MODEL MATEMATIKA GERAK PENDULUM DENGAN MEMPERTIMBANGKAN GAYA GESEK UDARA Rukmono Budi Uomo Universias Muhammadiyah Tangerang email_rukmono.budi.u@mail.ugm.ac.id ABSTRACT. This paper aims o consruc a mahemaical model of he pendulum moion by considering he fricional force of air. The sudy was conduced by firs making a pendulum moion illusraion wih a lengh of rope l and pendulum mass m verically ha given deviaion and speed. Based on ha creaed a mahemaical model of moion of he pendulum and is deerminaion o find ou he ime i akes he pendulum passing hrough he zero poin and he curren ime here is no change in he speed deviaion of he pendulum. In his sudy will also be given a simulaion of mahemaical models ha have been made Keywords: Pendulum Moion Mahemaical Model, Air Fricion ABSTRAK. Tulisan ini berujuan unuk mengkonsruksikan model maemaika dari gerak pendulum dengan memperimbangkan aya gaya gesek udara. Peneliian dilakukan dengan erlebih dahulu membua ilusrasi gerak pendulum sederhana dengan panjang ali l beban massa pendulum m yang diikakan secara verikal diberikan simpangan sera kecepaan. Berdasarkan hal ersebu dibua model maemais gerak pendulum besera penenuan unuk mengeahui waku yang diperlukan pendulum melewai iik nol waku saa idak ada perubahan kecepaan simpangan pendulum. Dalam peneliian ini juga akan diberikan simulasi perhiungan dari model maemais yang elah dibua. Kaa Kunci: Model Maemais Gerak Pendulum. PENDAHULUAN Pendulum aau bandul merupakan benda yang erika pada sebuah ali dapa berayun secara bebas periodik. Suau pendulum sederhana ersusun aas sebuah bandul bermassa m yang diika dengan ali dengan panjang l diempakan mengganung verikal ke bawah.
Saa idak diberikan perlakukan apapun, dapa dikaakan bahwa pendulum berada pada posisi diam aau posisi nol. Pada posisi ini dikaakan bahwa simpangan pendulum adalah nol. Lebih lanju keika pendulum diarik, maka pendulum memiliki nilai simpangan erenu. Nilai simpangan ini dapa berupa posiif 0 aaupun negaif 0. Lebih lanju apabila pendulum diberikan suau kecepaan erenu baik dengan cara diayunkan (arah kiri) 0 aaupun didorong erlebih dahulu ke belakang (arah kanan) 0, maka yang menjadi peranyaan selanjunya adalah bagaimana menjelaskan perilaku gerakan pendulum ersebu dalam suau model maemaika?. Apabila pada gerak pendulum berlaku gaya gesek udara seperi keadaan sebenarnya, bagaimana model maemaikanya?. Selanjunya bagaimana cara menenukan waku agar pendulum melewai iik nol?, sera kapan waku yang menunjukkan idak ada perubahan kecepaan pendulum?. Serangkaian perranyaan di aas akan coba penulis ulas dalam peneliian ini. Dalam peneliian ini juga, penelii idak hanya mengkonsruksikan model maemais gerak pendulum, namun juga dilakukan simulasi erhadap model yang elah erbenuk dengan memasukan beberapa nilai parameer yang erkai. Peneliian mengenai gerakan pendulum yang dilakukan oleh penelii bukanlah yang perama kalinya. Awal mula sudi enang pendulum ini diawali dengan eori hukum Hooke enang gaya pemulih pada pegas. Hukum Hook sendiri elah dikaji dibahas secara lengkap oleh J. Rychlewski pada arikelnya yang berjudul On Hook s Law. Peneliian J. Rychlewski ini sendiri elah erbi pada jurnal Pergamon Ld ahun 984. Peneliian enang gerakan pendulum juga dilakukan oleh Kecik, K., Warminski, yakni enang Chaos pada gerakan pendulum sebagai sisem dengan paramerik resonansi. Selain iu, Kecik Wrminski juga menelii gerakan auoparamerik dari sisem nonlinear pendulum. Kedua peneliian Kecik Warminski masing-masing elah erbi pada Prosiding IUTAM Volume 5 ahun 0 Jurnal Mahemaical
