Extra 4 Pengantar Teori Modul

Extra 4 Pegatar Teor odul Apabla selama dkealka suatu kosep aljabar megea ruag vektor, maka modul merupaka perumuma dar ruag vektor. Pada modul, syarat skalar dperumum mejad eleme pada suatu rg da buka lapaga. Dega demka ruag vektor merupaka suatu kasus khusus dar modul da karea sfat modul yag lebh luas dar ruag vektor maka ada berbaga sfat-sfat trval pada ruag vektor mejad o-trval pada modul. Utuk megawal pembahasa megea modul, berkut dberka defs tetag modul kaa da modul kr.. Pegerta Umum odul da Submodul Defs E4. (odul Kr) Dberka grup Abela (, + ) da rg ( R, +, ). Serta dberka pula operas ber (dsebut pergadaa skalar) *:R. Hmpua dsebut modul kr atas R (dotaska R-odul), jka memeuh ketga aksoma pergadaa skalar berkut : r*( m + m ) = r* m + r* m, m, m 2 r R. 2 2 ( r + r )* m= r * m+ r * m, m r, r2 R 2. 2 2 ( r r )* m= r *( r * m), m r, r2 R. 3. 2 2 Cotoh E4.2 Dberka ruag vektor 3 da hmpua seluruh matrks blaga real berukura 3x3 a a2 a3 3x3 = a2 a22 a 23 aj a3 a32 a 33 Dberka pula operas ber vektor. *: 3x3 3 3 sebaga operas pergadaa matrks dega Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009.

Dketahu 3 adalah grup Abela da 3x3 adalah rg. Serta operas pergadaa matrks dega vektor adalah operas ber. Aka dtujukka bahwa ketga aksoma dpeuh. egguaka sfat pergadaa matrks dega vektor :. Utuk sebarag matrks a a2 a3 a a a a3 a32 a 33 2 22 23 3x3 da vektor x y x, y 2 2 x 3 y 3 3 a a2 a3 x + y a a2 a3 x a a2 a3 y a a a x + y = a a a x + a a a y 2 22 23 2 2 2 22 23 2 2 22 23 2 a3 a32 a 33 x3 + y 3 a3 a32 a 33 x 3 a3 a32 a 33 y 3 2. Utuk sebarag matrks a a a b b b a a a b b b a a a b b b 2 3 2 3 2 22 23, 2 22 23 3x3 3 32 33 3 32 33 da vektor x x 2 x 3 3 a + b a2 + b2 a3 + b3 x a a2 a3 x b b2 b3 x a + b a + b a + b x = a a a x + b b b x 2 2 22 22 23 23 2 2 22 23 2 2 22 23 2 a3 + a3 a32 + b32 a33 + b 33 x 3 a3 a32 a 33 x 3 b3 b32 b 33 x 3 3. Utuk sebarag matrks a a a b b b a a a b b b a a a b b b 2 3 2 3 2 22 23, 2 22 23 3x3 3 32 33 3 32 33 da vektor x x 2 x 3 3 a a2 a3 b b2 b3 x a a2 a3 b b2 b3 x a a a b b b x = a a a b b b x 2 22 23 2 22 23 2 2 22 23 2 22 23 2 a3 a32 a33 b3 b32 b 33 x3 a3 a32 a 33 b3 b32 b 33 x 3 Akbatya 3 = 3x3 odul. Dperhatka bahwa operas pergadaa 3 dega 3x3 pada cotoh datas dapat berlaku karea vektor dar 3 drepresetaska sebaga matrks vertkal. Bagamaa jka vektor pada 3 drepresetaska sebaga matrks horzotal? Jelas bahwa jka vektor pada drepresetaska sebaga matrks horzotal maka operas pergadaa pada cotoh datas tdak Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 3 2

dapat berlaku. Namu 3 dega vektorya sebaga matrks horzotal tetap dapat mejad modul atas rg 3x3 jka operas pergadaaya dubah, yak matrks doperaska dega vektor dar ss kaa. Dar cotoh tersebut dapat dyataka suatu defs baru. Defs E4.3 (odul Kaa) Dberka grup Abela (, + ) da rg ( R, +, ). Serta dberka pula operas pergadaa skalar *: R. Hmpua dsebut modul kaa atas R (dotaska odul-r), jka memeuh ketga aksoma pergadaa skalar berkut : ( m + m )* r = m * r+ m * r, m, m 2 r R. 2 2 2. m*( r r2) m* r m* r2 + = +, m r, r2 R 3. ( ) m*( r r ) = m* r * r, m r, r2 R. 2 2 Aka tetap tdak meutup kemugka bahwa operas pergadaa skalar pada modul dapat berlaku dar kr da sekalgus dar kaa. Sfat modul dega operas pergadaa tersebut dapat dyataka sebaga defs. Defs E4.4 (B-odul) Dberka grup Abela (, + ) da rg ( R, +, ). Jka adalah modul kr sekalgus modul kaa atas R maka dsebut B-odul. Cotoh E4.5 Hmpua seluruh blaga bulat merupaka B-odul dega rg da operas pergadaa perkala blaga bulat. Jka rg pada modul merupaka rg dega eleme satua, maka dapat dmuculka suatu defs baru. Defs E4.6 (odul Uter Kr) Dketahu R-odul da R rg dega eleme satua. odul dsebut modul uter kr jka da haya jka utuk setap m berlaku R * m= m dega R merupaka eleme satua d R. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 3

Defs E4.7 (odul Uter Kaa) Dketahu odul-r da R rg dega eleme satua. odul dsebut modul uter kaa jka da haya jka utuk setap m berlaku m* R satua d R. = m dega R merupaka eleme Cotoh E4.8 Hmpua seluruh blaga bulat merupaka B-odul Uter dega rg da operas pergadaa perkala blaga bulat. Utuk mempermudah peulsa, otas a b aka dtuls ab. Harap dperhatka bahwa utuk seterusya pembahasa megea modul d tulsa megacu kepada modul uter kr da dega pealara yag serupa pembahasa dapat dterapka juga pada modul uter kaa. Selajutya, aka dperkealka suatu struktur dar suatu modul yag dsebut submodul. Defs E4.9 (Submodul) Dketahu R-odul, R rg dega eleme satua, da N, maka N dsebut submodul dar jka da haya jka ketga aksoma berkut dpeuh:. N merupaka subgrup Abela dar 2. Operas pergadaa skalar yag berlaku pada juga berlaku pada N 3. N memeuh aksoma-aksoma modul uter. Jka N merupaka submodul dar, maka N dapat dyataka sebaga R-odul. Cotoh E4.0 Pada odul, hmpua 3 merupaka submodul dar. Utuk selajutya, rg R pada R-odul dasumska sebaga rg dega eleme satua. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 4

