Sudaryato Sudirham Distribusi Eergi Listrik ii
BB 3 (dari BB 6 alisis Ragkaia Sistem Teaga) Pembebaa Noliier (alisis Di Kawasa Waktu) Peyediaa eergi elektrik pada umumya dilakuka dega megguaka sumber tegaga berbetuk gelombag sius. rus yag megalir diharapka juga berbetuk gelombag sius. Namu perkembaga tekologi terjadi di sisi beba yag megarah pada peigkata efisiesi peralata dalam pegguaa eergi listrik. lat-alat seperti air coditioer, refrigerator, microwave ove, sampai ke mesi cuci da lampu-lampu hemat eergi maki bayak diguaka da semua peralata ii megguaka daya secara itermittet. Peralata elektroik, yag pada umumya memerluka catu daya arus searah juga semaki bayak diguaka sehigga diperluka peyearaha arus. Pembebaapembebaa semacam ii membuat arus beba tidak lagi berbetuk gelombag sius. Betuk-betuk gelombag arus ataupu tegaga yag tidak berbetuk sius, amu tetap periodik, tersusu dari gelombag-gelombag sius dega berbagai frekuesi. Gelombag periodik osius ii megadug harmoisa. 6.. Siyal osius Dalam pembahasa harmoisa kita aka megguaka istilah siyal osius utuk meyebut secara umum siyal periodik seperti siyal gigi gergaji da sebagaiya, termasuk siyal sius terdistorsi yag terjadi di sistem teaga. Dalam alisis Ragkaia Listrik kita telah membahas bagaimaa mecari spektrum amplitudo da sudut fasa dari betuk siyal osius yag mudah dicari persamaaya []. Berikut ii kita aka membahas cara meetuka spektrum amplitudo siyal osius melalui pedekata umerik. Cara ii diguaka jika kita meghadapi siyal osius yag tidak mudah dicari persamaaya. Cara pedekata ii dapat dilakuka dega batua komputer sederhaa, terutama jika siyal disajika dalam betuk kurva hasil dari suatu pegukura aalog. Dalam praktik, siyal 3-
osius diukur dega megguaka alat ukur elektroik yag dapat meujukka lagsug spektrum amplitudo dari siyal osius yag diukur. Peafsira Grafis Deret Fourier. Pecaria spektrum amplitudo suatu siyal periodik y( dilakuka melalui peghituga koefisie Fourier dega formula seperti berikut ii. a T a T b T T / y( dt T / dega T adalah perioda siyal. T / y( cos( ω dt T / T / y( si( ω dt T / ; ; > > T / Itegral y ( dt adalah luas bidag yag dibatasi oleh kurva y( T / dega sumbu-t dalam retag satu perioda. Jika luas bidag dalam retag satu perioda ii dikalika dega (/T ), yag berarti dibagi dega T, aka memberika ilai rata-rata y( yaitu ilai kompoe searah a. T / Itegral y ( cos( ω dt adalah luas bidag yag dibatasi oleh T / kurva y ( t ) cos( ω t ) dega sumbu-t dalam retag satu perioda. Jika luas bidag ii dikalika dega (/T ), yag berarti dibagi (T /), aka diperoleh a. Di sii T harus dibagi dua karea dalam satu perioda T terdapat dua kali gelombag peuh berfrekuesi ω. T / Itegral y ( si( ω dt adalah luas bidag yag dibatasi oleh T / kurva y ( t )si( ω t ) dega sumbu-x dalam retag satu perioda. Jika luas ii dikalika dega (/T ) aka diperoleh b. Seperti halya peghituga a, T harus dibagi dua karea dalam satu perioda T terdapat dua kali gelombag peuh berfrekuesi ω. - Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik
Dega peafsira hituga itegral sebagai luas bidag, maka pecaria koefisie Fourier dapat didekati dega perhituga luas bidag. Hal ii sagat membatu karea perhituga aalitis haya dapat dilakuka jika siyal osius yag hedak dicari kompoekompoeya diberika dalam betuk persamaa yag cukup mudah utuk diitegrasi. Prosedur Pedekata umerik. Pedekata umerik itegral siyal y( dalam retag p t q dilakuka sebagai berikut.. Kita bagi retag p t q ke dalam m segme dega lebar masig-masig t k ; t k bisa sama utuk semua segme bisa juga tidak, tergatug dari keperlua. Itegral y( dalam retag p t q dihitug sebagai jumlah luas seluruh segme dalam retag tersebut. Setiap segme diaggap sebagai trapesium; sisi kiri suatu segme merupaka sisi kaa segme di sebelah kiriya, da sisi kaa