BAB II V E K T O R. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 52

Transkripsi

1 FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. BAB II V E K T O R Pernahkah Kamu naik pesawat terbang? Antara penumpang dan pilot dan copilot di ruang kemudi dipisah dengan sekat. Tujuannya agar pilot dapat berkonsentrasi mengemudikan pesawat. Pernahkah Kamu bayangkan pesawat terbang di malam hari? Bagaimana pilot mengemudikan pesawat terbang di malam hari. Dengan sistem vektor yang dikalibrasikan dengan komputer navigasi pesawat pilot dapat memantau arah tujuan pendaratan pesawat. Jadi tidak pernah sebuah pesawat nyasar ke lain tempat. Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Kecepatan, percepatan, gaya, tekanan, momentum dan sebagainya adalah contoh-contoh besaran vektor. Penulisan vektor dengan vektor satuan mempermudah pengertian tentang arah vektor itu. Beberapa vektor dapat dijumlahkan maupun dikalikan. Pada bab ini Kamu akan memperdalam tentang vektor sebagai besaran yang memiliki nilai dan arah. Meliputi vektor dua dimensi dan vektor tiga dimensi. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 5

2 Tentunya Kamu pernah mempelajari jurusan tiga angka di SMP. Gambar di atas menggambarkan arah tiga kota yang menjadi rute penerbangan pesawat terbang. Kota berarah 15 dari kota 1, kota 3 berarah 300 dari kota, dan kota 1 berarah 079 dari kota 3. Jurusan tiga angka merupakan pelajaran vektor yang menyatakan arah dan besar perpindahan. Vektor menyatakan arah dan besar suatu besaran. Jurusan tiga angka, Analisi ruang, Navigasi penerbangan dan pelayaran selalu menggunakan vektor untuk keperluan itu. Peralatan navigasi membutuhkan perhitungan vektoris yang sudah dikalibrasikan dengan alat ukur sehingga menghasilkan keluaran manual atau digital. Keluaran itu dapat dibaca pada pada alat ukur yang menera besar dan arah secara bersamaan, sehingga bermanfaat bagi orang yang memantaunya. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 53

3 Tujuan Pembelajaran Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan cara grafis maupun analitis Menghitung jumlah dan selisih vektor-vektor dua dimensi Menjumlahkan vektor-vektor tiga dimensi menggunakan vektor satuan Peta Konsep Bab Penjumlahan Cara Grafis Vektor Analitis Poligon dimensi Perkalian 3 dimensi Segitiga Perkalian Dot Perkalian Cross Jajaran Genjang Standar Kompetensi Menerapkan konsep besaran fisika dan pengukurannya Kompetensi Dasar Melakukan penjumlahan vektor Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 54

4 Kata Kunci (Key-words) Cara Analitis Cara Grafis Cara Jajaran Genjang Cara Poligon Cara Segitiga Perkalian Silang (cross product) Perkalian Titik (dot product) Resultan vektor Skalar Titik Tangkap Vektor Vektor Satuan Daftar Konstanta Cepat rambat cahaya c 3,00 x 10 8 m/s Konstanta Coulomb k 8,99 x 10 9 N.m /C Konstanta gas umum R 8,314 J/K.mol Konstanta gravitasi umum G 6,67 x N.m/kg Muatan elektron e 1,60 x C Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 55

5 BAB II VEKTOR A. Pengertian Vektor Penggolongan besaran-besaran dalam kehidupan sehari-hari telah diketahui menjadi dua, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Namun ada juga pengelompokan lain berdasarkan nilai dan arah besaran. Penggolongan semacam ini membedakan besaran-besaran menjadi dua kelompok, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar diartikan sebagai besaran yang hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan memiliki arah. Jarak termasuk besaran skalar, sedangkan perpindahan dikatakan sebagai besaran vektor. Orang mengukur jarak adalah menghitung seluruh lintasan gerak yang ditempuh, sedangkan mengukur perpindahan berarti mengukur panjang dari titik awal ke arah titik akhir lintasan. Jadi kalau seorang siswa berlari dari suatu sudut mengelilingi lapangan sepak bola satu kali putaran, berarti Ia menempuh jarak keliling lapangan sepak bola itu, tetapi dikatakan perpindahannya nol. Contoh besaran skalar lainnya adalah panjang, massa, waktu, suhu, kelajuan. perlajuan, usaha, daya sedangkan contoh besaran vektor diantaranya perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momentum dan sebagainya. Gambar berikut ini merupakan besaran vektor diantaranya kecepatan angin, kecepatan arus air laut yang menggerakkan kapal laut, kecepatan pesawat tempur. Tentu saja kecepatan kecepatan tersebut memiliki besar dan arah. Gambar 1. Kecepatan angin Gambar. Kecepatan pesawat Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 56

