MODEL PENYUSUTAN DARAB JUMLAH PESERTA ASURANSI PADA ASURANSI JIWA Sunarsih, Meidar Sakinaa 2 Program Sudi Maemaika FMIPA UNDIP 2 Alumni Program Sudi Maemaika FMIPA UNDIP Absrac Muliple decremen model in life insurance is a decremen model here he decremen of amoun paricipans of insurance do no only because of jus one cause of decremen bu because of o or more causes of decremen, so ha can provide various benefi in one policy of insurance program. In his paper, using o causes of decremen, ha is disabiliy and deah. In consrucion of a muliple-decremen able, can be associaed from he ables of single-decremen hich have knon. The number of premium paymens for life insurance depends on ha kind of insurance program ha have been aken. A life insurance, he number of premium depends on of age, even hough on erm insurance, ecep age is policy ime period. Keyords: Insurance, Muliple Decremen Model. Pendahuluan Seiap orang dalam kehidupannya memiliki resiko-resiko, anara lain resiko kemaian (loss in life), resiko hari ua (mauriy age), resiko caca badan (disabiliy, incapaciy, invalidiy). Resiko ersebu diaas merupakan sebagian penyebab penurunan jumlah pesera asuransi. Penyebab penurunan ini disebu dengan decremen aau penyusuan dan diliha dari modelnya erdapa dua model yaiu model penyusuan unggal dan model penyusuan darab (muliple decremen) [5]. Unuk membenuk double decremen able dilakukan dengan menggabungkan single decremen dengan asumsi konsan [2]. Model muliple decremen selanjunya disebu penyusuan darab yaiu suau model penyusuan yang disebabkan oleh dua aau lebih fakor yang dapa saling mempengaruhi, sebagai conoh adalah penyusuan yang idak disebabkan oleh kemaian saja, mungkin juga caca. Sedangkan model penyusuan unggal lebih banyak dikenal, yaiu suau model penyusuan aau penurunan yang disebabkan oleh sau fakor saja, sebagai conoh, penyusuan yang disebabkan oleh kemaian. 2. Asuransi Jia Asuransi jia merupakan suau benuk kerjasama dari sejumlah orang yang ingin menghindarkan aau memperkecil resiko yang anara lain diakibakan oleh: resiko kemaian (loss in life) baik secara alamiah (naural deah) maupun karena kecelakaan (accidenally deah) aau karena diserang penyaki, resiko hari ua (mauriy age), yaiu merosonya kesehaan dan kemampuan fisik sehingga meroso aau hilang kemampuan menghasilkan, resiko caca badan (disabiliy, incapaciy, invalidiy) disebabkan oleh kecelakaan aau penyaki sehingga meroso aau hilang kemampuan fisik unuk menghasilkan [7]. Beberapa simbol yang digunakan pada perhiungan asuransi jia adalah: l adalah jumlah orang hidup usia epa ahun d adalah jumlah orang yang meninggal anara usia dan + ahun 9
Media Saisika, Vol. 2, No., Juni 29: 9-28 np adalah peluang seseorang yang berusia ahun akan hidup mencapai usia +n ahun, dengan ln n p () l n adalah peluang seseorang yang berusia ahun akan meninggal sebelum usia +n ahun Unuk menyederhanakan perhiungan, dibualah simbol komuasi aau simbol peranara sebagai beriku [6] : D v l v ( i), dengan i adalah ingka suku bunga dalam ahun (3) i N Di D D... i S N C M R i i N N D (4)... N (5) v d (6) Ci C C... i i M i M M C dengan adalah usia eringgi yang dicapai. (7)... M (8) Dalam asuransi jia pembayaran premi biasanya dilakukan secara berkala. Pembayaran secara berkala disini dinamakan anuias [3]. a. Anuias seumur hidup adalah pembayaran berkala selama orang ersebu masih hidup. Nilai unai anuias aal seumur hidup bagi seorang berusia ahun sebesar sauan seiap ahun adalah: N a (9) D b. Anuias berjangka adalah pembayaran berkala dalam jangka aku erenu, misal n ahun. Nilai unai anuias aal berjangka bagi seorang berusia ahun, pembayaran paling lama n ahun adalah: a :n = N N D n Unuk membayar berapa besar sanunan yang harus dibayarkan perusahaan asuransi kepada ahli aris digunakan perumusan: a. Asuransi seumur hidup yaiu asuransi yang memberikan sanunan kepada ahli aris pada akhir ahun kemaian eranggung. Premi unggal bersihnya adalah: M A () D () 2
