,6,...,4r ( j ( ud 4 rk ( 1 r 4 r( d 1 utuk j 3,5,7,...,r 1 ( j 4 rk ( 1 r 4 r( d 1 utuk j r 1, r 3,..., 4r 1 Fugs jektf datas medefska pelabela graceful satu modulo. Dega demka, graf ular -polgoal utuk (mod 4 dega sebarag k polgo merupaka graf Euler yag dapat dlabel dega megguaka pelabela graceful satu modulo. Teorema. [6] Graf ular -polgoal dega (mod 4 merupaka graf graceful satu modulo utuk setap blaga postf jka bayak polgoya geap. Bukt : Dberka 4r utuk r 1 dega sebarag k s polgo dega r da ( s adalah blaga bulat postf. Dega otas ttk u j utuk j1,,...,4 r da 1,,..., k yag merupaka ttk ke- j pada polgo ke-. Dplh sebarag la, fugs ddefska oleh, ( u ( u dega d 1,,3,..., s 1 (1 (4r d1 ( d1 (4r ( d 1

4 (1 (4r ( ud ( ud 1 dega d 1,,3,..., s (4r k ( 1 4 r (4r 1( d 1 ( (4r 1 Utuk ud 1,..., u d 1 dega d 1,,3,..., s ( j (4r ( d 1 utuk j 3,5,7,...,4r 1 ( u d 1 ( j (4r k ( 1 (4r 1( d 1 utuk j,4,6,...,4r ( (4r 1 Utuk u,..., u dega d 1,,3,..., s d d ( j (4r k ( 1 r (4r 1( d 1 utuk j 3,5,7,...,4r 1 ( j ( ud (r 1 (4r ( d 1 utuk j,4,6,...,r ( j (r 1 (4r ( d 1 utuk j r,r 4,...,4r Fugs jektf datas medefska pelabela graceful satu modulo. Dega demka, graf ular -polgoal utuk (mod 4 dega k geap merupaka graf Euler yag dapat dlabel dega megguaka pelabela graceful satu modulo. Termotvas dar Teorema., peuls megkaj lebh lajut tetag pelabela graceful satu modulo pada graf ular -polgoal dega (mod 4 utuk bayak polgo geap da dperoleh baha saat 6, pelabela graceful satu modulo berlaku utuk semua polgo geap da gajl dega. Pejelasa tersebut dyataka pada teorema berkut, Teorema.3 Graf ular 6-Polgoal merupaka graf graceful satu modulo utuk. Bukt : Dberka 6 dega sebarag k polgo. Dega otas ttk u utuk j 1,,...,6 da 1,,..., k yag merupaka ttk ke- j pada polgo ke-. Fugs ddefska oleh, ( u ( u dega d 1,,3,... (1 (6 d1 ( d1 14( d 1 (1 (6 ( ud ( ud 1 dega d 1,,3,... 1k11d Utuk u,..., u ( (5 d1 d 1 dega d 1,,3,... 14d j 15 utuk j 3,5 ( ud 1 1k 111d j utuk j,4 ( j

5 ( (5 Utuk u,..., u dega d 1,,3,... d d 1k 8 1d j utuk j 3,5 ( ud 14d 8 utuk j 14d utuk j 4 Teorema.3 juga bsa dyataka baha graf ular -polgoal merupaka graf graceful gajl. Sekar [9] telah meujukka baha semua graf ular -polgoal dega geap merupaka graf graceful gajl. Fugs jektf datas medefska pelabela graceful satu modulo. Dega demka, graf ular 6-polgoal dega sebarag k polgo merupaka graf Euler yag dapat dlabel dega megguaka pelabela graceful gajl (pelabela graceful satu modulo. Defs.6 [6] Suatu graf dega satu ttk gabuga dar t skel dega pajag dotaska ( oleh C t. Graf memlk t ( 1 1 ttk da t ss. Cotoh. Teorema.4 [6] Dberka suatu graf skel dega pajag. Graf Gambar. Graf C 8 (4 ( t C, yag dotaska dega satu ttk gabuga dar t C adalah graf graceful satu modulo saat 4,8 ( t utuk t da 6 utuk t blaga geap da t 4 utuk setap blaga bulat postf 1. Bukt : Kasus 1 : = 4, t > Dberka u utuk j 1,,3,4 da 1,,..., t yag merupaka ttk ke- j ( j pada skel ke- dega satu ttk u meadaka ttk-ttk sebarag la 1, fugs pada Kasus 1 ddefska oleh, ( u (1 (1 (1 u1, u,..., u t. Dplh