suatu segme mejadi sisi kiri segme di sebelah kaaya. Jika sisi kaa segme (trapesium) adalah k maka sisi kiriya adalah k-, maka luas segme ke-k adalah L ( ) t / k k k k (6.) Jadi itegral f( dalam retag p x q adalah q m f ( dt Lk (6.) p k. Nilai t k dipilih sedemikia rupa sehigga error yag terjadi masih berada dalam batas-batas tolerasi yag kita terima. Jika siyal diberika dalam betuk grafik, utuk mecari koefisie Fourier dari harmoisa ke-, satu perioda dibagi mejadi tidak kurag dari segme agar pembacaa cukup teliti da error yag terjadi tidak lebih dari 5%. Utuk harmoisa ke-5 misalya, satu perioda dibagi mejadi 5 segme. Ketetua ii tidaklah mutlak; kita dapat memilih jumlah segme sedemikia rupa sehigga pembacaa mudah dilakuka amu cukup teliti. 3. Relasi utuk memperoleh ilai koefisie Fourier mejadi seperti berikut: 3-3
-4 Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik [ ] [ ] [ ] ω ω ω ω m k kb k k k k ka m k k k k k ka m k k k k T L t t t T b T L t t t T a T L t T a / ) si( ) si( / ) cos( ) cos( (6.3) 4. Formula utuk sudut fasa adalah ϕ a b ta (6.4) 5. Perlu disadari bahwa agka-agka yag diperoleh pada pedekata umerik bisa berbeda dega ilai yag diperoleh secara aalitis. Jika misalka secara aalitis seharusya diperoleh a da b 5, pada pedekata umerik mugki diperoleh agka yag sedikit meyimpag, misalya a, da b 5,. 6. mplitudo dari setiap kompoe harmoisa adalah b a. Sudut fasa dihitug dalam satua radia ataupu derajat dega megigat letak kuadra dari vektor amplitudo seperti telah dibahas pada waktu kita membahas spektrum siyal. Persamaa siyal osius adalah ) cos( ) ( ϕ ω t b a a t y (6.5) Berikut ii kita lihat siyal periodik yag diberika dalam betuk kurva yag tak mudah dicari persamaaya. Prosedur pedekata umerik dilakuka dega membaca kurva yag memerluka kecermata. Hasil pembacaa kita muatka dalam suatu tabel seperti pada cotoh berikut ii.
CO TOH-6.: y[volt] 5 5-5,,4,6,8,,,4,6,8, t[detik] - -5 - Carilah kompoe searah, fudametal, da harmoisa ke-3 siyal periodik y( yag dalam satu perioda berbetuk seperti yag diperlihatka dalam gambar di atas. Perhatika bahwa gambar ii adalah gambar dalam selag satu periode yag berlagsug dalam, detik, yag sesuai dega frekuesi kerja 5 Hz. Peyelesaia: Perhituga diawali dega meetapka ilai t dega iterval sebesar t,4 detik, kemudia meetuka k utuk setiap segme. Sisi kiri segme pertama terjadi pada t da sisi kaaya mejadi sisi kiri segme ke-dua; da demikia selajutya dega segme-segme berikutya. Kita tetuka pula sisi kaa segme terakhir pada t T. Hasil perhituga yag diperoleh dimuatka dalam Tabel-. (haya ditampilka sebagia), dimaa sudut fasa diyataka dalam satua radia. Pembulata sampai agka di belakag koma. 3-5
Tabel-6.. alisis Harmoisa Siyal Nosius pada Cotoh-6.. T, s t k,4 s Komp. searah Fudametal f /T 5 Hz Harmoisa ke-3 t k L ka L ka L kb L ka3 L kb3 5,4 75,5,5,,4,6,8,35,34,7,9,9,,44,4,4,5,35 : : : : : : :,9-5 -,6 -,6, -,3,5,96,3,3,,3 -,, 5,4,4 -,,4 -, Jumlah L k,398,4,5 -,, a 9,9 a, b,36 5,5 a 3, b 3,8,3 mpli-, ϕ 5,5,57 mpli-3, ϕ 3 9,9 -,78 Tabel ii memberika a 9,9 a,36; b 5,5 a3,8; b3,3,36 5,5 5,5 ϕ ta (5,5 /,36),57 3 (,8),3 9,9 ϕ3 ta (,3/,8),78 Sesugguhya kurva yag diberika megadug pula harmoisa kedua. pabila harmoisa ke-dua dihitug, aka memberika hasil a 49,43 da b, 36 amplitudo 49,43 da ϕ, -6 Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik
Dega demikia uraia sampai dega harmoisa ke-3 dari siyal yag diberika adalah y( 9,9 5,5 cos(πf t,57) 49,43cos(4πf t,) 9,9 cos(6πf t,78) 6.. Eleme Liier Dega Siyal osius Hubuga tegaga da arus eleme-eleme liier R, L, C, pada siyal sius di kawasa waktu berlaku pula utuk siyal periodik osius. CO TOH-6.: Satu kapasitor C medapatka tegaga osius v si( ωt,5) si(3ωt,) si(5ωt,5) V (a) Tetuka arus yag megalir pada kapasitor. (b) Jika C 3 µf, da frekuesi f 5 Hz, gambarka (dega batua komputer) kurva tegaga da arus kapasitor. Peyelesaia: (a) Hubuga tegaga da arus kapasitor adalah Oleh karea itu arus kapasitor adalah dv i C C dt i C { si( ωt,5) si(3ωt,) si(5ωt,5) } d C dt ωc cos( ωt,5) 6ωC cos(3ωt,) 5ωC cos(5ωt,5) ωc si( ωt,7) 6ωC si(3ωt,37) 5ωC si(5ωt 3,7) (b) Kurva tegaga da arus adalah seperti di bawah ii. 5 [V] 5-5 - -5 v C 5 [] i C,5.5..5 detik.,5 5 3-7
