Jurnal ILMU DASAR Vol. 8 No. 2, Juli 2007 : 135-141 135 Esimasi Fungsi Tahan Hidup Virus Hepaiis di Kabupaen Jember (Esimaing of Survival Funcion of Hepaiis Virus in Jember) Mohamad Faekurohman Saf Pengajar Jurusan Maemaika FMIPA Universias Jember ABSTRACT Saisical mehod o analyse daa of lifeime is called survival analysis. One problem in survival analysis is esimaion of survival funcion. This funcion can be esimaed by using nonparameric mehod. One problem in medical is o sudy he lifeime of hepaiis virus. In his paper he lifeime of hepaiis viruses (A, B, C) are esimaed using Nelson s mehod. The resuls show ha he hree ype of viruses have differen lifeime and virus ype A has he longes lifeime. Keywords: survival analysis, survival analysis funcion esimaion PENDAHULUAN Akhir-akhir ini, di Indonesia sering dijumpai penyaki hepaiis. Menuru Sulaiman (2002), Indonesia ermasuk daerah dengan prevalensi sedang sampai inggi, berkisar anara 4% hingga 34%. Oleh karena iu, diperkirakan bahwa sau dari 20 penduduk di Indonesia menderia hepaiis. Hepaiis adalah peradangan aau infeksi pada sel-sel hai. Penyebab hepaiis yang paling sering adalah virus yang dapa menyebabkan pembengkakan dan pelunakan hai. Sampai saa ini sudah dapa dideeksi ujuh macam virus hepaiis, yaiu A, B, C, D, E, F, dan G, eapi virus yang sampai saa ini dikeahui menyerang dan membua kerusakan sel hai adalah virus hepaiis A, B, dan C. Virus ini dapa diemukan pada cairan ubuh penderia seperi air liur, darah, dan sperma. Penularan erjadi dengan cara masuknya virus dari cairan ubuh penderia ke orang lain yang mempunyai luka erbuka dengan cara bersenuhan. Hepaiis A disebabkan karena penderia erular makanan aau minuman yang ercemar inja yang mengandung virus hepaiis A. Sekiar 20-25% dari semua kasus hepaiis aku disebabkan oleh virus hepaiis A. Hepaiis B lebih sering dijumpai dan lebih menular dibandingkan AIDS. Di seluruh dunia diperkirakan erdapa 400 jua orang pembawa virus hepaiis B, dan lebih dari 200 jua berada di kawasan Asia Tenggara dan Pasifik. Di Indonesia, angka kejadian hepaiis B berkisar anara 5-20%. Hepaiis C disebu juga hepaiis non-a, non-b. Diseluruh dunia erdapa sekiar 100 jua pengidap kronik virus hepaiis C. Di Jakara diemukan 9-20% kasus hepaiis aku yang disebabkan virus hepaiis C. Menginga kondisi bahwa wabah hepaiis, khususnya di Jember, cenderung meningka maka dilakukan peneliian mengesimasi fungsi ahan hidup virus hepaiis berdasarkan daa yang ada dengan menggunakan meode nonparamerik. Karena virus yang sering menyerang dan membua kerusakan sel hai adalah virus hepaiis A, B, dan C, maka diselidiki juga apakah erdapa perbedaan yang signifikan anara fungsi ahan hidup virus hepaiis A, B, dan C. METODE Sebelumnya akan diberikan enang konsep dasar dari Analisis Tahan Hidup. Misal T adalah variabel random nonnegaif yang menunjukkan waku hidup dari individuindividu dalam populasi. Pada umumnya T diasumsikan sebagai variabel random koninu. Karena T variabel random nonnegaif maka semua fungsi yang berhubungan dengan T hanya didefinisikan dalam inerval [0, ). Fungsi-fungsi ersebu adalah fungsi densias probabilias, fungsi disribusi kumulaif, fungsi ahan hidup, fungsi hazard, dan fungsi hazard kumulaif. Menuru Cox dan Oakes (1984), secara maemaika fungsi densias probabilias f() diulis: f() = Pr( T < + Δ) lim. Δ 0 Δ Fungsi densias probabilias mempunyai sifa: f() 0 unuk [0, ). 0 f ( ) d = 1. Menuru Nelson (1982), dalam kaiannya dengan waku hidup, fungsi disribusi kumulaif F() menyaakan probabilias kemaian aau kegagalan sampai waku aau dapa dinyaakan dengan Pr[T ].
