1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3 ini terdiri atas 2 kegiatan belajar. Tujuan dari kedua kegiatan belajar ini adalah anda akan menentukan persamaan bidang rata dan sudut antara dua bidang rata, dan menghitung jarak titik dan garis ke bidang dan dua bidang.
2 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata 3. Vektor normal dari bidang rata +++=0 4. Persamaan normal bidang rata Suatu bidang rata akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut. Misalkan diketahui tiga buah titik pada bidang rata V. Untuk menentukan Persamaan Vektoris Bidang Rata V, Persamaan Linear Bidang Rata, Vektor Normal dari Bidang Rata ++ +=0 dan Persamaan Normal Bidang Rata, maka lakukanlah kegiatankegiatan berikut ini. Kegiatan 5.1. Persamaan Vektoris Bidang Rata V Untuk menentukan persamaan vektoris bidang rata, pahami dan lakukan langkah-langkah berikut. 1. Misalkan diketahui tiga buah titik pada bidang rata yaitu titik,,,,, dan,,. 2. Ambil sebarang titik,, yang berada pada bidang rata V, berarti titik,,. 3. Perhatikan Gambar 5.1 di bawah ini.
3 4. Tentukan panjang,,,. 5. Untuk setiap titik sebarang,, pada bidang rata maka berlaku = + dimana dan merupakan parameter bidang rata dengan dan. 6. Terlihat jelas pada Gambar 5.1 bahwa = + 7. Apa kesimpulan yang dapat anda peroleh berdasarkan langkah 6 tersebut. Berdasarkan kegiatan 5.1 di atas, jika kita menemukan panjang =,,, =,,, =,, dan =,,. Pada langkah 6 kita menemukan suatu persamaan = +, jika disubsitusikan persamaan = + ke dalam persamaan = + + sehingga diperoleh suatu persamaan vektoris bidang rata yang melalui tiga buah titik adalah,,=,, +,, (1) +,, Kedua vektor dan di sebut vektor-vektor arah bidang ( setiap dua vektor yang tidak segaris pada bidang merupakan vektor-vektor arah bidang tersebut). Secara umum: Jika =,, dan =,, adalah vektor-vektor arah bidang rata, maka persamaan bidang rata melalui titik,, adalah:,,=,, + +,,=,, +,, +,, Dengan + dan + (2)
4 Berdasarkan persamaan (2) diperoleh suatu persamaan parameter bidang rata adalah = + + = + + = + + Kegiatan 5.2. Persamaan Linier Bidang Rata Untuk menentukan persamaan linier bidang rata, lakukan langkah-langkah berikut. 1. Eliminasikan nilai dan nilai dari persamaan (3) dan persamaan (4) yang telah kita temukan pada kegiatan 1. 2. Setelah di eliminasi nilai dan nilai, kita akan memperoleh nilai = = 3. Kemudian nilai dan nilai pada langkah 1, kita subsitusikan ke persamaan (5). 4. Dari prosedur di atas kita akan mendapatkan nilai dan nilai serta nilai. 5. Apa yang dapat anda simpulkan dari prosedur tersebut. (3) (4) (5) Berdasarkan kegiatan 5.2 di atas, jika kita mengeliminasikan persamaan (3) dan (4) diperoleh: = = dimana 0 = Kita subsitusikan nilai dan ke persamaan (5) diperoleh: + + = 0 + + = 0 + + { }=0 + =0 + +{ } =0 + +{ } =0 = =
5 = = = = Sehingga dapat kita peroleh suatu persamaan bidang rata yang melalui titik,, adalah + + = (6) Persamaan (6) di atas dapat kita tulis menjadi: + + =0 ++ =0 =, dimana = konstanta Sehingga diperolehlah suatu persamaan linier (umum) dari suatu bidang rata adalah +++= (7) Kegiatan 5.3 Vektor Normal Bidang Rata Kita sudah menemukan persamaan umum bidang rata adalah +++= Untuk membuktikan kebenaran bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan bidang rata, maka perhatikan langkah-langkah berikut: 1. kita tentukan sebarang titik, misalkan titiknya,, yang terletak pada bidang tersebut. Sehingga diperoleh bahwa +++=0, maka =. 2. Subsitusikan nilai ke persamaan umum bidang rata yaitu: +++= 0 + + = 0 3. Perhatikan bahwa + + = 0 Jika hanya jika ++.++ = 0 Hal ini berarti bahwa ++ merupakan suatu vektor yang sudah tertentu besar dan arahnya, sedangkan ++ adalah vektor yang berpangkal pada,, dan selalu tegak lurus vektor ++ serta berubah arah tergantung posisi,,. 4. Jadi dapat disimpulkan bahwa,, adalah koordinat titik-titik yang terletak pada bidang yang melalui titik,, dan tegak lurus ++, yang selanjutnya disebut dengan normal bidang rata yang disimbolkan dengan.