Problems in Engineering Volume ahun 006. Peneliian serupa enang gerakan pendulum juga elah dilakukan oleh Lee, W.K. Hsu, C.S dengan opik peneliian enang analisis global dari sisem gerakan harmonic pendulum dengan inernal resonansi. Peneliian Lee, W.K. Hsu, C.S ini dapa di akses pada Jurnal Sound and Vibraion, 7 (3), pp. 335-359 ahun 994.. METODE PENELITIAN Meode yang dilakukan dalam peneliian ini adalah dengan sudi pusaka, yakni dengan memperlajari erlebih dahulu eori enang gerakan pendulum. Buku-buku referensi yang digunakan dalam peneliian ini anara lain buku An Inroducion o Differenial Equaion karya Agarwal Regan, buku, Elemenary Differenial Equaion and Boundary Value Problem, fifh ediion karya Boyce Richard, buku, Mahemaical Models: Mechanical Vibraion, Populaion Dynamics and Traffic Flow karya Haberman sera buku-buku lain yang dapa dibaca dalam dafar pusaka. Selain buku, beberapa arikel aau jurnal juga digunakan sebagai referensi dalam peneliian ini, anara lain arikel On Hooks s Law karya J. Rychlewski, Jurnal Chaos in Mechanical Pendulum-Like Sysem Near Main Parameric Resonance karya Kecik, K., Warminski, J, Jurnal Global Analysis of an Harmonically Excied Spring-Pendulum Sysem Wih Inernal Resonance karya Lee, W.K. Hsu, C.S. jurnal lain yang dapa dibaca dalam dafar pusaka. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Diberikan pendulum sederhana dengan panjang ali l massa bandul m yang diikakan secara verikal mengganung ke bawah. Mula-mula pendulum ersebu berada pada posisi diam aau posisi nol sampai diberikan simpangan kecepaan simpangan sehingga berosilasi seperi pada gambar beriku ini
Gambar. Pendulum berosilasi Keika pendulum diika secara verikal mengganung ke bawah seperi pada gambar di aas, maka secara alamiah massa pendulum m akan mendapa pengaruh gaya graviasi g. Lebih lanju, keika pendulum mulai diayunkan dengan cara diarik, maka erdapa besarnya sudu pergerakan pendulum yang dikenal dengan simpangan pendulum. Nilai dianggap bernilai posiif apabila pendulum diarik ke arah kanan, sebaliknya bernilai negaif apabila pendulum diarik ke arah kiri. Sebelum diayunkan, pendulum diberikan kecepaan yang disimbolkan dengan. Nilai ini juga dapa berupa nilai posiif aaupun negaif erganung cara memberikan kecepaan pada pendulum ersebu (didorong aau diarik). Saa pendulum bergerak, maka pergerakan pendulum akan mendapakan gaya gesek udara yang merupakan gaya redam disimbolkan dengan d a d. Sebagaimana dikeahui bahwa gaya gesek aaupun gaya redam selalu berlawanan dengan arah gerakan pendulum iu sendiri sebagaimana hukum Hooke menjelaskan anang gaya gesek lanai yang berlawanan erhadap arikan maupun dorongan pada pegas secara horizonal.
Dalam peneliian ini diasumsikan bahwa mula-mula pegas akan diarik ke arah kanan sehingga nilai simpangan pendulum adalah posiif. Lebih lanju, kecepaan yang d diberikan pada pendulum juga dalam hal ini dimisalkan posiif yakni 0 yang d memberi ari bahwa pendulum diperlakukan arikan aau gerakan ke arah kanan bukan berupa dorongan. Berdasarkan hal ersebu, model maemais gerak pendulum sebagaimana diilusrasikan pada gambar di aas dapa diuliskan sebagai beriku Karena d d ml a mg sin 0 d yang merupakan kecepaan dari gerak pendulum yang d merupakan percepaan gerak pendulum, maka berdasarkan hal ersebu persamaan dapa diuliskan kembali sebagai beriku Apabila didefinisikan sebagai beriku Misalkan x a ml d d ml a mg sin 0 d d d d g l, maka persamaan di aas dapa diuliskan d sin 0 d 3 sebagai sisem model simuan sebagai beriku, maka model persamaan 3 dapa diuliskan kembali x x x sin x x Tiik keseimbangan dari sisem 4 diperoleh dengan menyamadengankan nol x x, berdasarkan hal ersebu diperolehh iik keseimbangan sisem 4 yakni 0,0,0 n dengan n N. 4
