15 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Sampel dan Kejadian 2.1.1 Definisi Ruang Sampel Himpunan semua hasil semua hasil (oucome) yang mungkin muncul pada suau percobaan disebu ruang sampel dan dinoasikan dengan S. Tiap iap hasil yang mungkin dalam ruang sampel disebu unsur aau anggoa ruang sampel ersebu aau disebu juga dengan isilah iik sampel. Conoh: Pada percobaan melempar dua maa uang, diperoleh S = {AA, AG, GA, GG}, dengan AA adalah kejadian muncul angka pada lemparan perama, dan muncul angka pada lemparan kedua; AG adalah kejadian muncul angka pada lemparan perama, dan muncul gambar pada lemparan kedua; GA adalah kejadian muncul gambar pada lemparan perama, dan muncul angka pada lemparan kedua; GG adalah kejadian muncul gambar pada lemparan perama, dan muncul gambar pada lemparan kedua. Tiik sampelnya adalah AA, AG, GA, dan GG. 2.1.2 Definisi Kejadian Kejadian aau perisiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Conoh : Suau percobaan yang dilakukan dengan melanunkan sebuah dadu, maka ruang sampelnya: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Misalkan A menyaakan suau kejadian bahwa bilangan genap muncul, maka kejadian A = { 2, 4, 6}, sehingga A merupakan himpunan bagian ruang sampel S, dinoasikan sebagai A S.
16 2.2 Definisi Peluang Suau Kejadian Teori peluang mempelajari enang peluang erjadinya suau kejadian aau perisiwa. Peluang dinyaakan dalam pecahan aau desimal anara dan 1. bila peluang suau kejadian bernilai, maka kejadian ersebu idak akan erjadi. Sedangkan bila peluang suau kejadian bernilai 1, maka kejadian ersebu pasi erjadi. Dalam eori peluang suau kejadian adalah sau aau beberapa kemungkinan hasil dari suau indakan. Tujuan eori peluang adalah menggambarkan dan menaksir raa raa sedemikian iu dalam benuk peluang kejadian. Unuk menenukan Peluang suau kejadian A, semua bobo iik sampel dalam A dijumlahkan. Jumlah ini dinamakan ukuran A aau peluang A dan dinyaakan dengan P(A). jadi ukuran himpunan adalah dan ukuran S adalah 1. Peluang didefinisikan dengan menggunakan iga pendekaan yang berbeda. Keiga definisi pendekaan ersebu adalah sebagai beriku. a. Definisi Aksiomaik Pendekaan aksiomaik peluang berdasar pada iga posula sebagai beriku. Peluang P(A) kejadian A adalah bilangan non negaif yang dieapkan pada kejadian ini yaiu P(A). Peluang P(B) kejadian B pasi sama dengan 1, yaiu P(B) = 1. Dan bila kejadian kejadian A dan B saling asing maka P(A+B) = P(A) + P(B) b. Definisi Frekuensi Relaif Pendekaan frekuensi relaif berdasar pada definisi beiku. Peluang P(A) kejadian A adalah limi dari perbandingan n(a) dengan N, dimana n mendekai ak hingga, sehingga dapa diulis sebagai beriku. n(a) P A = lim n N dimana n(a) adalah jumlah erjadinya suau kejadian A dan N adalah jumlah
17 c. Definisi Klasik Menuru definisi klasik, Bila suau percobaan dapa menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama dan bila epa sebanyak n dari hasil berkaian dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah n(a) P(A) = N 2.2.1 Definisi Peluang Suau Kejadian A Peluang suau kejadian A adalah jumlah semua iik sampel yang ermasuk A. Jadi dinyaakan dengan: P(A) 1, P( )=, P(S)=1. 2.2.2 Definisi Peluang Bersyara Misalkan A dan B menyaakan dua kejadian dalam koleksi kejadian dalam ruang sampel S, maka peluang bersyara dari kejadian A bila diberikan kejadian B dinoasikan dengan P A B P A B = dengan P B P B 2.3 Variabel Random dan Disribusi Peluang 2.3.1 Defenisi Variabel Random Suau fungsi bernilai real yang harganya dienukan oleh iap anggoa dalam ruang sampel disebu suau variabel random Ada dua macam variabel random, yaiu variabel random diskri dan variabel random koninu.