6 Perhatikan Gambar 5.2 di bawah ini. Gambar 5.2 Kesimpulan yang dapat kita peroleh dari proses di atas adalah jika sebuah bidang rata melalui,, dan mempunyai normal ++ maka persamaan bidang rata tersebut adalah + + = 5. Terbukti bahwa persamaan umum bidang rata adalah +++= dengan vektor normalnya adalah =,, Masalah 5.1 Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik 3,2,1,4,1,5 dan 2,4,3! Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Pertama kita cari persamaan vektoris bidang rata yaitu:,,=,, +,, +,,,,= 3,2,1+1,1,5+1,2,2 Persamaan linier bidang rata adalah +++=0 = = = 1 5 = 210= 12 2 2 = = = 5 1 = 52= 7 2 1 = = = 1 1 = 21=1 1 2 =
7 = 123 7211 = 36+141= 23 Jadi, persamaan linier bidang rata adalah 127+23=0 atau 12+7+23=0. Kedudukan Istimewa Hal-hal khusus dari bidang rata +++=0. 1. Bila =0 maka bidang rata ++=0 maka bidang rata tersebut melalui pusat koordinat 0,0,0. Atau setiap bidang rata + ++=0 yang melalui titik 0,0,0 akan berbentuk ++ =0. Masalah 5.2 Untuk Bidang Rata +++=0 yang melalui titik 2,3,1, 1,2,1 dan 0,0,0. Lukislah persamaan bidang rata tersebut kedalam sistem koordinat kartesius. Penyelesaian: Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, perhatikan langkah-langkah sebagai berikut. (1) Pertama kita cari dulu persaman bidang rata yang melalui tiga titik tersebut dengan menggunakan persamaan 7 sehingga diperoleh persamaan bidang ratanya adalah 53=0. (2) Kemudian kita buat gambar garis di bidang, seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini. Gambar 5.3. Persamaan Garis lurus di Bidang
8 (3) Setelah kita melukis garis lurus di bidang baru kita memindahkan ke tiga garis tersebut ke ruang, seperti yang terlihat pada gambar 5.4. Gambar 5.4. Bidang Rata yang melalui titik asal 2. Apabila 0 persamaan +++=0 dapat ditulis menjadi + + =1 + + =1 Misalkan =,= dan =, sehingga didapat sebuah persamaan yaitu: + + =1 Yang mana memotong sumbu di,0,0, sumbu di 0,,0, sumbu di 0,0,. Masalah 5.3 Gambarkanlah Bidang rata 3+4+212=0. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Secara grafis bidang dapat disajikan yaitu dengan memotongkan bidang tersebut dengan sumbu-sumbu koordinat, setiap dipotongkan dengan sebarang sumbu dianggap sumbu yang lain sama dengan nol (0). a. Titik potong dengan sumbu, jika ==0 adalah 3=12 maka =4 Berarti titiknya 4,0,0 b. Titik potong dengan sumbu, jika ==0 adalah 4=12 maka =3
9 Berarti titiknya 0,3,0 c. Titik potong dengan sumbu, jika ==0 dalah 2=12 maka =6 Berarti titiknya 0,0,6 Sehingga Gambar bidang rata tersebut adalah: Gambar 5.5. Gambar Bidang Rata jika 3. Apabila =0 berarti bidang rata +=0 sejajar dengan sumbu. Hal itu dapat dilihat pada Gambar 5.6. Gambar 5.6. Bidang Rata sejajar dengan sumbu Apabila =0, berarti bidang rata ++=0 sejajar dengan sumbu. Hal itu dapat dilihat pada Gambar 5.7.
