Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Sumber: Art & Gallery Stadar Kompetesi 6. Meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar 6. Megidetifikasi pola, barisa, da deret bilaga 6. Meerapka kosep barisa da deret aritmatika 6. Meerapka kosep barisa da deret geometri

84 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi A. PENDAHULUAN Stadar Kompetesi Barisa da Deret terdiri dari tiga () Kompetesi Dasar. Pada peyajia dalam buku ii, setiap Kompetesi Dasar memuat Tujua, Uraia materi, Ragkuma da Latiha. Kompetesi Dasar dalam Stadar Kompetesi ii meliputi Pola Barisa da Deret Bilaga; Kosep Barisa da Deret Aritmatika da Kosep Barisa da Deret Geometri. Stadar Kompetesi ii diguaka utuk meyelesaika persoala-persoala tertetu yag berhubuga dega pola bilaga, juga dapat diguaka dalam matematika keuaga dalam ragka meujag program keahliaya. Sebelum mempelajari stadar kompetesi ii, diharapka ada telah meguasai stadar kompetesi sistem bilaga real Pada setiap akhir Kompetesi dasar tercatum soal-soal latiha yag disusu dari soalsoal yag mudah sampai soal-soal yag sukar. Latiha soal ii diguaka utuk megukur kemampua ada terhadap kompetesi dasar ii, artiya setelah mempelajari kompetesi dasar ii secara madiri dega bimbiga guru sebagai fasilitator, ukur sediri kemampua ada dega megerjaka soal-soal latiha tersebut. Utuk melacarka kemampua ada supaya lebih baik dalam megerjaka soal, disaraka semua soal dalam latiha ii dikerjaka baik di sekolah dega bimbiga guru maupu di rumah. Utuk megukur stadar kompetesi lulusa tiap siswa, di setiap akhir kompetesi dasar, guru aka memberika evaluasi apakah ada layak atau belum layak mempelajari stadar Kompetesi berikutya. Ada diyataka layak jika ada dapat megerjaka soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yag aka diberika guru. B. KOMPETENSI DASAR B.. Pola Barisa da Deret Bilaga a. Tujua Setelah mempelajari uraia kompetesi dasar ii, ada dapat: Meujukka pola bilaga dari suatu barisa da deret Membedaka pola bilaga, barisa, da deret Meuliska suatu deret dega Notasi Sigma b. Uraia Materi Perahkah dibayagka bagaimaa mejumlahka semua bilaga asli dari sampai 00, bagaimaa meghitug jumlah simpaa di bak, bagaimaa meghitug perkiraa jumlah peduduk suatu egara beberapa tahu ke depa da lai-lai, itu semua dapat diselesaika dega megguaka kosep barisa da deret bilaga. Dari cotoh di atas, teryata barisa bilaga merupaka suatu yag mearik utuk diketahui. Oleh karea itu, matematika secara khusus memasukka masalah barisa bilaga dalam bidag aljabar sejak dari tigkat SLTP sampai tigkat SLTA.

BAB III Barisa da Deret 85 Barisa bilaga yag perah dipelajari di tigkat SLTP diataraya adalah pegertia suku da pola bilaga, meetuka suku ke- dari suatu barisa, serta meyelesaika soal verbal yag berkaita pola atau barisa bilaga. Pegertia pola atau barisa bilaga yag telah dipelajari di tigkat SLTP sagat membatu utuk memahami pegertia barisa da deret aritmatika, barisa da deret geometri, otasi sigma maupu iduksi matematika yag aka dipelajari dalam bab ii. ). Pola barisa Defiisi barisa da deret bilaga perah dipelajari di tigkat SLTP, amu utuk megigat kembali aka dibahas sedikit tetag defiisi barisa da deret bilaga. Barisa bilaga adalah uruta bilaga yag memiliki atura atau pola tertetu. Eleme-eleme dari suatu barisa bilaga serig disebut dega istilah suku. Eleme pertama disebut suku pertama (U ), eleme ke- disebut suku ke- (U ), eleme ke- disebut suku ke- (U ) da seterusya sampai pada eleme ke- disebut suku ke- (U ) Atura atau pola dari suatu barisa dapat diyataka dalam betuk defiisi atau dapat juga diyataka dalam betuk rumusa. Cotoh Tetuka pola atau atura dari barisa di bawah ii: a.,, 5, 7,... b., 4, 9, 6, 5,... c. 8, 7, 64, 5, 6,... a. Atura atau pola dari barisa bilaga:,, 5, 7,... secara defiisi adalah bilaga gajil mulai dari atau bilaga aik yag memiliki selisih yag dimulai dari. Sedagka secara rumus polaya adalah U = dega dimulai dari. (utuk seterusya kata-kata dimulai dari tidak perlu dituliska) b. Pola dari barisa bilaga:, 4, 9, 6, 5,... secara defiisi adalah kuadrat bilaga asli mulai dari. Sedagka secara rumus polaya adalah U =. c. Pola dari barisa bilaga: 8, 7, 64, 5, 6... secara defiisi adalah pagkat tiga dari bilaga asli mulai dari. Sedagka secara rumus polaya: U =( + ) Cotoh Tetuka pola suku ke- dari barisa di bawah ii: a., 7,, 5, 9,... b. 50, 47, 44, 4, 8,... c., 4, 8, 6,,... a., 7,, 5, 9,... ; selisih dua suku yag beruruta adalah 4 da suku pertamaya, jadi polaya U = 4 (agka - diperoleh dari 4, aka dibahas lebih lajut pada barisa aritmatika) b. 50, 47, 44, 4, 8,... ; selisih dua suku yag beruruta adalah - da suku pertamaya 50, jadi polaya U = - + 5 (agka 5 diperoleh dari 50 (-))