Model Penyusuan Darab (Sunarsih) b. Asuransi berjangka, yaiu asuransi yang memberikan sanunan kepada ahli aris apabila eranggung meninggal dalam jangka aku, misal n ahun, maka premi unggal bersihnya: A :n M M D n 3. Model Penyusuan Darab Model penyusuan darab, merupakan model penyusuan dimana penyusuan idak hanya disebabkan oleh sau sebab saja, misalkan kemaian, namun mungkin juga disebabkan oleh caca, maupun sebab-sebab yang lain. Pada model penyusuan unggal, idak menyediakan model maemaika unuk polis dengan berbagai manfaa. Sedangkan model penyusuan darab, dikembangkan unuk menyediakan kerangka pembelajaran unuk banyak sisem pengaman keuangan. Sebagai conoh, banyak polis asuransi jia yang sering menyediakan sanunan khusus jika kemaian disebabkan oleh kecelakaan aau jika erjadi caca pada pesera asuransi []. Beberapa conoh dari model penyusuan darab:. Keanggoaan dari rencana pensiun: erdapa beberapa fakor yang menyebabkan anggoa boleh dihenikan dari keanggoaan, anara lain, apabila anggoa iu meninggal, mengundurkan diri (pindah kerja), caca, aaupun dipeca. Beberapa fakor ersebu dapa erjadi pada saa yang sama dan mungkin keanggoaan dihenikan pada kejadian perama dari empa fakor ersebu. 2. Asuransi jia perorangan: suau polis asuransi dapa dihenikan jika anggoa asuransi ersebu meninggal aau menyerahkan polisnya. 3. Asuransi kesehaan: beberapa asuransi menyediakan pembayaran sanunan secara periodik pada anggoanya, jika mereka seuju dengan pengerian caca yang erera diaas polis. Pembayaran sanunan pada anggoa akan dihenikan apabila anggoa ersebu meninggal aau sembuh dari cacanya. 4. Perencanaan kesehaan masyaraka: pada suau analisis moralias mengenai penyebab kemaian, masing-masing penyebab kemaian uama dapa dijelaskan menjadi beberapa fakor penyebab erpisah. Sebagai conoh, penyebab kemaian dapa dikarenakan oleh (i) kecelakaan dan kekerasan, (ii) kanker, (iii) penyaki kardiovaskular, (iv) penyaki oleh infeksi, dan (v) lainnya []. Beberapa simbol yang digunakan yang berhubungan dengan model penyusuan darab pada perhiungan asuransi jia adalah: (T ) d adalah jumlah orang yang mengalami penyusuan di anara usia dan (+) yang diakibakan oleh penyusuan (), sebab penyusuan,..., sebab penyusuan (m). (k ) d adalah jumlah orang yang mengalami penyusuan dianara usia dan (+), dimana diakibakan oleh sebab penyusuan (k). (T ) l adalah jumlah orang yang hidup pada usia ahun dan akan mengalami penyusuan yang diakibakan oleh sebab penyusuan (),,..., (m). (T ) p adalah peluang seseorang berusia akan eap berada didalam kumpulan orangorang berusia paling sediki sau ahun. l p (3) l 2
