MATRIKS. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII. Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.

Transkripsi

1 LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATRIKS Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII Created By Ita Yuliana 15

2 Matriks Kompetensi Dasar 1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain 2. Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2 3. Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel Kasus Sistem perbankan semakin maju berkat kemajuan di bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Salah satu contohnya adalah penggunakan kriptograf (teori pengkodena) pada transaksi online di bank. Pada saat seseorang menggunakan mesin EDC (Electronic data Capture). Data pada kartu dibaca mesin EDC kemudian diubah menjadi koed rahasia.kode rahasia tersebut dikirim ke server bank. Server bank mengubah kembali kode tersebut sehingga data pemilik kartu kredit diketahui. Mesin EDC dirancang menggunakan ilmu kriptografi. Kriptografi mengatur data ke dalam bentuk matriks. Penggunaan kriptograf dan matriks sangat bermanfaat untuk mencegah pencurian data oleh hacker. Ringkasan Materi A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks 1. Pengertian dan notasi matriks Perhatikan tabel berikut yang menyajikan nilai ulangan peserta paket C berikut ini Nama Bahasa Inggris Bahasa Indonesia Matematika Fauzia Agus Caca Posisi angka-angka di atas dapat kita tulis dalam bentuk : ( ) Susunan bilangan yang diatur seperti di atas dinamakan matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut baris dan kolom Setiap bilangan dalam suatu matriks disebut elemen matriks. Matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kapital seperti A, B, C, dan sebagainya, sedangkan elemennya biasanya dengan huruf kecil. P = ( ) baris 1 Q = ( ) baris 2 baris 1 baris 2 baris 3 Kolom 1 Kolom 2 Kolom 1 Kolom 2 Created By Ita Yuliana 16

3 Pada matriks P : elemen pada baris pertama : 1, 3 elemen pada kolom kedua : 3, 2 elemen pada baris kedua kolom pertama (p 21 ) : 5 elemen pada baris kedua kolom kedua (p 22 ) : 2 Pada matriks Q: elemen pada baris pertama : 3, 1 elemen pada kolom kedua : 1, 2, 7 elemen pada baris kedua kolom pertama (q 21 ) : 4 elemen pada baris ketiga kolom kedua (q 32 ) : 7 2. Ordo matriks Ordo atau ukuran suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom yang terdapat dalam matriks tersebut. P = ( ) Q = ( ) R = ( ) Matriks P mempunyai 2 baris dan 2 kolom, dikatakan ordonya 2 x 2 dan ditulis P 2x2 Matriks Q mempunyai 2 baris dan 3 kolom, dikatakan ordonya 2 x 3 dan ditulis Q 2x3 Matriks R mempunyai 3 baris dan 3 kolom, dikatakan ordonya 3 x 3 dan ditulis R 3x3 Jika matriks A mempunyai m baris dan n kolom, maka matriks tersebut berordo m x n dan ditulis A mxn B. Macam-macam Matriks 1. Matriks baris Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris Contoh : A = (1 2 3) B = ( ) 2. Matriks kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom C = ( ) D = ( ) 3. Matriks persegi Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama E = ( ) F = ( ) Created By Ita Yuliana 17

4 4. Matriks nol Matriks nol adalah matriks yang elemennya nol P = (0 0) Q = ( ) R = ( ) 5. Matriks identitas Matriks identitas adalah matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya nol H = ( ) I = ( ) C. Transpose Matriks Transpose matriks A ditulis A atau A t adalah suatu matriks baru yang diperoleh dengan cara mengubah setiap baris dari matriks A menjadi kolom matriks A t. E = ( ) maka E t = ( ) Q = ( ) maka Q t = ( ) D. Kesamaan Matriks Dua matriks dikatakan sama jika: 1. ordo kedua matriks sama; 2. elemen-elemen yang bersesuaian sama contoh: 1. A = ( ) B = ( ) C = ( ) B = ( ) E = ( ) F = ( ) Matriks-matriks di atas yang sama adalah A = F dan B = D 2. Tentukan nilai x dan y jika: ( ) = ( ) ( ) = ( ) maka 2x = 8 x = 4 dan y = 5 Created By Ita Yuliana 18