136 Esimasi Fungsi..(Mohamad Faekurrohman) Fungsi ahan hidup S() didefinisikan sebagai probabilias berahan hidup di aas waku, S() = f ( x) dx Fungsi ahan hidup adalah fungsi koninu monoon urun dengan sifa: S(0) = 1 S() = 0, unuk. Menuru Eland dan Johnson (1980), hubungan fungsi densias probabilias f() dan fungsi ahan hidup S() dapa diunjukkan dengan ds() f() =. d..(1) Fungsi hazard h() merupakan laju kegagalan aau kemaian sesaa pada waku, yaiu h()= Pr( T < + Δ T ) f() lim =. Δ 0 Δ S()..(2) Menuru Cox dan Oakes (1984), dari (1) dan (2) diperoleh hubungan anara fungsi hazard h() dan fungsi ahan hidup S(): S' () dlogs() h() = =. S() d Karena S(0)=1 maka S() = exp h(x)dx. 0..(3) Fungsi hazard h() mempunyai sifa: h() 0 unuk [0, ). 0 h ( ) d =. Fungsi hazard kumulaif H() didefinisikan sebagai H() = 0 h( x) dx Hubungan anara F(), H() dan S() dapa diunjukkan sebagai beriku: F() = 1 exp{-h()}, S() = exp {-H()}..(4) Menuru Eland dan Johnson (1980), jika S() (dan juga F()) erganung pada harga parameer-parameer θ, δ dan (δ>0), sehingga merupakan fungsi dari (T θ)/δ, maka θ disebu parameer lokasi (locaion parameer), dan δ disebu parameer skala (scale parameer). Jika S() (dan F()) berganung pada parameerparameer yang lain, kaakan γ, maka parameer-parameer ini disebu parameer benuk (shape parameer). Dengan kaa lain, fungsi ahan hidupnya dapa dinyaakan dengan S() = g{(-θ)/δ,γ} Analisis daa merupakan suau langkah yang pening dalam peneliian. Analisis daa adalah cara mengolah daa yang erkumpul sehingga mendapakan suau kesimpulan dari peneliiannya. Meode analisis daa dibagi menjadi dua, yaiu meode paramerik dan meode nonparamerik (Muri, 1996). Meode paramerik digunakan jika erlebih dahulu diasumsikan disribusi dari populasinya. Sedangkan meode nonparamerik adalah meode yang idak berganung pada asumsi disribusi populasinya. Meode ini sering disebu dengan meode bebas disribusi (disribuion-free mehod). Meode ini biasanya idak seefisien meode paramerik dalam mengesimasi parameer yang digunakan karena inerval konfidensinya yang lebih lebar. Meskipun demikian meode paramerik bisa juga menjadi idak akura jika disribusi populasi yang sebenarnya berbeda dengan yang diasumsikan (Lawless, 1982). Sebagai baasan masalah dalam peneliian ini, meode nonparamerik yang digunakan adalah meode Nelson. Uji Hipoesis Uji hipoesis unuk mengeahui apakah ada perbedaan fungsi ahan hidup anara 2 populasi digunakan uji Gilber-Gehan (Eland dan Johnson, 1980). Uji ini merupakan modifikasi dari uji Wilcoxon unuk daa yang idak lengkap. HASIL DAN PEMBAHASAN Analisis unuk keiga kaegori daa yaiu virus hepaiis A, B dan C melalui iga ahapan yaiu Esimasi fungsi ahan hidup Nelson, plo esimasi, fungsi ahan hidup dan uji Gilber dan Gehan. Tahapan dalam perhiungan/ mengesimasi fungsi ahan hidup virus hepaiis sebagai beriku: Meode Nonparamerik Menuru Venables dan Ripley (1994), meode Nelson adalah meode nonparamerik yang digunakan unuk mengesimasi fungsi hazard populasi kumulaif H pop () dari daa yang idak lengkap. Esimasi Nelson unuk H pop () adalah