Media Saisika, Vol. 2, No., Juni 29: 9-28 (k ) adalah peluang seseorang berusia akan meninggalkan (keluar) dari kumpulan orang orang berusia dalam ahun, diakibakan oleh sebab penyusuan (k), dengan d (4) l Jumlah laju penyusuan (force of decremen) pada usia, didefinisikan sebagai [4] : dl d ln l (5) l d d (T ) merupakan represenasi laju penyusuan dari semua sebab penyusuan. Beriku ini merupakan penurunannya seperi pada penyusuan unggal, y dy n d l l e, n e Laju penyusuan unuk sebab penyusuan k didefinisikan sebagai beriku : dl (6) l d 4. Pembenukan Tabel Penyusuan Tabel penyusuan darab dapa dibenuk, apabila dikeahui abel penyusuan unggal, dengan dikeahui baha: m ( k () k )... (7) ( m) Pada abel penyusuan darab, jika yang merupakan peluang penyusuan dari abel penyusuan unggal dengan sebab penyusuan (k), dikalikan dengan l d ' Unuk mendapakan perumusan ' (k ), adalah sebagai beriku : (T ) l, maka p d (8) Unuk sebab penyusuan (), menjadi () p () d p () () p d () p '() '() p p () p d p (3) ( m)... p d dengan diasumsikan penyusuan pada abel penyusuan unggal dalam sau ahun mempunyai disribusi seragam (uniform disribuion of decremens) [5] dengan, maka 22
Model Penyusuan Darab (Sunarsih) () '() '() '() p p (3) ( m)... p d (3) ( m) [ ] [ ]... [ ] d (3) ( m) [ ] [ ]... [ ] d '() 2 ( l) [...] d '() k [ 2 3 k lk k k lk ( l)...] Unuk 2 (dua) sebab penyusuan, maka () '() [ ] (9) 2 ' () [ ] 2 dengan mensubsiusikan persamaan (9) ke dalam persamaan, dan sebaliknya, sehingga '() ' ( ) () 2 '() ' 4 ' '() ( ) 2 (22) '() ' 4 5. Model Penyusuan Darab pada Asuransi Jia Unuk menyederhanakan perhiungan, diperlukan simbol komuasi aau simbol peranara sebagai beriku: D v l (23) N D (24) C v d () M C (26) Dalam asuransi jia pembayaran premi biasanya dilakukan secara berkala, pembayaran secara berkala disini dinamakan anuias [3]. Anuias pada penyusuan darab dapa didefinisikan: a. Anuias seumur hidup pada model penyusuan darab adalah suau rangkaian pembayaran sebesar Rp.,- yang dilakukan iap ahun, dimana pembayaran berlangsung selama anggoa ersebu masih didalam kumpulan. Nilai unai anuias aal seumur hidup bagi seorang berusia ahun sebesar sauan seiap ahun adalah: 23
Media Saisika, Vol. 2, No., Juni 29: 9-28 N a (27) D b. Anuias semenara pada model penyusuan darab adalah serangkaian pembayaran sebesar Rp.,- secara berkala dan paling lama n ahun, asalkan anggoa ersebu masih berada dalam kumpulan. Nilai unai anuias aal berjangka bagi seorang berusia ahun, pembayaran paling lama n ahun adalah: a N N n (28) : n ( T D ) Unuk membayar berapa besar sanunan yang harus dibayarkan perusahaan asuransi kepada ahli aris digunakan perumusan: (k ) a. Asuransi seumur hidup pada model penyusuan darab dinoasikan dengan A adalah asuransi seumur hidup sebesar Rp.,- unuk seseorang berusia, yang berari bila meninggalkan kumpulan dikarenakan penyusuan (k) maka ahli arisnya akan menerima pembayaran sebesar Rp.,- pada akhir ahun meninggalkan kumpulan. Perhiungan A adalah sebagai beriku: (k ) M (29) (k ) A D b. Asuransi berjangka (n ahun) pada model penyusuan darab yang dinoasikan dengan ( ) A adalah asuransi yang membayar pada ahli aris apabila orang yang diasuransikan ' k : n mengalami penyusuan (k) dalam jangka aku yang dienukan. Namun apabila sampai jangka aku asuransi, eranggung idak mengalami penyusuan (k), maka idak ada pembayaran. ( ) Perhiungan A adalah sebagai beriku: ' k : n M M n (3) A ' : n ( T D ) 6. Conoh Penerapan Musibah seseorang idak dapa diramalkan dengan epa kapan erjadinya. Musibah ersebu dapa berupa penyaki, kecelakaan yang mengakibakan caca aaupun kemaian. Menyadari hal ersebu, seorang pemuda berusia ahun hendak mengikui program asuransi. Perusahaan menaarkan sanunan-sanunan sebagai beriku: a. Apabila erjadi kemaian(de), maka ahli aris akan mendapakan sanunan sebesar Rp.35..,. b. Apabila mengalami caca(ds), maka eranggung mendapa sanunan sebesar Rp.3..,. Pembayaran premi dilakukan kali pada seiap permulaan ahun. Perusahaan menaarkan bunga 6%/ahun (liha lampiran) dengan memberikan alernaif program asuransi adalah:. Asuransi seumur hidup 2. Asuransi berjangka 35 ahun Oleh karena iu besar premi bersih dari ke-2 alernaif program asuransi ersebu dapa dihiung sebagai beriku:. Besarnya pembayaran premi jika mengikui program asuransi seumur hidup dapa dihiung dengan cara sebagai beriku : 24