Teorema berkut dapat dperguaka utuk meelaah apakah suatu hmpua merupaka submodul. Teorema E4. Dketahu R-odul da N, maka N dsebut submodul dar jka da haya jka memeuh dua syarat berkut: Bukt. ( ). 2 N,, 2 2. r N, N r R N Dketahu bahwa N adalah submodul dar modul. Dega demka N adalah subgrup Abela dar da akbatya utuk setap, 2 N, berlaku 2 N. Karea operas pergadaa skalar yag berlaku pada juga berlaku pada N, maka utuk setap N da r R, berlaku r N. ( ) Karea utuk setap, 2 N berlaku 2 N, maka meurut Teorema.9 N merupaka subgrup Abela dar. Selajutya, karea r N utuk setap N da r R maka operas pergadaa skalar d juga berlaku d N. Terakhr, karea N merupaka hmpua baga dar da operas pergadaa skalar d juga berlaku d N maka aksoma-aksoma modul uter d juga berlaku d N. Jad, N merupaka submodul dar. Jka dketahu dua submodul dar suatu modul, maka dapat dbetuk submodul baru dar kedua submodul tersebut. Teorema berkut meyataka hal tersebut. Teorema E4.2 Dketahu R-odul. Jka H da K merupaka sebarag submodul dar, maka kedua sfat berkut berlaku:. H K merupaka submodul dar 2. H + K merupaka submodul dar. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 5

Bukt. () Aka dtujukka H K adalah submodul dar, yatu H K memeuh Teorema E4.. Dambl sebarag, 2 H K maka, 2 H da, 2 K. Karea H da K adalah submodul, maka 2 H da 2 K. Akbatya 2 H K. Selajutya, dambl sebarag r R, karea H da K adalah submodul maka r, r 2 H da r, r 2 K. Akbatya r, r2 H K. Jad, terbukt bahwa H K merupaka submodul dar. (2) Aka dtujukka H + K adalah submodul dar, yatu H + K memeuh Teorema E4.. Dperhatka bahwa H K { h k h H da k K} = h+ k da 2 = h2 + k2 utuk suatu h, h2 + = +. Dambl sebarag, 2 H + K, maka H da k, k2 submodul maka h h2 H da k k2 K. Akbatya 2 2 2 2 2 K. Karea H da K adalah = ( h + k ) ( h + k ) = ( h h ) + ( k k ) H + K. Selajutya, dambl sebarag r R. Karea H da K adalah submodul, maka rh r = r( h + k ) = rh + rk H + K. Jad, terbukt bahwa H H da rk, K. Akbatya + K merupaka submodul dar. Cotoh E4.3 Dberka rg polomal dega peubah x da koefseya blaga bulat, [ x]. Karea adalah rg dega eleme satua maka [ x] juga rg dega eleme satua. Karea rg dega eleme satua adalah grup Abela maka [ x] adalah -odul dega operas pergadaa skalar dega polomal. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 6

Dambl sub-hmpua dar [ x], yatu [ x] = ax a. Aka dtujukka bahwa = 0 [ x] adalah submodul dar [ x]. Dambl sebarag x, y [ x] maka x = ax da = 0 y = bx utuk a, b = 0, sehgga ( ) = 0 = 0 = 0 utuk suatu x y = a x bx = a b x a b, akbatya x y [ x]. Utuk sebarag m da x = ax, = 0 utuk suatu ma = 0 = 0 mx = m a x = ( ma ) x, akbatya mx [ x]. Dperhatka bahwa 2 [ x] da 5 [ x] merupaka submodul dar [ x]. Dega demka meurut Teorema E4.2 berlaku:. 2 [ x] 5 [ x] = 0 [ x] 2. 2 [ x] + 5 [ x] = [ x] Dperhatka bahwa 2 [ x] 5 [ x] bukalah submodul dar. Karea utuk 2x 2 [ x] da 5x 5 [ x], 5x 2x= 3x 2 [ x] 5 [ x]. Dar defs-defs beserta teorema-teorema datas dapat dperoleh kesmpula sebaga berkut:. Setap rg merupaka modul atas drya sedr, yatu jka R rg maka R R-odul. 2. Jka R dpadag sebaga R-odul, maka setap deal pada R merupaka submodul d R. 3. Setap ruag vektor merupaka modul. Utuk cotoh-cotoh selajutya, submodul pada -odul aka selalu berbetuk dega merupaka blaga bulat. Utuk meujukka kebeara peryataa dapat megguaka sfat Daerah Ideal Utama, yatu setap deal pada dbagu oleh tepat satu eleme. Terkat dega pembagu suatu submodul, subbab selajutya aka membahas pembagu suatu submodul. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 7

2. odul Faktor da Homomorfsma salka dketahu R-odul. Karea grup Abela, maka sebarag subgrup dar juga merupaka grup Abela. salka N merupaka sebarag subgrup dar. Karea N subgrup Abela, maka N merupaka subgrup ormal terhadap, yatu an = Na utuk setap a. Dega demka meurut Teorema E3.7, N = { a+ N a } merupaka grup terhadap operas ber ( a+ N) + ( b+ N) = ( a+ b) + N. Karea grup Abela, maka jelas bahwa ( a+ N) + ( b+ N) = ( a+ b) + N = ( b+ a) + N = ( b+ N) + ( a+ N). Jad, N merupaka grup Abela terhadap operas pejumlaha koset. Teorema E4.4 Dketahu R-odul, N sebarag submodul dar, da R rg dega eleme satua, maka N R -odul terhadap operas pergadaa koset r( a+ N) = ( ra) + N utuk setap r R da an N. Selajutya, N dsebut dega modul faktor. Bukt. Aka dtujukka bahwa operas pergadaa koset datas merupaka operas ber. Pertama aka dtujukka bahwa operas terdefs dega bak. Dambl sebarag a+ N, b+ N N dega a+ N = b+ N. egguaka sfat kesamaa dua koset dperoleh a b N. Karea N submodul, maka utuk sebarag r R berlaku, ( ) r a b = ra rb N. Dega kata la ( ra) + N = ( rb) + N, sesua dega defs operas pergadaa koset r( a+ N) = r( b+ N). Terbukt operas terdefs dega bak. Kedua, operas tertutup karea ra utuk sebarag r R da a da dega demka berlaku r( a+ N) = ( ra) + N N. Jad, operas pergadaa koset merupaka operas ber. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 8

+ + da rr,, r2 Terakhr, dberka sebarag a N, b N N operas pergadaa koset memeuh aksoma pergadaa skalar :. r a+ N + b+ N = r a+ b + N (( ) ( )) (( ) ) = ( r( a+ b) ) + N = ( ra + rb) + N = ( ra + N ) + ( rb + N ) = r( a+ N) + r( b+ N) R. Aka dtujukka bahwa 2. 3. 4. ( ) ( r+ r2)( a+ N) = ( r+ r2) a + N = ( ra + ra 2 ) + N = ( ra + N) + ( ra 2 + N) = r ( a+ N) + r ( a+ N) 2 ( ) ( rr 2)( a+ N) = ( rr 2) a + N = ( r( ra 2 )) + N = r( ra 2 + N) = r r ( a+ N) ( ) ( ) ( ) 2 a+ N = a + N R R = a+ N. Jad, terbukt bahwa N merupaka modul atas R. Cotoh E4.5 Pada -odul dapat dplh submodul 6 da dbetuk grup abela { } 6 = 0+ 6, + 6, 2+ 6, 3+ 6, 4+ 6, 5+ 6. Hmpua 6 merupaka modul atas dega operas pergadaa skalar r( a ) ( ra) a + 6 6. + 6 = + 6 utuk setap r da Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 9

odul faktor merupaka salah satu sfat yag dguaka pada pembahasa megea teorema utama homomorfsma. Berkut dberka pegerta megea homomorfsma, yatu suatu pemetaa dar suatu modul ke modul la yag megawetka sfat-sfat operas pergadaa skalar d kedua modul. Defs E4.6 (Homomorfsma odul) Dketahu da ' adalah R-odul. Pemetaa φ : ' dsebut homomorfsma modul jka da haya jka memeuh kedua syarat berkut: ( m + m ) = ( m ) + ( m ), utuk setap m, m2. φ 2 φ φ 2 2. φ( rm) = r φ( m), utuk setap m da r R. Cotoh E4.7 Dketahu da [ x] keduaya merupaka -odul. Pemetaa φ : [ x] 3 ( a) ax φ = merupaka homomorfsma modul, karea φ( a+ b) = a+ b x = ax + bx = φ( a) + φ( b), utuk setap ab,. ( ) 3 3 3 3 2. φ ( ) ( ) dega defs ( ra) = ra x = r ax = r φ( a), utuk setap a da r. Berkut dberka lemma megea sfat-sfat homomorfsma modul. Lemma E4.8 Dketahu da keempat sfat berkut berlaku: ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul, maka. Jka 0 merupaka eleme dettas d, maka φ ( 0 ) = 0 ' 2. Jka a, maka φ( a) = φ( a) 3. Jka H merupaka sumodul dar, maka φ ( H ) merupaka submodul dar ' 4. Jka K ' merupaka submodul dar ', maka φ ( K ') merupaka submodul dar. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 0

Bukt. () salka 0 merupaka eleme dettas d, yatu a+ 0 = 0 + a= a utuk setap a. Karea a 0 0 a a + = + =, maka berlaku φ( a 0 ) φ( 0 a) φ( a) homomorfsma, maka dperoleh:. φ( a 0 ) φ( a) φ( 0 ) φ( a) + = + = da. φ( 0 a) φ( 0 ) φ( a) φ( a) + = + =. Jad, dperoleh φ( a) φ( 0 ) φ( 0 ) φ( a) φ( a) ( 0 ) 0 ' + = + =. Karea φ + = + = utuk setap a da dega demka φ = yatu eleme dettas d '. (2) Dambl sebarag a da dega demka dperoleh a+ ( a) = ( a) + a= 0. Karea a+ ( a) = ( a) + a= 0, maka berlaku φ( a ( a) ) φ( ( a) a) φ( 0 ) homomorfsma da meurut () berlaku ( 0 ) 0 '. φ( a+ ( a) ) = φ( a) + φ( a) = 0 ' da. φ( ( a) + a) = φ( a) + φ( a) = 0 '. Jad, dperoleh φ( a) φ( a) φ( a) φ( a) 0 ' berlaku φ( a) φ( a) =. + = + =. Karea φ φ =, maka dperoleh: + = + = utuk setap a da dega demka (3) Dambl sebarag ab, φ ( H), maka a = φ ( x) da b φ ( y) Dperhatka bahwa a b φ( x) φ( y) φ( x) φ( y) φ( x y) = utuk suatu x, y H. = = + =. Karea H submodul da x, y H, maka meurut Teorema E4. berlaku x y H da dega demka ( ) φ( ) a b= φ x y H. Dambl sebarag r R da dperhatka bahwa ra r φ( x) φ( rx) = =. Karea H submodul, maka meurut Teorema E4. berlaku rx H da dega demka = φ( ) φ( ). Jad, meurut Teorema E4. terbukt bahwa ( H ) ra rx H φ merupaka submodul. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009.

(4) Dambl sebarag ab, φ ( K' ), maka φ ( a) = k da ( b) k2 φ = utuk suatu k, k2 K'. Karea K ' submodul, maka meurut Teorema E4. berlaku k k 2 K' da dega demka = φ( ) φ( ) = φ( ). Sehgga berlaku a b φ ( K' ) k k a b a b K 2 '. Dambl sebarag r R da dperhatka bahwa rk = r φ( a) = φ( ra). Karea K ' submodul, maka meurut Teorema E4. berlaku rk = φ ( ra) K da dega demka ra φ ( K ') ' Teorema E4. terbukt bahwa φ ( K ') merupaka submodul.. Jad, meurut Berkut dberka defs megea Kerel da Image suatu homomorfsma beserta sfatsfatya. Defs E4.9 (Kerel da Image Homomorfsma) Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul, maka. Kerel φ = { m φ( m) 0 ' } = da 2. Image φ = { ( m) ' m } φ. Selajutya, kerel φ dotaska ker ( φ ). Cotoh E4.20 Pada Cotoh E4.7 dketahu ker ( ) { 0} φ = da mage( ) { ax 3 a } φ =. Lemma E4.2 Dketahu da Bukt. ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul, maka. ker ( φ ) merupaka submodul dar da 2. mage( φ ) merupaka submodul dar '. Dperhatka bahwa ker ( φ ) buka hmpua kosog, karea 0 ker( φ ) sebarag k, k ker( φ ) 2. Karea φ adalah homomorfsma modul maka berlaku,. Selajutya, dambl Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 2

φ( k k ) φ( k ) φ( k ) 0 0 0 = = = da dega demka k k ( φ ) 2 2 ' ' ' 2 ker. Terakhr dambl sebarag r R da k ker ( φ ). Karea φ adalah homomorfsma modul maka φ( rk) r φ( k) r0 0 = = = da dega demka rk ker ( φ ) ' ' ker ( φ ) merupaka submodul dar.. Jad, meurut Teorema E4. Dperhatka bahwa mage( φ ) buka hmpua kosog karea 0 mage( φ ) dambl sebarag xy, mage( φ ) '. Selajutya,. aka x = φ( m ) da y = φ( m2 ) utuk suatu m, m 2. Karea φ adalah homomorfsma modul maka x y = φ( m) φ( m2) = φ( m m2). Karea modul, maka m m 2 da dega demka x y φ( m m ) mage( φ ) =. Terakhr 2 dambl sebarag r Rda x mage( φ ), maka x = φ( m) utuk suatu m. Karea φ adalah homomorfsma modul, maka rx = rφ( m) = φ( rm). Karea modul, maka rm da dega demka rx = φ ( rm) mage( φ ). Jad, meurut Teorema E4. ( ) submodul dar '. mage φ merupaka Defs megea somorfsma berkut, aka megawal pembahasa megea Teorema Utama Homomorfsma odul. Defs E4.22 (Isomorfsma) Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul. Jka φ adalah pemetaa bjektf, yatu φ pemetaa jektf sekalgus surjektf, maka pemetaa φ dsebut somorfsma modul. Cotoh E4.23 Dketahu -odul, maka pemetaa ϕ : merupaka somorfsma modul. dega ϕ ( a) = a, utuk setap a Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 3

