Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Sudaratn Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic

BAB 6 Fungsi Trignmetri 6.. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trignmetri dengan sudut θ sebagai peubah-bebas. = sinθ; = csθ sinθ csθ 3 = tanθ= ; 4 = ctθ= csθ sinθ 5 = secθ= ; 6 = cscθ=. csθ sinθ (6.) Untuk menjelaskan fungsi trignmetri, kita gambarkan lingkaransatuan, aitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini diperlihatkan pada Gb.6.. Kita menggunakan referensi arah psitif berlawanan dengan arah jarum jam; artina sudut θ makin besar jika jarijari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. O θ - [,] -θ Q r P - P Gb.6.. Lingkaran berjari-jari. 6-

Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP =, maka PQ sin θ= = PQ (6.) r PQ = pada waktu θ =, dan membesar jika θ membesar sampai mencapai maksimum PQ = pada waktu θ = 9. Kemudian PQ menurun lagi dan mencapai PQ = pada waktu θ = 8. Sesudah itu PQ menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = pada waktu θ = 7, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = pada waktu θ = 36. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutna terjadi pada waktu θ = 7. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusna. Kejadian satu siklus kita sebut satu perida. Secara singkat kita memperleh sin sin 7 = ; = ; sin 9 = ; sin 36 sin8 = = ; Fungsi Csinus. Karena telah ditetapkan r =, maka 6- Sudaratn Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral OQ cs θ= = OQ r (6.3) OQ = pada waktu θ =, dan mengecil jika θ membesar sampai mencapai minimum OQ = pada waktu θ = π/. Kemudian OQ meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = pada waktu θ = π. Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ = pada waktu θ =,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = pada waktu θ = π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutna terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusna. Secara singkat cs cs 7 = ; = ; cs9 = ; cs36 cs8 = = ; Pada Gb.6., jika sin(θ) = PQ dan cs(θ) = OQ, sedangkan dalil Pitagras memberikan PQ + OQ = OP =, maka Dari Gb.6.. dapat kita perleh juga sin ( θ ) + cs ( θ) = (6.4.a)

P Q PQ sin( θ) = = = sinθ r r OQ cs( θ) = = csθ r (6.4.b) (6.4.c) Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP Q sisi tegak selalu lebih kecil dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun csθ akan bernilai antara dan +. Fungsi Tangent. PQ tan θ = (6.4.d) OQ P Q PQ tan( θ) = = = tanθ (6.4.e) OQ OQ Nilai tanθ akan menjadi jika θ =, dan akan menuju + jika θ menuju 9 karena pada waktu itu PQ juga dan tan( θ) akan menuju pada waktu θ menuju 9. Jadi tanθ bernilai antara sampai +. Nilai tanθ = bila θ = 45 karena pada waktu itu PQ = OQ; tan( θ) = jika θ = 45. Lihat pula kurva pada Gb.6.5. Fungsi Ctangent. OQ ct θ = (6.4.f) PQ OQ OQ ct( θ) = = = ctθ (6.4.g) P Q PQ Nilai ctθ akan menuju + jika θ menuju karena PQ akan menuju walau OQ menuju ; ctθ = jika θ = 9 karena OQ =. Sebalikna ctθ akan menuju jika θ menuju karena P Q akan menuju ; ctθ = jika θ = 9 karena P Q menuju. Lihat pula kurva Gb.6.6. 6-3

Fungsi Secan dan Csecan r secθ = = (6.4.h) csθ OQ r cscθ = = (6.4.i) sinθ PQ Nilai secθ menuju jika θ menuju 9 karena OQ menuju dan secθ = pada waktu θ = karena pada waktu itu OQ = r atau csθ =. Sementara itu cscθ akan menuju jika θ menuju karena sinθ menuju. Lihat pula Gb.6.7. Relasi-Relasi. Relasi-relasi ang lain dapat kita turunkan dengan mengunakan Gb.6.., aitu csα sinα csβ β sinα sinα sinβ α csα sinβ β - [,] csα csβ - Gb.6.. Relasi-relasi sin( α+β) = sinαcsβ+ csαsinβ cs( α+β) = csαcsβ sinαsinβ (6.5) Karena sin( β) = sinβ dan cs( β) = csβ maka kita perleh pula sin( α β) = sinαcsβ csαsinβ (6.6) cs( α β) = csαcsβ+ sinαsinβ 6-4 Sudaratn Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

