ELIMINASI GAUSS MAKALAH Untuk Memenuhi Tugas Terstruktur Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Saluky M.Kom Di Susun Oleh: Kelompok VII Matematika C/VII Anggota : 1. Eko Kurniawan P. (59451064) 2. Siti Nurhairiyah (59451095) 3. Sudianto (59451098) INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) SYEKH NURJATI CIREBON 2012
ELIMINASI GAUSS A. Bentuk Umum Sistem Persamaan Linier (SPL) Di dalam matematika, system persamaan linier adalah kumpulan persamaan-persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:............ Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas sebagai persamaan matriks Yang dalam hal ini, adalah matriks berukuran n x n adalah matriks berukuran n x 1 adalah matriks berukuran n x 1 (disebut juga vector kolom) Yaitu: B. Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variabel bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal.
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselonbaris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga atas (menggunakan Operasi Baris Elementer) seperti system persamaan berikut ini: Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur (backward substitution): Sekali diketahui, maka nilai dapat dihitung dengan: Kondisi sangat penting. Sebab bila, persamaan diatas menjerjakan pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak mempunyai jawaban.
Contoh: kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii) kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii) kalikan baris (ii) dengan (1/2) kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii) kalikan baris (iii) dengan (-2) Solusi system diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. 1. Tata ancang pivoting Prinsip tata ancang pivoting adalah sebagai berikut: jika = 0, cari baris k dengan dan k > p, lalu pertukaran baris p dan baris k. Metode eliminasi Gauss dengan tata ancang pivoting disebut metode eliminasi Gauss yang diperbaiki (modified Gauusian elimination) Contoh: Selesaikan sistem prsamaan lanjar berikut dengan meetode eliminasi Gauss yang menerapkan tata ancang pivoting. Operasi baris 1 Operasi baris 2 Setelah operasi baris 1, elemen yang akan menjadi pivot pada operasi baris 2 ternyata sama dengan nol. Karena itu, pada operasi baris 2, elemen baris 2 dipertukarkan dengan elemen baris 3. Tanda (*) menyatakan pertukaran baris terjadi akibat proses pivoting. Sekarang elemen sehingga operasi baris elementer dapat diteruskan. Tetapi, karena matriks A sudah membentuk matriks U, proses eliminasi selesai. Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur, yaitu. Melakukan pertukaran baris untuk menghindari pivot yang bernilai nol adalah cara pivoting yang sederhana (simple pivoting). Masalah ini dapat juga timbul bila elemen pivot sangat dekat ke nol, karena jika elemen pivot sangat
kecil dibandingkan terhadap elemen lainnya, maka galat pembulatan dapat muncul. Ada dua macam tata-ancang pivoting, yaitu: a. Pivoting sebagian (partial pivoting) Pada tata-ancang pivoting sebagian, pivot dipilih dari semua elemen pada kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar,,,,, } Lalu pertukarkan baris k dengan baris ke p. Misalkan setelah operasi baris pertama diperoleh matriksnya seperti yang digambarkan pada matriks di bawah ini. Untuk operasi baris kedua, carilah elemen x pada baris kedua, dimulai dari baris ke-2 sampai baris ke-4, yang nilai mutlaknya terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan baris ke-2. Elemen x yang nilai mutlaknya terbesar itu sekarang menjadi pivot untuk operasi baris selanjutnya. Cari x terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan baris ke-2 perhatikanlah bahwa teknik pivoting sebagian juga sekaligus menghindari pemilihan pivot = 0 (sebagaimana dalam simple pivoting) karena 0 tidak akan pernah menjadi elemen dengan nilai mutlak terbesar, kecuali jika seluruh elemen di kolom yang diacu adalah 0. Apabila setelah melakukan pivoting sebagian ternyata elemen pivot = 0, itu berarti system persamaan linier tidak dapat diselesaikan (singular system) b. Pivoting Lengkap (complete pivoting)