Teorema E4.24 Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul dega ker ( φ ) = H. aka pemetaa μ: H ϕ( ) yag ddefska μ( a+ H) = φ( a) utuk setap a+ H H merupaka somorfsma modul. Bukt. Bukt sejala dega pembukta Teorema E3.3. Teorema E4.25 Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul dega ker ( ) φ = H. aka pemetaa : H setap a merupaka homomorfsma surjektf. Bukt. Bukt sejala dega pembukta Teorema E3.4. γ yag ddefska ( ) γ a = a+ H utuk Dar Teorema E4.24 da E4.25, dapat dbetuk lagkah-lagkah sebaga berkut:. Dketahu da ' merupaka R-odul 2. Dketahu φ : ' homomorfsma modul 3. Dketahu φ ( ) ' 4. Dar Teorema E4.4, dperoleh ker ( ) φ merupaka R-odul 5. Dar Teorema E4.25, dapat dbetuk suatu homomorfsma surjektf dar ke ker ( φ ) 6. Dar Teorema E4.24, dapat dbetuk suatu somorfsma dar ker ( φ ) ke ( ) φ. Dperhatka lagkah 4, 5, da 6. Jka a, maka utuk memetaka eleme a ke ' melalu suatu pemetaa homomorfsma modul, tdak harus melalu pemetaa φ. Dar lagkah 4, 5, da 6, utuk memetaka eleme a ke ' dapat pula melalu pemetaa γ da μ yag keduaya merupaka pemetaa homomorfsma modul. Pertama, eleme a dpetaka terlebh dahulu ke grup ker ( φ ) melalu pemetaa γ, hasl petaya adalah γ ( a). Selajutya, eleme γ ( a) Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 4

dpetaka ke φ ( ) ' melalu pemetaa μ, hasl petaya adalah μ( γ ( a) ) ( μ γ)( a) Jad, megguaka lagkah-lagkah tersebut eleme a tdak lagsug dpetaka ke pemetaa φ, melaka harus sggah sejeak d modul ker ( ) =. ' melalu φ utuk kemuda dpetaka ke ' melalu pemetaa μ γ. Tetap yag terpetg adalah modul ker ( φ ) da φ ( ) somorfs, yatu ada suatu somorfsma dar ker ( φ ) ke φ ( ). Sfat tersebut dapat dyataka ke dalam sebuah teorema. Teorema E4.26 (Teorema Utama Homomorfsma odul ) Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul, maka terdapat suatu somorfsma modul dar ker ( φ ) ke ( ) φ. Jka φ merupaka pemetaa surjektf aka dperoleh ( ) ' φ = da Teorema E4.26 dapat berubah mejad sepert berkut. Teorema E4.27 Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul yag surjektf, maka terdapat suatu somorfsma modul dar ker ( φ ) ke '. Teorema Utama Homomorfsma odul pada dasarya merupaka kasus khusus dar Teorema Utama Homomorfsma Grup da Rg. Karea tu terdapat juga Teorema ke-2 da ke-3 megea Teorema Utama Homomorfsma odul. Pembukta utuk kedua teorema tersebut serupa dega pembukta utuk Teorema Utama Homomorfsma Grup da Rg. Teorema E4.28 (Teorema Utama Homomorfsma odul 2) Dketahu R-odul serta H da N merupaka sebarag submodul dar, maka terdapat suatu smomorfsma modul dar ( H + N) N ke H ( H N) Bukt. Bukt sejala dega pembukta Teorema E3.2.. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 5

Teorema E4.29 (Teorema Utama Homomorfsma odul 3) Dketahu R-odul serta H da N merupaka sebarag submodul dar. Jka H juga submodul dar N, maka terdapat suatu smomorfsma modul dar N ke ( H) ( N H ). Bukt. Bukt sejala dega pembukta Teorema E3.22. Teorema E4.30 Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul, maka utuk sebarag submodul Bukt. () K ' dar ' berlaku:. Submodul φ ( K ') memuat ( ) ker φ. 2. Jka terdapat submodul H dar yag memuat ker ( φ ) da ( H) K' Karea ( K' ) φ = H. 0 ', eleme dettas d ', termuat pada ' aggota yag dpetaka ke ' φ = maka K ' maka φ ( K ') memuat setap 0. Dega kata la φ ( K ') memuat ( ) ker φ. (2) salka H merupaka submodul dar dega ker ( φ ) H da ( H) K' Karea φ ( H) = K', maka jelas bahwa H φ ( K' ) ( K' ) H φ. Dambl sebarag k K' ( ). Karea φ ( K' ) = H da φ φ ( K' ) = K', maka k φ( h) φ( x) φ ( ). Karea φ( h) = φ( x), maka dperoleh φ( ) φ( ) ' x K ' φ =.. Selajutya, aka dbuktka bahwa = =, utuk suatu h H da h x = 0 K'. Karea φ homomorfsma, dperoleh φ( h) φ( x) = φ( h x). Dega demka, φ ( h x) = 0 ' atau dega kata la h x ker ( φ ). Karea ker ( ) φ H, akbatya h x H. Karea h H Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 6

da h x H h+ h x = h+ h x= x= x H. Karea x H da H, akbatya ( ) ( ) 0 submodul, maka x H. Karea pemlha k sebarag da ( H) K' Jad, karea berlaku H φ ( K' ) da φ ( K' ) H, maka ( K' ) φ =, berakbat ( K' ) φ = H. φ H. Teorema E4.3 (Teorema Korespodes) Dketahu da ' da H, K, serta N merupaka submodul dar. Jka submodul H da K memuat N da berlaku H N Bukt. = K N, maka H = K. Karea N merupaka submodul dar, maka meurut Teorema E4.4 N merupaka R- odul. Dbetuk homomorfsma : N φ, dega defs ( ) φ a = a+ N utuk setap a da jelas bahwa ker ( φ ) = N. Dperhatka bahwa φ merupaka pemetaa surjektf, karea utuk sebarag a+ N N dapat dplh x dega x a = sehgga ( ) φ a = a+ N. Karea H da K merupaka submodul dar da φ merupaka pemetaa surjektf, maka jelas bahwa φ ( H) = H N da φ ( K) = K N. Karea submodul H memuat N ker ( φ ) φ ( H) = H N = K N, maka meurut Teorema E4.32 () berakbat ( K N) ( K N) K =. φ =, maka dperoleh H K = da φ = H. Karea Cotoh E4.32 Pada -odul, aka dtujukka bahwa prma. Dperhatka dahulu bahwa. a + b = d, dega d = gcd ( a, b) 2. a b = c, dega c= lcm ( a, b) m ( m) dega m da salg relatf dega gcd merupaka faktor persekutua terbesar da lcm merupaka kelpata persekutua terkecl. Selajutya, dmsalka N maka gcd ( m, ) = da lcm ( m, ) = da H = m. Karea m da salg relatf prma, = m. Dega demka H + N = m + = da Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 7

( ) H N = m = m. Sehgga meurut Teorema Utama Homomorfsma odul 3 H + N H m. dperoleh ( ) N ( H N) ( m) 3. Eleme Tors da Ahlator Sesua defs modul, suatu rg dega eleme satua dapat dpadag sebaga modul atas drya sedr. Dperhatka pada kasus ketka rg tersebut memuat eleme pembag ol. Igat kembal bahwa eleme pembag ol pada suatu rg adalah eleme a da b yag keduaya tdak ol dega ab = 0. Keberadaa eleme pembag ol aka memuculka sfat pada modul yag tdak terdapat pada ruag vektor. Hal tersebut dkareaka skalar pada ruag vektor merupaka eleme lapaga yag setap elemeya buka merupaka pembag ol. Defs E4.33 (Eleme Tors) Dberka R-odul, eleme m dsebut eleme tors jka da haya jka terdapat r { } R 0 R sehgga 0 rm =. Dega demka 0 merupaka eleme tors. Defs E4.34 (odul Tors) Dberka R-odul. odul dsebut modul tors jka da haya jka setap elemeya merupaka eleme tors. Defs E4.35 (odul Bebas Tors) Dberka R-odul. odul dsebut modul bebas tors jka da haya jka memlk tepat satu eleme tors, yatu 0. Cotoh E4.36 Dketahu rg 8 merupaka modul atas rg da juga atas drya sedr. Jka 8 dpadag sebaga -odul, maka seluruh eleme pada 8 merupaka eleme tors da dega demka 8 merupaka modul tors. Karea dapat dplh 8 sehgga ( ) 8 a + 8 = 0+ 8 utuk setap a + 8 8. Jka 8 dpadag sebaga modul atas Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 8

