I. OPTIMISASI FUNGSI TANPA KENDALA Utuk fugsi dua peubah ) f ag terdiferesial dua kali. Jika di titik ) P dipeuhi :. sarat stasioer)... > maka mecapai ekstrim di ) P. Jika : ekstrim maksimum mecapai maka ii). ekstrim miimum mecapai maka ). < > i Cotoh Produksi dua eis sepatu A da B memberika fugsi keutuga bulaa sebagai berikut : B tigkat produksi A tigkat produksi keutuga dega Tetuka ilai ) ag memaksimalka Peelesaia 7 ) ) ). adalah titik stasioer ) Jadi - 7 : diperoleh 6 8 > P
Jadi mecapai ekstrim di titik P ). < berarti ekstrim merupaka ekstrim maksimum Jadi supaa keutuga maksimum maka harus diproduksi uit A da uit B perbula. Ekstrim di titik stasioer P ) disebut ekstrim stasioer. II. OPTIMISASI FUNGSI DENGAN KENDALA Cotoh. Peterak aam mempuai kawat sepaag m ag aka diguaka utuk memagari kadag aam berbetuk persegi paag. Bagaimaa ukura kadag agar luasa maksimum? Peelesaia Misalka p paag kadag q lebar kadag maka luas kadag adalah L p. q da kelilig adalah p q ) Aka ditetuka p da q tak egatif ag memaksimumka luas kadag L d ega kedala paag kawat p q ). Permasalaha di atas adalah masalah optimisasi fugsi dua peubah dega kedala berbetuk persamaa. Utuk meelesaika masalah di atas dibawa meadi betuk soal ekstrim fugsi satu peubah tapa kedala dega cara elimiasi). p q) q p Lmaks p p) p p L' p p 6 q 6 Jadi titik P66) adalah calo titik ekstrim Karea L" < maka L mecapai ekstrim maksimum di titik P66) Jadi L p. q 6 maks Artia kadag dibuat dega ukura 6 6 betuk persegi).
. Tetuka semua ekstrim fugsi F ) Peelesaia Masalah di atas adalah masalah ekstrim dega kedala berbetuk pertidaksamaa. F' ) adalah calo titik ekstrim. Karea F" ) > maka F mecapai miimum di titik ) disebut ekstrim stasioer Utuk da fugsi F mecapai maksimum lokal disebut sebagai ekstrim batas.. Diberika fugsi f ). Tetuka semua ekstrim fugsi f Peelesaia f f Modifikasi soal :... tidak mempuai ekstrim stasioer. f ). Peelesaia Fugsi f di atas mecapai miimum di titik P ) dega ilai f mi disebut sebagai ekstrim batas. Secara umum masalah ekstrim dega kedala dapat dirumuska sebagai berikut : a. Ekstrim dega kedala berbetuk persamaa Mecari ag megoptimumka fugsi f f... ) Dega kedala g... ) i.... i m Salah satu peelesaia masalah di atas dega metode Peggada Lagrage. b. Ekstrim dega kedala berbetuk pertidaksamaa Mecari ag megoptimumka fugsi f f... ) Dega kedala g... ) ) i.... i m
MASALAH PROGRAM LINEAR Jika b. memeuhi : f da g i masig-masig fugsi liear da... i...m maka masalah b. disebut masalah program liear PL). Jadi ekstrim dalam PL selalu berupa ekstrim batas. Secara umum masalah PL dirumuska sebagai berikut : Mecari :... c... ag memaksimumkamemiimumka) fugsi f c c dega kedala : a a... a ) b a a... a ) b M am am... am ) b.... atau Mecari : m... ag memaksimumkamemiimumka) fugsi f c dega kedala : a ) b i i i... m... i) ii) dega f disebut fugsi sasara i) disebut kedala utama ii) disebut kedala tak egative disebut variabel keputusa a i disebut koefisie tekis b i disebut suku tetap c i disebut koefisie ogkos. atau betuk matriks) Mecari : X ag memaksimumkamemiimumka) fugsi f CX dega kedala :