Kurva tegaga da arus pada cotoh ii merupaka fugsi-fugsi osius yag simetris terhadap sumbu medatar. Nilai rata-rata fugsi periodik demikia ii adalah ol. Pedekata umerik memberika ilai rata-rata vrr 4,8 V da 7 irr 5. ilai Rata-Rata. Sesuai dega defiisi utuk ilai rata-rata, ilai ratarata siyal osius y( dega perioda T adalah Yrr T T y( dt (6.6) Nilai rata-rata siyal osius adalah kompoe searah dari siyal tersebut. ilai Efektif. Defiisi ilai efektif siyal periodik y( dega perioda T adalah Yrms T T y ( dt (6.7) Dega demikia maka ilai efektif siyal sius y Y m si(ωt θ) adalah T Ym Y rms Ym si ( ) ωtθ dt (6.8) T Nilai efektif siyal osius y ( Y Ym si( ωtθ ) adalah Yrms T T Y Ym si( ωtθ ) dt Jika ruas kiri da kaa dikuadratka, kita dapatka Y rms T T Y Ym si( ωtθ ) dt atau -8 Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik
Y rms T T T Y Ym si ( ωtθ ) dt Y Ym si( ωtθ ) T Y ω θ ω θ m si( t ) Ym si( t ) dt Ym si(ωtθ ) Ym si( ωtθ ) 3... (6.9) Melalui kesamaa trigoometri siα siβ cos( α b ) cos( α β) da karea Y berilai tetap maka suku ke-dua ruas kaa (6.8) merupaka pejumlaha ilai rata-rata fugsi sius yag masig-masig memiliki ilai rata-rata ol, sehigga suku ke-dua ii berilai ol. Oleh karea itu (6.9) dapat kita tulis atau Y rms T T Y ω θ Ym si ( t ) t Y rms Y dt T T Y Yrms dt T Ym si ( ωtθ ) dt (6.) (6.) Persamaa (6.) meujukka bahwa kuadrat ilai efektif siyal o sius sama dega jumlah kuadrat kompoe searah da kuadrat semua ilai efektif kopoe sius. Kita perlu mecari formulasi yag mudah utuk meghitug ilai efektif ii. Kita bisa memadag siyal osius sebagai terdiri dari tiga macam kompoe yaitu kompoe searah (y ), 3-9
kompoe fudametal (y ), da kompoe harmoisa (y h ). Kompoe searah adalah ilai rata-rata siyal, kompoe fudametal adalah kompoe dega frekuesi fudametal ω, sedagka kompoe harmoisa merupaka jumlah dari seluruh kompoe harmoisa yag memiliki frekuesi ω dega >. Jadi siyal osius y dapat diyataka sebagai y y y y h ka tetapi kita juga dapat memadag siyal osius sebagai terdiri dari dua kompoe saja, yaitu kompoe fudametal da kompoe harmoisa total di maa kompoe yag kedua ii mecakup kompoe searah. lasa utuk berbuat demikia ii adalah bahwa dalam proses trasfer eergi, kompoe searah da harmoisa memiliki pera yag sama; hal ii aka kita lihat kemudia. Dalam pembahasa selajutya kita megguaka cara padag yag ke-dua ii. Dega cara padag ii suatu siyal osius diyataka sebagai y y y h (6.) dega y Ym si( ωt θ) k da yh Y Ym si( ωtθ ). Dega demikia maka relasi (.) mejadi Y rms Yrms Yhrms (6.3) Dalam praktik, kompoe harmoisa y h dihitug tidak melibatka seluruh kompoe harmoisa melaika dihitug dalam lebar pita spektrum tertetu. Persamaa siyal dijumlahka sampai pada frekuesi tertiggi yag ditetuka yaitu kω ; siyal dega frekuesi di atas batas frekuesi tertiggi ii diaggap memiliki amplitudo yag sudah cukup kecil utuk diabaika. CO TOH-6.: Suatu tegaga berbetuk gelombag gigi gergaji memiliki ilai maksimum volt, dega frekuesi siklus per detik. Hituglah ilai tegaga efektif dega: (a) relasi ilai efektif; (b) uraia harmoisa. Peyelesaia: - Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik
(a) Perioda siyal,5 detik dega persamaa: v( 4t. Nilai efektif: V rms,5 6 (4 ),5 t dt,5 t 3 3,5,55 V (b) Uraia siyal ii sampai harmoisa ke-7 adalah diberika dalam cotoh di Bab-3, yaitu v( 6,366 siωt 3,83si ωt,si 3ωt,59si 4ωt,73si 5ωt,6si 6ωt,99si 7ωt V Persamaa ii memberika ilai efektif tegaga fudametal, tegaga harmoisa, da tegaga total sebagai berikut. V 6,366 rms V hrms 4,5 V 3,66,,5 V Vrms Vrms Vhrms 4,49,35,4 V Cotoh ii meujukka bahwa siyal gigi gergaji memiliki ilai efektif harmoisa jauh lebih tiggi dari ilai efektif kompoe fudametalya. CO TOH-6.3: Uraia dari peyearaha setegah gelombag arus sius i siω t sampai dega harmoisa ke- adalah: i(,38,5 cos( ω,8 cos(6ω t,57), cos(ω. cos(8ω t ),4 cos(4ω.7 cos(ω Hitug ilai efektif kompoe arus fudametal, arus harmoisa, da arus total. Peyelesaia: Nilai efektif arus fudametal, arus harmoisa da arus total berturut-turut adalah 3-
,5 I rms,354 I hrms,38,354,,4,8,,7 I rms hrms Irms I,354,354,5 Cotoh-6.3 ii meujukka bahwa pada peyearah setegah gelombag ilai efektif kompoe fudametal sama dega ilai efektif kompoe harmoisaya. CO TOH-6.4: Tegaga pada sebuah kapasitor µf terdiri dari dua kompoe yaitu v siωt da v5 si5ωt. Jika diketahui frekuesi fudametal adalah 5 Hz, hituglah: (a) ilai efektif arus yag diberika oleh v ; (b) ilai efektif arus yag diberika oleh v 5 ; (c) arus efektif total; (d) gambarka kurva ketiga arus tersebut sebagai fugsi waktu. Peyelesaia: a). Kompoe tegaga pertama adalah v si(π V. rus yag diberika oleh tegaga ii adalah i 6 6 dv / dt Nilai efektifya adalah: - Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik I πcosπt,57 cosπt,57 rms,89 b). Kompoe tegaga ke-dua adalah v5 si(5π V. rus yag diberika oleh tegaga ii adalah i 5 6 dv 5,885cos5πt Nilai efektifya adalah: c). Tegaga gabuga adalah / dt I 6 5πsi5πt,885 5 rms,33 v si(π si(5π
rus yag diberika tegaga gabuga ii adalah 6 6 d i dv / dt ( v v5 ) dt,57 cosπt,885cos5t rus ii merupaka jumlah dari dua kompoe arus yag berbeda frekuesi. Kurva arus ii pastilah berbetuk osius. Nilai efektif masig-masig kompoe telah dihitug di jawaba (a) da (b). Nilai efektif siyal o sius ii adalah I rms rms rms I I5,89,33,6 d). Kurva ketiga arus tersebut di atas adalah sebagai berikut. 4 i i i 5 3 detik...3.4.5.6 - - -3-4 CO TOH-6.5: rus i siωt, si 3ωt, megalir pada beba yag terdiri dari resistor Ω yag tersambug seri dega iduktor,5 H. Pada frekuesi 5 Hz: (a) gambarka kurva tegaga da arus beba; (b) tetuka ilai efektif tegaga beba da arus beba. Peyelesaia: (a) rus beba adalah adalah i siωt, si 3ωt. Tegaga beba di v vr vl ir L dt siωt si 3ωtω cosωt,3ω cos 3ωt Kurva tegaga da arus beba dibuat dega sumbu medatar dalam detik. Karea frekuesi 5 Hz, satu perioda adalah, detik. V 3-3
V 6 4 v i.5..5 detik. - 4-4 4-6 (b). Nilai efektif arus beba adalah I rms I rms I3rms Tegaga beba adalah,,4 v siωt si 3ωt ωcosωt,3ω cos 3ωt Nilai efektif tegaga beba, dega ωπ, adalah V V rms ω (,3ω) 7 V 6.3. Daya Pada Siyal osius Pegertia daya yata da daya reaktif pada siyal sius berlaku pula pada siyal osius. Daya yata memberika trasfer eergi etto, sedagka daya reaktif tidak memberika trasfer eergi etto. Kita tijau resistor R b yag meerima arus berbetuk gelombag osius i Rb i i h Nilai efektif arus ii adalah I Rbrms Irms I hrms Daya yata yag diterima oleh R b adalah PRb I Rbrms Rb IrmsRb I hrmsrb (6.4) -4 Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik
Formulasi (6.4) tetap berlaku sekiraya resistor ii terhubug seri dega iduktasi, karea dalam bubuga seri demikia ii daya yata diserap oleh resistor, semetara iduktor meyerap daya reaktif. CO TOH-6.6: Seperti pada cotoh-.5, arus i siωt,si3ωt megalir pada resistor Ω yag tersambug seri dega iduktor,5 H. Jika frekuesi fudametal 5 Hz: (a) gambarka dalam satu bidag gambar, kurva daya yag megalir ke beba sebagai perkalia tegaga total da arus beba da kurva daya yag diserap resistor sebagai perkalia resistasi da kuadrat arus resistor; (b) hitug ilai daya rata-rata dari dua kurva daya pada pertayaa b; (c) berika ulasa tetag kedua kurva daya tersebut. Peyelesaia: (a) Daya masuk ke beba dihitug sebagai: p v i sedagka daya yata yag diserap resistor dihitug sebagai: p R i R v R i R Kurva dari p da p R terlihat pada gambar berikut. 