6 ( ( Utuk u, u, da u dega 1,,..., t (4 ( j 4 t ( 1 ( 1 utuk j, 4 4t 4 ( 1 utuk j 3 ( u Kasus : = 8, t > Dberka u utuk j 1,,...,8 da 1,,..., t yag merupaka ttk ke- j ( j pada skel ke- dega satu ttk u meadaka ttk-ttk sebarag la 1, fugs pada Kasus ddefska oleh, ( u ( (8 Utuk u,..., u dega 1,,3,..., t ( j 8 t ( 1 ( 1 utuk j,8 6 ( j 4t 4 ( 1 utuk j 3, 7 ( j 4 6 t ( 1 ( 1 utuk j 4, 6 6t 4 ( 1 utuk j 5 ( u 4 ( j (1 (1 (1 u1, u,..., u t. Dplh Kasus 3 : = 6, t blaga geap da t 4 Dberka u utuk j 1,,...,6 da 1,,..., t yag merupaka ttk ke- j pada skel ke- dega satu ttk u meadaka ttk-ttk sebarag la 1, fugs pada Kasus 3 ddefska oleh, ( u Utuk u, u,..., u ( u ( ( (6 (1 (1 (1 u1, u,..., u t. Dplh ( j 6 t ( 1 ( 1 utuk 1,,..., t da j, 6 4 ( j 4t 4 ( 1 utuk 1,,..., t da j 3,5 4 t ( 1 ( 1 utuk 1,3,..., t 1 da j 4 4 t (4 1 ( utuk,4,..., t da j 4 Fugs jektf datas medefska pelabela graceful satu modulo. Dega demka, graf C saat 4,8 utuk t da 6 utuk t blaga geap ( t da t 4 utuk setap blaga bulat postf 1 merupaka graf Euler yag dapat dlabel dega megguaka pelabela graceful satu modulo. Defs.7 [6] Dberka u da v sebaga ttk tetap. Ttk u da v dhubugka dega b path yag dsjot dega pajag masg-masg path adalah a. Graf yag dhaslka dotaska dega P.

7 Cotoh.3 Gambar.3 Graf P 3,4 Teorema.5 [6] P utuk semua r 1 adalah graf graceful satu modulo utuk setap Graf 4r 1,4r blaga bulat postf. Bukt : Dberka a4r 1 da b 4r utuk r 1 dega r adalah blaga bulat postf. Dplh sebarag la, fugs ddefska oleh, ( u ( v (8r 1 (1 ( (5 (4r Utuk v, v, v,..., v dega,3,4,...,4 r ( v (4r 14 r ( 1 ( (4r 1( j 1 utuk j 1,3,5,..., r 1 (4r 14 r ( 1 ( (4r 1( j 1 utuk j r 1,r 3,...,4r 3 r Utuk v, v,..., v ( v Utuk 1 ( (4 (4 4 r ( (4r 1( j utuk,3,4,..., r r ( r 1 (4r 1( j utuk r 1,r,...,4r r(4r 1 ( 1 ( j 1 utuk j 1,3,5,...,4 r 3 ( v 1 r(4r 1 ( j utuk j,4,6,...,4r Fugs jektf datas medefska pelabela graceful satu modulo. Dega demka, graf P4 r 1,4r dega r 1 merupaka graf Euler yag dapat dlabel dega megguaka pelabela graceful satu modulo.

8 Teorema.6 [6] Graf P utuk semua a blaga geap da a 4 adalah graf graceful satu modulo da utuk semua b blaga geap da b 4 utuk setap blaga bulat postf. Bukt : Kasus 1 : a = 4r utuk r 1 da b = m utuk m dega r da m adalah blaga bulat postf Dberka v utuk j1,,3,...,4 r 1 da 1,,..., m yag merupaka ttk ( j ke- j pada path ke- d b yag dhubugka atara ttk u da v. Dplh sebarag la, fugs pada Kasus 1 ddefska oleh, ( u ( r 1 ( v 4 rm ( r 1 Utuk 1 (r 1 j 8 rm ( 1 utuk j 1,3,5,...,r 1 j r utuk j,4,6,...,r ( v1 ( j r 4rm utuk j r,r,...,4r ( j r 1 4 rm ( 1 utuk j r 1,r 3,...,4r 1 (1 ( (5 (4r 1 Utuk v, v, v,..., v dega,3,..., m ( v ( j 1(m 1 8 rm ( 1 r ( utuk j 1,3,..., r 1 ( j 1(m 1 8 rm ( 1 r ( utuk j r 1,r 3,...,4r 1 r Utuk v, v,..., v ( v ( (4 (4 ( j (m 1 (m r 1 ( utuk,3,..., m ( j (m 1 ( m r 1 ( m 1 utuk m 1, m,...,m Kasus : a = 4r + utuk r 1 da b = m utuk m dega r da m adalah blaga bulat postf Dberka v utuk j1,,3,...,4 r 1 da 1,,..., m yag merupaka ttk ( j ke- j pada path ke- d b yag dhubugka atara ttk u da v. Dplh sebarag la, fugs pada Kasus ddefska oleh, ( u r ( v (4r m r