6.. Kurva Fungsi Trignmetri Dalam Krdinat - r θ s Bilangan-nata dengan desimal ang tidak terbatas, π, digunakan untuk menatakan besar sudut dengan satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ didefinisikan dengan persamaan θ= s, s= rθ (6.7) r Jika θ = 36 maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = πr. Jadi jumlah radian dalam sudut 36 adalah π. Dengan demikian maka ukuran sudut θ = 8 adalah π rad. θ = 9 adalah,5π rad. θ = adalah ( /8) rad. dst. 3 π Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trignmetri akan kita gambarkan pada sistem krdinat -, ang kita ketahui bahwa sumbu- adalah sumbu bilangan-nata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi sinus = sin() (6.8) terlihat pada Gb.6.3. ang dibuat untuk nilai dari π sampai +π. Fungsi ini mencapai nilai maksimum + pada = π/ atau θ = 9, mencapai nilai nl pada = π atau θ = 8, mencapai minimum (arah negatif) pada =,5π atau θ = 7, kembali nl pada = π atau θ = 36 ; inilah satu perida. π,5,5 π π π -,5 - -,5 Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perida. 6-5

Fungsi Csinus. Kurva fungsi csinus = cs() (6.9) terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum + pada = atau θ =, mencapai nilai nl pada = π/ atau θ = 9, mencapai minimum (arah negatif) pada = π atau θ = 8, kembali nl pada =,5π atau θ = 7, dan ke nilai maksimum + lagi setelah satu perida, π. π,5,5 -,5 Gb.6.4. Kurva fungsi csinus. Fungsi sinus maupun fungsi csinus adalah fungsi peridik dengan perida sama sebesar π, dengan nilai maksimum dan minimum ang sama aitu + dan. Perbedaan antara keduana terlihat, aitu sin( ) = sin( ) sedangkan cs( ) = cs( ) (6.) Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [,], dan disebut memiliki simetri ganjil. Fungsi csinus simetris terhadap sumbu- dan disebut memiliki simetri genap. Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi sinus dapat dipandang sebagai fungsi csinus ang tergeser sejajar sumbu- sebesar π/. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita natakan dalam csinus = sin( ) = cs( π / ) (6.) Fungsi Tangent. Selanjutna kita lihat fungsi - perida π π -,5 sin( ) = tan( ) = (6.) cs( ) 6-6 Sudaratn Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Karena cs() = pada = +π/ dan π/, maka tan() bernilai tak hingga pada = +π/ dan π/. 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π - - -3 Gb.6.5. Kurva = tan() Fungsi Ctangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent. cs( ) = ct( ) = = (6.3) sin( ) tan( ) Karena sin() = pada =, maka ct() bernilai tak hingga pada =. Lihat Gb.6.6. 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π - - -3 Gb.6.6. Kurva = ct () 6-7

Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi csinus. = sec( ) = (6.4.a) cs( ) Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec() bernilai pada = karena pada nilai itu cs() juga bernilai. Fungsi Csecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus. = csc( ) = (6.4.b) sin( ) Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc() bernilai pada = kara pada nilai ini sin() bernilai. 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π - - (a) = sec() -3 3 -,5π -π -,5π -,5π π,5π - -3 (b) = csc() Gb.6.7. Kurva = sec() dan = csc() 6-8 Sudaratn Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Sal-Sal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut: = sin ; = 3sin ; = cs3 ; = 3cs(+ π / 4) ; = tan( / 3) 6.3. Fungsi Trignmetri Inversi Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan = sin(), maka fungsi sinus inversi dituliskan sebagai = arcsin atau = sin (6.5) Perhatikan bahwa sin bukan berarti /sin, melainkan inversi sinus ang bisa kita baca sebagai: adalah sudut ang sinusna sama dengan. Karena fungsi sinus adalah peridik dari sampai + maka fungsi = sin tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.8.a. Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai ; kita hana meninjau fungsi sinus inversi pada π π. Dengan pembatasan ini maka kita hana terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin. Jadi nilai utama = sin terletak pada π π sin. Kurva fungsi = sin ang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b. Perhatikanlah bahwa pada =, = sin = karena pada = sin() = =. Pada =, = sin = π/ karena sin() = sin(π/) = =. Cnth: = sin () =,5π ; = sin ( ) =,5π sin π = (,5) = ; 6 sin π = (,5) = 6 6-9