6 W p vi p R i R v R i R 4.5..5. - detik -4 (b) Daya rata-rata merupaka daya yata yag di trasfer ke beba. Daya ii adalah daya yag diterima oleh resistor. rus efektif yag megalir ke beba telah dihitug pada cotoh-3.5. yaitu,4. Daya yta yag diterima beba adalah PR I rms R (,4) W. Teorema Tellege megharuska daya ii sama dega daya rata-rata yag diberika oleh sumber, yaitu p vi. Perhituga dega pedekata umerik memberika ilai rata-rata p adalah 3-5
P rr W (c) Kurva p R selalu positif; ilai rata-rata juga positif sebesar W yag berupa daya yata. Pada kurva p ada bagia yag egatif yag meujukka adaya daya reaktif; ilai rata-rata kurva p ii sama dega ilai rata-rata kurva p R yag meujukka bagia yata dari daya tampak. CO TOH-6.7: Tegaga osius pada termial resistor Ω adalah v si( ωt,5) si(3ωt,) si(5ωt,5) V Tetuka arus efektif yag megalir da daya yata yag diserap resistor. Peyelesaia: rus yag megalir adalah v i 5 si( ωt,5) si(3ωt,),5si(5ωt,5) R Nilai efektif masig-masig kompoe arus adalah I 5 ; ; rms I3rms I5rms rus efektif yag megalir adalah I rms 5,5 Daya yata yag diserap resistor adalah P R 5 I rms R,5,5 6,5 3,6 6,5 W CO TOH-6.8: Tegaga osius v siωt si 3ωt V, terjadi pada termial beba yag terdiri dari resistor Ω tersambug paralel dega kapasitor 5 µf. Jika frekuesi fudametal adalah 5 Hz, (a) Tetuka persamaa arus total beba; (b) hitug daya yata yag diserap beba. Peyelesaia: -6 Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik
(a). rus total (i) adalah jumlah arus yag melalui resistor (i R ) da kapasitor (i C ). v i R si ωt,si 3ωt R dv 6 i C C 5 ( ωcosωt 3ωcos3ω dt rus total beba: i si ωt,si 3ωt,5 cosωt.5ω cos3ωt (b). rus efektif melalui resistor 6.4. Resoasi I Rrms,,7 Daya yata yag diserap beba adalah daya yag diserap resistor:,7 5 W P R Karea siyal osius megadug harmoisa dega berbagai macam frekuesi, maka ada kemugkia salah satu frekuesi harmoisa bertepata dega frekuesi resoasi dari ragkaia. Frekuesi resoasi telah kita bahas di bab sebelumya. Berikut ii kita aka melihat gejala resoasi pada ragkaia karea adaya frekuesi harmoisa. CO TOH-6.9: Suatu geerator 5 Hz dega iduktasi iteral,5 H mecatu daya melalui kabel yag memiliki kapasitasi total sebesar 5 µf. Dalam keadaa tak ada beba tersambug di ujug kabel, tetuka frekuesi harmoisa sumber yag aka memberika resoasi. Peyelesaia: Frekuesi resoasi adalah ω r LC,5 5 6 88,4 f r 45 Hz π Iilah frekuesi harmoisa ke-9. 88,4 3-7
CO TOH-6.: Sumber tegaga satu fasa 6 kv, 5 Hz, mecatu beba melalui kabel yag memiliki kapasitasi total,3 µf. Dalam keadaa tak ada beba terhubug di ujug kabel, iduktasi total ragkaia ii adalah, H. Tetuka harmoisa ke berapa dari sumber yag aka membuat terjadiya resoasi pada keadaa tak ada beba tersebut. Peyelesaia: Frekuesi resoasi adalah ω r LC,,3-8 Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik 6 569,4 rad/det 569,4 atau f r 49,78 Hz π Resoasi aka terjadi jika sumber megadug harmoisa ke-5. 6.5. Pembebaa oliier Dilihat Dari Sisi Beba Ragkaia yag aka kita tijau terlihat pada Gb.6.. Sebuah sumber tegaga sius memberika arus pada resistor R b melalui salura dega resistasi R s da sebuah pegubah arus p.i., misalya peyearah; pegubah arus iilah yag meyebabka arus yag megalir di R b berbetuk gelombag osius. Meurut teorema Tellege, trasfer daya elektrik haya bisa terjadi melalui tegaga da arus. Namu dalam tijaua dari sisi beba ii, R b haya melihat bahwa ada arus yag diterima olehya. Cara bagaimaa arus ii sampai ke beba tidaklah petig bagi beba. i Rb i i h (6.5) dega i Im si( ωt θ) k ih I I m si( ωtθ ) Iilah arus yag diterima oleh R b. v s R s p.i. i osius R b Gb.6.. Pembebaa oliier.