18 2.3.2 Definisi Variabel Random Diskri Jika semua himpunan nilai yang mungkin dari suau variabel random X merupakan himpunan erbilang (counable se), yaiu { x, x,,..., x } aau { x, x,,...}, maka X 1 2 n 1 2 disebu variabel random diskri. 2.3.3 Definisi Variabel Random Koninu Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suau variabel random X merupakan selang bilangan real, maka X disebu variabel random koninu. 2.4 Disribusi Peluang Diskri dan Koninu 2.4.1 Defenisi Disribusi Peluang Diskri Fungsi f(x) adalah suau fungsi peluang aau disribusi peluang suau peubah acak diskri X bila, unuk seiap hasil x yang mungkin a. f(x) b. f x = 1 x c.p(x = x) Disribus kumulaif F(x) yaiu suau variabel random diskri X dengan disribusi peluang f(x) dinyaakan oleh F x = P X x = x f() unuk < x < 2.4.2 Defenisi Disribusi Peluang Koninu Fungsi f(x) adalah fungsi pada peluang peubah acak koninu X, yang didefenisikan aas himpunan semua bilangan real R, bila a. f(x), unuk semua x di R
19 b. f x dx = 1 b c. P a X b = f x dx a dinamakan fungsi densias probabilias dari variabel random koninu X. Jika variabel random koninu X memiliki fungsi densias probabilias f(x), maka peluang suau kejadian aau perisiwa A, diberikan oleh P A = f x dx xdia 2.4.3 Definisi Fungsi densias probabilias koninu Fungsi densias probabilias koninu adalah Suau fungsi f(x) yang didefinisikan pada selang nilai variabel random X. sehingga fungsi disribusi kumulaifnya dapa dinyaakan sebagai. F x = f d x 2.5 Konsep Dasar Disribusi waku Hidup Fungsi-fungsi pada disribusi ahan hidup merupakan suau fungsi yang menggunakan variable random. Waku hidup adalah inerval waku yang diamai dari suau individu saa perama kali masuk kedalam pengamaan hingga keluar dari pengamaan. Misalnya inerval waku sampai rusaknya suau barang produksi, mainya suau makhluk hidup, kambuhnya suau penyaki, dan lain-lain. Variable random nonnegaive waku hidup biasanya dinoasikan dengan huruf T, dan akan membenuk suau disribusi. Disribusi dari waku hidup dapa disajikan oleh iga fungsi beriku:
2 2.5.1.Fungsi Kepadaan Peluang Fungsi Kepadaan Peluang adalah probabilias suau individu mai aau gagal dalam inerval waku dari sampai +, dengan waku T merupakan variabel random. Fungsi densias Probabilias dinyaakan dengan. f = lim P T < + (2.1) Waku hidup merupakan variabel random non negaif, sehingga waku hidup hanya diukur unuk nilai yang posiif, maka diperoleh f = unuk < dan f d = 1 2.5.2. Fungsi Tahan Hidup (Survival) Fungsi ahan hidup (Survival) adalah probabilias suau individu yang masih dapa berahan hidup sampai dengan waku ( > ). Jika T merupakan variabel random dari waku hidup suau individu dalam inerval [, ), maka fungsi disribusi kumulaif F() unuk disribusi koninu dengan fungsi densias probabilias f() dinyaakan sebagai beriku f = P(T ) aau F = f x dx, unuk > (2.2) Oleh karena iu diperoleh fungsi ahan hidup (Survival) yang didefinisikan dengan S() = P (T ) = 1- P (T ) = 1- F() (2.3)
21 Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup ahan hidup dari komponenkomponen indusri, S() dienukan sebagai fungsi Survival. Jadi hubungan fungsi densias probabilias dengan fungsi ahan hidup (Survival) adalah f = lim P T < + = F, = S, (2.4) Dalam hal ini fungsi ahan hidup S() merupakan fungsi monoon urun yang mempunyai sifa (i). S() =1, arinya peluang suau individu berahan hidup lebih lama dari waku nol adalah 1 (ii). S( ) =, arinya peluang suau individu berahan hidup pada waku yang ak erhingga adalah. 2.5.3. Fungsi Kegagalan (Hazard Funcion) Fungsi Kegagalan adalah probabilias suau individu mai dalam inerval waku dari sampai +Δ, jika dikeahui individu ersebu masih dapa berahan hidup sampai dengan waku. fungsi hazard secara maemaika dinyaakan sebagai: h = lim P( T < ( + ) T ) (2.5) Misalkan f() adalah fungsi densias probabilias pada waku, maka dari persamaan (2.5) diperoleh: h = lim = lim P T < + T P T < + (T ) P T.
