SIF SIF RNSFORMSI LINER m DRI R KE R Diuu utuk memeuhi uga Mata Kuliah ljabar Liear Doe Pegampu : Dr. Suroo, M. Pd Diuu oleh : Kelompok. ge Chritie rii ( 84.55 ). dik Setyo Nugroho ( 84.65 ). Beti Lutvi Muyaaroh ( 84.9 ) PROGRM SUDI PENDIDIKN MEMIK FKULS PENDIDIKN MEMIK DN ILMU PENGEHUN LM IKIP PGRI MDIUN
SIF SIF RNSFORMSI LINER m DRI R KE R. raformai Liear Satu ke Satu raformai liear yag memetaka vektor vektor (titik titik) berbeda ke vektor vektor (titik titik) berbeda laiya merupaka hal yag petig. Satu cotoh traformai emacam ii adalah operator liear : R R yag merotai etiap vektor ebear θ. Secara geometrik jela bahwa jika u da v adalah vektor vektor yag berada pada R, maka demikia juga vektor vektor hail rotai (u) da (v) eperti terlihat pada Gambar di ampig. Sebalikya, eperti yag Nampak pada gambar di ampig, jika : R R adalah proyeki ortogoal R pada bidag y, maka titik titik yag berbeda yag terletak pada gari vertikal yag ama aka dipetaka ke titik yag ama pada bidag y.
Defiii : m Suatu traformai liear : R R diyataka ebagai atu ke atu (oe-to-oe) jika memetaka vektor vektor (titik titik) berbeda m pada R ke vektor vektor (titik titik) berbeda pada R eorema. Peryataa Peryataa yag Ekuivale m Jika adalah uatu matrik da jika : R R adalah perkalia dega, maka petayaa peryataa berikut adalah eluivale: (a). dapat dibalik (b). Rage dari adalah R (c). adalah atu ke atu kibat eorema. Iver dari Operator Liear Satu ke Satu m Jika : R R adalah operator liear atu ke atu, maka dari teorema dapat diperoleh : R yag diebut iver dari R ediri merupaka operator liear Sebelum mempelajari lebih lajut, aka kita pelajari dahulu maalah otai. Jika operator liear atu ke atu pada bukaya R dituli ebagai : R R ), maka iver dari operator diotaika dega bukaya ) karea matrik tadar utuk utuk, kita peroleh : : R R (da (da adalah iver dari matrik tadar B. SIF SIF LINERIS eorema. m Suatu traformai : R R adalah liear jika da haya jika hubuga hubuga berikut berlaku utuk emua vektor u da v pada R da etiap kalar c. (a). ( u v) ( u) ( v) (b). ( cu) c ( u)
Bukti: umika adalah uatu traformai liear, da mialka adalah matrik tadar utuk. Selajutya, euai dega ifat ifat aritmatika daar matrik diperoleh: ( u v) ( u v) u v ( u) ( v) da ( cu) ( cu) c( u) c ( u) Sebalikya, aumika ifat ifat (a) da (b) berlaku utuk traformai. Dapat kita buktika liear dega meetuka uatu matrik dega ifat ( ) Utuk emua vektor pada perkalia dega da oleh karea itu adalah liear. R. Ii aka meujukka bahwa adalah eorema. m Jika : R R adalah uatu traformai liear, da e, e,..., e adalah vektor vektor bai tadar utuk R, maka matrik tadar utuk adalah e e... e Rumu di ata dapat diadalka utuk meetuka matrik tadard da megaalii dampak geometrik dari uatu traformai liear. C. Iterpretai Geometrik dari Vektor Eige Defiii Jika : R R adalah operator liear, maka kalar λ diebut ebagai ilai Eige dari (eigevalue of ), jika terdapat yag takol pada R edemikia rupa ehigga ( ) Vektor vektor takol terebut yag memeuhi peramaa ii diebut vektor Eige dari yag terkait dega λ (eigevector of correpodig to λ) Jika λ adalah ilai Eige dari da adalah uatu vektor Eige yag terkait, maka =λ, ehigga perkalia dega memetaka ke dalam uatu perkalia kalar dega diriya ediri. Pada R da R, ii berarti bahwa perkalia dega memetaka etiap vektor eige ke uatu vektor yag terletak pada gari yag ama dega, eperti gambar di bawah ii 4
5 Cotoh Vektor Eige Mial = λi = λ - det (λi ) = det λ = I (λ ) (λ ) = λ = λ = Nilai Eige λ = da λ = Vektor Eige = Jika λ = maka + Mial maka = Jika λ = maka + Mial maka =
Keimpula: eorema 4. Peryataa Peryataa yag Ekuivale Jika adalah uatu matrik da jika : R R adalah perkalia dega, maka peryataa peryataa berikut ekuivale (a). dapat dibalik (b). = haya memiliki olui trivial (c). Betuk eelo bari tereduki dari da I (d). dapat diyataka ebagai uatu hailkali dari matrik matrik elemeter. (e). = b koite utuk etiap matrik b, (f). = b memiliki tepat atu olui utuk etiap matrik b, (g). det (h). Rage dari adalah (i). adalah atu ke atu. R 6
DFR PUSK to, Howard, ad Rorre, Chri. ljabar Liear Elemeter. Jakarta : Erlagga. to, Howard. 99. ljabar Liear Elemeter Edii ke. Jakarta : Erlagga 7