8. FUNGSI TRANSENDEN MA4 KALKULU I
8. Invrs Fungsi Misalkan : D R! y dngan () Dinisi 8. Fungsi y () disbut satu-satu jika (u) (v) maka u v atau jika u v maka ( u) ( v) y y y u v ungsi y satu-satu ungsi y- satu-satu ungsi y tidak satu-satu MA4 KALKULUS I
Scara gomtri graik ungsi satu-satu dan garis yang sjajar dngan sumbu brpotongan di satu titik. Torma : Jika ungsi satu-satu maka mmpunyai invrs notasi : R D y! ( y) R R Brlaku hubungan D ( y) R y() ( ( )) ( ( y)) y D R R, D MA4 KALKULUS I 3
Torma : jika monoton murni(slalu naik/slalu turun) maka mmpunyai invrs () '( ) > 0, R slalu naik ()- '( ) < 0, R slalu turun > 0, '( ) < 0, naik untuk >0 turun untuk <0 > < 0 0 ( ) ( ) ( ) u v ada ada tidak ada MA4 KALKULUS I 4
Contoh : Diktahui ( ) Jawab a. + a. Priksa apakah mmpunyai invrs b. Jika ada, tntukan invrsnya '( ).( + ).( ( + ) ) 3 > 0 D ( + ), Karna slalu naik(monoton murni) maka mmpunyai invrs b. Misal y + y + y y ( y) y y ( ) y y y MA4 KALKULUS I 5
Suatu ungsi yang tidak mmpunyai invrs pada darah asalnya dapat dibuat mmpunyai invrs dngan cara mmbatasi darah asalnya. ( ) ( ) u v Untuk >0 ada Untuk R tidak ada ( ) Untuk <0 ada MA4 KALKULUS I 6
Graik ungsi invrs Titik (,y) trltak pada graik Titik (y,) trltak pada graik Titik (,y) dan (y,) simtri trhadap garis y Graik dan smtri trhadap garis y MA4 KALKULUS I 7
Turunan ungsi invrs Torma Misalkan ungsi monoton murni dan mmpunyai turunan pada slang I. Jika '( ) 0, I maka dapat diturunkan di y() dan ( )'( y) '( ) Bntuk diatas dapat juga dituliskan sbagai d dy Contoh Diktahui Jawab : dy / d 5 ( ) + + tntukan ( )'(4) '( ) 5 4 +,y4 jika hanya jika ( )'(4) '() 7 MA4 KALKULUS I 8
Soal Latihan Tntukan ungsi invrs ( bila ada ) dari.. 3. ( ) +, > ( ) 3 ( ) 5 4 + 0 4. 5 ( ), + 0 5. ( ) + 6. ( ) 3 + MA4 KALKULUS I 9
8. Fungsi Logaritma Asli n Fungsi Logaritma asli ( ln ) didinisikan sbagai : ln, t dt > 0 n Dngan Torma Dasar Kalkulus II, diprolh :. D [ ln] D dt t n Scara umum, jika u u() maka D [ lnu] u( D ) dt t u du d MA4 KALKULUS I 0
Contoh : Dibrikan Jika Jadi, y maka ln, d ln + C Siat-siat Ln :. ln 0. ln(ab) ln a + ln b Dari sini diprolh : ( ) ln(sin(4 + )) '( ) D (sin(4 + )) sin(4 + ) 4 cot(4 + ) 0 ln, > 0 ln( ), < 0 d (ln ), d 0. 3. ln(a/b)ln(a) ln(b) 4. lna r r lna y ln y' y ln( ) y' MA4 KALKULUS I
Contoh: Hitung jawab Misal u 4 3 + 0 3 d + du 3 d 3 + du d u 3 du ln u 3 u 3 + c shingga 3 ln + +c 3 4 0 3 + d 3 ln 3 + ] 0 4 3 (ln66 ln) 3 ln33. MA4 KALKULUS I
Graik ungsi logaritma asli ()ln Diktahui a. b. dt ( ) ln, t '( ) > 0 > 0 D slalu monoton naik pada D c. ''( ) < 0 D Graik slalu ckung kbawah d. () 0 MA4 KALKULUS I 3
8.3 Fungsi Eksponn Asli n Karna D [ ln ] > 0 untuk > 0, maka ungsi logaritma asli monoton murni, shingga mmpunyai invrs. Invrs dari ungsi logaritma asli disbut ungsi ksponn asli, notasi p. Jadi brlaku hubungan y p( ) n Dari sini didapat : y p(ln y) dan ln(p()) n Dinisi 8. Bilangan adalah bilangan Ral positi yang brsiat ln. Dari siat (iv) ungsi logaritma diprolh ln y r r p(ln ) pr ln pr p( ) MA4 KALKULUS I 4