6 Menurut Alonso dan Finn, sebuah vektor dapat digambarkan berupa anak panah atau ruas garis berarah. Panjang anak panah atau ruas garis menyatakan nilai atau besar vektor, sedangkan arah anak, panah menyatakan arah vektor. Notasi besaran vektor dapat dinyatakan dengan huruf besar atau huruf kecil yang diberi tanda panah di atasnya. Misalnya: vektor ab atau AB B B. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor A Dua buah vektor atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangi. Ada beberapa cara penjumlahan dan pengurangan vektor. 1. Cara Grafis Cara ini menekankan pada cara menggambarnya. Yang termasuk dalam cara grafis adalah cara poligon, cara segitiga dan cara jajaran genjang. a. Cara Poligon Berikut ini adalah langkah-langkah penjumlah vektor poligon. r a b c dengan cara b c r c b a gambarkan salah satu vektor yang kita pilih, misalnya vektor a a a Berikut menggambarkan vektor b dengan cara pangkal vektor b berada diujung vektor a b c Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 57 a

7 Kemudian gambarkan vektor c dengan cara yang sama b Gambarkan resultan vektor r yang merupakan jumlah dari vektor a, b dan c dengan cara menggambarkan vektor dari pangkal vektor a ke a ujung vektor c, vektor resultan dinyatakan dengan besarnya atau penjang vektor resultan dan arahnya sesuai dengan hasil dari gambar yang didapat, seperti vektor berikut ini c r b. Cara Segitiga b Untuk cara segitiga, berlaku untuk tiap-tiap dua vektor. Semua pangkal vektor-vektor yang akan dijumlahkan digabung menjadi satu titik tangkap. Kemudian gambarkan vektor resultan dengan menghubungkan kedua ujung vektor tersebut. b a b r a r = a + b c. Cara Jajaran Genjang Untuk cara jajaran genjang, semua pangkal vektor-vektor yang akan dijumlahkan digabung menjadi satu titik tangkap. Kemudian gambarkan vektor bayangan masing-masing vektor. Selanjutnya gambarlah vektor resultan dari titik tangkap ke perpotongan vektor bayangan. Perhatikan contoh penjumlahan vektor secara jajaran genjang berikut ini. b b a Untuk vektor yang lebih dari dua; pertama kali tentukan a + b terlebih dahulu, r a r = a + b Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 58

8 kemudian ( a + b ) + c, perhatikan contoh berikut ini. c c a b b a c b a a + b c b a ( a + b )+ c. Cara analitis. Masing-masing vektor diuraikan menjadi komponen-komponen vektor searah sumbu x dan sumbu y dari sistem koordinat Cartesius. Vektor v x = v cos v y = v sin v 1 1 v 1 x = v cos 1 v 1 y = v sin 1 v v 3 3 v x = v cos v y = v sin v 3 x = v cos 3 v 3 y = v sin 3 v x =... v y =... Menurut Bresnick besar Resultan vektor dan arah ditentukan dengan : V R = ( vx ) ( vy ) Arah resultan : tg = v v Y X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 59

9 C. Vektor dalam Bidang Datar Dengan mendefinisikan vektor satuan i dan j yang masing-masing searah sumbu X dan Y, untuk vektor dua dimensi akan berlaku r = x i + y j. Misalnya posisi titik A pada gambar 3 berikut ini. Hal yang sama ditunjukkan pada gambar 4 dengan mendefinisikan tiga vektor i, j, k, yang masing-masing sejajar dengan sumbu X. Y dan Z diperoleh r = x i + y j + z k. Koordinat titik P(x, y, z) sebagai vektor tiga dimensi. y z A (x, y) j y 0 i x x x i k i i i 0 i y i P (x, y, z) z x Gambar 3. Vektor Dua dimensi Gambar 4. Vektor Tiga Dimensi 1. Resultan Vektor-vektor dalam Bidang Datar Dimensi (x,y) a. Segaris F 1 F r F 1 F F 1 F 1 - F - F F 1 F r F 1 F ) ( Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 60