π π -,5π,5π π π - -,5,5 -,5π -,5π a) b) Gb.6.8. Kurva = sin Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3. (fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu- pada Gb.6.8. kita gambarkan hrizntal sedangkan sumbu- kita gambarkan vertikal, maka kita akan memperleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang π π, aitu rentang di mana kita membatasi nilai pada fungsi sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi. Csinus Inversi. Fungsi csinus inversi kita perleh melalui hubungan π = cs = sin (6.6) Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β= π/ α dan sin α = csβ. Oleh karena itu jika sin α = maka cs β= sehingga cs = β=π / α=π / sin 6- Sudaratn Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Karena dengan pembatasan π π pada fungsi sinus inversi memberikan π π sin maka nilai-nilai utama dari cs akan terletak pada cs π. Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi csinus inversi pada nilai utama. Perhatikan bahwa jika sumbu- digambar vertikal sedang sumbu- digambar hrizntal, kita dapatkan fungsi csinus seperti pada Gb.6.4. dalam rentang π. π π -,75π,5π π a) b) Gb.6.9. Kurva = cs Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah,5π - -,5,5 = tan (6.7) π dengan nilai utama π < tan < Untuk fungsi ini, nilai =±(π / ) tidak kita masukkan pada pembatasan untuk karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada nilai tersebut. Gb.6..a. memperlihatkan kurva = tan lengkap sedangkan Gb.6..b. dibatasi pada nilai,5π< <. 5π. 6-

,5π π,5π -3 - - 3 -,5π -π,5π,5π - -5 5 -,5π -,5π a) b) Gb.6.. Kurva = tan Jika kita mempertukarkan psisi sumbu- dan sumbu- pada Gb.6..b ini, kita akan memperleh kurva pada Gb.6.5. aitu kurva fungsi tangent, dalam rentang π π < tan < Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi. Ctangent inversi. Fungsi ini diperleh melalui hubungan π = ct = tan (6.8) dengan nilai utama < ct < π dan π tidak masuk dalam pembatasan karena pada nilai tersebut menjadi tak hingga. Hubungan (6.8) diperleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β=π/ α dan tan α= ctβ. Oleh karena itu jika tan α= maka ct β= sehingga ct = β=π -,5π / α=π / tan Kurva fungsi ctangent inversi terlihat pada Gb.6.. 6- Sudaratn Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

π,5π - -5 5 Gb.6.. Kurva = ct Pertukaran psisi sumbu- dan sumbu- Gb.6.. ini akan memberikan bentuk kurva fungsi ctangent pada Gb.6.6. Fungsi Secan Inversi. Selanjutna kita memperleh fungsi secan inversi = sec = cs (6.9) dengan nilai utama π sec π.,75π,5π,5 π -4-3 - - 3 4 Gb.6.. Kurva = sec Fungsi Csecan Inversi. csc = sin (6.) dengan nilai utama π π csc 6-3

Pertukaran psisi sumbu- dan sumbu- pada gambar kurva kedua fungsi terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi nn-knversina.,5π,5π -4-3 - - 3 4 -,5π -,5π Gb.6.. Kurva = csc Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi dengan fungsi-fungsi nn-inversi dapat kita cari dengan menggunakan gambar segitiga siku-siku. ). Dari fungsi = sin, aitu sudut ang sinus-na adalah dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan seperti terlihat di bawah ini. Dari gambar ini selain fungsi dapat perleh cs =, tan = sin dan sin =, kita =, dst. 6-4 Sudaratn Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

). Dari fungsi csinus inversi = cs dapat kita gambarkan segitiga siku-siku seperti di bawah ini. Selain cs = dari gambar ini kita dapatkan sin =, tan =, dst. 3). Dari fungsi = tan, kita gambarkan segitiga seperti di bawah ini. Selain tan =, kita perleh sin =, + + cs =, dst + 4). Dari fungsi = sec kita gambarkan Dari gambar ini kita perleh 6-5

tan =, sin =, dst. Sal-Sal: ) Dari fungsi = ct tentukan sin dan cs ) Dari fungsi = csc tentukan tan dan cs 6-6 Sudaratn Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral