INTEGRASI VEKTOR Materi pokok pertemuan ke 11: 1. Integral Biasa 2. Integral Garis URAIAN MATERI Sebelum masuk ke integral garis, Anda pelajari dulu mengenai integral biasa dari vektor. Integral Biasa Pada buku kerja 3, kita telah mengetahui hubungan antara perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Kecepatan merupakan turunan dari perpindahan sebagai fungsi waktu. Percepatan merupakan turunan kecepatan sebagai fungsi waktu. Bagaimana jika kita ingin mencari kecepatan dan perpindahan dengan diketahui percepatannya? Percepatan adalah turunan dari kecepatan, berarti kecepatan adalah anti turunan dari percepatan. Sedangkan, kecepatan adalah turunan dari perpindahan, berarti perpindahan adalah anti turunan dari kecepatan. Oleh karena itu, untuk mencari kecepatan berarti kita harus mengintegralkan percepatan dan untuk mencari perpindahan berarti kita harus mengintegralkan kecepatan. Perhatikan definisi integral biasa dari fungsi vektor, sebagai berikut. Definisi Integral Biasa Misalkan, dimana sebuah vektor yang bergantung pada variabel atau parameter t dan kontinu dalam suatu selang yang ditentukan. Maka, integral tak tentu dari didefinisikan sebagai berikut. 99
Jika terdapat sebuah vektor, sehingga maka : dimana adalah vektor konstanta. Sedangkan integral tentu dengan batas antara dan t, dapat ditulis Jadi, misalkan fungsi percepatan diberikan oleh, yang bergantung pada parameter t (waktu). Maka, kecepatan adalah integral dari percepatan diberikan oleh. Setelah Anda mempelajari integral biasa dari fungsi vektor, selanjutnya Anda pelajari integral garis dari fungsi vektor. Integral Garis Dalam buku kerja 2 telah dijelaskan bahwa usaha merupakan hasil dari perkalian titik antara gaya yang dilakukan dengan perpindahan yang terjadi. Rumusnya adalah Selanjutnya, coba perhatikan gambar berikut. B A objek 100
Apa yang bisa Anda kemukakan dari gambar tersebut? Ada objek yang bergerak dari titik A ke titik B namun objek tersebut bergerak tidak lurus. Jadi, jika gaya yang diberikan berubah besar dan arahnya, dan objek bergerak tidak lurus, maka usaha yang dilakukan adalah Jika perubahannya kontinu, maka perumusan di atas berubah menjadi integral untuk perpindahan dari titik a ke titik b sepanjang lintasan C. Usaha yang dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi vektor. Untuk lebih jelasnya, berikut definisi integral garis. Definisi Integral Garis Integral garis dari suatu fungsi vektor sepanjang kurva C yang terdefinisi pada, didefinisikan sebagai berikut. Selanjutnya, perhatikan gambar di bawah ini! A B Objek Gambar di samping tampak bahwa objek bergerak sepanjang lintasan C yang tidak lurus yang berawal dari titik A dan berakhir pada titik B, dimana A=B. Jadi, objek tersebut bergerak sepanjang lintasan tertutup. Jadi, usaha yang diperoleh pada lintasan tertutup di atas adalah 101
CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1 Jika, carilah (a) dan (b) (a) (b) di mana c adalah vektor konstan Contoh 2 Jika dan, hitunglah 102
Contoh 3 Jika, hitunglah dari (0, 0, 0) sampai (1, 1, 1) sepanjang lintasan berikut. (a) (b) Garis lurus dari (0, 0, 0)sampai(0, 0, 1), kemudian sampai (0, 1, 1) dan setelah itu sampai (1, 1, 1) (c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 1) dan (1, 1, 1) (a) Jika, titik (0, 0, 0)dan (1, 1, 1) masing-masing dengan t = 0 dan t = 1 yang diperoleh dengan menggunakan persamaan parameter. Maka Metode lain Sepanjang C,. Maka dan 103
(b) Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) sampai (0, 0, 1), sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 1) sampai (0, 1, 1), sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah Sepanjang garis lurus dari (0, 1, 1) sampai (1, 1, 1), sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah Jadi (c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (1, 1, 1) dalam bentuk persamaan parameter adalah Maka Contoh 4 Carilah usaha yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya yang diberikan oleh sepanjang kurva dari t =0 hingga t =2 104
Jadi, usaha yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya adalah 100/3. LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1 Hitunglah Latihan 2 Percepatan a dari sebuah partikel pada sebarang t diberikan oleh. Jika kecepatan v dan perpindahan r adalah nol pada saat t = 0, carilah v dan r pada sebarang saat. Perhatikan,, maka: Jika v = 0 pada saat t = 0, menyebabkan (*) substitusi ke persamaan (*), sehingga diperoleh 105