10 Gambar 5.7. Bidang Rata sejajar dengan sumbu Apabila =0, berarti bidang rata ++=0 sejajar dengan sumbu. Hal itu dapat di lihat pada Gambar 5.8. Gambar 5.8. Bidang Rata sejajar dengan sumbu 4. Apabila ==0, berarti bidang rata +=0 sejajar dengan bidang. Hal itu dapat dilihat pada Gambar 5.9. Gambar 5.9. Bidang Rata sejajar dengan Bidang
11 Apabila ==0, berarti bidang rata +=0 sejajar dengan bidang. Hal itu dapat dilihat pada Gambar 5.10. Gambar 5.10. Bidang Rata sejajar dengan Bidang Apabila = =0, berarti bidang rata +=0 sejajar dengan bidang. Hal itu dapat dilihat pada Gambar 5.11. Gambar 5.11. Bidang Rata sejajar dengan bidang Berdasarkan persamaan (6) yang telah di peroleh kita dapat menentukan persamaan bidang rata yang melalui titik,,. Untuk menentukan persamaan bidang rata yang melalui titik,,, perhatikan langkahlangkah di bawah ini: 1. Buatlah persamaan bidang rata yang melalui titik,, yaitu: + + = dengan = = = =
12 = = + + =0,,.,, =0.,,=0. =0 2. Dengan adalah vektor posisi pada sebarang titik,, di =0 diperoleh,. =0 dengan =..,,,, =0,,.,,,, =0 =0 3. Sehingga dapat di simpulkan bahwa persamaan bidang rata secara determinan yang melalui titik,, dan vektor arahnya =,, dan =,, adalah = (10) 4. Dari persamaan di atas kita juga bisa menentukan persamaan bidang rata yang melalui tiga titik yaitu: Jika =,, =,, dan =,, =,, maka =0 secara determinan di peroleh suatu persamaan: = 5. Sehingga dapat disimpulkan Persamaan Bidang Rata =0 yang melalui tiga titik yaitu,,,,, dan,, adalah: = (11) Sedangkan Jika empat buah titik,,,,,,,, dan,, akan sebidang (rata) jika dan hanya jika = (12) Selanjutnya, perhatikan dan pahamilah masalah 5.4 berikut ini.
13 Masalah 5.4 a. Tentukan persamaan =0 melalui titik 1,1,2, 2,4,5, dan 1,2,1 b. Selidiki apakah titik 0,0,0 terletak pada bidang rata tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. a. Untuk menentukan persamaan bidang rata =0 yang melalui tiga titik, kita menggunakan persamaan (11) yaitu: =0 1 1 2 21 41 52=0 11 21 12 1 1 2 1 3 3 =0 2 3 1 316132+1+91+62=0 3+36+63+6+1+99+612=0 65+37=0 Jadi, persamaan bidang rata 65+39=0 b. Untuk menyelidiki apakah titik (0, 0, 0) terletak pada bidang rata tersebut atau tidak, dengan cara mensubsitusikan titik tersebut kedalam bidang rata 65+39=0 sehingga di peroleh suatu kesimpulan bahwa titik 0,0,0 tidak berada pada bidang rata tersebut. kegiatan 5.4. Persamaan Normal Bidang Rata Untuk menentukan persamaan normal bidang rata, pahami langkahlangkah berikut ini. 1. Misalkan vektor normal bidang rata +++=0 adalah =,,. Sudut antara vektor normal dengan sumbu-sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan dengan vektor, dan ) adalah, dan, sedangkan cos, cos dan cos disebut dengan cosinus-cosinus arah dari, seperti yang terlihat pada Gambar 5.12 di bawah ini.
