IRISAN KERUCUT (CONICS SECTIONS) Irisan kerucut merupakan kurva yang terbentuk ketika sebuah bidang memotong permukaan kerucut tegak. Kurva dari irisan kerucut berupa lingkaran, parabola, ellips dan hiperbola. Perhatikan gambar berikut : Pembelajaran dari irisan kerucut mulai dikembangkan 2000 tahun yang lalu yang diperkenalkan oleh Apollonius (262 190 SM). Baru abad 17 irisan kerucut sangat penting untuk bidang fisika dan kimia. Dalam modul ini akan dibahas irisan kerucut berupa parabola, ellips dan hiperbola. Sedangkan lingkaran akan dibahas secara mendalam di matematika wajib kelas XI semester 2. B. Ellips Definisi : Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik (himpunan semua titik) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu (titik fokus/titik api) tetap harganya.
Rangkuman : NO PERSAMAAN ELLIPS PUSAT PUNCAK FOKUS 1 2 3 4 + M(0, 0) + M(0, 0) + M(p, q) + M(p, q) Untuk semua bentuk persamaan ellips berlaku : 1. a > b 2. a 2 b 2 + c 2 atau c 2 a 2 b 2 3. Panjang sumbu utama/sumbu mayor 2a 4. Panjang sumbu pendek/sumbu minor 2b 5. Eksentrisitas e dengan 0 < c < 1 (a, 0), ( a, 0), (0, b), (0, b) (0, a), (0, a), (b, 0), ( b, 0) (p + a, q), (p a, q), (p, q + b), (p, q b) (p, q + a), (p, q a), (p + b, q), (p b, q) (c, 0), ( c, 0) (0, c), (0, c) (p + c, q), (p c, q) (p, q + c), (p, q c) Sumbu Mayor y 0 (Sb X) x 0 (Sb Y) Sumbu Minor x 0 (Sb Y) y 0 (Sb X) direktriks ± ± y q x p ± x p y q ± 6. Panjang Latus Rectum
Contoh 1 Lukislah ellips dengan persamaan Bentuk Umum : +, dari a 2 25 maka a 5 dan b 2 9 maka b 3 c 2 a 2 b 2 25 9 16 c 4 Pusat M(0, 0) Puncak (a, 0), ( a, 0),(0, b), (0, b) (5, 0), ( 5, 0), (0, 3), (0, 3) Fokus (c, 0), ( c, 0) (4, 0), ( 4, 0) Sumbu mayor : y 0 (sumbu X) Sumbu minor : x 0 (sumbu Y) Panjang sumbu mayor 2a 2.5 10 Panjang sumbu minor 2b 2.3 6 Eksentrisitas Direktriks : e : Latus Rectum Contoh 2 Lukislah ellips dengan persama Bentuk umum : 1, dari p 4, q 2 jadi Pusat : M(4, 2) a 2 25 maka a 5 b 2 16 maka b 4 a 2 b 2 + c 2 maka c 3 Puncak : A(p + b, q) A(4 + 4, 2) A(8, 2) B(p, q + a) B(4, 2 + 5) B(4, 7) C(p b, q) C(4 4, 2) C(0, 2) D(p, q a) D(4, 2 5) (4, 3) Fokus : (p, q + c) (4, 2 + 3) F 1 (4, 5) (p, q c) (4, 2 3) F 2 (4, 1) Persamaan sumbu mayor (garis BD) : x 4 Persamaan sumbu minor (garis AC) : y 2 Panjang sumbu mayor BD 2a 10 Panjang sumbu minor AC 2b 8 aan 1, lalu tentukan unsur-unsurnya! 1 diperoleh : 1, lalu tentukan unsur-unsurnya! 1 diperoleh : Eksentrisitas Direktriks : e : y $ 2 $ 2 8 $ Latus Rectum PQ RS $