Jika v = 0 pada saat t = 0, menyebabkan (**) substitusi ke persamaan (**), sehingga diperoleh Latihan 3 Jika. Hitunglah sepanjang lintasan-lintasan C berikut: (a) dari t = 0 hingga t = 1 (b) garis-garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), kemudian ke (0, 1, 1) dan kemudian ke (2, 1, 1) (c) garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 1) (a) Jika, dari t = 0 dan t = 1. Maka (b) garis-garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), kemudian ke (0, 1, 1) dan kemudian ke (2, 1, 1). Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), sedangkan z berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah 106
Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 1) sampai (0, 1, 1), sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah Sepanjang garis lurus dari (0, 1, 1) sampai (2, 1, 1), sedang berubah dari 0 sampai 2. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah Jadi (c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 1) dalam bentuk persamaan parameter adalah Maka Latihan 4 Jika, hitunglah mengelilingi segitiga C pada gambar berikut (2,1) O (2,0) Sepanjang garis lurus dari (0, 0) ke (2, 0), sedangkan berubah dari 0 sampai 2. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah 107
Sepanjang garis lurus dari (2, 0) ke (2, 1), sedangkan berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah Sepanjang garis lurus dari (2, 1) ke (0, 0), dalam bentuk persamaan parameter adalah Maka Jadi, LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Misalkan,, dan. Hitunglah 108
Latihan 2 Hitunglah. Jika dan 109
Latihan 3 Percepatan a dari sebuah benda pada sebarang titik saat t diberikan oleh a = - g j, di mana g sebuah konstanta. Pada saat t = 0 kecepatan diberikan oleh dan perpindahan = 0. Carilah v dan r pada sebarang saat t > 0. Ini menggambarkan gerak sebuah peluru yang ditembakkan dari sebuah meriam yang membuat sudut terhadap sumbu positif dengan kecepatan awal yang besarnya. Latihan 4 Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya sepanjang (a) garis lurus dari (0, 0, 0) ke (2, 1, 3) (b) kurva ruang dari t = 0 ke t = 1 (c) Kurva yang didefinisikan oleh dari 110
Latihan 5 Hitunglah di mana dan C adalah kurva tertutup dalam bidang, dari 111
Latihan 6 Hitunglah jika mengelilingi kurva tertutup C dari gambar di bawah y Y 2 =x (1,1) Y=x 2 0 x 112
Latihan 7 Jika. Hitunglah sirkulasi A mengelilingi sebuah lingkaran C dengan pusat di titik asal dan jari-jari 2, jika C dilintasi dalam arah positif. 113
Latihan 8 Diketahui (a) Buktikan bahwa F adalah medan vektor konservatif (b) Carilah potensial skalar untuk F 114
Kunci Jawaban Latihan 1 : 12 Latihan 2 : 10 Latihan 3 : Latihan 4 : (a) 16, (b) 14,2 (c) 16 Latihan 5 :, jika C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah jarum jam) Latihan 6 : 2/3 Latihan 7 : 8 Latihan 8 : Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah 115
Materi pokok pertemuan ke I1: 3. Integral permukaan URAIAN MATERI Integral Permukaan Pernahkah Anda terpikir dari manakah kita mendapat air bersih? Ya, kita mendapat air tersebut dari PDAM. Bagaimana PDAM menyalurkan air tersebut? Agar air dapat sampai ke tempat kita, air disalurkan melalui pipa. Air yang mengalir melalui pipa tersebut memiliki kecepatan. Kita dapat mengetahui berapa volume air yang mengalir melewati pipa tersebut dengan menggunakan rumus integral permukaan. Semakin besar kecepatan yang dimiliki air tersebut, maka semakin besar pula volume air yang mengalir tersebut. Jadi, misalkan = kecepatan pada setiap titik dari fluida yang bergerak, dimana air adalah salah satu jenis fluida Volume dari fluida yang melewati dalam detik = volume yang terkandung dalam silinder dengan luas alas dan tinggi atau panjang Maka volume per detik dari fluida yang melewati Volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S adalah integral permukaan S dari vektor Berikut definisi integral permukaan Definisi Integral Permukaan Misalkan S suatu permukaan 2 sisi yang demikian mulus dan adalah vektor normal satuan positif, maka fluks (massa yang mengalir per satuan waktu) dari melalui permukaan S adalah 116