14 Gambar 5.12. sudut-sudut pada bidang rata 2. Berdasarkan Gambar 5.12 di atas, dapat terlihat jelas bahwa: cos=. =, karena = 1,0,0 dan =1 cos=. =, karena =0,1,0 dan =1 cos γ=. =, karena =0,0,1 dan =1 + + = + + = (13) Maka vektor cos,cos,cos adalah satuan searah. Persamaan (13) = dapat juga kita namakan dengan vektor normal yang panjangnya satu. 3. Misalkan adalah jarak dari titik 0,0,0 ke bidang rata, sedangkan,, adalah sudut-sudut arah yang tegak lurus terhadap bidang rata. Seperti yang terlihat pada Gambar 5.13. Gambar 5.13. Titik ke bidang rata
15 Kita ambil = cos,cos,cos yang panjangnya = + + =1, sebagai vektor normal satuan dari bidang rata. 4. Perhatikan =,,. Proyeksi pada adalah. =,,.cos,cos,cos = cos+cos+cos = (harus positif atau >0). Sehingga diperoleh suatu Persamaan Normal HESSE dari duatu Bidang Rata adalah ++= Catatan : Bila bidang rata melalui 0,0,0 maka =0 Dapat disimpulkan bahwa persamaan normal bidang rata adalah ++= (14) 5. Untuk mengubah persamaan umum Bidang Rata +++=0 ke bentuk normal adalah sebagai berikut: Hubungan antara bilangan arah,, dan cosinus arah adalah: cos =cos = = misalkan= Sehingga diperoleh suatu persamaan: cos=,cos=,cos= dan = sedangkan + + = + + =1 maka di peroleh nilai, 1 = cos= cos= ± + +, ± + +, ± + + cos= dan = ± + + ± + + Tanda ± dipilih salah satu sehingga nilai bertanda positif. Masalah 5.5 Carilah persamaan normal dari bidang rata +2+2+9=0. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Persamaan normal bidang rata adalah cos+cos+cos=. Pertama kita cari dulu nilai dari masing-masing persamaan di atas, yaitu: 9 9 = ± 1 +2 +2= 5 1 cos= 5, cos= 2 5, cos= 2 5 Jadi, diperoleh persamaan normal bidang rata adalah
16 Rangkuman 5 + 2 5 + 2 5 = 9 5. 1. Persamaan umum Bidang Rata adalah +++= 2. Persamaan bidang Rata yang melalui titik,, adalah + + = 3. Persamaan Bidang Rata secara determinan yang melalui titik,, dan vektor arahnya =,, dan =,, adalah = 4. Persamaan Bidang Rata =0 yang melalui tiga titik yaitu,,,,, dan,, adalah: = 5. Empat buah titik,,,,,,,, dan,, akan sebidang (rata) jika dan hanya jika = 6. Bentuk normal bidang rata adalah =,, 7. Persamaan normal bidang rata adalah ++=
17 KEGIATAN BELAJAR 6 SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 6 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan sudut antara dua bidang rata 2. Menentukan jarak sebuah titik dan sebuah bidang rata dan jarak antara dua bidang rata yang sejajar 3. Menentukan persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata 4. Menentukan persamaan berkas bidang rata dan jaringan bidang rata. Sebelumnya kita sudah mempelajari bentuk normal bidang rata dan persamaan normal bidang rata. Sekarang kita akan membahas sudut antara dua bidang rata, dan kedudukan dua bidang rata, jarak sebuah titik ke bidang rata dan jarak antara dua bidang rata yang sejajar, garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata dan persamaan berkas bidang rata serta jaringan bidang rata. Untuk memahami materi tersebut perhatikan dan lakukanlah kegiatankegiatan di bawah ini. Kegiatan 6.1. Sudut antara dua bidang rata Sudut antara dua bidang rata adalah sudut antara vektor-vektor normalnya. Misalkan bidang-bidang + + + =0 dan + + + =0, maka vektor normalnya adalah =,, dan =,,. Sudut antara =. = + + + + + + (15)
18 Masalah 6.1 Tentukan sudut antara bidang 2+2+2+8=0 dan +2+5=0. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan vektor normal bidang rata. Misalkan 2+2+2+8=0 maka =2,2,2 dan +++5=0 maka =1,1,1. Sudut antara dua bidang tersebut adalah. cos= = + + + + + + 2,2,21,1,1 cos= 2 +2 +2 1 +1 +1 = 2+2+2 2 3 3 cos= 1 = 0 Jadi, dapat disimpulkan bahwa sudut antara dua buah bidang tersebut adalah 0. Pada sub pokok bahasan ini, juga membahas mengenai Kedudukan Dua Buah Bidang Rata. Misalkan + + + =0 dan + + + =0, maka vektor normalnya adalah =,, dan =,,. 1) Bila sejajar dengan maka vektor normal sama (atau kelipatan) dengan vektor normal. Berarati = maka,, =,, dimana 0 (16) Atau dapat juga di tulis: = = =, =, Masalah 6.2 = Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik 1,2,3 dan sejajar dengan bidang rata 3+2=0. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.