10 b.vektor yang membentuk sudut Besar resultan vektor a dan b dirumuskan: r = a + b + ab.cos = sudut apit antara vektor a dan b Batas besar resultan yang mungkin antara vektor a dan b adalah: a - b < r < a + b Arah vektor terhadap vektor maupun vektor dapat ditentukan dengan rumus sinus sebagai berikut: r sin α = a sin 1 = b sin c. Pengurangan Vektor Selisih antara vektor a dan b, besarnya dirumuskan: r = a + b ab.cos = sudut apit antara vektor a dan b. Menguraikan vektor menjadi komponen-komponen menurut sb. X dan sb. Y dalam satu bidang Suatu vektor v dapat diuraikan menjadi vektor v x dan v y dimana masing-masing menyatakan vektor komponen dalam arah sb. X dan sb. Y. Besarnya vektor komponen v x dan v y adalah : v x = v cos dan v y = v sin Y v = v x v y V y V = sudut apit antara v dan sumbu X positif X V x Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 61

11 Apabila yang membentuk sudut terhadap sumbu X lebih dari satu vektor maka: v = v x v y Contoh soal: 1. Dua buah vektor F 1 = 5 N, F = 1 N membentuk sudut = 60 0, maka tentukan resultan dari F 1 + F Jawab : R = F 1 + F + F 1 F.cos R = cos 60 R = , 5 = 54 = 15,94. Tentukan besar komponen gaya sumbu X dan Y Jawab F x = F cos = 60 cos 60 = 60 x 0,5 = 30 N F y = F sin = 60 sin 60 = 60 x 0,5 3 = 30 3 N F y Y 60 0 F x F=60N 3. Tentukan besar dan arah vektor yang memiliki komponen-komponen sebagai berikut : a. A x = 3 cm, A y = 4 cm b. F x = -3 N, F y = 3 N Jawab: a. A = A x + A y = tg = 3 4 = 5 A y 4 = (kuadran I) = A x 3 3 = 1 b. F = = F x + F y tg = F y 3 = Fx 3 (kuadrat II) = Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 6

12 4. Hitunglah resultan gaya pada gambar di samping secara analitis! Mengetahui: F 1 = 40 N F = 60 N F 3 = 30 N Jawab: R x = F 1 cos + F cos (10 ) + F 3 cos (40 ) = , ,5 = = - 5 F 60 0 F F 1 R y = F 1 sin + F sin (10 ) + F 3 sin (40 ) = , ,5 = = 15 R = R x R y = 5 15 = 50 = 15,81 Tugas Kerjakan jawabannya di buku tugasmu! 1. Dua buah gaya searah dan satu garis kerja bekerja pada sebuah benda. Masingmasing gaya besarnya 50 N dan 0 N. Tentukan besar resultan gaya yang bekerja pada benda itu!. Bagaimanakah menggambarkan gaya 8 N ke arah barat diteruskan gaya 6 N ke arah selatan secara vektor? Berapakah resultannya? 3. Tentukan resultan gaya-gaya yang saling tegak lurus seperti ditunjukkan gambar di bawah ini. Masing-masing gaya besarnya 0 N dan 50 N. 4. Dua buah vektor F 1 dan F saling membentuk sudut 10 o. F 1 = 50 N dan membentuk sudut 30 o dengan Resultan kedua vektor, Hitunglah besar F dan R. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 63

13 3.Vektor Pada Sistem Koordinat Ruang ( x, y, z ) Telah kamu lihat bagaimana suatu vektor diuraikan atas komponen-komponen pada sumbu x dan sumbu y. Untuk vektor yang terletak dalam ruang (3 dimensi), maka vektor dapat diuraikan atas komponen-komponen pada sumbu x, y dan z. Besaran vektor A A / AX / / AY / / AZ,, = masing-masing sudut antara vektor A dengan sumbu-sumbu x, y dan z A = A x + A y + A z atau A = A x i + A y j + A z k A x = A cos A y = A cos A z = A cos dan i, j, k masing-masing vektor satuan pada sumbu x, y dan z / 4. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu. a. Penjumlahan Vektor Satuan i j k 1 Untuk bidang dimensi v = v x i v y j Untuk bidang dimensi 3 v = v x i v j v k y z j y i x Contoh: a = 4 i + j - k a + b = ( 4i + j - k ) + ( i - j + k ) b = i - j + k = (4 + 1)i + ( -1)j + (-1 + )k = 5 i + j + k b. Perkalian Vektor Satuan Perkalian titik (dot product) Arah sumbu x = i Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 64 j y i x z k z k