drya sedr, maka eleme torsya adalah 0 + 8, 2 + 8, 4 + 8, da 6 + 8. Dperhatka bahwa dega meggat rg yag meyerta modul, maka eleme-eleme tors dapat berubah. Dar defs eleme tors, jka dberka suatu R-odul maka dapat dhmpu semua eleme tors pada modul tersebut. salka modul. Teorema-teorema berkut meyataka sfat hmpua Teorema E4.37 Dketahu R-odul da maka Bukt. T merupaka submodul dar. Dambl sebarag m m2, T T merupaka hmpua seluruh eleme tors T. T hmpua seluruh eleme tors pada. Jka R daerah tegral,, maka terdapat r r R { }, 0 R sehgga rm = rm 2 2 = 0. Aka 2 dtujukka m m2 T. Karea R adalah daerah tegral, maka R tdak memuat eleme pembag ol yatu utuk setap r r R { } { }, 0 R, berlaku rr 2 0 R. Dega demka dapat dplh 2 r3 = rr 2 R 0 R, sehgga r 3 ( m m 2 ) = rm 3 rm 3 2 = ( rr 2 ) m ( rr 2 ) m 2. Karea R adalah daerah tegral maka pergadaa d R bersfat komutatf, sehgga ( rr ) m ( rr ) m = ( rr) m ( rr ) m = r ( rm ) r( rm ) = r 0 r0 = 0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Sehgga dperoleh m m2 T. Selajutya, dambl sebarag r R da m T. Aka dtujukka rm T. Karea m T maka terdapat r R { } sedemka sehgga rm= 0 0. Karea R adalah daerah tegral 0 0 R maka pergadaa d R bersfat komutatf, sehgga r ( rm) = ( rr) m= ( rr ) m= r( rm) = r0 = 0. 0 0 0 0 Sehgga dperoleh rm. T Jad, meurut Teorema E4. terbukt bahwa T merupaka submodul dar. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 9

Teorema E4.38 Dketahu R-odul da maka T merupaka modul bebas tors. T hmpua seluruh eleme tors pada. Jka R daerah tegral, Bukt. eurut Teorema E4.37, karea R daerah tegral maka meurut Teorema E4.4 m 0 T T T adalah submodul atas sehgga T adalah R-odul. Adaka T memlk eleme tors + +, maka terdapat r R { } sehgga ( ) 0 ( ) 0 r m rm s 0 0 R + T = + T = + T, akbatya T { } srm R 0 R sedemka sehgga ( ) ( ) 0 sr 0 R, akbatya m = 0 da dega kata la m+ T = 0 + T. r m+ = +. Karea T T rm. Karea rm T, maka terdapat = srm=. Karea R adalah daerah tegral, maka ucul kotradks dega pegadaa bahwa m+ 0 +. Sehgga yag bear T modul bebas tors. T T Jka eleme tors merupaka eleme pada modul, maka dar kods dhmpu eleme pada rg yag meyebabka kods tersebut berlaku. Defs E4.37 (Ahlator) Dberka R-odul da X rm = 0 juga dapat. Ahlator atas X, dotaska dega a ( X ), ddefska sebaga a( X ) { r R rx 0 utuk setap x X } = =. Cotoh E4.38 Dketahu rg 8 ( X ) a = 4 merupaka modul atas rg da X = { 2+ 8, 6+ 8 } maka Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 20

Lemma E4.39 Dberka R-odul da X Bukt. Dambl sebarag ab, a( X) ( a b) x ax bx 0 0 0, maka a ( X ) merupaka deal kr d R., maka ax = bx = 0 utuk setap x X. Dega demka = = = utuk setap x X. Sehgga dperoleh a b a ( X). Dambl sebarag r R, dperhatka bahwa ( ra) x = r ( ax) = r0 = 0 utuk setap x X da dega demka ra a ( X ). Jad, ( ) a X merupaka deal kr d R. Akbat E4.40 Dberka R-odul da X. Jka R rg komutatf, maka a ( X ) merupaka deal kr sekalgus deal kaa d R. Utuk selajutya, deal yag dmaksud pada tulsa merupaka deal kr yag juga merupaka deal kaa. 4. Pembagu Submodul da odul Bebas Apabla dketahu X merupaka suatu hmpua baga dar R-odul, maka dapat dbetuk suatu submodul dar yag dbagu oleh X. Submodul tersebut merupaka submodul terkecl dar yag memuat X. Defs berkut meyataka hal tersebut. Defs E4.4 (Submodul yag Dbagu oleh X) Dketahu R-odul da X. Submodul N merupaka submodul yag dbagu oleh X jka da haya jka N = I I I dega = { I submodul dar X I} I. Utuk selajutya, submodul yag dbagu oleh X dotaska dega X. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 2

Cotoh E4.42 Pada -odul, dplh hmpua X = { 2, 4,6}. Karea submodul pada berbetuk maka submodul-submodul dar yag memuat X adalah 2 da sedr, dega I. Sehgga submodul yag dbagu oleh X adalah 2 = 2. demka = { 2, } Teorema E4.43 Dketahu R-odul. Jka H da K merupaka sebarag submodul dar maka H + K merupaka submodul terkecl yag memuat submodul H da K. Bukt. Pada Teorema E4.2 telah dyataka bahwa H + K merupaka submodul dar. Dperhatka bahwa utuk sebarag h H dapat dplh k = 0 sehgga h= h+ 0 = h+ k H + K da dega demka H H + K. Dega cara yag serupa dapat pula dtujukka bahwa K H + K da dega demka berlaku H K H + K. Adaka ada submodul S dega H K S. Karea H, K H K akbatya H S da K S. Karea S merupaka submodul, maka utuk setap h H da k K berlaku h+ k S. Dega kata la H + K S. Jad, terbukt bahwa H + K merupaka submodul terkecl yag memuat submodul H da K. Akbat E4.44 Dketahu R-odul. Jka H da K merupaka sebarag submodul dar maka H K = H + K. Teorema E4.45 Dketahu R-odul, jka X = maka X = { 0 }. Bukt. Dperhatka bahwa utuk setap hmpua baga N utuk modul { 0 }, juga berlaku { } da akbatya { } 0, maka N. Dega demka 0 I. Karea setap submodul Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 22

dar selalu memuat eleme 0, akbatya 0 I I I da dega demka berlaku X = = { 0} I = 0 I I { 0 } { }. Teorema E4.46 Dketahu R-odul da X X = rx, r R, da x X. = Bukt. dega X, maka berlaku salka K = rx, r R, da x X. Aka dtujukka bahwa K merupaka = submodul dar. Dambl sebarag ab, K, maka a= rx da = m b= s y utuk suatu = r, s R da x, y X. Dperhatka bahwa m + m dega a b= rx s y = k z j j = = j= k j rj j = sj + j m da z j x j j =. y j + j m Sehgga dperoleh + m j j. j= a b= k z K Selajutya, dambl sebarag r R da dperhatka bahwa ra = r rx = ( rr) x K = =. Jad, meurut Teorema E4. terbukt bahwa K merupaka submodul dar. Karea X K da X merupaka submodul terkecl yag memuat X, berakbat X K. Karea X merupaka submodul terkecl yag memuat X, maka X X. Dega demka utuk setap r R da x X berlaku rx X. Akbatya ab, X da dega demka K X. Jad, karea X K da K X, maka berlaku K = X. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 23