Karena sisem 4 merupakan model sisem nonlinear, maka akan dilakukan linearisasi sisem disekiar iik keseimbangan (equilibrium). Linearisasi dilakukan dengan Jakobian, berdasarkan hal ersebu diperoleh sisem erlinierisasi sebagai beriku Df x, x,, f x f x x 0 f, x f, x x cos x x dengan f x, x x f x, x sin x x Selanjunya akan dilakukan analisis kesabilan erhadap sisem model erlinearisasi disekiar iik keseimbangan 0,0 unuk analisis disekiar iik keseimbangan n,0, dapa dilakukan dengan cara langkah yang sama. Berdasarkan sisem linearisasi pendulum sesuai persamaan 5, maka analisis kesabila sisem model erlinerisasi disekiar iik keseimbangan 0,0 dapa diuraikan sebagai beriku Df 0,0 0 x 6 x Selanjunya nilai eigen dari sisem 6 diperoleh nilai-nilai eigen sebagai beriku Solusi x diuliskan sebagai beriku de 0, 0 4 7 dari sisem 6 berdasarkan nilai eigen 5 7 masing-masing
4 4 8 x C e C e 4 4 4 4 x C e C e Berdasarkan nilai-nilai eigen pada persamaan 7 di aas, dapa dikaji iga kondisi 9 berdasarkan 4 yang selanjunya dijelaskan sebagai beriku. ) Kondisi 4 0 Apabila nilai 4 0, maka diperoleh nilai eigen sisem 6 a. Dengan menginga bahwa 0, maka 0. ml Berdasarkan hal ersebu solusi maemais kondisi ini dapa diuliskan sebagai beriku Dengan syara awal 0 x C e C e x Ce Ce Ce x x berdasarkan 0 x x 0 x, maka solusi 0 0 masing-masing dapa diuliskan kembali sebagai beriku 0 e e x0e x e x e e x 4 0 0 Lebih lanju berdasarkan solusi 3 3 akan dienukan waku agar pendulum berada pada iik nol waku keika idak erdapa perubahan kecepean pendulum. Masing-masing waku ersebu dicari dengan
menyamadengankan nol 0 diperoleh waku x x 0 0 x sehingga berdasarkan hal ersebu x0 x x 4 0 0 nilai akan ada apabila 0 0 x x 0 x0. 4. Masing-masing ) Kondisi 4 0 Apabila nilai 4 0, maka diperoleh nilai eigen sisem 6 4 Berdasarkan hal ersebu solusi maemais 4 dengan 0. x berdasarkan kondisi diunjukkan dengan persamaan 8 9. Dengan syara awal x 0 x x 0 0 x 0 diuliskan kembali sebagai beriku, maka solusi 8 9 masing-masing dapa 0 0 0 0 x x x e x x e 0 0 x e e x e e x Lebih lanju berdasarkan solusi 4 4 5 5 akan dienukan waku agar pendulum berada pada iik nol waku keika idak erdapa perubahan kecepean pendulum. Masing-masing waku ersebu dicari dengan menyamadengankan nol x 0 x 0 diperoleh ln 0 x0 0 x0 Kedua waku akan ada apabila x x sehingga berdasarkan hal ersebu x x ln 0 0 0 x0 0 0 x x 0 0 x x 0 0..
3) Kondisi 4 0 Apabila nilai 4 0, maka nilai eigen sisem 6 adalah imajineryakni i i dengan Berdasarkan hal ersebu solusi maemais awal x 0 x x 0 0 sebagai beriku x 0 x 4. dengan syara, berdasarkan kondisi 3 diuliskan kembali e e 0 x0 sin sin 6 e e x 0 x0 sin sin cos 7 Lebih lanju berdasarkan solusi 6 7 akan dienukan waku agar pendulum berada pada iik nol waku keika idak erdapa perubahan kecepean pendulum. Masing-masing waku ersebu dicari dengan menyamadengankan nol x 0 diperoleh arcan x0 0 x sehingga berdasarkan hal ersebu x arcan 0 0 Kedua waku 0 akan ada apabila periode x x x bukan aau kelipaannya. 0 x SIMULASI 0 0 0 Simulasi dilakukan unuk iap kondisi yang dibahas pada peneliian ini, masingmasing dijelaskan pada uraian di bawah ini.