14 Arah sumbu y = j Arah sumbu z = k besar i j k 1 satuan Perkalian titik vektor satuan sejenis Perkalian titik vektor satuan lain jenis i. i = i. i cos i. j = i. j cos = 1. 1 cos 0 = 1. 1 cos 90 = = 1 satuan = = 0 satuan j. j = 1 j. k = 0 k. k = 1 i. k = 0 Jika vektor a diuraikan menjadi vektor proyeksinya Vektor satuan a = a xi + a yj + a zk Besar a = a x + a y + a z a yj 0 Y a xi a X Arah tg = a y a x Perkalian dot vektor a dengan vektor b a. b = a xi + b yj [ a ] = [b ] = a x + a y + a z b x + b y + b z a. b = [ a ][b ]cos cos = a. b [ a ][ b ] Contoh 1: a = i + j - 3 k a. b = ( i + j - 3k ). ( - i + 5 j - k ) b = -3 i + j k = ( 1 )( -) + ( )(5) + ( -3 )( -1) Contoh : Dua vektor p = 3 i - 4 j dan q = 4 i -3 j Hitung: a. p. q b. sudut apit antara p dan q = ( - ) + ( 10 ) + (3 ) = 11 Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 65

15 Jawab: a. p. q = (3 i - 4 j ). ( 4 i -3 j ) = ( 3 )( 4 ) + ( -4 )( -3 ) = ( 1 ) + ( 1 ) = 4 b. p = 3 4 = 5 q = 4 3 = 5 bila sudut apit antara p dan q adalah, maka p. q = p q cos cos = p. q p. q = 4 5 x 5 4 = = 0,96 5 = 16,6 Perkalian silang (cross product) - Perkalian silang vektor satuan sejenis - Perkalian silang vektor satuan lain jenis c a (+ (-) j i k b i x i -c = 1 x 1 sin j x j = 0 j x j = - k i x j = k = 1 x 1 sin 0 k x k = 0 i x k = - j j x k = i = 1 x 1 x 0 = 0 satuan k x j = - i k x i = j Memakai Determinan Contoh: a = i + 3 j + -4 k dan b = 3 i -4 j + k a x b = i (3)() + j (-4)(3) + k ()(4) - k (3)(3) - i (-4)(-4) - j ()() = 6 i + (-1) j + 8 k - 9 k + 8 i - 4 j Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 66 a x b = i 3 j 3-4 k -4 i 3 j k 16i 4j 6i -1j 8k

16 = 14 i - 16 j - k Besar a x b = a x b = = 59 Memakai Cara Praktis a = x i + y j + z k a x b = Contoh: i x p j y q k z r b = p i + q j + r k a = i + j -3 k dan b = -3 i + j + k = 8 i + 8 j + 8 k i x p Jawab: a x b = i j k i j = (.1. -3) i 1-3 +( ) j + (1.. -3) k j y q = (y.r q.z) i + (z.p x.r) j + (x.q y.p) k Tugas Kerjakan penyelesaian soal-soal berikut di buku tugasmu! 1. Dua vektor A = 3 i + 4 j B = - i + j a. Tentukan besar dan arah resultannya! b. Tentukan besar dan arah A - B c. Sudut antara A dan B. Diketahui vektor- vektor: A = 3 i + 4 j -5 k dan B = - i + j + k Tentukan : a. Besar resultannya. b. Hal yang sama bagi selisih A - B, dan c. Sudut antara A dan B 3. Diketahui: A = i + 3 j B = - i + j Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 67

17 Hitunglah : a. A B b. A x B c. Sudut antara A dan B Kegiatan Percobaan Tanggal/Jam : Kelas/ Smt : X/I Kelompok : A. Judul Percobaan : Penjumlahan Vektor B. Petunjuk Belajar : 1. Baca literatur yang berkaitan dengan vektor. Baca teori sebelum melakukan percobaan 3. Baca petunjuk percobaan sesuai dengan urutan langkah yang disajikan 4. Buatlah laporan hasil pekerjaan (tugas individual) dan kumpulkan kepada guru. C. Alat-alat dan Bahan : 1. pegas Newton 4. bensin. mikrometer sekrup 5. kertas HVS 3. neraca 8. katrol dan beban D. Informasi 1. Vektor adalah besaran fisika yang memiliki nilai dan arah. Contoh-contoh besaran vektor adalah gaya, kecepatan, arus listrik, percepatan, dan lain-lain. 3. Nilai vektor ditentukan oleh panjang garis dan arah vektor ditentukan oleh arah panah. 4. Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan 5. Hasil penjumlahan dapat bernilai lebih besar atau lebih kecil dari komponen vektornya. E. Langkah- langkah Kerja : 1. Sudut antara F 1 dan F = 0 = 90 dan 60 Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 68

