Materi 2: Operasi Terhadap Himpunan

Transkripsi

1 Materi 2: Operasi Terhadap Himpunan I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali

2 Operasi pada Himpunan: 1. Gabungan 2. Irisan 3. Komplemen 4. Selisih 5. Beda setangkup 6. Perkalian kartesian Hukum-hukum Himpunan Prinsip Inklusi-Eksklusi

3 Notasi : A B = { x x A atau x B } U A B Contoh: Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 } A = A

4 Contoh: A = { 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6} C = { 1, 5, 10, 11, 14, 15 } D = { Kucing, 14, M } Maka: A B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15} A C = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 15}

5 Contoh: B C =? B D =? A D =? C D =? Jawab: B C = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, 10, 11, 14, 15} B D = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, 14, Kucing, M} A D = { 2, 3, 5, 7, 8, 10, 14, 15, Kucing, M} C D = {1, 5, 10, 11, 14, 15, Kucing, M} A = { 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6 } C = { 1, 5, 10, 11, 14, 15 } D = { Kucing, 14, M }

6 Notasi : A B = { x x A dan x B } U A B Contoh: Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = Artinya: A // B

7 Contoh: A = { 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6} C = { 1, 5, 10, 11, 14, 15 } D = { Kucing, 14, M } Maka: A B = {2, 5} A C = {5, 10, 15}

8 Contoh: B C =? B D =? A D =? C D =? Jawab: B C = { 1, 5} B D = { } A D = { } C D = {14} A = { 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6 } C = { 1, 5, 10, 11, 14, 15 } D = { Kucing, 14, M }

9 Notasi : Ā = { x x u, x A } Terkadang: A C U A Contoh: Misalkan U = { 1, 2, 3,..., 9 } jika A = {1, 3, 5, 7, 9}, maka Ā = {2, 4, 6, 8} jika A = {x x/2 P, x 9 }, maka Ā = { 1, 3, 5, 7, 9 }

10 Contoh Dengan menggunakan bantuan Diagram Venn, carilah A dan B jika diketahui: A = { 2, 3, 5, 6, 8) B = {1, 2, 4, 6, 7, 9, 13} U = { x x bilangan asli 14} Jawab: A = {1, 4, 7, 9,10,11,12,13,14} B = {3, 5, 8,10, 11,12,14} U A B

11 Contoh: Misal diketahui: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yg dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yg nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

12 Maka: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yg dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yg nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri (E A) (E B) atau E (A B) semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta A C D

13 Maka: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yg dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yg nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta C D B

14 Notasi : A B = { x x A dan x B } = A B U A B Contoh: Jika A = { 1, 2, 3,..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 } maka A B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B A = {1,3,5} {1,2,3} = {5}, tetapi {1,2,3} {1,3,5} = {2}

15 Contoh: A = {2, 3, 4, 6, 7, 9} B = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} C = {3, 5, 9} Maka: A B =? B A =? A C =? B C =? C B =? {4, 7} {1, 5, 8, 10} {2, 4, 6, 7} {1, 2, 6, 8, 10} { }

16 Notasi: A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) Contoh: Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 } Jika C = { a, b, 2, 4, 8, 9} dan C = { a, b, c, d, 7, 8, 9 }, maka C D = { c, d, 2, 4, 7} Jika X = {apel, jeruk, mangga, markisa, pisang, salak} dan Y = {anggur, apel, tomat, mangga, pisang}, maka X Y = { anggur, jeruk, tomat, markisa, salak}

17 Untuk mempermudah A B = (A B) (B A) maka A B dapat diilustrasikan sbb:

18 Contoh: Misalkan diketahui, sbb: U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yg nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yg nilai ujian UAS di atas 80 Seorang mhs mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

19 U = himp. mahasiswa P = himp. mhs yg nilai ujian UTS di atas 80 Q = himp. mhs yg nilai ujian UAS di atas 80 Maka: Semua mahasiswa yg mendapat nilai A : P Q Semua mahasiswa yg mendapat nilai B : P Q Semua mahasiswa yg mendapat nilai C : U (P Q)

20 TEOREMA Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: A B = B A (hukum komutatif) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)

21 Notasi : A B = { (a,b) a A dan b B } Contoh: C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka: C D = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} A = B = himpunan semua bilangan riil, A B = himpunan semua titik di bidang datar

22 Contoh: A = {1, 2, 3} B = {x, y} C = {a, b, c} Maka: A B =? A C =? B C =? {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)} {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)} {(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c)}

23 Catatan: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A. B 2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a) 3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.

24 Pada contoh sebelumnya: C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka: C D = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} 4. Jika A = atau B =, maka A B = B A =

25 Contoh: A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, } maka A B C? Jawab: A B C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }

26 Contoh: A = himpunan makanan = { s = soto, g = gadogado, n = nasi goreng, m = mie rebus } B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet } Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?