Daya yata yag diterima oleh R b adalah P Rb I rmsrb I hrmsrb (6.6) 6.6. Pembebaa oliier Ditijau Dari Sisi Sumber Tegaga sumber berbetuk gelombag sius, yaitu vs Vs siωt. Daya yag diberika oleh sumber adalah tegaga sumber kali arus sumber yag besarya sama dega arus beba. Jadi daya keluar dari sumber adalah ps vs ( is ( k V s I siωt si( ωtθ) Vs siωt I ω θ I si( t ) (6.7) Suku pertama (6.7) memberika daya cosθ cos( ) si si( ) ωt θ ps VsI ωt ωtθ VsI V si V I cosθ s cos(ωtθ) (6.8) Walaupu suku ke-dua dari persamaa ii mempuyai ilai rata-rata ol aka tetapi suku pertama mempuyai ilai tertetu. Hal ii berarti p s memberika trasfer eergi etto. Suku kedua (6.7) memberika daya p sh V p s sh [ I si( ω tθ ) ω t] s I siωt Vs si p (6.9) Suku pertama persamaa ii mempuyai ilai rata-rata ol. Suku kedua juga mempuyai ilai rata-rata ol karea yag berada dalam tada kurug pada (6.9) berbetuk fugsi cosius. I y Vs { cos( ( ) ω tθ) cos( ( ) ωtθ) } yag memiliki ilai rata-rata ol. Hal ii berarti bahwa p sh tidak memberika trasfer eergi etto. 3-9
Jadi secara umum daya yag diberika oleh sumber pada pembebaa oliier dapat kita tuliska sebagai terdiri dari dua kompoe, yaitu p s ps psh (6.) Dari dua kompoe daya ii haya kompoe fudametal, p s, yag memberika trasfer eergi etto. Dega kata lai haya p s yag memberika daya yata, yaitu sebesar Vs I s cosθ Vsrms Irms cosθ P (6.) dega θ adalah beda susut fasa atara v s da i. Semetara itu P sh merupaka daya reaktif. Meurut teorema Tellege, daya yata yag diberika oleh sumber harus tepat sama dega daya yag diterima oleh beba. Daya yata yag diterima oleh R b adalah P Rb, jadi daya yata yag diberika oleh sumber, yaitu P s, haruslah diserap oleh R b da R s. 6.7. Kasus Peyearah Setegah Gelombag Sebagai cotoh dalam pembahasa pembebaa oliier ii, kita aka megamati peyearah setegah gelombag. Dega peyearah ii, siyal sius diubah sehigga arus megalir setiap setegah perioda. Ragkaia peyearah yag kita tijau terlihat pada Gb.6..a. v s i s i R V s v s a). v s R v R i R p R p R ωt [ o ] p R 9 8 7 36 45 54 63 7 b). V s Gb.6.. Peyearah setegah gelombag dega beba resistif. - Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik
rus peyearah setegah gelombag mempuyai ilai pada setegah perioda pertama (yag positif); pada setegah perioda ke-dua, ia berilai ol. Uraia fugsi ii sampai dega harmoisa ke-6adalah,38,5 cos( ωt,57), cos(ωt ) i( I m V,4 cos(4 ),8 cos(6 ) (6.) ω t ω t Dalam ragkaia yag kita tijau ii haya ada satu sumber yag mecatu daya haya kepada satu beba. Pada waktu dioda koduksi, arus sumber selalu sama dega arus beba, karea mereka terhubug seri; tegaga beba juga sama dega tegaga sumber karea dioda diaggap ideal sedagka resistor memiliki karakteristik liier da bilateral. Pada waktu dioda tidak koduksi arus beba maupu arus sumber sama dega ol. Gb.6..b. memperlihatka bahwa haya kurva tegaga sumber yag merupaka fugsi sius; kurva arus da daya merupaka fugsi osius. Pada persamaa (6.) arus fudametal diyataka dalam fugsi cosius yaitu,5i cos( ωt i m,57) Fugsi ii tidak lai adalah pergesera,57 rad atau 9 o ke arah positif dari fugsi cosius yag ekivale dega fugsi sius i,5i m si( ω Peryataa i dalam fugsi sius ii sesuai dega peryataa betuk gelombag tegaga yag juga dalam fugsi sius. Dega peryataa yag bersesuaia ii kita dapat melihat beda fasa atara keduaya; teryata dalam kasus peyearah setegah gelombag ii, arus fudametal sefasa dega tegaga sumber. CO TOH-6.: Sebuah sumber dega resistasi da iduktasi iteral yag dapat diabaika mecatu beba resistif melalui peyearah setegah gelombag. Tegaga sumber adalah v s 38siω t V da resistasi beba R b adalah 3,8 Ω. Hitug daya yata yag diterima oleh beba da daya yata yag diberika oleh sumber. Peyelesaia: 3-
Tijaua Di Sisi Beba. Nilai pucak arus adalah 38/3,8. Persamaa arus sampai harmoisa ke-eam mejadi 3,8 5 cos( ωt,57), cos(ω i ( 4, cos(4ω,8 cos(6ω yag memberika arus-arus efektif pada beba Ibrms Ibhrms 5 ; 3,8, Daya yag diterima beba adalah 4,,8 35,3 t ) ; ( I I ) 3,8 9488 W 9,5 kw P I rmsrb b rms bhrms Tijaua Di Sisi Sumber. Tegaga sumber adalah v s 38siω t. Kompoe arus fudametal yag diberika oleh sumber adalah sama dega arus fudametal beba is irb 5cos( ωt,57) 5siωt dega ilai efektif I srms 5 / Tak ada beda fasa atara tegaga sumber da arus fudametalya. Daya dikeluarka oleh sumber adalah 38 5 P s Vs rms Is rms 9,5 kw Hasil perhituga dari kedua sisi tijaua adalah sama. Daya yag diberika oleh kompoe fudametal sebagai fugsi waktu adalah Vs I ps 38 5 ( cos(ω ( cos(ω 9( cos(ω kw Gb.6.3 memperlihatka kurva p s pada Cotoh-. di atas. Kurva p s bervariasi siusoidal amu selalu positif dega ilai pucak 9 kw, - Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik
da ilai rata-rata (yag merupaka daya yata) sebesar setegah dari ilai pucak yaitu 9,5 kw. Kurva daya yag dikotribusika oleh kompoe searah, p s yaitu suku pertama (6.9), da kompoe harmoisa p sh yaitu suku ke-dua persamaa (6.9), juga diperlihatka dalam Gb.6.3. Kurva kedua kompoe daya ii simetris terhadap sumbu waktu yag berarti memiliki ilai rata-rata ol. Dega kata lai kompoe searah da kompoe harmoisa tidak memberika daya yata. W 5 5-5 - -5 Gb.6.3. Kurva kompoe daya yag diberika sumber. Kofirmasi logis kita peroleh sebagai berikut. Seadaiya tidak ada peyearah atara sumber da beba, arus pada resistor aka megalir sefasa da sebetuk dega gelombag tegaga sumber. Daya yag di keluarka oleh sumber dalam keadaa ii adalah ps Vs I s si ωt 38 si ωt cos ωt cos 38 38( cos ω kw Dalam hal peyearaha setegah gelombag, arus haya megalir setiap setegah perioda. Oleh karea itu daya yag diberika oleh sumber mejadi setegahya, sehigga p setegah p s p s t [det].5..5. p sh gel 9( cos ω t ) kw, da iilah p s. CO TOH-6.: Sebuah sumber dega resistasi da iduktasi iteral yag diabaika, mecatu beba resistif melalui kabel dega resistasi, Ω da peyearah setegah gelombag. Tegaga sumber adalah v s 38siω t V da resistasi beba R adalah 3,8 Ω. Hitug daya yag diterima oleh beba. 3-3
Peyelesaia: Ragkaia sistem ii adalah seperti berikut v s 38siω t R s,ω R b 3,8Ω Tijaua Di Sisi Beba. Nilai pucak arus adalah I m 38 95 3,8, Persamaa arus sampai harmoisa ke-6 mejadi,38,5 cos( ωt,57), cos(ωt ) i( 95,4 cos(4,8 cos(6 ω ω 3, 47,5 cos( ωt,57),4 cos(ω 4,9 cos(4ω,7cos(6ω Nilai efektif arus fudametal da arus harmoisa total adalah 47.5 Irms 33,59 ; I hrms Daya yag diterima R b adalah,4 4,9,7 3, 33,54 P Rb I rmsrb (33,59 33,54 ) 3,8 8563 W Tijaua Di Sisi Sumber. Tegaga sumber da arus fudametal sumber adalah v s 38siω t V is irb 47,5 cos( ωt,57) 47,5 siωt -4 Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik
Tidak ada beda fasa atara v s da i s. Daya yata yag diberika oleh sumber adalah 38 47,5 P s vsrmsi rms cos o 95 W Daya ii diserap oleh beba da salura. Daya yag diserap salura adalah Psalura, isrms, ( irms ihrms ), (33,6 33,55 ) 45,7 W Perbedaa agka perhituga P Rb dega (P s P salura ) adalah sekitar,%. 6.8. Perambata Harmoisa Dalam sistem teaga, beba pada umumya bukalah beba tuggal, melaika beberapa beba terparalel. Sebagia beba merupaka beba liier da sebagia yag lai merupaka beba oliier. Dalam keadaa demikia ii, kompoe harmoisa tidak haya hadir di beba oliier saja melaika terasa juga di beba liier; gejala ii kita sebut perambata harmoisa. Berikut ii aka kita lihat gejala tersebut pada suatu ragkaia yag medekati situasi yata. Gb.6.4. memperlihatka ragkaia yag dimaksud. i s v s i R a s R a B R b i b i b i bh Gb.6.4. Sumber mecatu beba paralel liier da oliier. Tegaga sumber berbetuk siusoidal muri vs Vsm siωt. Sumber ii mecatu beba melalui salura yag memiliki resistasi R s. Beba yag terhubug di termial -B (termial bersama), terdiri dari beba liier R a dega arus i a da beba R b yag dialiri arus oliier i b i b i bh dega i b adalah kompoe fudametal dari i b da i bh adalah kompoe harmoisa total dari i b. 3-5
Pada ragkaia sederhaa ii, di sisi beba kita lihat bahwa aplikasi Hukum rus Kirchhoff di simpul, yaitu simpul bersama dari kedua beba, memberika da dari sii kita peroleh ( v v ) / R v / R ( i i ) s -6 Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik s a Ra Rs Ra v vs ( i b i bh ) (6.3) Rs Ra Rs Ra Jadi sebagai akibat pembebaa oliier di suatu beba meyebabka tegaga di termial-bersama juga megadug harmoisa. kibat selajutya adalah bahwa arus di beba lai yag terhubug ke termialbersama ii juga megadug harmoisa. v vs Rs i a ( i b i bh ) (6.4) Ra Rs Ra Rs Ra Semetara itu di sisi sumber, dega tegaga sumber berbetuk sius vs Vsm siωt, keluar arus yag megadug harmoisa yaitu is ia ib vs Rs ( ib ibh ) ( ib ibh ) Rs Ra Rs Ra vs Ra ( ib ibh ) Rs R a Rs R a b bh (6.5) daya kompoe harmoisa pada arus sumber da beba yag seharusya merupaka beba liier dapat meyebabka peambaha peyerapa daya pada salura. Hal ii aka kita bahas kemudia. CO TOH-6.3: Sebuah sumber tegaga 5 Hz, v 4si ω t V memiliki resistasi da iduktasi iteral yag diabaika. Sumber ii mecatu beba resistif R a 5 Ω melalui salura yag memiliki resistasi Ω. Sebuah beba resistif lai yaitu R b 5 Ω dega peyearah setegah gelombag dihubugka paralel dega R a. Hituglah: (a) daya yata yag diserap R a sebelum R b da peyearah dihubugka; (b) daya yata yag diserap R b sesudah R b da peyearah dihubugka; (c) daya yata yag diserap R a sesudah R b
