KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR
Topik yang dibahas A. Limit Fungsi B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit) C. Kontinuitas
A. Limit Fungsi
1. Pengertian Limit Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, yang melihat tentang perilaku suatu fungsi mendekati suatu titik tertentu.
Contoh 1 Selidikilah perilaku dari fungsi f(x) = x 2 x + 2 untuk x mendekati 2.
Perhatikan Tabel berikut memberikan nilai-nilai f(x) untuk x mendekati 2, tetapi tidak sama degan 2.
Proses ini, juga dapat dilakukan dengan mengambil nilai x sedekat mungkin dengan 2, hal ini diungkapkan dengan limit fungsi f(x) = x 2 x + 2, jika x mendekati 2 sama dengan 4, Notasinya:
Defenisi 1 (Limit fungsi) Diberikan merupakan limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L Jika dapat dibuat nilai f(x) sembarang yang dekat dengan L (sedekat yang kita inginkan), dengan cara mengambil nilai x yang sedekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a.
2. Hal penting dalam Limit Perhatikan kalimat tetapi x a pada defenisi limit. Hal ini menujukkan bahwa dalam menentukan limit f(x) ketika x mendekati a, tidak pernah dianggap x = a. Bahkan tidak harus terdefenisi pada x = a. Hal yang diperlukan adalah bagaimana f didefenisikan di dekat a
Perhatikan ketiga grafik fungsi f(x) berikut:
Dari ketiga grafik di atas Bagian (a) f(x) terdefenisi disemua titik Bagian (b) nilai f(a) L Bagian (c), f(a) tidak terdefenisi Pada ketiga kasus di atas, apa pun yang terjadi di titik a,
Contoh 2 Carilah nilai Pembahasan: Diketahui fungsi f(x) tifdak terdefenisi pada saat x = 1. Tetepi dengan limit menjadi tidak masalah karena dicari nilai x yang mendekati a.
Gambar f(x) dan tabel nilai, Sehingga
Contoh 3 Diberikan sebuah fungsi Hitunglah
Pembahasan Contoh 3 Gambar dari g(x) adalah Sehingga diperoleh: dan
3. Limit Satu Sisi Limit satu sisi merupakan teknik menentukan nilai limit dengan melihat satu sisi (sisi kiri dan kanan) dari fungsi terhadap titik yang didekati.
Defenisi 2 Diberikan sebuah fungsi f(x) maka limit f(x) ketika x mendakati a dari kiri dan limit f(x) ketika x mendakati a dari kanan
Defenisi 3 Nilai suatu limit f(x) ada, misalanya jika dan hanya jika
Contoh 4 Gunakan grafik berikut untuk menyatakan nilai limit berikut (jika ada)
Pembahasan Contoh 4 tidak ada
Limit Takhingga Untuk menerangkan limit takhingga, dijelaskan melalui contohcontoh berikut.
Contoh 5 Carilah jika ada
Dibuat tabel Dari tabel, ketika x diambil mendekati 0, f(x) semakin besar. Dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu bilangan, sehingga tidak ada
Contoh 6 Diberikan fungsi f(x), maka tentukanlah
Dari grafik f(x) diperoleh tidak ada
2. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit)
1. Hukum Limit Andaikan bahwa c adalah konstanta dan dan ada, maka
Hukum Limit (tambahan) jika dengan n bilangan bulat positif
Hukum Limit (tambahan) dengan n bilangan bulat positif dengan n bilangan bulat positif (Jika n genap, diasumsikan bahwa a > 0) dengan n bilangan bulat positif (Jika n genap, diasumsikan bahwa )
Contoh 7 Hitunglah Pembahasan
Contoh 8 Hitunglah Pembahasan
Defenisi 3 Jika f adalah fungsi polinom atau rasional dan a dalam daerah asal f, maka Catatan: Apabila hasil limit berbentuk, atau yang lainnya maka limit tersebut harus dirasionalkan untuk dihitung kembali.
Contoh 9 Hitunglah Pembahasan
Contoh 10 Hitunglah jika ada Pembahasan
2. Limit menuju dan Pada fungsi polinomial: Pada fungsi rasional: Untuk tiap p(x) dan q(x) membagi variabel berderajat paling tinggi.
Contoh 11 Hitunglah Pembahasan:
Contoh 12 Hitunglah Pembahasan:
3. Kontinuitas
Defenisi 4 (kontinuitas) Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika Jika f tidak kontinu di a, maka f disebut diskontinu.
Secara eksplisit, defenisi kontinuitas mensyaratkan: 1. f(a) terdefenisi (yaitu a berada di daerah asal f) 2. ada (sehingga f harus terdefenisi pada selang 3. f(a). terbuka yang memuat a)
Contoh 13 Dimanakah masing-masing fungsi berikut diskontinu?
Pembahasan (contoh 13) a) Perhatikan bahwa f(2) tidak terdefenisi, maka f diskontinu pada x = 2. b) Disini f(0) = 1, terdefenisi. Tetapi tidak ada, maka f diskontinu di x = 0.