19 Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita dapat menggunakan persamaan (6) yaitu + + =0. Kita misalkan bidang rata + + =0..(1) Maka vektor normal bidang rata tersebut adalah =,,. Dan 3+2=0 maka vektor normal = 1,3,2. Subsitusikan titik 1,2,3 kepersamaan (1) sehingga diperoleh, 1++2+3=0 Karena // maka,,=,,, berarti,,=1,3,2 Sehingga diperoleh suatu persamaan bidang rata dengan mensubtitusikan nilai parameter bidang rata yaitu =1,=3 dan =2 yaitu 13+2+23=0 136+26=0 3+213=0 Dapat disimpulkan, persamaan bidang rata yang melalui titik 1,2,3 dan sejajar dengan bidang rata 3+2=0 adalah 3+213=0. Selain cara di atas Anda juga bisa mencoba mencari persamaan bidang rata dengan menggunakan persamaan bidang rata yang lain yaitu ++ +=0, dengan cara mensubtitusikan titik tersebut kedalam persamaan bidang rata tersebut sehingga diperoleh nilai. 2) Apabila berlaku =, =, = dan = maka bidang rata = berimpit. 3) Bila tegak lurus dengan maka vektor normalnya akan saling tegak lurus. Berarti atau. = sehingga diperoleh suatu persamaan + + = (17) Masalah 6.3 Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik 2,1,2 dan 0,0,0 serta tegak lurus terhadap bidang 2++2=0. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita misalkan persamaan bidang rata +++=0.. (1) dengan vektor normalnya =,, dan 2++2=0 dengan vektor normalnya =2,1,1. Langkah berikutnya kita subtitusikan kedua titik yang melalui
20 bidang rata tersebut ke dalam persamaan bidang rata +++=0 sehingga diperoleh suatu persamaan: 2++2+=0..(2) =0..(3) Karena =0 maka persamaan (2) menjadi 2++2 =0..(4) Pada permasalahan di atas, menyatakan bahwa bidang rata tegak lurus dengan bidang rata, berarti vektor normal sehingga. =0.,,. 2,1,1=0 2+=0.. (5) Langkah selanjutnya, kita eliminasi persamaan (4) dan (5) di peroleh nilai = dan =2. Setelah itu, subtitusikan nilai =, =2 dan =0 ke persamaan (1) diperoleh suatu persamaan bidang rata +2= 0. Jadi, persamaan bidang rata 3+24=0. Kegiatan 6.2. Jarak Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar Bagaimana menemukan persamaan jarak sebuah titik dan sebuah bidang rata? Serta jarak antara dua bidang sejajar? Untuk memperoleh persamaan jarak antara sebuah titik dan sebuah bidang rata tersebut, perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini. 1. Misalkan persamaan bidang rata cos+cos+cos=0, dengan adalah jarak titik 0,0,0 ke bidang rata =0. Ambil sebarang titik,,, dimana =0. 2. Untuk menentukan jarak titik,, ke bidang =0 dengan cara membuat bidang rata =0 melalui titik,, yang sejajar dengan =0. Berarti vektor normal dan sama. Seperti yang terlihat pada Gambar 6.1 di bawah ini.
21 Gambar 6.1. Bidang Rata = sejajar dengan = 3. Misalkan adalah jarak bidang rata =0 dengan titik,, maka jarak 0,0,0 ke =0 adalah ± artinya (a) jika,, di antara 0,0,0 di =0 maka jarak 0,0,0 ke =0 adalah, dan (b) jika,, tidak di antara 0,0,0 dan =0 maka jarak 0,0,0 ke =0 adalah +. 4. Akibat dari pernyataan no. 3 di peroleh suatu persamaan bidang rata cos+cos+cos=±. Karena titik,, pada =0 berarti terpebuhi persamaan cos+ cos+ cos=± Atau ±= cos+ cos+ cos Jadi, jarak sebuah titik,, ke bidang rata cos+cos+ cos=0 adalah = + + (18) 5. Jika +++=0, maka jarak titik,, ke =0 adalah Masalah 6.4 = + + + + + Hitunglah jarak antara bidang rata 63+213=0 dengan titik 7,3,4. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan persoalan di atas, dengan menggunakan persamaan (15) yaitu: (19)
22 = + + + + + Subtitusikan nilai,, dan titik ke dalam persamaan tersebut sehingga diperoleh, = 6.73.3+2.413 6 +3 +2 = 28 49 = 28 7 =4 Jadi, jarak titik 7,3,4 ke bidang rata 63+213=0 adalah 4. Sedangkan untuk menentukan jarak antara dua bidang rata yang sejajar, maka perhatikan langkah-langkah berikut. 1. Misalkan + + + =0 dan + + + =0 2. Jika bidang rata sejajar dengan bidang rata maka jarak antara =0 dan =0 dapat dihitung dengan cara mencari sebuah titik pada =0, misalkan titiknya adalah 0,0,. Kemudian kita dapat menghitung jarak titik 0,0, ke bidang rata =0. 3. Begitu juga sebaliknya jika kita mencari sebuah titik pada =0 misalkan titiknya adalah,0,0. Kemudian kita dapat menghitung jarak titik,0,0 ke bidang rata =0. 4. Perlu diingat bahwa, jarak titik 0,0, ke bidang rata =0 dan jarak titik,0,0 ke bidang rata =0, akan memiliki jarak yang sama, karena kedua bidang rata tersebut sejajar. Masalah 6.5 Hitung jarak antara bidang rata ++=4 dan bidang rata ++=10. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita buktikan apakah kedua bidang rata tersebut sejajar atau tidak? 1. Syarat dari bidang rata // adalah memiliki vektor normal yang sama atau =. Perhatikan vektor normal kedua bidang rata yaitu = 1,1,1 dan =1,1,1, karena = berarti //.