Turunan dan intgral ungsi ksponn asli Dngan mnggunakan turunan ungsi invrs Dari hubungan y ln y dy d Jadi, d / dy D ( ) Scara umum y u( ) D ( ) u d dy y. u' Shingga d + C MA4 KALKULUS I 5
Graik ungsi ksponn asli Karna ungsi kponn asli mrupakan invrs dari ungsi logaritma asli maka graik ungsi ksponn asli diprolh dngan cara mncrminkan graik ungsi logaritma asli trhadap garis y yp () yln Contoh 3 ln 3 ln 3 ln D ( ). D (3 ln ) (3ln + 3). MA4 KALKULUS I 6
Contoh Hitung 3 / d Jawab : Misalkan Shingga 3/ u d 3 du 3 u u 3 / du 3 d d 3 3 + c 3 du + c. MA4 KALKULUS I 7
Pnggunaan ungsi logaritma dan ksponn asli Mnghitung turunan ungsi brpangkat ungsi Diktahui ( ) ( g( )) h( ), '( )? ln( ( )) h( )ln( g( )) D (ln( ( ))) D ( h( )ln( g( ))) '( ) h( ) h'( ) ln( g( )) + g '( ) ( ) g( ) '( ) h'( ) ln( g( )) + h( ) g( ) g '( ) ( ) MA4 KALKULUS I 8
Contoh Tntukan turunan ungsi ( ) (sin ) 4 Jawab Ubah bntuk ungsi pangkat ungsi mnjadi prkalian ungsi dngan mnggunakan ungsi logaritma asli ln ( ) ln(sin ) Turunkan kdua ruas 4 4ln(sin( )) D (ln ( )) D (4ln(sin( ))) '( ) ( ) 4ln(sin( )) + 4 sin cos 4ln(sin( )) + 4cot '( ) (4ln(sin( )) + 4cot )(sin ) 4 MA4 KALKULUS I 9
B. Slsaikan intgral tak tntu brikut.. 3. 4. 5. 4 d + ln 3 ( ln ) d 3 d + tan(ln ) d d 6. 7. 8. 9. 0. 4 + d + + 5 6 + ( + 3) d ( ) sc d (cos ) sin ln d d.. 3. 3 d + d 3 3 ( 3 ) d MA4 KALKULUS I 0
C. Slsaikan intgral tntu brikut 4 ln 3 d 3. 6. d. 3. 4. 5. 4 ( + ) d ln 3 d ln 3 + 4 ln5 ( ) 3 4 d 0 + 3 d 0 7. 8. 9. 0 0 3 d 4 d d (ln ) MA4 KALKULUS I
D. Hitung limit brikut :. lim 5. ( ) lim + ln. 3. 4. ( sin ) 0 lim + lim cos 0 ( ) ln lim + 6. 7. 8. ( ) lim ln ( 3 5 ) lim + lim + + MA4 KALKULUS I
8.5 Fungsi Eksponn Umum Fungsi Untuk a > 0 dan R, dinisikan Turunan dan intgral Jika u u(), maka Dari sini diprolh : : D D ( ) a ( a ( a u ) ) D D, a > 0 disbut ungsi ksponn umum ( ( u lna lna ) ) u lna lna lna lna. u' ln a a a a d a + C lna u a lna u ' lna MA4 KALKULUS I 3
Siat siat ungsi ksponn umum Untuk a > 0, b > 0,, y bilangan riil brlaku.. 3. 4. a a a ( ( y a y a a y + y y y a ) a ab ) a b 5. a b a b MA4 KALKULUS I 4
Contoh. Hitung turunan prtama dari '( ) + ( ) 3 + Jawab :.3 + sin ln3+. sin cos ln. Hitung 4. d Jawab : Misal u du d d du 4. d u u du 4 4 4 + C ln4 ln4 + C MA4 KALKULUS I 5
Graik ungsi ksponn umum ( ) a, a > Diktahui a. ( ) a, a > 0 D (, ) b. a a lna< 0, 0 '( ) ln a a lna > 0, monoton naik jika a > monoton turun jika 0 < a < < a a < > c. ''( ) a (ln a) > 0 D ( ) a,0 < a < Graik slalu ckung katas d. (0) MA4 KALKULUS I 6
8.6 Fungsi Logaritma Umum Karna ungsi ksponn umum monoton murni maka ada Invrsnya. Invrs dari ungsi ksponn umum disbut ungsi Logaritma Umum ( logaritma dngan bilangan pokok a ), notasi, shingga brlaku : y a log y a a log Dari hubungan ini, didapat y ln a ln lna y lna y log lna ln ln a Shingga D Jika uu(), maka a ln ( log ) D ( ) lna D ln a a lnu ( logu) D ( ) lna u' u lna MA4 KALKULUS I 7