AX ) B X dega X M ) m X i A C c c... c ) b b B M b m CONTOH PRODUKSI PERTANIAN) Sekelompok petai trasmigra medapatka 6 ha taah ag dapat ditaami padi agug da palawia lai. Karea keterbatasa sumber daa petai harus meetuka berapa bagia ag harus ditaami padi da berapa ag harus ditaami agug sedag palawia lai terata tidak megutugka. Dalam satu masa taam teaga ag tersedia haa 9 am per orag pupuk uga terbatas tak lebih dari 8 kg sedagka air da sumber daa laia diaggap cukup tersedia. Diketahui pula bahwa utuk meghasilka kuital padi diperluka am per orag teaga da kg pupuk da utuk kuital agug diperluka 9 am per orag teaga da kg pupuk. Kodisi taah memugkika meghasilka kuital padi per ha atau kuital agug per ha. Pedapata petai dari kuital padi adalah Rp.. sedag dari kuital agug Rp.. da diaggap bahwa semua hasil taama selalu habis terual. Masalah bagi petai adalah bagaimaa recaa produksi ag memaksimumka pedapata total? Artia berapa hektar taah ditaami padi da berapa ag ditaami agug. Peelesaia Laha ag tersedia 6 ha taah Jeis taama : padi da agug Utuk satu masa taam Pupuk ag tersedia 8 kg Teaga ag tersedia : 9 am/ orag kw padi : am/ orag da kg pupuk kw agug : 9 am/ orag da kg pupuk Hasil ag diperoleh :
kw padi/ ha kw padi : / ha) atau kw agug/ ha kw agug : / ha) Pedapata : kw padi : Rp.. da kw agug : Rp.. Permasalaha : Memaksimumka pedapata petai? Misalka : : Jumlah/ hasil padi dalam kuital : Jumlah/ hasil agug dalam kuital Tabel Jeis Taama Pupuk kg) Teaga am/orag) Taah ha) Pedapata ribua) Padi Jagug 9 Batas 8 9 6 Pemodela Matematika: Maksimumka f ) Dega kedala : 8 9 9 6 6 Karea fugsi sasara da semua fugsi kedala berbetuk liear serta memuat kedala tak egatif maka masalah di atas termasuk MASALAH PROGRAM LINEAR. 6
KUIS Susu model matematis utuk permasalaha berikut : Sebuah perusahaa aka membeli palig sedikit 8 buah mesi utuk perluasa pabrika. Harga mesi ag baru uta/ uit. Di luar uga dapat dibeli mesi bekas dega umur tahu tahu da tahu ag hargaa diukur dari harga baru aka susut uta per tahua. Keempat eis mesi di atas mesi baru mesi umur tahu mesi umur tahu da mesi umur tahu mempuai ukura ag berbeda-beda berturut-turut membutuhka tempat da 6 m per uit sedagka ogkos perawataa berturut-turut da uta per tahu.bila tempat ag tersedia utuk semua mesi ag dibeli tersebut haa m da biaa perawata total ag disediaka haa 7 uta per tahu. Berapa uit dari eis-eis mesi di atas sebaika dibeli supaa batas-batas kedala tidak dilaggar da uag pembelia total miimum? perhituga haa terbatas utuk tahu saa). Peelesaia Misalka : : Jumlah uit mesi baru ag dibeli : Jumlah uit mesi umur tahu ag dibeli : Jumlah uit mesi umur tahu ag dibeli : Jumlah uit mesi umur tahu ag dibeli Jumlah mesi ag dibeli 8 uit Harga mesi baru : uta/ uit Harga mesi umur tahu : 9 uta/ uit Harga mesi umur tahu : 6 uta/ uit Harga mesi umur tahu : uta/ uit Tempat tersedia utuk mesi haa m Biaa perawata total haa 7 uta per tahu. 7
8 Tabel Jeis Mesi Luas m ) Ogkos Perawata uta/ tahu) Harga uta/ uit) Mesi baru Mesi umur tahu 9 Mesi umur tahu 6 Mesi umur tahu 6 Batas 7 Pemodela Matematika: Miimumka 6 9 ) f Dega kedala : 7 8 Karea fugsi sasara da semua fugsi kedala berbetuk liear serta memuat kedala tak egatif maka masalah di atas termasuk MASALAH PROGRAM LINEAR.