Contoh 3 Tentukan koordinat fokus dan puncak dari ellips 1! a 2 169 maka a 13 b 2 144 maka b 12 a 2 b 2 + c 2 maka c 5 Koordinat fokus (±,0)(5,0) dan ( 5, 0) Puncak (±,0) dan (0,±) (13, 0), ( 13,0), (0,12) dan (0, 12) Contoh 4 Diberikan ellips dengan persamaan x 2 + 4y 2 4x 8y 92 0, tentukan : a. Pusat ellips b. Puncak ellips c. Fokus ellips d. Panjang sumbu mayor dan minor Ubahlah x 2 + 4y 2 4x 8y 92 0 ke bentuk umum ellips x 2 4x + 4y 2 8y 92 (x 2) 2 4 + 4(y 2 2y) 92 (x 2) 2 4 + 4(y 1) 2 4 92 (x 2) 2 + 4(y 1) 2 92 + 4 + 4 (x 2) 2 + 4(y 1) 2 100 () )) +(), diperoleh : p 2, q 1 jadi Pusat : M(2, 1) a 2 100 maka a 10 b 2 25 maka b 5 a 2 b 2 + c 2 c 2 75 maka c 5 3 a. Pusat M(p, q) M(2, 1) b. Puncak Ellips (±,) dan (,±) (12, 1), ( 8, 1), (2, 6), (2, 4) c. Fokus ellips (±,) (2+5 3,1) dan (2 5 3,1) d. Panjang sumbu mayor 2a 20 Panjang sumbu minior 2b 10 Contoh 5 Diberikan ellips dengan persamaan 5x 2 + 2y 2 + 10x 4y 3 0, tentukan : a. eksentrisitas b. persamaan direktriks c. panjang latus rectum Ubahlah 5x 2 + 2y 2 + 10x 4y 3 0 ke bentuk umum ellips 5x 2 +10x + 2y 2 4y 3 5(x 2 + 2x) + 2(y 2 2y) 3 5(x + 1) 2 5 + 2(y 1) 2 2 3 5(x + 1) 2 + 2(y 1) 2 3 + 5 + 2 5(x + 1) 2 + 2(y 1) 2 10 (-), diperoleh : p 1, q 1 jadi Pusat : M( 1, 1) a 2 5 maka a 5 b 2 2 maka b 2 a 2 b 2 + c 2 c 2 3 maka c 3 a. eksentrisitas e $ b. direktriks y ± 1± $ c. Latus rectum Contoh 6 Tentukan persamaan ellips dengan Fokus ( 1, 5) dan (5, 5) serta panjang sumbu mayor 10! Pusat ellips ditengah-tengah titik fokus, maka Pusat ( -, 5) (2, 5) Karena Pusat (2, 5) dan Fokus (5, 5) maka c 5 2 3 dan sumbu utama/mayor sejajar sumbu X Panjang sumbu mayor 2a 10 maka a 5 a 2 b 2 + c 2 25 b 2 + 9 maka b 4 Jadi persamaan ellips nya adalah : ( 2) + 5 + (+5) 4 25 + 16 Kerjakan Soal berikut dengan jelas dan Tepat! 1. Tentukan persamaan garis arah / direktriks dari ellips )) + $! 2. Tentukan panjang garis mayor, minor dari ellips ) + $! 3. Tentukan kordinat titik fokus dan puncak dari ellips 9x 2 + 25y 2 36x + 50y 164 0! 4. Tentukan panjang latus rectum dari persamaan ellips x 2 + 4y 2 2x 8y 11 0! 5. Tentukan nilai eksentrisitas ellips dengan persamaan 16x 2 + 25y 2 + 32x 50y 359 0!
Untuk no 6 15 tentukan persamaan ellips apabila diketahui hal-hal berikut : 6. Pusat O(0, 0), sumbu utama sumbu X, panjang sumbu mayor 10 dan panjang sumbu minor 8. 7. Koordinat puncak 0, 4 dan fokus (0, 3). 8. Koordinat ujung sumbu Minor ( 2, 6), fokus (1, 2) dan sumbu mayor sejajar sumbu X. 9. Koordinat puncak ( 4, 3) dan (8, 3) serta titik fokus (6, 3)! 10. Koordinat puncak (1, 8) dan (1, 4) serta titik fokus (1, 6)! 11. Koordinat puncak ( 2, 2),( 2, 4) dan ( 4, 1) serta sumbu utama sejajar sumbu Y. 12. Pusat O(0, 0), sumbu utama sumbu X serta melalui titik 4, dan 3,! 13. Koordinat fokus 10,0) dan eksentrisitas. 14. Pusat O(0, 0), Latus rectum dengan persamaan x 6 dan panjangnya 7. 15. Fokus pada titik pangkal, Puncak (6, 0) dan panjang Lactus rectum 15. Kunci Jawaban : 1. ± 2. Panjang Garis mayor 10 2 Panjang Garis minor 8 2 3. Fokus : (6, 1) dan ( 2, 1) Puncak : (7, 1), ( 3, 1), (2, 2) dan (2, 4) 4. LR 2 5. e 0,6 6. 7. 8. 9. + 0 + (-) () + ($) $ ) 10. () ) 11. (-) $ + (-) 12. + 13. + 14. + 15. (-) + )