Contoh Tntukan turunan prtama dari.. Jawab :.. 3 ( ) log( ( ) 4 ( ) ( ) log( log( + ) + ) + ) ln( ln3 3 + log( + ) ln( + 4 ln4 ) ) '( ) + ln3 + '( ) D( ) + ln4 ( ) ( + ) ln4 + ( ) ln4 ( + )( ) MA4 KALKULUS I 8
Graik ungsi logaritma umum Graik ungsi logaritma umum diprolh dngan mncrminkan graik ungsi ksponn umum trhadap garis y Untuk a > Untuk 0 < a < ( ) a ( ) a ( ) a log a ( ) log MA4 KALKULUS I 9
Soal Latihan A. Tntukan y' dari.. y 3 4 4 ( 9) y 0 log + 3. 3 log( y) + y B. Hitung.. 0 5 d d MA4 KALKULUS I 30
8.7 Fungsi Invrs Trigonomtri Fungsi trigonomtri adalah ungsi yang priodik shingga tidak satu-satu, jika darah asalnya dibatasi, ungsi trigonomtri bisa dibuat mnjadi satusatu shingga mmpunyai invrs. π π a. Invrs ungsi sinus Diktahui () sin, π Karna pada π π ()sin monoton murni maka invrsnya ada. Invrs dari ungsi sinus disbut arcus sinus, notasi arcsin(),atau sin ( ) Shingga brlaku y sin sin y π MA4 KALKULUS I 3
Turunan Dari hubungan y sin sin y dan rumus turunan ungsi invrs diprolh y π π, dy d d / dy cos y, < sin y atau D (sin Jika uu() ) D (sin u) u' u Dari rumus turunan diprolh d sin + C MA4 KALKULUS I 3
b. Invrs ungsi cosinus Fungsi () cos,0 π monoton murni(slalu monoton turun), shingga mmpunyai invrs ( ) cos π Dinisi : Invrs ungsi cos disbut arcuscos, notasi arc cos atau cos ( ) Brlaku hubungan y cos cosy Turunan Dari y cos cosy,, 0 y π diprolh dy d d / dy sin y, < cos y MA4 KALKULUS I 33
atau D (cos Jika u u() ) D (cos u) u' u Dari rumus turunan diatas diprolh Contoh d cos + C D (sin ( )) D ( ) 4 ( ) D (cos (tan )) D (tan ) (tan ) sc tan MA4 KALKULUS I 34
Contoh Hitung Jawab : 4 d Gunakan rumus du sin ( u) + C u Misal 4 d d 4( ) 4 d ( ( ) u du d d du 4 d du sin u + C ( u sin ( ) + C MA4 KALKULUS I 35
c. Invrs ungsi tangn Fungsi () tan, π π Monoton murni (slalu naik) shingga mmpunyai invrs. π ()tan π Dinisi Invrs dari tan disbut ungsi arcus tan, notasi arc tan atau tan ( ) Brlaku hubungan Turunan Dari dy d y y tan tan d / dy sc y tan y tan y dan turunan ungsi invrs diprolh + π π, < y < tan y + MA4 KALKULUS I 36
atau D (tan ) + Jika uu() D (tan u) + d. Invrs ungsi cotangn Fungsi () cot u' u,0 < < π d tan + C + slalu monoton turun(monoton murni) shingga mmpunyai invrs ()cot π Turunan dy d Dinisi Invrs dari ungsi cot disbut Arcus cot, notasi arc cot atau cot Brlaku hubungan d / dy y cot csc y + cot cot y y + MA4 KALKULUS I 37
atau D (cot ) + Jika uu() Contoh D (cot u) + a. d 4 + b. d + + 4 u' u D (tan ( + ) D( ) D (cot (sin Contoh Hitung ) d cot + C + + + ( + ) D(sin ) + (sin ) + + ( cos sin + ) MA4 KALKULUS I 38
Jawab a. d + d 4 d 4 4( + ) + ( ) 4 u du d d du 4 + 4 + u d du tan u + C Gunakan rumus du tan ( u) + C + u tan ( ) + C MA4 KALKULUS I 39