22 = lim P( T < + ) P T. = lim 1 F + F() 1 F() = lim F + F() 1. S() = F, () S() h = f() S() (2.6) Dari persamaan (2.4) dan (2.6) diperoleh h() sebagai beriku: h = S () S() = S d ln S(). ds() = ds() d lns(). d ds() h = d lns (2.7) d Dari persamaan (2.7) diperoleh h x dx = d lns x dx dx o h x dx = d ln S x dx dx
23 h x dx = ln S(x) Karena S()=1, maka diperoleh h x dx = ln S S = exp h x dx Dari uraian di aas diperoleh hubungan anara f(), S(), dan h() sebagai beriku: i) f = S (2.8) ii) iii) h = f() S() S = exp h x dx Dengan demikian jika fungsi hazard h() dari suau disribusi dalam ahan hidup dikeahui, maka f(), F() dan S() dapa dicari. Sedangkan fungsi hazard kumulaif didefinisikan dengan H = h x dx (2.9) melalui persamaan (2.8) fungsi hazard kumulaif yang dihubungkan dengan fungsi ahan hidup diperoleh S = exp H() Dan dari persamaan (2.6) dan (2.8) diperoleh
24 f = h exp h x dx 2.6 Saisik Teruru (2.1) Himpunan variabel random X 1, X 2,, X n disebu sampel random yang berukuran n dari suau populasi denga fungsi densias f(x) maka fungsi densias probabilias bersama dari variabel random independen akan diberikan sebagai f x 1, x 2,, x n = f x 1 f x 2 f(x n ) Jika sampel random yang berukuran n ersebu diurukan dalam suau uruan naik maka disebu saisik eruru aau order saisik dari X 1, X 2,, X n dan dinyaakan dengan X 1.n, X 2.n,, X n.n aau Y 1, Y 2,, Y n dengan X in = Y i, i = 1, 2,, n. dan misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel random yang berukuran n dari fungsi densias probabilias, f(x), dimana unuk f(x) koninu dan f(x) > ; a < x < b, maka fungsi densias probabilias dari saisik eruru ke-k, Y k adalah g k y k = n! k 1! n k! F y k k 1 1 F(y k n k f y k jika a < y k < b 2.7 Sisem keandalan Dalam konsep keandalan, juga erdapa beberapa sisem yang dinyaakan unuk membanu memuuskan apakah sisem gagal secara oal aau idak. Dalam suau proses, idaklah selalu mudah unuk memuuskan krieria-krieria kegagalan dalam siem ersebu. Sebagai conoh, kia perhaikan crieria kegagalan dalam sisem sebuah mobil. Jika idak dapa bergerak dengan enaganya sendiri, maka mobil ersebu dinyaakan elah rusak aau sisemnya. Namun haruskah rusaknya penghapus kaca pada mobil ersebu juga dihiung sebagai suau kegagalan oal, walaupun mobil ersebu dapa digunakan pada cuaca cerah, mungkin idak akan dapa digunakan secara oal pada waku hujan leba, yang berari erjadinya kerusakan sisem. Oleh karena iu, kerusakan sisen sering diakibakan oleh kegagalan aau kerusakan dari komponen-komponenya.