18 a. Susun alat bahan seperti gambar b. Catat besarnya F 1, F dan F 3 yang ditunjukkan ketiga neraca ke dalam tabel c. Lakukan beberapa kali dengan F 1 dan F yang berbeda-beda 0 = = 60 0 No. F 1 F F 3 F 3 No. F 1 F F 3 F 3 F. Kesimpulan : Analisa Lakukan analisa setiap persoalan berikut, dan buatlah penyelesaiannya, bila dipandang perlu lakukan dengan perhitungan. Buatlah di buku tugasmu! 1. Siswa kelas X A kebingungan mendapatkan lima macam contoh besaran skalar dan lima contoh besaran vektor. Coba, bantulah siswa tersebut mengatasi kebingungannya. Pada alat speedometer seorang sopir dapat membaca besaran yang diinginkan. Besaran apakah yang dimaksud? 3. Tentukan resultan vektor berikut secara grafis dengan A a. Metode Poligon : A + B + C + D dan A - B b. Metode Jajaran Genjang : A + B + C c. Metode analitis A + B + C + D B C D 4. Sebuah Perahu motor akan menyeberang sungai yang lebarnya 35 3 dengan kecepatan arus air sungai 3 m/s. Jika kecepatan perahu untuk menyeberang 5 m/s.dengan arah 60 terhadap arah arus sungai. Maka tentukan : a. Kecepataran resultan perahu motor ketika menyeberang sungai. b. Lamanya perahu menyeberang. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 69

19 5. Pada gambar disamping, Tentukan komponen y vektor gaya F = 10 N menurut sumbu x dan y F Jika masing-masing kotak berukuran ( 1x1) cm Tentukan besar resultan vektor A + B x A B 7. Usaha W didefinisikan sebagai perkalian titik dari vektor gaya F dengan vektor perpindahan r. W = F. r Tentukan besarnya usaha W, jika F = i + j + 3 k N, r = 3 i + j + k m. 8. Suatu vektor gaya F = i + j + 3 k N bekerja pada suatu poros dengan lengan momen r = 3 i + j + k m, sehingga menghasilkan momen gaya. Momen gaya didefinisikan sebagai perkalian silang vektor gaya dengan vektor lengan momen. atau momen gaya = F x r. Tentukan besarnya momen gaya tersebut. 9. Dua buah vektor F 1 dan F saling membentuk sudut 10 o. F 1 = 50 N dan membentuk sudut 30 o dengan resultan kedua vektor, hitunglah besar F dan R. 10. Sebuah benda ditarik oleh dua buah gaya masing-masing besarnya 10 newton. Kedua gaya itu membentuk sudut Berapakah besar resultan kedua gaya tersebut? Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 70

20 Rangkuman 1. Besaran Skalar adalah besaran yang hanya ditentukan oleh besarnya atau nilainya saja. Contoh : panjang, massa, waktu, kelajuan, dan sebagainya.. Besaran Vektor adalah besaran yang selain ditentukan oleh besarnya atau nilainya, juga ditentukan oleh arahnya. Contoh : kecepatan, percepatan, gaya dan sebagainya. 3. Sifat-sifat vektor. a. A + B = B + A Sifat komutatif. b. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C Sifat assosiatif. c. a ( A + B ) = a A + a B d. / A / + / B / / A + B / 4. Resultan Dua Vektor a. Cara Jajaran genjang α = sudut antara A dan B / R / = / A/ / B/ / A/ / B/ cos arahnya : / R / / / / / A B sin sin sin 1 b. Cara Poligon Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 71

21 v R adalah resultan dari A, B dan C c. Cara Analitis Vektor sudut vx = v cos vy = v sin V1 1 vx = v cos 1 vy = v sin 1 V vx = v cos vy = v sin V3 3 vx = v cos 3 vy = v sin 3 vx... vy... Resultan / v R / = Arah resultan : tg = ( v ) ( v ) v v Y X X Y 5. Vektor Pada Sistem Koordinat Ruang ( x, y, z ),, = masing-masing sudut antara vektor A dengan sumbu-sumbu x, y dan z Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 7