5 Aktivitas 1 1. Diketahui matriks P = ( ) a. ordo matriks P b. elemen-elemen kolom 3 c. elemen-elemen baris 2 2. Tuliskan ordo dan transpose setiap matriks berikut a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( ) 3. Matriks-matriks berikut manakah yang sama? A = ( ) D = ( ) G = ( ) B = ( ) E = ( ) H = ( ) C = ( ) F = ( ) I = ( ) 4. Tentukan x dan y pada matriks berikut a. ( ) = ( ) b. ( ) = ( ) c. ( ) = ( ) E. Operasi Matriks 1. Penjumlahan matriks Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian Tentukan A + B jika A = ( ) dan B = ( ) A + B = ( ) + ( ) = ( ) 2. Pengurangan matriks Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Jika A dan B merupakan dua matriks yang berordo sama maka A B = A + (-B) Created By Ita Yuliana 19

6 Diketahui A = ( ) dan P = ( ), carilah A P A P = A + (-P) = ( ) + ( ) = ( ) 3. Sifat penjumlahan dan pengurangan matriks Jika matriks A, B, dan C berordo sama maka berlaku 1. A + B = B + A (sifat komutatif) 2. (A + B) + C = A + ( B + C) (sifat asosiatif) 3. Mempunyai unsur identitas, yaitu matriks nol sedemikian rupa sehingga A + (-A) = (-A) + A = 0 (-A adalah matriks lawan atau invers penjumlahan) Aktivitas 2 1. Diketahui matriks-matriks sebagai berikut P = ( ) Q = ( ) R = ( ) Tentukan : a. P+Q d. P Q g. (P+Q) R b. P+R e. P R h. P (Q R) c. Q+R f. Q R i. (P+Q) (P+R) 2. Tentukan matriks A dari a. A + ( ) = ( ) b. A ( ) = ( ) 3. Tentukan nilai a, b, dan c jika a. ( ) + ( ) = ( ) b. ( ) + ( ) = ( ) 4. Carilah nilai x dan y yang memenuhi persamaan ( ) + ( ) = ( ) Created By Ita Yuliana 20

7 4. Perkalian matriks dengan bilangan real Jika suatu matriks A dikalikan dengan bilangan real maka ka adalah matriks yang elemennya terdiri dari hasil kali elemen-elemen matriks A dengan bilangan k sehingga: Jika diketahui A = ( ) maka ka = k. ( ) = ( ) 2 ( ) = ( ) = ( ) Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real Jika p, q adalah bilangan real sedangkan A dan B adalah matriks berordo sama maka: 1. pa = Ap 2. (p+q)a = pa + qa 3. p(a+b) =pa + pb 4. p(qa) = (pq)a 5. Perkalian dua matriks Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Jadi untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B adalah mengalikan baris-baris matriks A dengan kolam-kolom matriks B dan kemudian jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom itu. A mxn. B nxp = C mxp ( ) ( ) = ( ) Jika A = ( ) dan B = ( ) maka A x B = ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) Sifat perkalian matriks Untuk setiap matriks A, B, dan C bebrordo m x n maka 1. AB BA (tidak komutatif) 2. (AB)C = A(BC) (berlaku sifat asosiatif) 3. A(B+C) = AB + AC (berlaku sifat distributif) 4. (B+C)A = BA + CA (berlaku sifat distributif) 5. k(ab) = (ka)b = A(kB) (k bilangan real) Created By Ita Yuliana 21

8 Aktivitas 3 1. Diketahui matriks A = ( ), B = ( ), dan C = ( ). Tentukan a. 2A + 3C b. 3A 3B c. 3(A+B+C) 2. Jika P adalah matriks ordo 2x2, tentukan P dari persamaan 2P + ( ) = ( ) 3. Tentukan hasil perkalian matriks berikut a. ( -2 3) ( ) b. ( ) ( ) c. ( ) ( ) d. ( ) ( ) 4. Tentukan x dan y dari persamaan matriks ( ) ( ) = ( ) F. Matriks Ordo 2 x 2 1. Pengertian matriks identitas ordo 2x2 Matriks identitas adalah matriks dimana elemen-elemen pada diagonal utama adalah 1 dan diagonal lainnya adalah 0 Matriks identitas ordo 2x2 adalah ( ) a. ( ) ( ) = ( ) = ( ) b. ( ) ( ) = ( ) = ( ) Tampak bahwa matriks ( ) tidak mengubah hasil perkalian. Jadi IA = AI = A 2. Determinan matriks Jika matriks A = ( ) maka determinan matriks A dinotasikan dengan det A atau didefinisikan = ad bc Carilah determinan matriks A = ( ) det A = = (4.3) (2.1) = 12 2 = 10 Created By Ita Yuliana 22