Jurnal ILMU DASAR Vol. 8 No. 2, Juli 2007 : 135-141 137 d H pop () = i, 1 < 2 < < i < < n r( i ) i..(5) dengan i adalah waku dimana kemaian erjadi, n adalah jumlah i yang berbeda, d i adalah jumlah kemaian pada waku i dan r( i ) adalah jumlah individu yang beresiko sebelum waku i, yaiu individu dalam pengamaan yang masih hidup dan idak ersensor sebelum waku i. Esimasi fungsi ahan hidup populasinya adalah S() = exp{-h pop ()}...(6) Tahap perama mengesimasi fungsi hazard populasi kumulaif H pop () dengan Esimasi Nelson unuk masing-masing harga yaiu: Jika =3 maka S(3) = exp{-h pop (3)}= 0.5915553644 Secara Analog dapa dihiung unuk =4 sampai dengan =10. Plo Esimasi Fungsi Tahan Hidup Kecenderungan esimasi fungsi ahan hidup erhadap waku hidupnya semakin lama dan dapa diliha dengan jelas perbedaan anara hasil esimasi fungsi ahan hidup unuk keiga jenis virus hepaiis ersebu. Unuk plo dibua dengan Sofware Maple 8. Berdasarkan esimasi fungsi ahan hidup yang diunjukkan pada persamaan (6), dapa diperoleh plo esimasi fungsi ahan hidup unuk masingmasing jenis virus. Terliha dalam Gambar 1 sampai dengan Gambar 4. 3 Jika =1 maka H pop (1) = =0.2 Tabel 1. Daa Pasien Hepaiis Tahun 2003 di 15 RSUD Dr. Soebandi 2 Jika =2 maka H pop (2) = 0.2 + =0.343 Ti ni di Ri 14 1 18 3 15 2 2 16 2 14 Jika =3 maka H pop (3) = 0.343 + =0.52 11 3 13 2 11 Secara Analog dapa dihiung unuk =4 4 10 2 8 sampai dengan =10. 5 8 1 7 Tahap kedua esimasi fungsi ahan hidup 6 5 1 4 populasinya unuk masing-masing harga 7 4 0 4 yaiu: 8 3 1 2 Jika =1 maka S(1) = exp{-h pop (1)}= 9 2 1 1 0.8187307531 10 1 1 0 Jika =2 maka 0.7096382116 S(2) = exp{-h pop (2)}= Tabel 2. Daa Pasien Hepaiis Berdasarkan Jenis Virusnya Ti ni di nai dai nbi dbi nci dci 1 18 3 10 1 6 1 2 1 2 16 2 10 0 5 2 1 1 3 13 2 5 1 5 1 3 0 4 10 2 5 2 3 0 2 1 5 8 1 6 1 2 0 0 0 6 5 1 4 0 1 0 0 0 7 4 4 4 0 0 0 0 0 8 3 1 3 0 0 0 0 0 9 2 1 0 0 2 0 0 0 10 1 1 1 0 0 0 0 0
138 Esimasi Fungsi..(Mohamad Faekurrohman) Tabel 3. Fungsi Hazard dan Fungsi Tahan Hidup masing-masing Virus Virus A Virus B Virus C i H pop (i) S(i) H pop (i) S(i) H pop (i) S(i) 1 0,1 0,91 0,85 0,85 0,5 0,61 2 0,1 0,91 0,69 0,69 1,5 0,22 3 0,3 0,74 0,57 0,57 1,5 0,22 4 0,5 0,61 0,57 0,57 2 0,14 5 0,66 0,51 2 0,14 6 0,66 0,51 Gambar 1. Plo Esimasi Komulaif Fungsi Tahan Hidup Virus Hepiiis Gambar 2. Plo Esimasi Fungsi Tahan Hidup Virus Hepiiis A