22 A = A x + A y + A z atau A = / A x / i + / A y / j + / A z / k / A x / = A cos / A y / = A cos / A z / = A cos Besar vektor A A / A / / A / / A / X Y Z dan i, j, k masing-masing vektor satuan pada sumbu x, y dan z 6. Perkalian Vektor a. Perkalian vektor dengan skalar. Suatu vektor jika dikalikan dengan suatu besaran skalar maka hasilnya adalah suatu vektor. b. Perkalian vektor dengan vektor. Dalam perkalian vektor dengan vektor, kita mengenal dua bentuk perkalian, yaitu : 1) Perkalian titik (Dot Product) ) Perkalian silang (Cross Product) 7. Dalam Perkalian Titik antara vektor A dengan vektor B akan diperoleh besaran skalar. Contoh : A B = C C besaran skalar yang besarnya C = / A / / B / cos dengan adalah sudut antara A dengan B 8. Dalam Perkalian Silang antara vektor A dengan vektor B akan diperoleh besaranvektor. Contoh : A x B = C C besaran skalar yang besarnya C = / A / x / B / sin dengan adalah sudut antara A dengan B Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 73

23 Tugas Akhir Bab Kerjakan penyelesaian permasalahan berikut di buku tugasmu! 1. Sebuah bola tenis dikenai tiga buah gaya seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Buatlah pemisalan sendiri besar ketiga gaya yang bekerja pada bola tenis. Menurut datamu, kemana arah resultan gayanya? Kemana arah gerak bola tenis tersebut?. Carilah resultan gaya gambar di bawah ini dengan cara analitis! 3. Hitunglah resultan gaya dari gambar di samping ini! Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 74

24 4. Berapakah kecepatan resultan perahu boat dan berapa sudut simpangnya dari arah sumbu +y? Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 75

25 Info Tambahan Sebuah program komputer yaitu Aplikasi Vektor telah diciptakan untuk mempermudah pekerjaan manusia. Dengan program ini orang dapat bekerja menggunakan berbagai kaidah vektor. Bahkan dapat pula digunakan untuk membuat ilustrasi gedung misalnya. Hasilnya seperti pada gambar di bawah ini Soal Latihan Akhir Bab Soal Pilihan Ganda Pilihlah salah satu jawaban yang benar 1. Jika vektor F 1 = 8 N, vektor F = 6 N mempunyai titik tangkap sama membentuk sudut 60 o, besarnya resulatan kedua vektor tesebut adalah N a 3 37 b. 37 c. 74 d e Berapa sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor gaya masing-masing 1 N dan 10 N yang tertitik tangkap sama. Jika besar resultannya 31 adalah a 30 o b c d e Dua buah vektor F1 = 9 N dan F = 4 N yang bertitik tangkap sama dan membentuk sudut Berapakah besar selisih kedua vektor tersebut. a 15 N b. 0 N c. 1 N d. 31 N e. 41 N Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 76

26 4. Perhatikan gambar percobaan vektor gaya resultan R = F 1 + F dengan menggunakan 3 neraca pegas berikut ini N 5 N 4 N 3 N 8 N 8 N 5 N 5 N tg = 3/4 8 N tg = 3/4 yang sesuai dengan rumus vektor gaya resultan secara analitis adalah gambar a. 1, dan 3 b. 1 c.1 dan d. 1 dan 3 e. 5. Perhatikan diagram-diagram vektor berikut ini C A A A B C B B C (1) () (3) (4) C B A A (5) B C Diagram vektor di atas yang menunjukkan C = A B adalah a. (1 ) b. () c. (3) d. (4) e. (5) 6. Dari tiga buah vektor gaya berikut ini, besarnya resultan gaya adalah.n a. 0 3 F=0 N b o F1 = 30 N c o d. 45 e o F3 = 10 N 7. Sebuah gaya F = (i + 3j) N melakukan usaha dengan titik tangkapnya berpindah menurut r = (4 i + a j) m dan vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 77

27 searah dengan sumbu x dan sumbu y pada koordinat Cartesian. Bila usaha itu bernilai 6 J maka nilai a sama dengan a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e Dua buah vektor F1 dan F bertitik tangkap sama saling mengapit sudut A. Ternyata dipenuhi [ F1 + F] = [F1 F], maka besarnya sudut A adalah.. a b c.90 0 d e Besar resultan gaya pada gambar di bawah ini adalah y F 1 = 10 N F = 3 N F 3 = 5 3 N x a. 8 N b. 6 N c. 5 N d. 3 N e. N 10. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 meter dan kecepatan arus airnya 4 m/s. bila perahu di arahkan menyilang tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s, maka setelah sampai diseberang perahu telah menempuh lintasan sejauh. meter a. 100 b. 40 c. 300 d. 30 e Vektor F 1 = 0 N berimpit sumbu x positif, Vektor F = 0 N bersudut 10 O terhadap F 1 dan F 3 = 4 N bersudut 40 derajat terhadap F 1. Resultan ketiga gaya pada pernyataan di atas adalah : a. 4 N searah F 3 b. 4 N berlawan arah dengan F 3 c. 10 N searah F 3 d. 16 N searah F 3 e. 16 N berlawanan arah dengan F 3 1. Dua buah gaya bernilai 4 N dan 6 N. Resultan gaya tersebut tidak mungkin bernilai.n Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 78