yang disebut integral permukaan. Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung integral lipat 2 dari proyeksinya. Misalkan permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, maka integral permukaan diberikan oleh Sedangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integral permukaannya adalah Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaan diberikan oleh: CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1 Hitunglah dimana, S adalah bagian dari bidang yang terletak pada oktan pertama dan n adalah normal satuan pada S. Suatu normal untuk S adalah, sehingga 117
maka Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang permukaan yang diinginkan adalah. Sehingga integral 118
Contoh 2 Hitunglah oleh bidang-bidang melalui permukaan S dari kubus satuan yang dibatasi C B D E 0 A G F Bidang DEFG :. Maka Bidang ABCO :. Maka Bidang ABGF :. Maka 119
Bidang OGDC :. Maka Bidang BCDE :. Maka Bidang AFGO :. Maka = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3 LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! 120
Latihan 1 Hitung jika dan S adalah permukaan bidang dalam oktan pertama yang dipotong oleh bidang Suatu normal untuk S adalah, sehingga maka Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang permukaan yang diinginkan adalah. Sehingga integral 121
Latihan 2 Hitung jika dan S adalah permukaan bidang dalam oktan pertama Suatu normal untuk S adalah, sehingga maka Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang permukaan yang diinginkan adalah Sehingga integral 122
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Hitunglah dimana, S adalah bagian dari bidang yang terletak pada oktan pertama dan n normal satuan pada S. 123
Latihan 2 Jika dan S adalah permukaan silinder parabolik dalam oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang y=4 dan z=6, hitunglah 124
Latihan 3 Hitunglah melalui seluruh permukaan S dari daerah yang dibatasi oleh silinder, 125
Latihan 4 Hitunglah integral jika dan S adalah permukaan yang dibatasi oleh Latihan 5 Hitunglah jika,, dan S adalah permukaan 2x+y+2z=6 yang dibatasi oleh x=0, x=1, y=0, dan y=2, maka 126
127
Kunci Jawaban Latihan 1 : 27/4 Latihan 2 : 132 Latihan 3 : Latihan 4 : Latihan 5 : Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah 128
Materi pokok pertemuan ke I3: 4. Integral Volume URAIAN MATERI Integral volume Pernahkah terpikir berapa banyak air yang dapat ditampung oleh sebuah bak mandi? Anda dapat mencarinya dengan menggunakan integral volume. Berikut definisi integral volume Integral Volume Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang menutup volume V, maka dinyatakan sebagai limit dari jumlah. Berikut penjelasannya: Bagi ruang V ke dalam M buah kubus-kubus dengan volume seperti diperlihatkan pada gambar berikut. 129
Misalkan sebuah titik dalam kubus ini. Definisikan Pandang jumlah yang diambil untuk semua kubus yang mungkin dalam ruang yang ditinjau. Limit dari jumlah ini, bila sehingga kuantitas-kuantitas terbesar akan mendekati nol, dan jika limit ini ada, dinyatakan oleh adalah integral volume. Agar lebih paham, pelajari contoh-contoh berikut! CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1 Misalkan. Hitunglah dimana adalah ruang yang dibatasi oleh permukaan-permukaan. 130
Integral untuk komponen i Integral untuk komponen j Integral untuk komponen k 131
Maka, Contoh 2 Hitung di mana,v adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh,. 132
Jadi, LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1 Hitung di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh dengan 1 0 1 1 133
Latihan 2 Hitung silinder, di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh dan bidang-bidang 134
Latihan 3 Jika, hitunglah di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang-bidang 135
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh permukaan, yang terletak dikuadran pertama jika diketahui. 136
Latihan 2 Hitung integral lipat tiga di mana yang dibatasi oleh bidang 137
Latihan 3 Jika, hitunglah di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang-bidang 138
Latihan 4 Tentukanlah volume dan pusat daerah R yang dibatasi oleh silinder parabolik dan bidang-bidang. 139
140
Kunci Jawaban Latihan 1 : Latihan 2 : 11/3 Latihan 3 : Latihan 4 : 3/2 Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah 141