9 3. Invers matriks Jika matriks A dan B berordo 2x2 dan hasil kali matriks tersebut adalah matriks identitas (I) maka A adalah invers dari matriks B dan sebaliknya Invers matriks A =( ) dinyatakan dengan notasi A -1 dan ditentukan dengan rumus: ( ) atau dapat ditulis ( ) Catatan 1. Tidak semua matriks persegi mempunyai invers. Jika det A = 0 maka matriks A tidak mempunyai invers dan disebut matriks singular 2. Matriks A mempunyai invers jika det A 0. Matriks tersebut dinamakan matriks nonsingular Carilah invers matriks A = ( ) Jawab : det A = = (4.3) (2.1) = 12 2 = 10 ( ) = ( ) Aktivitas 4 1. Carilah determinan dari matriks berikut a. A = ( ) b. B = ( ) c. ( ) 2. Carilah nilai x jika a. = 2 b. = 2 3. Diketahui matriks A = ( ) dan B = ( ). Tentukan a. (AB) -1 b. A -1 B -1 c. B -1 A Diketahui matriks P = ( ). Tentukan invers dari tranpose P Created By Ita Yuliana 23

10 G. Persamaan Matriks Jika A, B dan X matriks berordo 2x2 maka penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = A -1 B XA = B adalah X = BA -1 Carilah matriks X dari persamaan 1. ( ) X = ( ) 2. X ( ) = ( ) 1. ( ) X = ( ) X = ( ) ( ) = ( ( ) ( ) ( ) ) = ( ( ) ( ) ) = -1 ( ) = ( ) 2. X ( ) = ( ) X = ( ) ( ( )) (( ) ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) = -1 ( ) = -1 ( ) = ( ) Created By Ita Yuliana 24

11 Aktivitas 5 Tentukan matriks X dari persamaan 1. ( ) X = ( ) 2. ( ) X = ( ) 3. ( ) X = ( ) 4. X ( ) = ( ) 5. X ( ) = ( ) 6. X ( ) = ( ) H. Pemakaian Matriks Matriks dapat digunakan untuk menyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Bentuk umum SPLDV yaitu : { Jika dalam bentuk matriks maka persamaan linear di atas dapat ditulis : ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) Untuk mencari nilai x dan y menggunakan 2 cara yaitu: 1. Sifat invers matriks : A.X = B X = A -1.B ( ) = ( ) ( ) 2. Dengan cara determinan x = = y = = Created By Ita Yuliana 25

12 contoh: 1. Tentukan himpunan penyelesaian persaman berikut dengan menggunakan invers matriks : { Persamaan di atas diubah ke bentuk matriks: ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x = 1 dan y = 4 atau {(1, 4)} 2. Tentukan penyelesaian persaman berikut dengan menggunakan determinan: { D = = 5.(-3) (-7).2 = = -1 D x = = 3.(-3) (-7).1 = = -2 D y = = = 5 6 = -1 x = = = 2 y = = = 1 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 1)} Aktivitas 6 1. Tentukan himpunan penyelesaian persaman berikut dengan menggunakan invers matriks : a. { b. { 2. Tentukan himpunan penyelesaian persaman berikut dengan menggunakan determinan : a. { b. { 3. Nina membeli 4 roti dan 3 donat dengan harga Rp 9.000,00 dan nani membeli 2 roti dan 1 donat dengan harga Rp 4.000,00. Tentukan: a. sistem persamaan linear dua variabel x dan y dari persoalan di atas b. penyelesaian SPLDV pada soal di atas dengan menggunakan invers matriks c. berapa harga roti dan donat masing-masing Created By Ita Yuliana 26