b. d d 3 + + d ( ) 3( ) 3 d 3 ( + ) + 3 + + 4 ( + ) + Misal + u du d d 3du 3 3 Gunakan rumus du tan ( u) + C + u d 3 + + 4 3 + u 3 du tan u + 3 tan + + C 3 C MA4 KALKULUS I 40
. Invrs ungsi scan Dibrikan () sc '( π, 0 π, ) sc tan > 0,0 π, π () sc monoton murni Ada invrsnya Dinisi Invrs dari ungsi sc disbut arcus sc, notasi arc sc atau sc Shingga y sc scy MA4 KALKULUS I 4
Turunan Dari y sc scy sc ( ) cos cos y ( y cos ) Shingga ( ) D (sc ) D (cos ( ) Jika u u() D (sc u) u u' u d sc + c MA4 KALKULUS I 4
. Invrs ungsi coscan Dibrikan () csc π π, 0, ' π π ( ) csc cot < 0,, 0 () sc monoton murni Ada invrsnya Dinisi Invrs dari ungsi csc disbut arcus csc, notasi arc csc atau csc Shingga y csc cscy MA4 KALKULUS I 43
Turunan Dari y csc cscy csc ( ) sin sin y ( y sin ) Shingga ( ) D (csc ) D (sin ( ) Jika u u() D (sc u) u u' u d csc + c MA4 KALKULUS I 44
Contoh A. Hitung turunan prtama dari a. ( ) sc ( ) b. ( ) sc (tan ) Jawab a. b. '( ) '() tan ( ) (tan) D( ) 4 4 sc D(tan) tan tan MA4 KALKULUS I 45
B. Hitung 4 d Jawab Misal d d d 4 4( ) 4 u du d d du d du du u u 4 u u sc u + C sc + C MA4 KALKULUS I 46
Soal Latihan A. Tntukan turunan prtama ungsi brikut, sdrhanakan jika mungkin. y (sin ). y tan ( ) 3. y tan ln 4. 5. y ( t) sc cot (3) t 6. y tan ( + ) MA4 KALKULUS I 47
B. Hitung.. 3. d 9 +6 4 d d 6 5 5. 6. 7. + d 4 d d [4 + (ln ) ] 4. / 0 sin d MA4 KALKULUS I 48
MA4 KALKULUS I 49 8.8 Fungsi Hiprbolik Dinisi a. Fungsi kosinus hiprbolik : cosh ) ( + b. Fungsi sinus hiprbolik : sinh ) ( c. Fungsi tangn hiprbolik : + cosh sinh tanh ) ( + sinh cosh coth ) ( h cosh sc ) ( h + sinh csc ) ( d. Fungsi cotangn hiprbolik :. Fungsi scan hiprbolik :. Fungsi coscan hiprbolik :
Prsamaan idntitas pada ungsi hiprbolik. cosh. 4. + sinh cosh sinh tanh sc h 3. cosh sinh 5. coth csc h Turunan D + (cosh ) D sinh sinhd cosh + C D + (sinh ) D cosh coshd sinh + C MA4 KALKULUS I 50
sinh D (tanh ) D ( ) cosh sinh sch cosh cosh cosh cosh D (coth ) D ( ) sinh cosh (cosh sinh sinh sinh sinh csc h sinh sinh D (sc h) D ( ) sch tanh cosh cosh cosh D (csc h) D ( ) csc h coth sinh sinh ) MA4 KALKULUS I 5
MA4 KALKULUS I 5 R +, cosh ) ( (0) Graik () cosh > > < < 0, 0 ) '( 0, 0 ) '( ) '( (i) (ii) monoton naik pada > 0 monoton turun pada < 0 (iii) R > + 0, ) ''( Graik slalu ckung katas (iv) Diktahui
Graik () sinh Diktahui (i) ( ) sinh, R (ii) + '( ) > 0 slalu monoton naik (iii) ''( ) > < 0, 0, > 0 < 0 Graik ckung katas pada >0 ckung kbawah pada <0 (iv) (0) 0 MA4 KALKULUS I 53
Contoh Tntukan y ' dari.. Jawab. y tanh( +) sinh + y 8 y ' sch ( + ) D( + ) sch ( + ). D ( sinh + y ) D(8) sinh + cosh + y y ' 0 sinh + y' y cosh MA4 KALKULUS I 54
Soal Latihan A. Tntukan turunan prtama dari. ( ) tanh 4. g( ) sinh 3. 4. 5. g( ) cosh + cosh h ( t) coth + t g ( t) ln(sinh t)) 6. ( ) cosh MA4 KALKULUS I 55
B. Hitung intgral brikut. Sinh ( + 4 ) d. sinh cosh d 3. tanh d 4. sch + tanh d MA4 KALKULUS I 56