Defs E4.47 (odul Sklk) Dketahu R-odul. Jka terdapat a sehgga a = maka modul dsebut modul sklk. Cotoh E4.48 odul merupaka modul sklk karea =. Lemma E4.49 Dketahu R-odul sklk da Bukt. Dbetuk pemetaa : R = a utuk suatu a φ dega defs ( r), maka R a ( a) homomorfsma modul yag surjektf da jelas bahwa ker ( φ ) = a ( a) Utama Homomorfsma odul, berlaku R a ( a). φ = ra. Pemetaa φ tersebut merupaka.. Jad, meurut Teorema Defs E4.50 (Rak odul yag Dbagu Secara Berhgga) Dketahu R-odul da = X utuk suatu X. Jka X herupaka hmpua berhgga maka modul dkataka dbagu secara berhgga da rak dar merupaka bayakya eleme dar hmpua pembagu yag terkecl. Notas μ ( ) utuk selajutya meyataka rak dar. Defs E4.5 (Rak odul yag Tdak Dbagu Secara Berhgga) Dketahu R-odul da berhgga maka μ ( ) =. = X utuk suatu X. Jka X herupaka hmpua tak Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 24

Akbat E4.52 Dketahu R-odul, maka sfat-sfat berkut berlaku:. Jka = { 0 }, maka μ ( ) = 0 2. merupaka modul sklk jka da haya jka μ ( ) =. Lemma E4.53 Dketahu R-odul da N sebarag submodul dar. Jka dbagu secara berhgga, maka modul N juga dbagu secara berhgga da μ( N) μ( ). Bukt. salka = X dega X = { x,..., xk} sebaga hmpua pembagu terkecl. Dambl sebarag y N, maka y = a+ N utuk suatu a. Karea = X, dega demka terdapat sehgga a= rx utuk suatu r = R da x X. Akbatya berlaku y = a+ N = rx + N = rx + N + + r x + N = r x + N + + r x + N (( ) ) (( ) ) ( ) ( ). = Jad, modul N dbagu secara berhgga. salka μ( N) > μ( ) da dega demka N { y N y N} sebaga hmpua pembagu terkecl. Dbetuk eleme ( ) ( ) ( ) s s = +,..., s + dega s > k a+ N = y + N + + y + N = y + + y + N. Dega demka dperoleh a = y + + y = X. Karea X merupaka hmpua pembagu terkecl da s > k maka s terdapat hmpua Y' { y y } sehgga { y,..., y } Y' { y',..., y' } X { x,..., x },..., s Akbatya a = y ' ' + + y k = X = = =. s k k da dega demka ( ' ) ucul kotradks dega { y N y N} a+ N = y + + y + N. +,..., s + sebaga hmpua pembagu terkecl. Jad, pegadaa salah da terbukt bear bahwa μ( N) μ( ). ' k Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 25

Lemma E4.54 Dketahu R-odul da N sebarag submodul dar. Jka N da N dbagu secara berhgga, maka modul juga dbagu secara berhgga da μ( ) μ( N) μ( N) Bukt. salka { } X +. X = x,..., xk N merupaka hmpua pembagu terkecl utuk N, sehgga = N. Dbetuk : N setap a φ sebaga homomorfsma surjektf dega ( ). Dplh Y = { y,..., ys}, sehgga Y' { φ( y ),..., φ( ys )} φ a = a+ N utuk = merupaka hmpua pembagu terkecl utuk N. Aka dtujukka bahwa X Y = da dega demka μ( ) k s μ( N) μ( N) + = +. Dambl sebarag a da dega demka a+ N N. Karea Y' ( a) = a+ N = r ( y ) + + r ( y ) φ φ sφ s utuk suatu r dperoleh rφ( y ) + + rφ( y ) = φ( ry + + r y ) φ φ ( a) = φ( ry + + r y ) s s s s s s = N, maka R. Karea φ homomorfsma surjektf, da dega demka. Dperhatka juga bahwa ry + + ry s s Y. Karea ( a) = φ( ry + + rs ys ), akbatya ( ( s s) ) φ a ry + + r y = + N atau dega kata la 0 a ( ry + + rsys) ker ( φ ) N = X. Jad, karea { ( s s) } ( s s) a= a ry + + ry + ry + + ry X Y, maka dperoleh X Y. Jelas bahwa X Y, da dega demka dperoleh = X Y. Tdak setap modul memlk hmpua pembagu. Jka suatu modul memlk hmpua pembagu, maka terdapat sfat pada hmpua pembagu tertetu yag dsebut dega bass. Berkut aka dberka pegerta megea bass da modul bebas. Defs E4.55 (Bebas Lear) Dketahu R-odul da X. Hmpua X dkataka bebas lear jka da haya jka utuk setap, utuk setap r berakbat r = = r = 0 R. R da x X dega, jka rx + + rx = 0 Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 26

Defs E4.56 (Bass) Dketahu R-odul da X memeuh dua syarat berkut:. = X. Hmpua X dkataka bass utuk jka da haya jka 2. X bebas lear. Defs E4.57 (odul Bebas) Dketahu R-odul. Jka terdapat X dsebut modul bebas. dega X merupaka bass utuk, maka Cotoh E4.58 8 8 odul merupaka modul sklk karea + 8 = 8 da dega demka 8 merupaka modul bebas. Namu 8 odul buka modul bebas, karea utuk sebarag X 8 selalu dapat dplh r = 8 sehgga rx = 0 + 8. Jad, setap hmpua baga pada 8 sela { } odul tdak memlk bass. x X 0 tdak bebas lear da dega demka 8 Lemma E4.59 Dketahu R-odul. Jka modul bebas da R daerah tegral, maka modul bebas tors. Bukt. Karea modul bebas, maka memlk bass. salka X merupaka bass utuk da merupaka hmpua eleme tors pada. Dambl sebarag 0 rx = utuk suatu r R { } 0 R. Karea x T, maka T T x da dega demka x = rx utuk suatu r x X R. Dega demka dperoleh rx = r rx = ( rr) x = 0. Karea X merupaka bass, maka x X x X dperoleh rr = 0R utuk setap r R. Karea R daerah tegral da r 0 R, maka dperoleh r = 0. Akbatya x= rx = 0 x = 0. Jad, T { 0} R x X x X = atau modul bebas tors. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 27

5. Jumlaha Lagsug Kosep jumlaha lagsug (drect sum) merupaka suatu kosep utuk membetuk suatu modul yag lebh luas dar beberapa modul yag dberka. odul-modul tersebut aka somorfs dega suatu submodul pada modul yag lebh luas tersebut. Defs E4.60 (Jumlaha Lagsug) Dketahu,..., utuk suatu merupaka modul-modul atas R, maka produk Cartesa juga merupaka modul atas R dega operas:. ( x,..., x ) ( y,..., y ) ( x y,..., x y ) + = + +, utuk setap 2. r( x,..., x ) = ( rx,..., rx ), utuk setap ( ) (,..., )(,,..., ) x x y y x,..., x da r R. odul dsebut jumlaha lagsug dar modul,..., da dotaska atau. = Lemma E4.6 Dketahu,..., utuk suatu merupaka modul-modul atas R, maka pemetaa φ : k k = dega ( a) = ( x,..., x, x, x,..., x ) = ( 0,...,0, a,0,...,0) merupaka somorfsma modul. φk k k k+ = Teorema E4.62 Dketahu R-odul da N,..., N utuk suatu merupaka submodul-submodul dar. Jka dpeuh syarat:. = N + + N 2. Utuk setap, berlaku N { N + + N + N + + N } = { }, + 0 maka N. = Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 28