Jurnal ILMU DASAR Vol. 8 No. 2, Juli 2007 : 135-141 139 Gambar 3. Plo Esimasi Fungsi Tahan Hidup Virus Hepiiis B Gambar 4. Plo Esimasi Fungsi Tahan Hidup Virus Hepiiis C Dari Gambar 1, 2, 3 dan Gambar 4 erliha esimasi fungsi ahan hidup semakin mengecil unuk waku yang semakin lama. Ini berari semakin lama waku hidup virus hepaiis semakin lama pasien unuk sembuh. Berdasarkan Gambar 1 esimasi fungsi ahan hidup secara umum mempunyai nilai yang besar dibandingkan dengan masing-masing jenis virus. Uji Gilber dan Gehan Dari Gambar 1, 2 dan 3, erliha bahwa ada perbedaaan esimasi fungsi ahan hidup anara keiga jenis virus hepaiis A,B dan C. Langkah selanjunya dalam menganalisis daa adalah dengan uji Gilber dan Gehan. Uji ini berujuan unuk mengecek apakah ada perbedaan fungsi ahan hidup anara keiga jenis virus hepaiis A, B dan C. Uji Perbandingan Fungsi Tahan Hidup Virus Hepaiis C Dengan Virus Hepaiis A Langkah-langkah dalam uji Gilber-Gehan dapa dijelaskan sebagai beriku. H 1 : fungsi ahan hidup virus hepaiis C lebih besar daripada fungsi ahan hidup virus hepaiis A. H 0 : fungsi ahan hidup virus hepaiis C lebih kecil daripada fungsi ahan hidup virus hepaiis A. 1. Membua semua pasangan daa ( 1p, 2q ) yang mungkin, dengan 1p adalah daa dari sampel 1 yang berukuran N 1 dan 2q adalah daa dari sampel 2 yang berukuran N 2 dengan p = 1, 2,, N 1, q = 1, 2,, N 2 dan N 1 N 2. 2. Menenukan skor unuk seiap pasangan ( 1p, 2q ),
140 Esimasi Fungsi..(Mohamad Faekurrohman) 1, jika 1p ( 1p, 2q ) = 1, jika 1p 0, yang lainnya...(7) 3. Menenukan saisik uji Gilber-Gehan (W 1 ) dengan rumus W 1 = 0,5{- 89+8(8+48+1)}=183.5 dengan U 1 adalah skor oal dari langkah kedua. 4. Menenukan mean dan variansi W 1 dengan Ε(W 1 ) =228 dan Var(W 1 ) =14068.7 dengan G r adalah jumlah skor unuk daa ke-r yang dibandingkan dengan (N 1 +N 2 1) daa yang lainnya, dengan menggunakan persamaan (7). 5. Pilih ingka signifikansi (α=0.05), dengan Zα=0.05=1.645 6. Unuk es kasar dapa diasumsikan disribusi dari W 1 adalah disribusi normal, sehingga saisik Z = {183.5-228}/118.61=0.375 mendekai disribusi N(0,1) dan digunakan sebagai saisik uji. 7. Membua kepuusan saisik. Oleh karena Z<Z α=0.05 maka H 0 diolak berari fungsi ahan hidup populasi C lebih kecil daripada fungsi ahan hidup populasi A. Uji Perbandingan Fungsi Tahan Hidup Virus Hepaiis B Dengan Virus Hepaiis A Langkah-langkah dalam uji Gilber-Gehan dapa dijelaskan sebagai beriku: H 1 : fungsi ahan hidup virus hepaiis B lebih besar daripada fungsi ahan hidup virus hepaiis A. H 0 : fungsi ahan hidup virus hepaiis B lebih kecil daripada fungsi ahan hidup virus hepaiis A. 1. Membua semua pasangan daa ( 1p, 2q ) yang mungkin, dengan 1p adalah daa dari sampel 1 yang berukuran N 1 dan 2q adalah daa dari sampel 2 yang berukuran N 2 dengan p = 1, 2,, N 1, q = 1, 2,, N 2, dan N 1 N 2. (liha Tabel 1) 2. Menenukan skor unuk seiap pasangan 1, jika 1p ( 1p, 2q ), ( 1p, 2q ) = 1, jika 1p 0, yang lainnya. 3. Menenukan saisik uji Gilber-Gehan (W 1 ) didapa W 1 =765.5 dengan U 1 adalah skor oal dari langkah kedua. 4. Menenukan mean dan variansi W 1 dengan Ε(W 1 ) = 876 dan Var(W 1 ) =39533.995, dengan G r adalah jumlah skor unuk daa ke-r yang dibandingkan dengan (N 1 +N 2 1) daa yang lainnya, dengan menggunakan persamaan (7). 