) Kondisi 4 0 Ada banyak sekali nilai parameer agar nilai 4 0, namun pada ininya kondisi ini erjadi apabila nilai 4. Sebagai penginga bahwa nilai a ml parameer a 0, m, l 0 dengan kondisi awal x x simulasi sebagai beriku g l, misalkan dalam hal ini di ambil g 0 m / s aau 0 0 0. Berdasarkan hal ersebu diperoleh Gambar. Plo x Gambar 3 Pore fase sisiem 6 sisem 6 kondisi kondisi Gambar diaas menunjukkan grafik plo sisem pendulum erlinearisasi di sekiar iik keseimbangan 0,0. Grafik berwarna merah menunjukkan simpangan aau posisi pendulum menunjukkan kecepaan pendulum garfik berwarna hijau x. Dari gambar erliha bahwa pendulum yang digerakan suau saa akan berheni dengan kaa lain simpangan kecepaan akan habis aau nol. Hal demikian dapa
erjadi karena aya gaya gesekan udara sesek udara dalam simulasi ini dieapkan a 0. d a d dengan nilai konsana gaya Lebih lanju gambar 3 menunjukkan pore fase sisem 6 dengan nilai parameer yang diberikan pada kondisi ini. Pore fase pada gambar 3 menunjukkan bahwa iik keseimbangan 0,0 sabil asimpoik dengan ipe sink. Kesabilan asimpoik ini diperkua dengan nilai eigen kondisi yakni 0. ) Kondisi 4 0 Agar erbenuk kondisi 4 0, misalkan dalam hal ini di ambil parameer a 0, m 0.5, l 0 dengan kondisi awal x x simulasi sebagai beriku g 0 m / s aau 4 0 0 0. Berdasarkan hal ersebu diperoleh Gambar 4. Plo x Gambar 5. pore fase sisem 6 sisem 6 kondisi kondisi
Gambar 4 diaas menunjukkan grafik plo sisem pendulum erlinearisasi di sekiar iik keseimbangan 0,0. Grafik berwarna merah menunjukkan simpangan aau posisi pendulum menunjukkan kecepaan pendulum garfik berwarna hijau x. Dari gambar 4 erliha bahwa pendulum yang digerakan suau saa akan berheni dengan kaa lain simpangan kecepaan akan habis aau nol. Hal demikian dapa erjadi karena aya gaya gesekan udara d a d dengan nilai konsana gaya sesek udara dalam simulasi ini dieapkan a 0. Meski pendulum akan berheni sebagimana pada kondisi, namun perilaku pendulum menuju berheni sangalah berbeda. Perbedaan ini dapa diliha pada pore fase gambar 5. Pore fase sisem 6 sebegaimana diunjukkan gambar 6 menunjukkan iik keseimbangan 0,0 sabil asimpoik dengan ipe node. Tipe ini berbeda dengan pore fase kondisi yang beripe node. Kesabilan asimpoik ini diperkua 4 4 dengan nilai eigen kondisi yakni dengan 0 3) Kondisi 4 0 Agar erbenuk kondisi 4 0, misalkan dalam hal ini di ambil parameer a 0, m, l 0 awal x x beriku g 0 m / s aau dengan kondisi 0 0 0. Berdasarkan hal ersebu diperoleh simulasi sebagai
Gambar 6. Plo x Gambar 7. pore fase sisem 6 sisem 6 kondisi 3 kondisi 3 Gambar 6 diaas menunjukkan grafik plo sisem pendulum erlinearisasi di sekiar iik keseimbangan 0,0. Grafik berwarna merah menunjukkan simpangan pendulum kecepaan pendulum garfik berwarna hijau menunjukkan x. Dari gambar 6 erliha bahwa pendulum yang digerakan suau saa akan berheni aau dengan kaa lain simpangan kecepaan akan habis aau nol. Hal demikian dapa erjadi karena aya gaya gesekan udara d a d dengan nilai konsana gaya sesek udara dalam simulasi ini dieapkan a 0. Cara pendulum ini berheni berbeda dengan cara pendulum berheni pada kondisi. Pada kondisi 3 ini sebelum pendulum berheni, erlebih dahulu pendulum akan berosilasi. Hal ini dikarenakan nilai eigen yang bernilai imajner. Berdasarkan hal ini pula, pore fase yang diunjukkan pada gambar 7 menjelaskan bahwa iik 0,0 sabil asimpoik dengan ipe poer fase adalah spiral