Bukt. Dbetuk pemetaa f : N dega ( ) f a = a utuk setap a N. Dbetuk juga pemetaa dega f ( x,..., x ) = f ( x ) utuk setap (,..., ) : = f N = x x N. Karea = = N + + N dega demka f merupaka pemetaa surjektf. Dperhatka juga bahwa f da f merupaka homomorfsma modul. Selajutya, dambl sebarag ( x,..., x ) ker ( f ) = maka berlaku f ( x,..., x ) = f ( x ) = x + + x = 0. Sehgga utuk dperoleh, ( ) x = x + + x + x + + x da dega demka + { }. Karea N { N + + N + N + + N } = { } x N N + + N + N + + N + maka dperoleh x = 0 utuk setap, + 0. Dega demka ker ( ) {( 0,...,0 )} f =. Sehgga sejala dega Lemma E3.6, homomorfsma modul f jektf. Jad, karea f homomorfsma modul yag surjektf sekalgus jektf, maka f merupaka somorfsma modul da berlaku N. = Defs E4.63 (Kompleme) Dketahu R-odul da K submodul dar. Submodul K dkataka kompleme pada jka da haya jka terdapat submodul H dar sehgga K H. Cotoh E4.64 Pada 6 sebaga modul atas drya sedr, submodul K = { 0+ 6, 2+ 6, 4+ 6 } merupaka kompleme pada 6 sehgga:. K + H = 6 2. K H { 0 6 } = +. Akbatya, meurut Teorema E4.62 berlaku K H 6., karea dapat dplh submodul H = { 0+ 6, 3+ 6 } Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 29

6. Barsa Eksak Utuk suatu koleks submodul N,..., N dar R-odul, dapat dbetuk suatu barsa yag dsebut dega barsa eksak. Barsa tersebut damaka barsa eksak da memlk sfat petg d teor modul, salah satuya pada pembahasa megea modul proyektf. Defs E4.65 (Barsa Eksak) Dketahu R-odul da { N I} merupaka homomorfsma dar N ke merupaka koleks submodul dar. Dketahu juga f N. Barsa dar R-odul da homomorfsma f N f - N f + N + dkataka eksak pada N jka da haya jka mage( ) ker ( ) barsa eksak jka eksak pada setap N. f f + =. Barsa tersebut dkataka Defs E4.66 (Barsa Pedek) Dketahu R-odul serta N da N 2 merupaka submodul dar, maka barsa { } 0 f g N N 2 { } 0 dsebut barsa pedek dega f da g merupaka homomorfsma modul. Dar barsa pedek dapat dturuka tga sfat sebaga berkut. Teorema E4.67 Barsa { } 0 N f eksak d N jka da haya jka homomorfsma modul f jektf. Bukt. ( ) Dperhatka bahwa satu-satuya homomorfsma modul φ yag mugk dar { 0 } ke N adalah φ ( 0 ) = 0. Karea barsa tersebut eksak d N, maka mage( φ ) = ker ( f ). Karea Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 30

mage ( φ ) = { }, maka ker ( ) { } 0 homomorfsma modul f jektf. 0 f =. Sehgga sejala dega Lemma E3.6, berakbat ( ) Karea homomorfsma modul f jektf, maka sejala dega Lemma E3.6 berakbat ker ( ) { } 0 f =. Dperhatka bahwa satu-satuya homomorfsma modul φ yag mugk dar { 0 } ke N adalah φ ( 0 ) = 0. Karea mage( ) { 0 } ker ( f ) eksak d N. φ = =, maka barsa tersebut Teorema E4.68 Barsa g N 2 { } 0 eksak d N 2 jka da haya jka homomorfsma modul g surjektf. Bukt. ( ) Dperhatka bahwa satu-satuya homomorfsma modul ψ yag mugk dar N 2 ke { 0 } adalah ( a) 0 mage ψ = utuk setap a N2. Karea barsa tersebut eksak d N 2, maka ( g ) = ker ( ψ ). Karea ker ( ψ ) = N2, maka mage( g) N2 homomorfsma modul g surjektf. = da dega demka ( ) =. Dperhatka bahwa satu- Karea homomorfsma modul g surjektf, maka mage( g) N2 satuya homomorfsma modul ψ yag mugk dar N 2 ke { 0 } adalah ( a) 0 setap a N2. Karea mage( g) N ker ( ψ ) ψ = utuk = 2 =, maka barsa tersebut eksak d 2 N. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 3

Teorema E4.69 Barsa pedek { } 0 f g N N 2 { } 0 merupaka barsa eksak jka da haya jka homomorfsma modul f jektf, g surjektf, da mage ( f ) ker ( g ) N2. mage( f ) =. Lebh lajut, meurut Teorema Utama Homomorfsma odul, berlaku Cotoh E4.70 Barsa { 0} f g 3 6 2 { 0} merupaka barsa eksak pedek dega f ( a+ 3 ) = 2a+ 3 da g( b ) ( b ) + 6 = mod2 + 2 utuk setap a + 3 3 da b + 6 6. Sesua Teorema Utama Homomorfsma odul da 3, berlaku 2 6 2 6. Defs E4.7 (Barsa Eksak Terpsah) Dketahu R-odul, maka barsa eksak pedek dkataka barsa eksak terpsah jka da haya jka mage( f ) ker ( g ) = merupaka kompleme pada. Cotoh E4.72 Pada Cotoh E4.70 dketahu mage( f ) = ker( g) = 2 6 = { 0+ 6, 2+ 6, 4+ 6 }. Sehgga meurut Cotoh E4.64, barsa eksak pedek pada Cotoh E4.70 merupaka barsa eksak terpsah. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 32

Selajutya, ddefska pemetaa dettas : dega ( a) = a utuk setap a. Pemetaa dettas tersebut jelas merupaka homomorfsma modul da dapat dturuka sfat barsa eksak terpsah. Sebelumya dberka lemma megea pemetaa berkut. Lemma E4.73 Dketahu A da B sebarag hmpua da pemetaa f : A B, maka Bukt.. Jka terdapat pemetaa h: B 2. Jka terdapat pemetaa k: B A dega ( h f ) = A maka pemetaa h surjektf A dega ( f k ) = A maka pemetaa k jektf. Utuk sebarag a A jelas bahwa f ( a) f ( A) B. Dega demka utuk sebarag a A dapat dplh y = f ( a) B sehgga ( ) ( ( )) ( )( ) A ( ) surjektf. Selajutya, dambl sebarag b, b2 = ( ), maka dperoleh f ( x) f ( k( b) ) f ( k( b2) ) x k b A h y = h f a = h f a = a = a. Jad, pemetaa h B dega k( b ) = k( b ). Dperhatka utuk 2 = =. Karea f ( x) = f ( k( b) ) = ( f k)( b) = A ( b) = b maka dperoleh ( ( )) ( ( )) cara yag serupa, utuk x = k( b2 ) A dperoleh juga f ( k( b2) ) f ( k( b) ) b2 b = b da dega demka pemetaa k jektf. 2 f k b = f k b = b. Dega 2 = =. Jad, dperoleh Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 33