Jika disamping baris, kolom juga dikutkan dalam pencarian elemen terbesar dan kemudian dipertukarkan, maka tata-ancang ini disebut pivoting lengkap. Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program sederhana karena pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan akibatnya menambah kerumitan program secara berarti. Contoh: Dengan menggunkan 4 angka bena, selesaikan system berikut dengan metode eliminasi Gauss: a. Tanpa tata-ancang pivoting sebagian (Gauss naif) b. Dengan tata-ancang pivoting sebagian (Gauss yang dimodifikasi) Penyelesaian a). Tanpa tata-ancang pivoting sebagian Operasi baris pertama (Tanda berarti diisi atau diganti dengan ) Jadi, Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur:
(jauh dari solusi sejati) Jadi, x=(3.333, 1.001). solusi ini sangat jauh berbeda dengan solusi sejatinya. Kegagalan ini terjadi karena sangat kecil bila dinbandingkan, sehingga galat pembulatan yang kecil pada menghasilkan galat besar di. Perhatikan juga bahwa 1.569 1.568 adalah pengurangan dua buah bilangan yang hamper sama, yang menimbulkan hilangnya angka bena pada hasil pengurangannya. b). Dengan tata-ancang pivoting sebagian Baris pertama dipertukarkan dengan baris kedua sehingga 0.3454 menjadi pivot Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh: (lebih baik daripada solusi a) Jadi, solusinya adalah x = (10.02, 1.000), yang lebih baik daripada solusi a. keberhasilan ini karena tidak sangat kecil dibandingkan dengan, sehingga galat pembulatan yang kecil pada tidak akan menghasilkan galat yang besar pada. 2. Penskalaan Kemungkinan solusi SPL
Selain dengan pivoting sebagian, penskalaan (scaling) juga dapat digunakan untuk mengurangi galat pembulatan pada SPL yang mempunyai perbedaan koefisien yang mencolok. Situasi demikian sering ditemui dalam praktek rekayasa yang menggunakan ukuran satuan yang berbeda-beda dalam menentukan persamaan simultan. Misalnya pada persoalan rangkaian listrik, tegangan listrik dapat dinyatakan dalam satuan yang berkisar dari microvolt sampai kilovolt. Pemakaian satuan yang berbeda-beda dapat menuju ke koefisien yang besarnya sangat berlainan. Ini terdampak pada galat pembulatan, dank arena itu mempengaruhi pivoting. Dengan penskalaan berarti kita menormalkan persamaan. Cara menskala adalah membagi tiap baris persamaan dengan nilai mutlak koefisien terbesar di ruang kirinya. Akibat penskalaan, koefisien maksimum dalam tiap baris adalah Cara menskala seperti ini dinamakan dengan menormalkan SPL. Contoh: Selesaikan system persamaan lanjut berikut sampai 3 angka bena dengna menggunakan metode eliminasi Gauss yang menerapkan perskalaan dan tanpa perskalaan: + (Solusi sejatinya dalam 3 angka bena adalah Penyelesaian: (i) Tanpa perskalaan Solusinya adalah (salah) (ii) Dengan penskalaan
2 0.00002 : 1 Solusinya, (benar) Yang sesuai dengan solusi sejati. Contoh di atas juga memperlihatkan bahwa penskalaan dapat mengubah pemilihan pivot. 3. Kemungkinan solusi SPL Tidak semua SPL mempunyai solusi. Ada 3 kemungkinan yang dapat terjadi pada SPL: a) Mempunyai solusi yang unik b) Mempunyai banyak solusi, atau c) Tidak ada solusi sama sekali Untuk SPL dengan tiga buah persamaan atau lebih (dengan tiga peubah atau lebih)tidak terdapat tafsiran geometrinya (tidak mungkin dibuat ilustrasi grafiknya) seperti pada SPL dengan dua buah persamaan. Namun, kita masih dapat memeriksa masing-masing kemungkinan solusi itu berdasarkan pada bentuk matriks akhirnya. Agar lebih jelas, tinjau contoh pada SPL yang disusun oleh tiga persamaan. a). Solusi unik/tunggal Solusi:
b). Solusi banyak/tidak terhingga Perhatikan hasil eliminasi Gauss pada baris terakhir. Persamaan yang bersesuaian dengan baris terakhir tersebut adalah Yang dipenuhi oleh banyak nilai x. solusinya diberikan dalam bentuk parameter: Misalkan Maka c). Tidak ada solusi Perhatikan hasil eliminasi Gauss pada baris terakhir. Persamaan yang bersesuaian dengan baris terakhir tersebut adalah Yang dalam hal ini, tidak nilai yang memenuhi, i=1,2,3
DAFTAR PUSTAKA Munir, Rinaldi. 2003.Metode Numerik. Bandung: Penerbit Informatika https://chiwannnk.files.wordpress.com/2012/04/gauss-jordan1.docx http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-aljabar-linearmetode-gauss-jordan.pdf