4. KESIMPULAN DAN SARAN Terdapa beberapa kesimpulan saran dalam peneliian ini ynag masing-masing diuraikan sebagai beriku Kesimpulan ) Model maemaika yang menjelaskan gerakan pendulum dengan aya gaya gesek udara diunjukkan pada persamaan aau 4 dengan sisem yang elah erlinierisasi disekiar iik keseimbangan 0,0 diunjukkan pada persamaan 6 dengan solusi persamaan 8 9. x ) Nilai eigen dari sisem 6 memberikan nilai x sisem 6 diunjukkan pada, 4 3) Berdasarkan nilai eigen pada poin diaas, dibagi iga kondisi berdasarkan nilai 4, yakni kondisi saa 4 0, kondisi saa 4 0 4 0 4) Unuk kondisi pada persamaan 4 0, solusi x x sisem 6 diunjukkan 3 dengan waku pendulum mencapai iik nol waku saa idak erdapa perubahan kecepaan pendulum yang dapa dilihapada pembahasan kondisi 5) Unuk kondisi pada persamaan 4 0, solusi x 4 x sisem 6 diunjukkan 5 dengan waku pendulum mencapai iik nol waku saa idak erdapa perubahan kecepaan pendulum yang dapa dilihapada pembahasan kondisi
Saran 6) Unuk kondisi pada persamaan 4 0, solusi x 6 x sisem 6 diunjukkan 7 dengan waku pendulum mencapai iik nol waku saa idak erdapa perubahan kecepaan pendulum yang dapa dilihapada pembahasan kondisi 3 7) Berdasarkan simulasi yang dilakukan unuk keiga kondisi di aas, erliha bahwa pendulum yang digerakan dengan diberikan simpangan kecepaan suau saa pendulum ersebu kana berheni. Perilaku pendulum menuju berheninya unuk masing-masing kondisi berbeda-beda erganung nilai eigenya dapa diliha pada pembahasan simulasi. ) Perlu dilakukan simulasi erhadap kondisi 3 saa nilai eigen sisem 6 adalah imajiner murni. ) Perlu diselidiki linearisasi sisem 4 disekiar iik keseimbangan n,0 dengan n,,. 3) Perlu dikembangkan sisem model maemais gerak endulum dengan 4) memperimbangan fakor lain yang erjadi pada kehidupan sebenarnya UCAPAN TERIMAKASIH Ucapan erimakasih diujukan kepada kampus Universias Muhammadiyah Tangerang kampus Insiu Teknologi Bandung aas suppor sehingga ulisan ini dapa selesai penulis dapa mengikui seminar nasional maemaika erapannya di kampus Universias Jendral Soedirman Tanggal 3 Desember 06
DAFTAR PUSTAKA Agarwal, R. D Regan D. O., An Inroducion o Differenial Equaion. Springer, 008. Alligood, K. T, Sauer, T.D, Yorke, J.A., Chaos an Inroducion o Dynamical Sysems, Springer, 993. Boyce, W.E. Richard, Elemenary Differenial Equaion and Boundary Value Problem, fifh ediion, John Wiley and Sons, Inc., New York, 99. Coddingon, E. A., An Inroducion To Ordinary Differenial Equaion, Prenice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 96. Haberman, R., Mahemaical Models: Mechanical Vibraion, Populaion Dynamics and Traffic Flow, Prnice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 0763, 97. J. Rychlewski, On Hook s Law, PMM U.S.S.R.,Vo.48,No.3,pp.303-34,984 Pergamon Press Ld. Kecik, K., Warminski, J. Chaos in Mechanical Pendulum-Like Sysem Near Main Parameric Resonance, Procedia IUTAM Volume 5, 0, Pages 49-58 Lee, W.K. Hsu, C.S. A Global Analysis of an Harmonically Excied Spring- Pendulum Sysem Wih Inernal Resonance, (994) Journal of Sound and Vibraion, 7 (3), pp. 335-359 Perko, Lawrence. Differensial Equaion and Dynamical Sysem Third Ediion. Springer-Verlag, New York, 000 Warminski, J. Kecik, K. Auoparameric vibraion of nonlinear sysem wih pendulum, Mahemaical Problems in Engineering Volume 006 (006), Aricle ID 80705, 9 pages, hp://dx.doi.org/0.55/mpe/006/80705 Wiggins, Sephen, Inroducion o Applied Nonlinear Dynamical Sysems and Chaos, Springer-Verlag, New York, 003 Widowai, Suimin, Pemodelan Maemaika: Analisis aplikasinya, Penerbi Undip Press, 03.