5. Pilih ingka signifikansi (α=0.05), dengan Z α=0.05 =1.645 6. Unuk es kasar dapa diasumsikan disribusi dari W 1 adalah disribusi normal, sehingga saisik Z =765.5-876/ 39533.995=-0.556 mendekai disribusi N(0,1) dan digunakan sebagai saisik uji. 7. Membua kepuusan saisik. Oleh karena Z<Z α=0.05 maka H 0 diolak berari fungsi ahan hidup populasi B lebih kecil daripada fungsi ahan hidup populasi A. Uji Perbandingan Fungsi Tahan Hidup Virus Hepaiis C Dengan Virus Hepaiis B Langkah-langkah dalam uji Gilber-Gehan dapa dijelaskan sebagai beriku: H 1 : fungsi ahan hidup virus hepaiis C lebih besar daripada fungsi ahan hidup virus hepaiis B. H 0 : fungsi ahan hidup virus hepaiis C lebih kecil daripada fungsi ahan hidup virus hepaiis B. 1. Membua semua pasangan daa ( 1p, 2q ) yang mungkin, dengan 1p adalah daa dari sampel 1 yang berukuran N 1 dan 2q adalah daa dari sampel 2 yang berukuran N 2 dengan p = 1, 2,, N 1, q = 1, 2,, N 2, dan N 1 N 2. 2. Menenukan skor unuk seiap pasangan 1, jika 1p ( 1p, 2q ), ( 1p, 2q ) = 1, jika 1p 0, yang lainnya. 3. Menenukan saisik uji Gilber- Gehan (W 1 ) dengan rumus W 1 = 0,5{- 12+8(8+24+1)}=126 dengan U 1 adalah skor oal dari langkah kedua. 4. Menenukan mean dan variansi W 1 dengan Ε(W 1 ) = 132 dan Var(W 1 ) = 2678.03 dengan G r adalah jumlah skor unuk daa ke-r yang dibandingkan dengan (N 1 +N 2 1) daa lainnya, dengan menggunakan persamaan (7). 5. Pilih ingka signifikansi (α=0.05), dengan Z α=0.05 =1.645 6. Unuk es kasar dapa diasumsikan disribusi dari W 1 adalah disribusi normal, se-hingga saisik Z = {126-132}/51.75=0.116 mendekai disribusi N(0,1) dan digunakan sebagai saisik uji. 7. Membua kepuusan saisik.
Jurnal ILMU DASAR Vol. 8 No. 2, Juli 2007 : 135-141 141 Oleh karena Z<Z α=0.05 maka H 0 diolak berari fungsi ahan hidup populasi C lebih kecil daripada fungsi ahan hidup populasi B. KESIMPULAN Dari hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa: Fungsi ahan hidup virus hepaiis A virus hepaiis B virus hepaiis C, sehingga pasien yang menderia penyaki hepaiis A lebih lama sembuhnya dibanding pasien yang menderia hepaiis B dan hepaiis C. DAFTAR PUSTAKA Cox D.R. and Oakes, D. 1984. Analysis of Survival Daa. Chapman and Hall, London Eland-Johnson, R.C. and Johnson, N.L. 1980. Survival Models and Daa Analysis. John Wiley and Sons, New York. Lawless J.F. 1982. Saicical Model and Mehods for Lifeime Daa. John Wiley and Sons, New York. Muri B. 1996. Penerapan Meode Saisik Nonparamerik dalam Ilmu-ilmu Kesehaan. Penerbi PT Gramedia Pusaka Uama, Jakara. Nelson W. 1982. Applied Life Daa Analysis. John Wiley and Sons, Inc., New York. Sulaiman A. 2002. Pengobaan Hepaiis B Holisik. Simposium Program Peduli Hepaiis B, Jakara. Venables W.N. and Ripley, B.D. 1994. Modern Applied Saisics wih S-Plus. John Wiley and Sons, New York.