25 Unuk iulah dibwah ini akandiberikan iga sysem yang dapa dikaakan sebagai sisem dasar dari keandalan sisem. Yaiu siem seri, parallel dan gabungan dari seri dengan paralel. 2.7.1 Sisem keandalan seri Suau sisem dapa dimodelkan dengan susunan seri jika kompenen-komponen yang ada didalam sisem iu harus bekerja seluruhnya agar sisem ersebu sukses dalam menjalankan fungsinya. Aau denga kaa lain bila ada sau komponen saja idak bekerja, maka akan mengakibakan sysem iu gagal menjalankan fungsinya. Secara diagram, sysem keandalan seri dapa diliha pada gambar 2.1 1 2 n Gambar 2.1 Diagram pada gambar diaas sering disebu Diagram Blok Keandalan / Reliabiliy Block Diagram (RDB). Perlu diperhaikan bahwa diagram ini idak mewakili seiap komponen yang dihubungkan secara seri, eapi menunjukkan bagaimana komponen-komponen iu diperlakukan dari sudu pandang keandalan. Jika ada n buah komponen dalam susunan seri dan masing-masing memiliki indeks keandalan R 1, R 2,, R n, seperi erliha pada gambar 2.1, maka secara umum sysem keandalan seri dirumuskan sebagai beriku: n R s = R 1. R 2.. R n = R i (2.11) i=1 Sedangkan ekspresi keidakandalan dari sysem dengan susunan seri dari n buah komponen adalah n Q s = 1 R s = 1 R i (2.12) i=1
26 Conoh 2.1 Sebuah sisem conrol erdiri dari lima buah uni dimana semua uni pendukungnya bekerja seluruhnya agar sysem conrol ersebu dapa berfungsi. Jika indeks keandalan dari kelima uni masing-masing adalah,9;,95;,87;,93; dan,9 enukan indeks keandalan dari sisem konrol ersebu. Penyelesaian : Blok diagram keandalan yang paling mewakili dari sysem conrol ersebu adalah blok diagram keandalan dengan susunan seri. Jika keandalan dari masing-masing uni disimbolkan dengan R i maka keandalan dari sysem conrol iu adalah 5 R s = R i =,9,95,87,93,9 =,62262 i =1 Jadi keandalan dari sisem conrol ersebu adalah,62262 2.7.2 Sisem Keandalan Paralel Pada sisem ini seiap komponen yang mungkin mengalami kerusakan idak akan mengakibakan kerusakan sisem secara keseluruhan, dan sering dinamakan faul oleran( kerusakan yang dapa diolerir). Ada dua jenis dari sysem kendalan paralel ini, yakni kelebihan redundan akif dan kelebihan pasif. Pada kelebihan akif, dua aau lebih uni dileakkan dalam sysem keandalan paralel dimana secara normal pembagian fungsi dilakukan eapi uni-uni aersebau diaur sedemikian hingga jika sau uni aau lebih mengalami kerusakan, maka sisanya dapa mengganikan possisinya. Sebagai conoh adalah dua mesin pesawa erbang yang diakifkan eapi idak menuup kemungkinan pesawa unuk erbang dengan sau mesin, apabila mesin yang saunya mengalami kerusakan. Pada kelebihan pasif, sau uni secara normal memegang fungsi secara penuh eapi jika uni ersebu mengalami kerusakan, maka uni yang lain akan diakifkan unuk mengambil alih perannya.
27 2.7.2.1 Sisem Keandalan Paralel Kelebihan Akif Misalkan ada dua uni (1) dan (2) dihubungkan dalam sysem parallel seperi gambar dibawah ini. 1 2 Gambar 2.2 Sisem akan rusak apabila kedua-duanya mengalami kerusakan. Keandalan sysem dikalkulasikan sebagai beriku, jika didefenisikan bahwa Q s = keidakandalan sisem Maka Q s = P E 1 E 2 Dimana E adalah kejadian komplemen bebas sehingga diperoleh n Q s = 1 R i (2.13) i =1 Jika peluang dari kegagalan adalah independen, maka fungsi sysem keandalannya adalah n R s = 1 (1 R 1 ) i=1 2.7.2.2 Sisem Keandalan Paralel Kelebihan Pasif (2.14)