23 2. Ambil sebarang titik pada bidang rata yaitu 0,,0. Subtitusikan titik tersebut ke bidang rata sehingga di peroleh nilai =10. Jadi, titik 0,10,0 3. Kemudian carilah jarak titik 0,10,0 ke bidang rata ++=4 dengan menggunakan persamaan (19) yaitu: = + + + + + Subtitusikan nilai =1,=1, =1,=4, =0, =10 dan =0 ke dalam persamaan yaitu: = 1.0+1.10+1.04 1 +1 +1 = 6 3 =2 3 Jadi, jarak antara bidang rata ++=4 dan bidang rata ++ =10 adalah 2 3. Kegiatan 6.3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata Sebelumnya Anda sudah mempelajari kegiatan 3 mengenai persamaan garis lurus di bidang dan di ruang. Sekarang kita akan mempelajari bagaimana mengubah bentuk persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata ke bentuk umum. Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai perpotongan dua buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita dapat pula menyatakan suatu garis lurus sebagai perpotongan sebarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Bagaimana cara mengubah bentuk persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata ke bentuk umum, perhatikan uraian kegiatan 6.4 di bawah ini. 1. Kita misalkan garis lurus adalah perpotongan dua buah bidang rata + + + =0 dan + + + =0 seperti yang terlihat pada Gambar 6.4 di bawah ini. Gambar 6.4. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata
24 Berdasarkan Gambar 6.4 di atas, maka bentuk persamaan garis lurus dapat di tulis menjadi: + + + = + + + = 2. Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang rata, perhatikan Gambar 6.5 berikut: Gambar 6.5. Vektor Normal Bidang Rata 3. Dari Gambar 6.5 di atas, terlihat vektor normal bidang rata adalah =,, dan =,,. Jelas bahwa = merupakan vektor arah dari garis adalah: =,,= = (20) Untuk mempermudah kita menginggat persamaan di atas, dapat di tulis menjadi: 4. Untuk mengubah bentuk persamaan =0= menjadi bentuk persamaan umum garis lurus yaitu: = = Dan menentukan koordinat titik,,. (21)
25 5. Untuk menentukan koordinat titik,,, ambil sebarang titik pada garis lurus. Biasanya titik yang diambil adalah titik potong dengan bidang berkoordinat, misalnya pada bidang maka =0, diperoleh persamaan: + + =0 + + =0 6. Untuk mencari nilai dan dari persamaan di atas, dapat diselesaikan dengan menggunakan determinan atau dengan cara eliminasi dan subtitusi. Jika persamaan di atas diselesaikan dengan cara determinan dapat dilakukan dengan cara: = dan Jadi, diperoleh titik,,0. = Masalah 6.6 Persamaan 2+=1 dan 3+5=8 adalah persamaan-persamaan garis lurus yang merupakan perpotongan bidang-bidang 2+=1 dan 3+5=8. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita cari vektor arah dari persamaan 2+=1 dan 3+5=8 adalah: 1 3 2 1 1 5 1 3 2 1 Dimana = 2 1 = 9 1 5 = 1 1 5 3 =2 = 1 2 3 1 =5 Jadi, vektor arah garis lurus adalah 9,2,5 Sekarang kita cari titik,, dengan cara determinan. Ambil =0 maka diperoleh suatu persamaan 2=1 dan 3=8. 1 2 8 1 = 1 2 = 3 1 15 5 =3