Model Penyusuan Darab (Sunarsih) Misalkan besarnya pembayaran premi aau besar pembayaran cicilan iap ahun adalah B rupiah dan dibayarkan selama kali pada seiap permulaan ahun. Sehingga didapakan persamaan: 6 ( de) 6 ( ds) B a 35 A 3 A : ( de) ( ds) N N35 35 B 3 ( ) D D D T ( de) ( ds) D B 35 3 D D N N35 Nilai komuasi yang digunakan adalah nilai komuasi yang erdapa pada abel penyusuan ganda pada lampiran yang dibenuk dari penggabunggan abel 952 US Disabiliy Benefi 5, Age Neares dengan abel 94 US CSO Basic, Age Neares, Male & Female, maka 6 2246,5 6 756,67 26,55 B 35 3 26,55 26,55 33758,95 652,66 B 6836,858 6837 Jadi dengan membayar sebesar Rp. 68.37,- iap aal ahun selama sepuluh ahun, dapa mengikui program asuransi seumur hidup dan apabila erjadi kemaian aau caca, sanunan akan diberikan pada akhir ahun kejadian. 2. Besarnya pembayaran premi jika mengikui program asuransi berjangka 35 ahun dapa dihiung dengan cara sebagai beriku : Misalkan besarnya pembayaran premi aau besar pembayaran cicilan iap ahun adalah B rupiah dan dibayarkan selama kali pada seiap permulaan ahun. Sehingga didapakan persamaan: 6 ( de) 6 ( ds) B a 35 A' 3 A ' : :35 :35 (de) (de) (ds) (ds) N N35 M6 M6 B 35 3 D D D (de) (de) M6 35 D D B (ds) (ds) M N N 35 3 D Nilai komuasi yang digunakan adalah nilai komuasi yang erdapa pada abel penyusuan ganda pada lampiran yang dibenuk dari penggabunggan abel 952 US Disabiliy Benefi 5, Age Neares dengan abel 94 US CSO Basic, Age Neares, Male & Female, maka 6 2246,5 837,39 35 26,55 26,55 B 6 756,67 63,5 33758,95 652,66 3 26,55 B 42958,8233 42959 Jadi dengan membayar sebesar Rp. 42.959,- iap aal ahun selama sepuluh ahun, dapa mengikui program asuransi berjangka 35 ahun dan apabila erjadi kemaian aau caca dalam jangka aku ersebu, sanunan akan diberikan pada akhir ahun kejadian,
Media Saisika, Vol. 2, No., Juni 29: 9-28 namun apabila idak erjadi kemaian aaupun caca, maka idak mendapakan pembayaran apapun. 7. Penuup Dari pembahasan dapa diambil kesimpulan, baha model penyusuan darab, merupakan model penyusuan yang idak hanya disebabkan oleh sau sebab penyusuan saja. Salah sau penerapannya adalah dalam asuransi jia, dimana erdapa program asuransi yang menaarkan jaminan apabila erjadi kemaian aau caca dalam sau pake polis asuransi. Dalam paper ini, menggunakan dua sebab penyusuan, yaiu kemaian dan caca. Dalam pembenukan abel penyusuan darab, dapa dilakukan dengan menggabungkan abel penyusuan unggal yang elah dikeahui. Tabel penyusuan unggal diperoleh dengan menggunakan sofare able manager. Besar premi yang dibayarkan unuk asuransi jia dengan penyusuan darab berganung pada program asuransi yang diambil. Pada asuransi seumur hidup unuk sesorang yang berusia, apabila meninggalkan kumpulan dikarenakan penyusuan (k), maka ahli arisnya akan menerima pembayaran. Sedangkan pada asuransi berjangka n ahun apabila orang yang diasuransikan mengalami penyusuan (k) dalam jangka aku yang dienukan, maka ahli aris akan menerima pembayaran dan apabila sampai jangka aku asuransi, eranggung idak mengalami penyusuan (k), maka idak ada pembayaran. 