27 A = himp. makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus } B = himp. minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet } Jawab: A B = A B = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu: {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.

28 Contoh: Tulislah semua anggota himpunan berikut: o o o o P( ) P( ) { } P( ) P(P({3}))

29 o o o o P( ) P( ) { } P( ) P(P({3})) Jawab: P( ) = { } P( ) = (ket: jika A = atau B = maka A B = ) { } P( ) = { } { } = {(, )} P(P({3})) = P({, {3} }) = {, { }, {{3}}, {, {3}} }

30

31 Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

32 Prinsip Dualitas pada Himpunan Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti,, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti,, U, U, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

33 Dualitas pada hukumhukum himpunan

34 Contoh: Dual dari: adalah:

35 Dua Himpunan Untuk dua himpunan A dan B, berlaku: A B = A + B A B A B = A + B 2 A B Banyaknya elemen hasil penggabungan dua himpunan A dan B sama dgn banyaknya elemen himpunan A ditambah dgn banyaknya elemen himpunan B, dikurangi dgn banyaknya elemen hasil irisan A dan B

36 Contoh: Dlm sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa yg menyukai matematika diskrit, 13 mahasiswa menyukai kalkulus dan 8 orang diantaranya menyukai matematika diskrit dan kalkulus. Berapa mahasiswa terdapat dlm kelas tersebut? Ingat: A B = A + B A B

37 Jawab: Misalkan: A =himp. mhs yg menyukai MatDis B = himp. Mhs yg menyukai Kalkulus Himp. Mhs yg menyukai KEDUA matakuliah tsb: A B Banyaknya mhs dlm kelas tsb: A B A B = A + B A B A B = A B = 30

38 Contoh: Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5? Ingat: A B = A + B A B

39 Jawab: A = himp. bilangan bulat yg habis dibagi 3, B = himp. bilangan bulat yg habis dibagi 5, A B = himp. bilangan bulat yg habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK Kelipatan Persekutuan Terkecil dari 3 dan 5, yaitu 15),

40 A = 100/3 = 33, B = 100/5 = 20, A B = 100/15 = 6 Maka: A B = A + B A B = = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.

41 Tiga Himpunan Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku: A B C = A + B + C A B A C B C + A B C

42 Contoh: Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 5, 7 atau 11?

43 Jawab: P = himp. bil bulat yg habis dibagi 5, Q = himp. bil bulat yg habis dibagi 7, R = himp. bil bulat yg habis dibagi 11, P Q = himp. bil bulat yg habis dibagi 5&7 P R = himp. bil bulat yg habis dibagi 5&11 Q R = himp. bil bulat yg habis dibagi 7&11 P Q R = himp. bilangan bulat yg habis dibagi 5, 7 dan 11

44

45 Jadi terdapat 376 bil. positif yg tdk melampaui 1000, yg habis dibagi 5,7,atau 11

46 Contoh: Hasil survei terhadap 60 orang responden, diperoleh data sbb: 25 orang membaca Kompas 26 orang membaca Merdeka 26 orang membaca Bola 9 orang membaca Kompas dan Bola 11 orang membaca Kompas dan Merdeka 8 orang membaca Merdeka dan Bola 3 orang membaca Ketiganya.

47 Tentukan: a. Berapa banyaknya orang yg membaca paling sedikit satu buah koran? b. Gambarkan diagram Venn untuk masalah ini, c. Berapa orang yg membaca hanya satu koran?

48 Jawab: Misal: A = Himpunan orang yg suka baca koran kompas B = Himpunan orang yg suka baca koran merdeka C = Himpunan orang yg suka baca koran bola Maka: A = 25 A B = 11 A B C = 3 B = 26 A C = 9 C = 26 B C = 8

49 a) Banyaknya responden yg membaca paling tidak satu koran, adalah: A B C = A + B + C - A B - A C - B C + A B C = = 52

50 b) Gambarkan diagram Venn-nya A = 25 A B = 11 B = 26 A C = 9 C = 26 B C = 8 A B C = 3 o Baca kompas & merdeka tidak Bola = 11 3 = 8 o Baca kompas & bola tidak merdeka = 9 3 = 6 o Baca merdeka & bola tidak kompas = 8 3 = 5 o Baca kompas saja = = 8 o Baca merdeka saja = = 10 o Baca bola saja = = 12

51 Diagram Venn: A = Himp. org yg suka baca kompas B = Himp. org yg suka baca merdeka C = Himp. org yg suka baca bola A B C Banyak orang yang membaca hanya satu koran = = 30

52 Munir, R., 2012, Matematika Diskrit Revisi ke- 5, Penerbit Informatika Rosen, K.H., 2007, Discrete Mathematics and Its Applications 7 th edition, McGraw-Hill

53