Teorema E4.74 Dketahu R-odul, N da N 2 merupaka submodul dar, serta f da g keduaya merupaka homomorfsma modul. Jka barsa pedek { } 0 f g N N 2 { } 0 merupaka barsa eksak maka tga peryataa dbawah ekuvale: Bukt.. Terdapat homomorfsma modul : N 2. Terdapat homomorfsma modul : N2 α sehgga ( α f ) = N β sehgga ( g β ) = N 2 3. Barsa pedek tersebut merupaka barsa eksak terpsah da ( 2) mage mage N N. 2 ( f ) ker ( α ) ( β ) ker ( g ) Sebelumya aka dtujukka terlebh dahulu bahwa ker ( ) mage( f ) { 0} sebarag x ker ( α ) mage( f ). Karea x ker ( α ), maka ( x) 0 x mage( f ), maka x f ( a) ( ) ( ( )) ( )( ) N ( ) α =. Dambl α = da karea = utuk suatu a N. Dega demka 0 = α x = α f a = α f a = a = a. Karea f homomorfsma modul, maka = ( ) = ( 0 ) = 0 da dega demka ker ( ) mage( f ) { 0} x f a f α =. Dbetuk pemetaa : N2 g( z) β, dega β( x) z ( f α)( z) Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. = utuk setap x N2 da = x utuk suatu z (karea g surjektf). Aka dtujukka bahwa β merupaka homomorfsma modul yag dmaksud. Aka dtujukka bahwa pemetaa β terdefs dega bak. Dambl sebarag x, y N2 dega x = y. Karea, pemetaa g: N2 surjektf, maka terdapat ab, dega x = g( a) da y = g( b). Karea x = y, maka g( a) = g( b) g( a b) = 0 da dega demka a b ker ( g) eksak, maka a b ker ( g) = mage( f ).. Karea barsa tersebut 34

Dega demka dperoleh: ( ) ( ( )( )) ( ) ( ) ( ) = ( )( ) = ( a b) + ( f α )( b a) β x β y a f α a b f α b Dperhatka, bahwa ( a b) + ( f α )( b a) ker ( α ), karea (( a b) + ( f )( b a) ) = ( a b) + ( ( f ))( b a) = α( a b) + ( α f )( α( b a) ) = α( a b) + N ( α( b a) ) = α( a b) + α( b a) = α( a) α( b) + α( b) α( a) α α α α α = 0. Dperhatka juga bahwa ( a b) + ( f α )( b a) mage( f ) ( a b) + ( f α )( b a) mage( f )., da dega demka Akbatya, β( x) β( y) = ( a b) + ( f α)( b a) ker ( α) mage( f ) = { 0} Jad, dperoleh β( x) β( y). = da dega demka pemetaa β terdefs dega bak. Selajutya, aka dbuktka bahwa β merupaka homomorfsma modul. Dambl sebarag x, y N2. Karea, pemetaa g: N2 surjektf, maka terdapat ab, dega x = g( a) da y = g( b). Karea g homomorfsma maka dperoleh x y g( a) g( b) g( a b) dega demka ( x) + ( y) = ( a+ b) ( f )( b+ a) = ( x+ y) + = + = + da β β α β. Utuk sebarag r R, dperoleh ( ) = + ( )( ) = ( )( ) = ( ( )( )) = ( ) rβ x ra f α ra ra r f α a r a f α a rβ x. Jad, terbukt bahwa β merupaka homomorfsma modul. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 35

Terakhr, aka dbuktka bahwa ( g β ) = N 2. Utuk sebarag x N2, karea g: N2 surjektf, maka terdapat a dega x = g( a). Dega demka dperoleh ( g β)( x) = g( a ( f α)( a) ) = g( a) ( g ( f α) )( a). Dperhatka, karea ( f α)( a) = f ( α( a) ) mage( f ) da mage( f ) = ker ( g ), maka ( g ( f α ))( a) = 0 dperoleh ( g β )( x) = g( a) 0 = g( a) = x atau dega kata la ( g β ) = N. 2. Jad, ( 2 3) Dar pembukta baga ( 2) telah dketahu bahwa ker ( ) mage( f ) { 0} aka dbuktka bahwa ker ( α ) mage( f ) α =. Selajutya = +. Dketahu terdapat homomorfsma modul α : N sehgga ( α f ) = N. Dambl sebarag x da dega demka ( x f ( ( x) )) = ( x) ( f ( ( x) )) = ( x) ( f )( ( x) ). α f = N, akbatya ( α f )( α( x) ) = N ( α( x) ) = α( x) ( x f ( ( x) )) = ( x) ( f )( ( x) ) = ( x) ( x) = 0. α α α α α α α α Karea ( ) α α α α α α α Jad, dperoleh x ( f α )( x) ker ( α ). da dega demka Karea x = ( x ( f α)( x) ) + ( f α)( x) da ( f α )( x) mage( f ) x, maka dperoleh ker ( α ) + mage( f ) da dega demka berlaku ker ( α ) mage( f ) ker ( α ) da mage( f ), akbatya ( ) ( ) ker α + mage f. Jad, karea berlaku ker ( α ) + mage( f ) da ( ) ( ) +. Karea ker α + mage f, akbatya = ker ( α ) + mage( f ) da meurut Teorema E4.62 berlaku mage( f ) ker ( α ). Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 36

Dperhatka bahwa karea f pemetaa jektf akbatya mage( f ) somorfs dega domaya, yatu N. Karea β merupaka pemetaa jektf akbatya mage( β ) somorfs dega domaya, yatu N 2. Dega demka berlaku ( ) ( α) ( ) ( β) 2 mage f ker = mage f mage N N. ( 3 ) Dketahu bars eksak tersebut merupaka barsa eksak terpsah da berlaku N N2. Karea N N2, maka terdapat somorfsma modul φ dar ke N N 2. Dega demka, utuk setap x, selalu terdapat (, ) N N dega x = φ (, ). Dbetuk pemetaa : N α dega ( x) α =. 2 2 ( 2 ) Aka dbuktka pemetaa tersebut terdefs dega bak. Dambl sebarag x, y dega x = y. Karea N N2, maka terdapat, 3 N da 2, 4 N2 da y φ (( 3, 4) ) =. Karea x y (, ) ker( φ ) 3 2 4 =, berakbat φ( (, 2) ) φ( ( 3, 4) ) sehgga x = φ ((, 2) ) = atau dega kata la. Karea φ somorfsma, maka φ merupaka pemetaa jektf da sejala dega Teorema E3.6 berakbat ker ( ) {( 0, 0) } φ =. Sehgga dperoleh (, ) = ( 0,0 ) (, ) = (, ) da dega demka α( x) α( y) 3 2 4 2 3 4 = = =. Jad, 3 pemetaa α terdefs dega bak. Pemetaa α jelas merupaka homomorfsma modul da α f a = a utuk setap a N berlaku ( )( ) atau dega kata la ( α f ) = N. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 37

Dperhatka bahwa dar Teorema E4.74 dapat dbetuk dagram sepert dbawah N f g N 2 { } 0 φ φ 4 φ 2 φ 3 { } 0 N α β N 2 Pemetaa φ, φ2, φ3,da, φ 4 seluruhya merupaka pemetaa ol (zero mappg), yatu pemetaa yag memetaka setap eleme doma ke 0. Pemetaa ol tersebut merupaka homomorfsma. Lebh lajut, φ da φ 3 merupaka pemetaa jektf serta φ2 da φ 4 merupaka pemetaa surjektf. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009. 38