da peyearah dihubugka; (d) daya yata yag diserap salura R s ; (e) daya yata yag diberika sumber; (f) badigka daya yata yag diberika oleh sumber da daya yata yag diserap oleh bagia ragkaia yag lai. Peyelesaia: (a) Sebelum R b da peyearah dihubugka, ragkaia adalah seperti di bawah ii. i s v s 4siω t R s Ω B R a 5Ω rus efektif yag megalir dari sumber, daya yata yag diserap R a da R s, serta daya yata yag diberika sumber adalah I Rarms ( 4 / ) /(5 ) 8,8 P Ra 8,8 5 4 W ; P Rs 8,8 8 W P s 8,8 4 / 48 W PRa PRs (b) Setelah R b da peyearah dihubugka, ragkaia mejadi v s i s R s R a i a i Rb i Rb i Rbh Utuk meghitug i Rb kita buat ragkaia ekivale Thévei terlebih dulu di termial -B. 5 v sth 4 siωt siωt V 5 ; 5 R sth,833 5 Ω Setelah R b dihubugka pada ragkaia ekivale Thévei, ragkaia mejadi B R b 3-7
i sth v sth siω t,833ω B 5Ω i b i b i bh Nilai maksimum arus i Rb adalah I Rbm 34,9,833 5 rus yag melalui R b mejadi i Rb,38,5 cos( ωt,57), cos(ω 34,9,4 cos(4ω,8 cos(6ω,9 7,4 cos( ω t,57) 7,7 cos(ω,47 cos(4ω Dari sii kita peroleh 7,4 I Rbrms, I Rbhrms,9 7,7 Daya yag diserap R b adalah,6 cos(6ω /,47 /,6 /. P Rb (,. ) 5 47 W (c) Utuk meghitug daya yag diserap R a setelah R b dihubugka, kita kembali pada ragkaia semula. Hukum rus Kischhoff utuk simpul memberika v vs v vs irb v Rs R a Rs R a Rs irb -8 Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik
v Ra R R s a Rs Ra vs R R s a ( i b 5 5 4siωt 6 6 5 85,7siωt ibh V v 6 85,7 V rms v h 3,3 V i ( 7,4 siω t i ) bh ) v 5 5,9 7,7 cos(ω ibh 6 6,47 cos(4,6 cos(6 ω ω 9,9 6,6 cos(ω,3cos(4ω,5cos(6ω h bh V hrms 9,9 6,6.3,5,9 V Daya yag diserap R a adalah P Ra rms V R a hrms V R (d) Tegaga jatuh di salura adalah v s v s v a 3,3 5,9 5 3469 W 4siωt 85,7siωt 54,9 siωt V 54,9 V s rms V shrms V hrms 38,39 V,9 V Daya yag diserap salura adalah P Rs V R srms s V R shrms s 38,39,9 575 W 3-9
(e) Tegaga sumber adalah v 4si ω t V rus fudametal sumber adalah vs is 54,9siωt R Daya yata yag diberika sumber p s 4 54,9 R s Vsrms I srms 655 W (f) Bagia lai ragkaia yag meyerap daya yata adalah R s, R a, da R b. Daya yata yag diserap adalah P Rtotal PRs PRa PRb 575 3469 468 65 W Hasil ii meujukka bahwa daya yata yag diberika sumber sama dega daya yata yag diserap oleh bagia lai dari ragkaia (perbedaa agka adalah karea pembulatapembulata). 6.9. Ukura Distorsi Harmoisa Hadirya harmoisa dalam sistem, meimbulka dampak egatif. Oleh karea itu kehadiraya perlu dibatasi. Utuk melakuka pembatasa diperluka ukura-ukura kehadira armoisa. Crest Factor. Crest factor didefiisika sebagai crest ilai pucak factor ilai efektif Total Harmoic Distortio (THD). THD diguaka sebagai ukura utuk melihat berapa besar pegaruh keseluruha adaya harmoisa terhadap siyal sius. Pegaruh keseluruha harmoisa diperbadigka terhadap kompoe fudametal, karea kompoe fudametal-lah yag memberika trasfer eergi yata. -3 Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik
Utuk tegaga osius, THD didefiisika sebagai THD Utuk arus osius, THD didefiisika sebagai THD V hrms V (6.6) Vrms I hrms I (6.7) Irms CO TOH-6.4: rus peyearaha setegah gelombag dega ilai pucak arus, memiliki sampai harmoisa ke-eam sebagi 3,8 5 cos( ωt,57), cos(ω i ( 4, cos(4ω,8 cos(6ω Hituglah crest factor da THD I. t ) Peyelesaia: Telah dihitug ilai efektif arus dalam cotoh soal tersebut I brms 5 ; I bhrms 3,8, 4,,8 35,3 Nilai efektif arus adalah I rms 5 / 35,3 49,7 Crest factor adalah: c. f. ; 49, I hrms 35,3 THD I adalah: THD I atau % Irms 5 / Crest factor da THD hayalah tergatug betuk da tidak tergatug dari ilai mutlak arus. gka yag sama aka kita peroleh jika ilai pucak arus haya ampere. Hal ii dapat dimegerti karea persamaa arus secara umum adalah 3-3
maks i( I m cos( ω t ϕ ) sehigga dalam perhituga I rms, I rms, da I hrms faktor I m aka terhilagka. -3 Sudaryato Sudirham, Distribusi Teaga Listrik