Materi 2: Matriks dan Operasi Matriks I Nyoman Kusuma Wardana Sistem Komputer STMIK STIKOM Bali
Amatilah contoh jumlah jam yang dihabiskan oleh siswa di sekolah dlm satu minggu berikut:
Jika kita menghilangkan keterangan jenis matapelajaran & hari, maka kita memperoleh angka 2 yg terdiri dr 3 baris dan 7 kolom 2 3 2 4 1 4 2 0 3 1 4 3 2 2 4 1 3 1 0 0 2 Kumpulan angka ini yg kita sebut sbg matriks
Definisi Matriks adalah susunan angka-angka yg tersusun secara rektangular Matriks yg terdr hanya satu kolom disebut sbg vektor kolom atau matriks kolom Contoh: matriks berukuran 2 x 1: 2 3
Matriks yg terdr hanya satu baris disebut sbg vektor baris atau matriks baris Contoh: matriks berukuran 1 x 3 2 4 7 Bgmn dgn matriks 1 x 1?
Gunakan huruf kapital utk menunjukkan nama matriks dan huruf biasa utk menunjukkan anggota matriks Setiap anggota matriks dikenal sbg skalar Input matriks A pd baris i dan kolom j disebut sbg a ij Misal, matriks umum berukuran 3 x 4 ditulis, sbb:
Scr umum, matriks berukuran m x n ditulis sbb: Utk notasi yg lebih ringkas: a ij m n atau a ij
Inputan dr matriks A pd baris i dan kolom j dapat ditulis sbg (A) ij Contoh: A = 2 3 7 0 Maka: (A) 11 = 2, (A) 12 = -3, (A) 21 = 7 dan (A) 22 = 0
Utk matriks kolom dan matriks baris, indeks ganda pada elemen matriks tidak diperlukan
Matriks yang sama (equal) Dua matriks dikatakan sama jika matriks tsb memiliki ukuran yg sama & memiliki elemen yg sama pula Misal matriks A = a ij dan B = b ij Jika sama, maka dapat ditulis: atau ditulis: A ij = a ij = b ij B ij
Amati contoh berikut: Jika x = 5, maka A = B, selain itu maka A B Tidak ada nilai yg dpt memenuhi A = C, sebab ukuran matriks A dan C berbeda
Penjumlahan & Pengurangan Jika A = a ij dan B = b ij memiliki ukuran yg sama, maka: A + B ij = A ij + B ij = a ij + b ij dan A B ij = A ij B ij = a ij b ij
Contoh: Hitunglah A + B, A B, A+C, B+C dan B-C! Jawab: A+C, B+C dan B-C tidak didefinisikan
Perkalian Skalar Jika A adalah matriks dan c adalah skalar, maka produk ca adlh matriks yg diperoleh dengan mengalikan setiap anggota matriks A dgn c Jika A = a ij maka: ca ij = c A ij = ca ij
Contoh: Jika diketahui Hitunglah nilai 2A, -1B dan 1/3C:
Perkalian Matriks Amati matriks berikut: Jika ukuran A adlh 2x3 dan B adlh 3 x 4, maka produk AB berukuran 2 x 4 Maka, utk mencari salah satu anggota, sbb:
Contoh mencari elemen lain: Berikut sisanya:
Syarat umum agar perkalian matriks berlaku: Kolom faktor A maka harus sama dgn Baris faktor B
Teorema: Jika A adalah sebuah matriks berukuran m n, dan jika x adalah sebuah vektor kolom n 1, maka produk Ax dapat ditulis sebagai kombinasi linier dr vektor kolom A dengan koefisien-koefisiennya merupakan anggota dari x.
Produk Matrik sebagai kombinasi linier Contoh: Amati perkalian matriks sbb: Dapat dijadikan kombinasi linier, sbb:
Kolom dari Produk AB sbg Kombinasi Linier Contoh: Amati hasil perkalian berikut: Kemudian amati kolom dr hasil perkalian tsb
Kolom hasil merupakan kombinasi linier, sbb:
Matriks Augmented Amati sistem linier berikut: Ringkaslah menjadi bentuk matriks, sbb: Matriks ini dikenal sbg Matriks Augmented
Bentuk matriks dr suatu Sistem Linier Misalnya kita memiliki persamaan sistem linier sebanyak m dgn n variabel tdk diketahui, sbb: Kita dpt menulis ulang dlm bentuk matriks, sbb:
Tulis ulang sbg produk matriks, sbb: Bentuk sederhananya dapat ditulis sbg: Ax = b
Ax = b Matriks A dlm persamaan ini disebut sbg: Koefisien Matriks dari sistem Matriks Augmanted diperoleh dgn menggandeng b ke A, sbb: Hanya utk visualisasi saja, tidak memiliki efek secara matematis
Definisi: Jika A adlh matriks m n, maka transpose dari A ditulis sbg A T, didefinisikan sbg matriks n m yg mrpkn hasil dari mempertukarkan baris dan kolom dr A, yaitu kolom pertama dr A T adlh baris pertama dr A, kolom kedua dr A T adlh baris kedua dr A, dan demikian seterusnya
Contoh: Amati bbrp matriks berikut: Transpose dr matriks tsb adlh:
Definisi: Jika A adalah matriks persegi, maka trace dari A ditulis sbg tr(a), dan didefinisikan sbg hasil penjumlahan anggota diagonal matriks A. Jika matriks A tidak persegi (jumlah kolom tidak sama dengan jumlah baris), maka tr(a) tidak didefinisikan
Contoh: Amati matriks berikut: Trace dr matriks tsb:
Amati bbrp matriks, berikut: A = 3 0 1 2 1 1, B = 4 1 0 2, C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 1 0 1 3 2 4, E = 6 1 3 1 1 2 4 1 3
Hitunglah (jika memungkinkan): 1) 4E 2D 2) -3(D + 2E) 3) tr(d - 3E) 4) 4tr(7B) 5) 2A T + C 6) B B T 7) (C T B)A T 8) tr(c T A T + 2E T ) 9) tr((ec T ) T A) 10) (2D T E)A 11) (4B)C + 2B 12) (-AC) T + 5D T 13) (BA T 2C) T 14) B T (CC T -A T A) 15) D T E T - (ED) T 16) tr (DD T )
MATLAB Workshop
Anton, Howard, 2010, Elementary Linear Algebra: Application version, John Wiley & Sons Kolman,B., Hill, D.R., 2005, Introductory Linear Algebra, Pearson Prentice Hall