28 a. 1 b. c. 4 d. 6 e Jika sebuah vektor dari 1 diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus dan yang sebuah dari padanya membentuk sudut 30 o dengan vektor itu, maka besar masingmasing adalah : a. 3 N dan 3 3 N b. 3 N dan 3 N c. 6 N dan 3 N d. 6 N dan 6 N e. 6 N dan 6 3 N 14. Dari hasil pengukuran di bawah ini yang termasuk vektor adalah a. Gaya, daya dan usaha b. Gaya, berat dan massa c. Perpindahan, laju dan kcepatan d. Kecepatan, momentum dan berat e. Percepatan, kecepatan dan daya 15. Dua buah vektor gaya masing-masing F 1 = 10 N dan F = 10 N, Resultannya 10 N, maka sudut apit kedua vektor tersebut adalah. a b c d e Soal Uraian Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Dua vektor gaya A dan B saling mengapit sudut Resultan yang terbentuk membentuk sudut 60 0 terhadap vektor A. Tentukan besarnya vektor A dan B, bila resultan kedua vektor tersebut 0 N! Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 79

29 . Dua vektor setitik tangkap F 1 mendatar yang besarnya 10 N. Sudut antara resultan R dengan F = 30. Jika besar resultan vektor tersebut 10 3 newton, maka tentukan: a. sudut antara F 1 dan F b. sudut antara F 1 dan R c. besarnya F 3. Lima gaya pada bidang datar setitik tangkap masing-masing besarnya sama dengan 10 N. Vektor vektor tesebut terhadap sumbu X positif membentuk sudut 30, 60, 10, 40, dan 330. Tentukan besar resultan dan arahnya terhadap sumbu X positif! 4. Lima buah gaya tersusun seperti pada gambar. Tentukan: a. Harga resultan dari gaya-gaya itu b. Arah resultan terhadap sumbu X positif c. Memakai cara apakah menurutmu yang paling kamu sukai? 5. Isilah titik-titik berikut ini untuk : A B R a. 8 satuan 4 3 satuan b. 6 satuan satuan c. 5 satuan 10 satuan d. 3 satuan 4 satuan Dua vektor dari 4 satuan dan 3 satuan yang bertitik tangkap di suatu titik, menghasilkan vektor resultan sebesar 37 satuan. Hitunglah sudut yang di bentuk oleh kedua vektor tersebut. 7. Sebuah perahu bergerak arah utara dengan kecepatan 1 km/jam mendapat dorongan dari angin arahnya ke barat dengan kecepatan 5 km/jam. Tentukan kecepatan perahu dan arahnya 8. Dari titik A, Badu berjalan menuju arah Timur sejauh 5 km sampai di titik B dan melanjutkan perjalanannya dengan arah Utara sejauh 10 km sampai di titik C. Berapakah jarak AC? Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 80

30 9. Dua buah vektor v 1 = 1 satuan dan v = a satuan bertitik tangkap pada suatu titik. Jika jumlah kedua vektor itu 6 1 satuan, dan membentuk sudut 600. Berapa nilai a? 10. Tiga buah vektor bertitik tangkap sama dan sebidang. v 1 = 16 satuan; v = 8 satuan. Sudut antara v 1 dan v adalah Jika resultan ketiga vektor tersebut adalah nol. Berapakah besarnya v 3 dan berapa besar sudut yang dibentuk oleh v 1 dan v 3? 11. Gambarkan : a. A + B - 3 C b. C - 1 ( B - A ) 1. Empat buah vektor bertitik tangkap di titik 0 pada susunan salib sumbu Cartesius. v 1 berimpit dengan sumbu x + besarnya 3 satuan v membentuk sudut 45 0 dengan sumbu x + besarnya 4 satuan, v 3 besarnya 5 satuan dan membentuk sudut dengan sumbu x + dan v 4 besarnya 6 satuan, membentuk sudut 40 0 dengan sumbu x +. Gambarkan resultan keempat gaya tersebut dan hitung besarnya. (v 6 =,45 ; v 3 = 1,73 ; v = 1,41) 13. Lima buah vektor bertitik tangkap di 0 pada koordonat kartesius. Sudut yang dibentuk oleh masing-masing vektor dengan sumbu x + serta besar vektor tersebut adalah sebagai berikut : v satuan v satuan v satuan v satuan v satuan Tentukan resultan dari kelima vektor tersebut. 14. Dua buah gaya F 1 dan F saling membentuk sudut 600. Resultan kedua gaya tersebut 8 N. Jika F 1 : F = 5 : 3 maka berapa besar masing-masing F 1 dan F tersebut? 15. Dua buah vektor gaya F 1 dan F bertitik tangkap sama masing-masing sebesar 8 N dan 3 N saling mengapit sudut 600, tentukan selisih kedua vektor gaya tersebut! Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 81