8. DAFTAR PUSTAKA. Boers, N.L., e al., Acuarial Mahemaics, Schaunburg, Illinois, 997. 2. Daris, S. and Kuslan, On The Esimaion of Double-Decremen Model, Seminar Nasional Saisika UNISBA, 27. 3. Jones, H.E., Prinsip-prinsip Asuransi Jia, Kesehaan dan Anuias, Edisi Kedua, Georgia: FLMI Insuransce Educaion Program Life Managemen Insiue Roma Alana, 999. 4. Jordan Jr, C.W., Life Coningencies, Second Ediion, The Sociey of Acuaris, Chicago, 99. 5. Ross, S. A Firs Course in Probabiliy, Macmillan College Publishing Company, Ne York, 994. 6. Sembiring, R.K., Buku Maeri Pokok Asuransi I dan Asuransi II, Penerbi Karunika Jakara, Universias Terbuka, 2. 7. Skoog, G.R. and Ciecka, J.E., Worklife Epecancy via Compeing Risks/Muliple Decremen Theory ih an Applicaion o Railroad Workers, Journal of Forensic Economics, 27, Vol. 9, No. 3: 243-26. 26
Model Penyusuan Darab (Sunarsih) Lampiran Nilai Komuasi, i = 6% Pada Tabel Penyusuan dengan Dua Penyusuan ( Kemaian dan Caca ) X 26.55 33758.95 447884.56 37.59 2.59 2246.5 756.67 6576.4 723.7 26 2332.43 347.39 44745.6 36.99 2.72 228.46 735.7 63459.99 6473.5 27 927. 28984.96 3836898.22 36.7 2.6 27.47 74.35 6.53 5738.43 28 799.88 27687.86 354783.26 36.5 9.23 234.77 694.29 598.6 524.8 29 699.95 2696.99 3276395.39 36.36 8.59 298.27 675.6 56945.29 4329.79 3 59.38 235777.4 323698.4 36.26 7.8 26.9 656.47 54847.2 3654.74 3 4958.79 29866.66 278792.36 36.8 7.8 2.65 638.67 52785. 2998.27 32 46.73 2497.87 6854.7 36.26 6.57 989.47 62.48 5759.46 2359.6 33 325.94 9846.4 236346.83 36.32 5.97 953.22 64.9 48769.98 738.2 34 248.54 7763.2 2723.68 36.6 5.38 96.89 588.94 4686.77 33.2 35 666.56 652.66 99467.48 36.73 5.3 88.28 573.57 44899.87 544.26 36 957.36 53545. 829458.82 37. 4.66 843.56 558.54 439.59 997.69 37 288.39 487.74 67593.7 37.32 4.38 86.55 543.88 476.3 942.5 38 9657.26 32299.35 5333.97 37.64 4.7 769.22 529.5 39369.49 8868.27 39 96.75 22642. 426.6 38.2 4.2 73.59 55.34 376.26 8338.76 4 8499.63 358.35 278384.52 38.47 3.9 693.47 5.32 35868.67 7823.43 4 7969. 58.72 6484.7 38.94 3.75 655. 487.4 3475.2 7322. 42 7468.32 97.6 59723.45 39.4 3.7 66.6 473.66 32.2 6834.69 43 6995.49 89643.29 9626.84 39.9 3.6 576.67 459.96 394.5 636.3 44 6549.4 82647.8 872968.55 4.43 3.5 536.76 446.35 29327.48 59.8 45 627.45 7698.76 7932.75 4.95 3.5 496.33 432.84 2779.72 5454.72 46 5729. 6997.32 7422.99 4.49 3.47 455.38 49.34 26294.39 52.88 47 5353. 64242.7 644.67 42.2 3.65 43.89 45.87 24839. 462.54 48 4997.57 58888.97 588.6 42.52 3.88 37.87 392.22 234.2 496.67 49 466.48 5389.4 529.63 43. 4.34 329.35 378.34 2253. 384.45 5 4343.44 49229.92 467228.23 43.58 5. 286. 364. 2723.9 3426.2 5 442.33 44886.48 47998.3 44.6 5.88 242.68 349. 9437.65 362.2 52 3756.97 4844.5 373.84 44.46 6.96 98.62 333.2 894.97 273.2 53 3486.38 3787.8 332267.69 44.82 8.9 54.6 36.7 6996.35 238. 54 3229.59 336.8 2958.5 45.4 9.59 9.34 297.98 5842.9 263.83 55 2985.7 337.2 26579.7 45.34 2. 64.2 278.39 4732.85 765.85 56 2754.3 27385.49 2328.5 45.47 22.89 8.86 7.29 3668.65 487.46 57 33.65 2463.46 23823. 45.47 23.43 973.39 234.4 2649.79 23.8 58 23.24 2297.8 799.55 45.36 23.83 927.92 2.97 676.4 995.78 59 228.35 9772.56 5793.75 45.6 24.9 882.55 87.4 748.49 784.8 6 942.54 7644.22 3732.8 44.8 24.27 837.39 63.5 9865.94 597.66 D N S C (de) C (ds) M (de) M (ds) R (de) R (ds) 27
Media Saisika, Vol. 2, No., Juni 29: 9-28 28