9 Utuk 1 (r 1 j (4r m ( 1 utuk j 1,3,5,...,r 1 ( r j utuk j,4,6,...,r ( v 1 ( j r (4r m utuk j r,r 4,...,4r ( j r (4r m 1 utuk j r 3,r 5,...,4r 1 (1 ( (5 (4r 1 Utuk v, v, v,..., v dega,3,..., m ( j 1(m 1 ( v m(4r ( 1 ( r 1 ( Utuk v, v, v,..., v ( v ( (4 (6 ( r ( j (m 1 ( r m ( utuk,3,4,..., m ( j (m 1 ( r m ( m 1 utuk m 1, m,...,m Utuk v, v,..., v ( v (r (r 4 (4 r ( j (m 1 ( r m 1 ( utuk,3,4,..., m ( j (m 1 ( r m 1 ( m 1 utuk m 1, m,...,m Fugs jektf datas medefska pelabela graceful satu modulo. Dega demka, graf P utuk semua a blaga geap dega a 4 da utuk semua b blaga geap dega b 4 merupaka graf Euler yag dapat dlabel dega megguaka pelabela graceful satu modulo. III. KESIMPULAN Dar hasl da pembahasa megea pelabela graceful satu modulo ( Z + dapat dsmpulka baha beberapa graf Euler yag melput graf ular -polgoal dega (mod 4, graf ular -polgoal dega (mod4 utuk bayak polgo geap, graf ular 6-polgoal utuk, graf C saat 4 atau 8 utuk t da saat 6 utuk t blaga geap dega t 4 da 1, graf P4 r 1,4r utuk semua r 1 serta graf P utuk semua blaga geap a dega a 4 da utuk semua blaga geap b dega b 4 merupaka graf graceful satu modulo. ( t

1 IV. UCAPAN TERIMA KASIH Bayak phak telah membatu dalam peyelesaa Tugas Akhr. Oleh karea tu, rasa hormat da terma kash g peuls sampaka kepada : 1. Ibu Luca Ratasar, S.S, M.S selaku pembmbg 1 yag dega sabar membmbg da megarahka peuls hgga selesaya peyusua Tugas Akhr.. Bapak Dr. R. Heru Tjahjaa, S.S, M.S selaku pembmbg yag dega sabar membmbg da megarahka peuls hgga selesaya peyusua Tugas Akhr. 3. Semua phak yag telah memberka dukuga serta batua kepada peuls dalam peyusua Tugas Akhr yag tdak dapat peuls sebutka satu persatu. Semoga Allah SWT membalas segala kebaka yag telah Ada berka kepada peuls. V. DAFTAR PUSTAKA [1] Balakrsha, V. K. 1997. Schaum s Outle of Theory ad Problems of Graph Theory. Ne York: The McGra-Hll Compaes. [] Gaajoth, R. B. 1991. Topcs Graph Theory, Ph. D. Thess. Madura Kamaraj Uversty. [3] Golomb, S. W. 197. Ho to Number a Graph, Graph Theory ad Computg. R. C. Read, ed. Ne York: Academc Press, 3-37. [4] Mdhoat, Astr Nardra. 13. Pelabela Graceful pada Graf Duplkas Ttk da Graf Duplkas Ss dar Graf Skel. Semarag: FSM Uverstas Dpoegoro. [5] Octafa, Putr. 1. Pelabela Graceful Ss Berarah pada Graf yag Meghubugka Graf Skel da Graf Star. Semarag: FSM Uverstas Dpoegoro. [6] Ramachadra, V. da C. Sekar. 13. Oe Modulo N Gracefuless of - Polygoal Sakes, C ad P. Iteratoal Joural of Egeerg ( t Research & Techology (1: 3514-359. [7] Rosa, A. O Certa Valuatos of the Vertces of a Graph, Theory of Graph. Iteratoal Symposum, Rome, July (1966. Gordo ad Breach, Ne York ad Duod Pars (1967, 349-355 [8] Sedláček, J. 1963. Problem 7, Theory of Graphs ad Its Applcatos. Proc. Symposum Smolece: 163-167. [9] Sekar, C.. Studes Graph Theory, Ph. D. Thess. Madura Kamaraj Uversty. [1] Vadya, S. K. da S. H. Shah. 13. Graceful ad Odd Graceful of Some Graphs. Iteratoal Joural of Mathematcs ad Soft Computg 3 (1: 61-68.