31 16. Dua buah vektor gaya F 1 dan F saling membentuk sudut 10 0 akan memberikan resultan = 5 N. Jika sudut antara F 1 dengan resultan gaya adalah Tentukan besar vektor gaya F 1 dan F! 17. Sebuah titik A ( 0,4 ) dan sebuah titik B ( 3,4 ) pada sisitem koordinat cartesius. Jika a = OA dan b = OB, maka carilah : a. Besar vektor a b. Besar vektor b c. Besar penjumlahan vektor a dan b d. Besar pengurangan vektor a dan b 18. Tiga gaya K 1, K dan K 3 bekerja pada sebuah titik dan besar K 1 = 10 N, K = 5N dan K 3 = 5V3. Jika sudut K 1 = 0 0 terhadap sumbu x ; K = 10 0 terhadap K 1 ; K 3 = 90 0 terhadap K. Berapa besar resultan ketiga gaya tersebut. 19. Dua buah vektor A = i + 3 j + 4 k dan B = i - j + 3 k a. Tentukan besar tiap vektor. b. Tulis pernyataan untuk jumlah vektor A+B dengan menggunakan vektor satuan. c. Tentukan besar dan arah jumlah vektor A+B d. Tulis pernyataan untuk selisih vektor A-B dengan menggunakan vektor-vektor satuan. e. Tentukan besar dan arah selisih vektor A-B f. Tentukan A B g. Tentukan A x B 0. Tentukan sudut apit antara vektor a = i + 3 j + 4 k dan B = - i - j + k! Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 8

32 Glosarium Cara Analitis = cara menjumlahkan vektor-vektor dengan menyatukan semua vektor dalam satu titik tangkap di pangkal koordinat dan menguraikannya menjadi komponen mendatar dan vertikal. Kemudian menghitung resultannya dengan teorema pithagoras. Cara Grafis = cara menjumlahkan vektor-vektor dengan menggambarkan kemudian mengukur atau menghitung resultannya. Cara Jajaran Genjang = salah satu cara grafis dengan mempertemukan vektorvektor pada satu titik tangkap dan membuat vektor-bayangannya. Kemudian menghubungkan titik tangkap dengan perpotongan bayangan itu. Cara Poligon = salah satu cara grafis denganmempertemukan ujung dan pangkal tiap-tiap vektor. Kemudian menghubungkan pangkal mula-mula dengan ujung vektor akhir. Cara Segitiga = salah satu cara grafis dengan mempertemukan vektor-vektor pada satu titik tangkap, dan menghubungkan ujung-ujung kedua vektor. Perkalian Silang (cross product) = cara perkalian vektor-vektor yang menghasilkan bentuk vektor. Perkalian Titik (dot product) = cara perkalian vektor-vektor yang menghasilkan bentuk skalar. Resultan vektor = penjumlahan vektor-vektor. Skalar = besaran yang hanya memiliki arah. Titik Tangkap = titik pertemuan pangkal vektor-vektor. Vektor = besaran yang memiliki besar dan arah. Vektor Satuan = vektor yang besarnya satu meliputi i, j, k. Indeks Subjeks Halaman Analitis 59 Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 83

33 Determinan 66 Grafis 57 Jajaran Genjang 58 Perkalian Cross 66 Perkalian Titik 64 Poligon 57 Resultan 58 Segitiga 58 Vektor 56 Vektor Satuan 64 Indeks Author Halaman Alonso & Finn 57 Bresnick 59 Daftar Pustaka Alonso, Marcelo & Edward J. Finn (199), Dasar-dasar Fisika Universitas, Edisi Kedua, Jakarta, Penerbit Erlangga. Bresnick, Stephen D. (00), Intisari Fisika, Jakarta, Hipokrates. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 84