26 1 1 = 3 8 5 1 2 = 3 1 5 =1 Jadi, titik yang melalui garis lurus tersebut merupakan perpotongan ke dua buah bidang rata dan adalah 3,1,0. Sehingga diperoleh persamaan garis lurus adalah,,=3,1,0+9,2,5. Kegiatan 6.4. Berkas Bidang Rata Dan Jaringan Bidang Rata Bagaimana menemukan persamaan berkas bidang rata? Serta persamaan jaringan bidang rata? Untuk memperoleh persamaan berkas bidang rata dan jaringan bidang rata, perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini. 1. Misalkan ada 2 buah bidang rata + + + =0 berpotongan dengan + + + =0, maka perpotongannya berbentuk garis lurus seperti yang terlihat pada Gambar 6.6 di bawah ini. Gambar. 6.6. Perpotongan Dua Buah Bidang Rata 2. Setiap titik pada garis potong tersebut akan memenuhi persamaan + =0, dimana dan adalah parameter. Persamaan di atas merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong dan bila 0, sehingga dapat kita tulis menjadi: + =0 + =0 Jadi, persamaan berkas bidang melalui garis potong antara bidang rata =0 dan =0 adalah + = (22)
27 Jika bidang rata =0 sejajar dengan bidang rata =0 maka persamaan berkas bidang rata dapat di tulis menjadi: (23) + + = atau + + = Masalah 6.7 Carilah persamaan bidang yang melalui titik 0,0,1 dan melalui garis potong bidang-bidang +=1 dan +2=0. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita tentukan persamaan bidang rata dengan menggunakan persamaan (22) yaitu: + =0 +1++2=0.(1) Dari persamaan (1) kita kelompokkan berdasarkan variabelnya (variabel yana sama) seperti 1++1+2+ 1=0. Karena bidang rata melalui titik 0,0,1 maka kita substitusikan titik tersebut ke persamaan +1+2+ 1=0 sehingga diperoleh nilai =1. Setelah di peroleh nilai =1, kita subsitusikan ke persamaan (1) diperoleh persamaan +1=0. Jadi dapat disimpulkan persamaan bidang rata adalah +1=0. Sedangkan untuk memperoleh persamaan jaringan bidang rata perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini. 1. Pandang bidang-bidang =0, =0 dan =0 yang tidak melalui satu garis lurus yang sama (bukan dalam satu berkas). Seperti yang terlihat pada Gambar 6.7. Gambar 6.7. Perpotongan 3 buah Bidang Rata
28 2. Bentuk + + =0 yang menyatakan kumpulan bidang-bidang yang melalui titik potong ke 3 bidang tersebut. Pada Gambar 6.7 titik potong ke 3 bidang tersebut adalah titik. Dan kumpulan bidang-bidang tersebut disebut dengan jaringan bidang. Masalah 6.8 Tentukan persamaan bidang rata yang sejajar dengan bidang ++ =1 dan melalui titik potong bidang-bidang =3, =4 dan =0. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dengan memisalkan persamaan bidang rata + + =0 subsitusikan ketiga bidang rata tersebut kepersamaan + + =0 sehingga diperoleh suatu persamaan, 3+4+0=0 ++34=0..(1) Karena bidang rata sejajar dengan bidang rata ++=1 maka vektor normal bidang rata sama dengan vektor normal bidang rata yaitu 1,,=1,1,1. Sehingga diperoleh nilai =1 dan =1. Nilai =1 dan =1 tersebut kita substitusikan ke persamaan (1) menjadi ++3 4=0. Jadi dapat disimpulkan persamaan bidang rata adalah ++7= 0. Rangkuman 1. Sudut antara dua buah bidang rata adalah =. = + + + + + + 2. Jarak titik,, ke bidang rata +++=0 adalah = + + + + + 3. Jika sejajar dengan maka vektor normal = sehingga diperoleh suatu persamaan,, =,, dimana 0 4. Jika tegak lurus dengan maka vektor normal. =0 sehingga diperoleh suatu persamaan,
29,,.,, = atau + + = 5. Persamaan berkas bidang rata adalah + = 6. Persamaan jaringan bidang rata adalah + + =