5. Tranformai Integral dan Peramaan Integral 5.. Tranformai Integral 5.. Tranformai Laplace 5.3. Tranformai Fourier 5.4. Peramaan Integral
5.. Tranformai Integral Di dalam Fiia Matematia ita ering menjumpai paangan fungi yang dihubungan bb: b g α f t K α, t dt a Fungi gα diebut tranformai integral dari ft dengan ernel Kα,t. Mapping fungi ft di ruang-t dari fungi gα di ruang-α.
Mengapa ita butuh tranformai integral?? Karena dalam banya au maalah lebih mudah dieleaian dengan cara tranformai dan inveri. Kita membutuhan repreentai dalam ruang lain. Contoh di fiia: watu freueni ruang real ruang momentum
Problem aal uah Solui problem aal Tranformai integral Invere tranformai Problem di ruang tranformai relatif mudah Solui di ruang tranformai
dt e t f g t i α π α dt e t f g t α α dt t tj t f g b a n α α dt t t f g b a α α Satu diantara tranformai yang terpenting Fourier Ada tiga lainnya: Tranformai Laplace: Tranformai Hanel Fourier-Beel Tranformai Mellin
5.. Tranformai Laplace Tranformai Laplace f atau L dari Ft didefiniian: f L{ F t} Beberapa fungi ederhana: a a lim e t F t dt e t F t dt Ft, t > L{} e dt t Ft e t, t > L{ e t } e t e t dt,untu >
} {coh t L + + } {inh t L + 3 Fungi hiperboli inu dan oinu Karena: coh t ½ e t + e -t dan inh t ½ e t - e -t Maa dan
4 Fungi inu dan oinu biaa dengan menggunaan: co t coh it dan in t i inh it dan diperoleh: L{co t} L{in t} + + 5 Ft t n L t! { } t n n t e t dt +
Tabulai: Ft f e t coh t inh t co t + in t t n n! n+ + Tabel lengap dapat dilihat di Arfen
Contoh oal:. Carilah Ft bila f f f + Jawab: Fungi f dapat diuraian menjadi: A B + C + + dengan ubtitui bali, diperoleh A, B -, C, ehingga: + dengan demiian invere f menjadi: Ft co t
. Carilah Ft bila f Jawab: Fungi f dapat diuraian menjadi: f A + B + + C + D A A + B B + C dengan ubtitui bali, diperoleh A, B /, C, D/ ehingg + D + C + D
Turunan Tranformai Laplace per-definii: L L t df { F' t} e dt dt integrai bagian: t t { F' t} e F t + e F t dt L{Ft} F alau diteruan L{F t} L{Ft} Ft F dan eterunya: L{F n t} n L{Ft} n- Ft n- F t F n-
Contoh di Fiia: Kau oilator harmoni: A t, y y o, y F y y + ω y Kalau pada peramaan diferenial ita lauan tranformai Laplace: L{ y } ω L{y} L{y} y y ω L{y}
mauan yarat bata, diperoleh: L{ y} y + ω invere tranformai ini menghailan: y y o co ωt eperti yang diharapan Pertanyaan, apabila yarat bata diubah menjadi t, y, y v o apa yang terjadi? Jawab: y v o /ω in ωt, butian!
Sifat-ifat lain fungi Laplace.Subtitui f-a L{e at Ft} butian! Sehingga: L{ e at in t} a + a L{ e at co t} a +. Tranlai e -b f L{Ft-b} butian! 3. Turunan uatu tranformai Turunan e-n: f n L{-t n Ft} butian! 4. Integrai uatu tranformai f x dx F t L t
Contoh au: Oilator Teredam Kau getaran harmoni teredam: mx " ' t + bx t + X t dengan m,,b adalah ontan. Bila ita gunaan ondii iniial XX, X, maa peramaan tranformai menjadi: m[ x X ] + b[ x X ] + x dan x X m + b m + b +
Peramaan terahir dapat dieleaian dengan melengapi uadrat penyebut bb: + + + + 4 m b m m b m m b Apabila fator redaman damping ecil, b <4 m, uu terahir adalah poitif dan ebut ebagai ω / / + ω + + m b m b X x / / / / ω ω ω ω + + + + + + m b m b X m b m b X
Kita gunaan Didapat: dengan } in { a t e L at + } co { a a t e L at + + t m b t e X t X t m b / in co ω ω ω co / ϕ ω ω ω t e X t m b m m b tan ω ω ϕ
RLC Analog Ada eerupaan antara oilator harmoni teredam dengan rangaian RLC I L R C Dari huum Kirchchoff: di q L + RI + dt C Didiferenialan: d I L dt di + R + I dt C mx " t ' + bx t + X t Analog dengan problem meania.
5.3. Tranformai Fourier Secara Matemati tranformai Fourier diembangan dari deret Fourier. Secara detail dapat dilihat di Arfen. g α f t e π iαt dt Invernya: f t π g α e iαt dt
Berbagai macam bentu TF Paangan tranformai Fourier Hf i πft h t e dt h t H f e iπft df g iαx F α f x e dx iαx f x F α e dx π ix f x e dx π f x ix g e d π
Di Meania Kuantum: Paet gelombang, fx, dengan gelombang dalam bilangan gelombang, g f x ix g e d π g ix f x e dx π Lebih lengap: f x, t i xωt g e d π Jadi cuup banya cara penulian tranformai Fourier, pilih alah atu dan haru oniten!
Searang ita lihat enyataan bahwa pada umumnya hail tranformai Fourier adalah fungi omple. H Maa: f πift h t e dt Hf Komple Rf + i If real imaginer dengan H f H f R f + e I iθ f f fae θ f I f arctan R f
Topi-topi teria Teorema Konvolui Repreentai Momentum Peramaan Integral