28 Pada sisem redundan pasif, uni uama(1) secara normal membawa fungsi secara penuh dan uni siaga (2) dibawa unuk digunakan keika uni uama mengalami kegagalan. Secara sederhana, redundan pasif dapa diunjukkan pada gambar beriku: 1 2 Gambar 2.3 Cara unuk menganalisa sisem ini adalah harus memperimbangkan bahwa sysem kegagalan waku adalah variable acak yang mengandung jumlah dari dua variable acak, yakni kegagalan waku (1) dan kegagalan waku (2). Jika R 1 = R 2 = exp ( λ) Maka dapa diuliskan : R s = 1 + λ exp ( λ) 2.7.3 Kombinasi Sisem Seri dan Paralel Kombinasi dari sysem seri dan paralel dapa di selesaikan dengan menggabungkan masing-masing subsisem ke dalam komponen seri maupun paralel erlebih dahulu. Unuk lebih memahami sisem kombinasi seri dan paralel, akan diberikan conoh gambar seperi beriku ini:
29 A C B D Gambar 2.4 sisem seri-paralel A C B D Gambar 2.5 sisem paralel -seri Dari kedua gambar diaas, gambar (2.4) menunjukkan sysem kombinasi seri dan paralel. Unuk menyelesaikan sisem gabungan ini perama-amakia gabungkan subsisem parelel kedalam benuk yang sama dengan komponen seri. Misalkan: R A =.9, R B =.8, R C =.7, dan R D =.6 Maka penyelesaian dapa diuliskan R AB = 1.1.2 = 1.2 =.98 Dan R CD = 1.3.4 = 1.12 =.88 Maka keandalan sisem secara keseluruhan adalah R S =.98.88 =.8624
3 Unuk gambar (2.5) seperi yang diunjukkan, merupakan sysem kombinasi paralelseri. Unuk menyelasaikannya, perama-ama kia gabungkan subsisem seri ke dalam benuk yang sama dengan komponen paralel. Unuk pemisalan yang sama dengan diaas, maka diperoleh penyelesaiannya sebagi beriku: R AC =.9.7 =.63 Dan R BD =.8.6 =.48 Sehingga keandalan sisem secara keseluruhan adalah R S = 1 1 R AC (1 R BD ) = 1 1.63 (1.48) = 1.37 (.52) = 1.1924 =.876 2.8 Daa Tersensor Dalam penyensoran sering erjadi individu yang diamai ersensor. Masalah penyensoran ini merupakan suau hal yang membedakan anara uji hidup dengan bidang ilmu saisik yang lain. Daa ersensor adalah daa yang diperoleh sebelum hasil yang diinginkan dari pengamaan erjadi, sedangkan waku pengamaan elah berakhir aau oleh sebab lain. Daa yang mengalami penyensoran hanya memua sebagian informasi mengenai variabel random yang diperhaikan, namun berpengaruh erhadap pengerian-pengerian dan perhiungan saisik. Ada iga macam meode yang sering digunakan dalam eksperimen uji hidup, yaiu sebagai beriku:
31 1. Sampel lengkap, dalam uji sampel lengkap eksperimen akan dihenikan jika semua komponen yang diuji elah mai aau gagal. Cara seperi ini mempunyai keunungan yaiu dapa dihasilkan observasi eruru dari semua komponen yang diuji. 2. Sensor ipe I, semua objek yang dielii (n) masuk pengujian dalam waku yang bersamaan, dan pengujian dihenikan seelah baas waku yang dienukan. Kelemahan dari sensor ipe I ini bias erjadi sampai baas waku yang dienukan semua objek masih hidup sehingga idak diperoleh daa ahan hidup dari objek yang diuji. 3. Sensor ipe II, bila uji dihenikan seelah diperoleh sejumlah kegagalan erenu. daa ersensor ipe II merupakan daa kemaian aau kegagalan yang idak lengkap (incomplee moraliy daa) yaiu daa waku kemaian aau kegagalan dari r observasi erkecil dalam sampel random yang berukuran n dengan 1 r n. Dalam eksperimen menunjukkan penyensoran ipe II lebih sering digunakan sebagai conoh dalam uji hidup dari oal observasi sebanyak n, eapi uji hidup akan berheni pada waku observasi sampel mempunyai waku kemaian aau kegagalan ke-r. Oleh karena iu uji hidup ini dapa menghema waku dan biaya, karena uji hidup memakan waku yang lama unuk penyensoran erhadap kegagalan dari observasi. Daa ersensor ipe II diperoleh dari penyelidikan erhadap n observasi, sehingga penyensoran berheni sampai observasi sampel yang mempunyai waku kemaian aau kegagalan ke- r objek ersebu. 2.9 Disribusi Weibull Teknologi modern elah memungkinkan orang merancang banyak sysem yang rumi penggunaannya, aau barangkali keamanannya, berganung pada keandalan berbagai komponen dalam sysem ersebu. Sebagai conoh, suau sekering mungkin puus, iang baja melengkung, ala pengindra panas idak bekerja. Komponen yang sama dalam lingkungan yang sama akan rusak dalam waku yang berlainan yang idak dapa diramalkan.waku sampai rusak aau umur suau komponen, diukur dari suau waku sampai rusak, dinyaakan dengan peubah acak koninu T dengan fungsi pada peluang f(). Misalkan variabel random koninu T berdisribusi Weibull, dengan parameer θ dan β, disingka T ~ WEI (θ, β) maka fungsi densias probabiliasnya adalah
32 f = βθ β β 1 exp θ β >, θ >, β >. 2.14 Adapun fungsi ahan hidup dan fungsi hazard dari disribusi weibull adalah S = exp (θ) β, > (2.15) Dan h = θβ(θ) β 1 (2.16) dimana θ >, β >, >. sedangkan fungsi disribusi dari disribusi weibull adalah F = 1 exp (θ) 2 (2.17) Dimana θ >, >. 2.1 Disribusi Rayleigh Dalam beberapa kasus khusus parameer benuk, β, dari disribusi Weibull diberi harga β = 2, dikenal sebagai disribusi Rayleigh. Sehingga diperoleh fungsi ahan hidup dari disribusi Rayleigh sebagai beriku. S = exp (θ) 2 dimana θ >, >. (2.18) Dan diperoleh fungsi hazard dari disribusi Rayleigh yaiu: h = 2θ 2 (2.19) dimana >, θ >, dan menunjukkan waku hidup dari individu uang diobservasi. Dari fungsi ahan hidup, persamaan (2.18), dapa dienukan fungsi disribusi kegagalan dari daa waku hidup yang berdisribusi Rayleigh,
33 F = 1 S() = 1 exp (θ) 2 1 F = exp (θ) 2 Dari persamaan (2.8) dan (2.18) diperoleh persamaan f = ds() d = d(exp θ 2 ) d (2.2) Sehingga diperoleh fungsi densias probabilias dari disribusi Rayleigh adalah sebagai beriku: f = 2θ 2 exp (θ) 2 unuk >, θ >. 2.11 Prinsip Dasar Meode Maksimum Likelihood Meode unuk mengesimasi harga parameer disribusi dari daa dalam fungsi ahan hidup (Survival) adalah dengan menggunakan meode maksimum likelihood. Meode maksimum likelihood menggunakan nilai dalam ruang parameer Ω yang bersesuaian dengan harga kemungkinan maksimum dari daa observasi sebagai esimasi dari parameer yang idak dikeahui. Dalam aplikasinya L(θ) menunjukkan fungsi densias probabilias bersama dari sampel random. Jika Ω ruang parameer yang merupakan inerval erbuka dan L(θ) merupakan fungsi yang dapa diurunkan sera diasumsikan maksimum pada Ω maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah d L θ = (2.21) dθ Jika penyelesaian dari persamaan ersebu ada, maka maksimum dari L(θ) dapa erpenuhi. Apabila penyelesaian dari persamaan (2.19) sukar diselesaikan maka
34 fungsi L(θ) dapa dibua logarima nauralnya, dengan keenuan memaksimumkan lnl(θ), sehingga persamaan logarima naural likelihoodnya adalah d lnl θ = (2.22) dθ Jika fungsi densias probabilias bersama dari n variabel random X 1, X 2,, X n, yang diobservasi pada X 1, X 2,, X n, dinoasikan dengan f(.x 1, X 2,, X n, ) maka fungsi liklelihood dari himpunan pengamaan X 1, X 2,, X n, dinyaakan sebagai L θ = f x 1 ; θ f x 2 ; θ f x n ; θ = Dengan parameer yang idak dikeahui n i=1 f x 1 ; θ (2.23) Penduga maksimum likelihood dari θ didapa dengan menyelesaikan persamaan d lnl θ =, misalkan ada k parameer yang idak dikeahui, ma dθ ka penduga parameer likelihood dari θ i didapa dengan menyelesaikan d dθ i lnl θ 1, θ 2,, θ k =, dengan i = 1, 2, 3,, k.