86 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi c., 4, 8, 6,,... ; rasio dua suku yag beruruta adalah, jadi polaya U = (aka dibahas lebih lajut pada barisa geometri) Cotoh Tetuka empat suku pertamaya da suku ke-5 jika suatu barisa memiliki pola suku ke-: a. U = 7 b. U = + + c. U = + ( ) d. U =. a. U = 7 U =. 7 = -4, U =. 7 = -, U =. 7 = da U 4 =.4 7 = 5 Jadi 4 suku pertamaya: -4, -,, 5,... Suku ke-5: U 5 =.5 7 = 68 b. U = + U =. +. = 5, U =. +. = 4, U =. +. = 7 da U 4 =.4 +.4 = 44. Jadi 4 suku pertamaya: 5, 4, 7, 44,... Suku ke-5: U 5 =. 5 +. 5 = 50 + 75 =.5 c. U = U = + + + =. +, U = Jadi 4 suku pertamaya:, 5 6, 7 + 6 =, U =. + 5 0,,... 9 + =. + 7 da U 4 = 4 + 4 =.4 + 0 9 Suku ke-5: U 5 = 5 + 5 =.5 + 650 5 ( ) d. U =. U =. ( ) =, U =. ( ) = 6, U =. ( ) = 8 da U 4 =. (4 ) = 54. Jadi 4 suku pertamaya:, 6, 8, 54,... Suku ke-5: U 5 =. (5 ) =. 4 Ada beberapa barisa yag memiliki ama. Nama barisa itu biasaya dicirika oleh bilaga-bilaga peyusuya. Sebagai cotoh: a.,,, 4, 5,... ; diamaka barisa bilaga asli b.,, 5, 7, 9,... ; diamaka barisa bilaga gajil c., 4, 6, 8, 0,... ; diamaka barisa bilaga geap d.,, 6, 0, 5,.. ; diamaka barisa bilaga segitiga karea memiliki ( + ) a. t pola, pola tersebut seperti meetuka luas segitiga =

BAB III Barisa da Deret 87 e., 4, 9, 6, 5,... ; diamaka barisa bilaga persegi karea memiliki pola, pola tersebut seperti meetuka luas persegi = s. f.,,,, 5, 8,,...; diamaka barisa bilaga Fiboacci, dega pola bilaga berikutya merupaka jumlah dari dua bilaga sebelumya. Nama barisa bilaga ii diberika atas jasa Leoardo Fiboacci yag telah megugkapka misteri barisa tersebut, da lai-lai. ). Deret bilaga Jika suku-suku suatu barisa dijumlahka maka aka terbetuk sebuah deret. Misalka: Barisa bilaga asli:,,, 4,... deret bilaga asli: + + + 4 +... Barisa bilaga gajil:,, 5, 7,... deret bilaga gajil: + + 5 +... Utuk meyataka jumlah dari suatu deret biasaya dilambagka dega huruf S, misalka: Jumlah satu suku (dari ) yag pertama dilambagka dega S Jumlah dua suku yag pertama dilambagka dega S. Jumlah tiga suku yag pertama dilambagka dega S, Jumlah suku yag pertama dilambagka dega S Cotoh 4 Dari deret: + 5 + 9 + + 7 + +... Tetuka: a. Jumlah suku yag pertama, jumlah suku yag pertama da suku ke- b. Jumlah suku yag pertama, jumlah suku yag pertama da suku ke- c. Jumlah suku yag pertama, jumlah 4 suku yag pertama da suku ke-4 Jumlah suku yag pertama: S =, Jumlah suku yag pertama: S = + 5 = 6, suku ke-: U = 5 diperoleh hubuga U = S S Jumlah suku yag pertama: S = + 5 = 6, Jumlah suku yag pertama: S = + 5 + 9 = 5, suku ke-: U = 9 diperoleh hubuga U = S S Jumlah suku yag pertama: S = + 5 + 9 =5, Jumlah 4 suku yag pertama: S 4 = + 5+ 9 + = 8, suku ke-4: U 4 = diperoleh hubuga U 4 = S 4 S Dari jawaba cotoh 4, dapat diambil kesimpula bahwa: suku ke- = selisih atara Jumlah suku yag pertama dega jumlah ( ) suku yag pertama U = S S ( ) dega syarat > Cotoh 5 Suatu deret bilaga memiliki jumlah suku yag pertama diyataka dega rumus: S = + 4 + 7. Tetuka: a. Jumlah 5 suku yag pertama b. Rumus suku ke- c. Suku ke-0

88 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi a. Dari S = + 4 + 7, Jumlah 5 suku yag pertama: S 5 =.5 + 4.5 + 7= 0 b. Utuk meetuka rumus suku ke- jika diketahui S diguaka hubuga atara U da S, yaitu: U = S S ( ) U = { + 4 + 7} {( ) + 4( ) + 7} U = { + 4 + 7} { 6 + + 4 4 + 7} U = { + 4 + 7} { + 6} U = + 4 + + U = 6 + dega syarat >, utuk meetuka U, diguaka U = S c. Utuk meetuka U 0 dapat diguaka dua cara, yaitu: Dari rumus U yag diperoleh dari jawaba b, jadi U 0 = 6. 0 + = 6 Dari hubuga atara U da S, yaitu: U = S S ( ) U 0 = S 0 S 9 U 0 = (. 0 + 4. 0) (. 9 + 4. 9) U 0 = 40 79 = 6 ). Notasi Sigma Matematika merupaka salah satu ilmu yag bayak megguaka simbol atau lambag utuk meyataka suatu peryataa atau ugkapa yag pajag. Misalka otasi faktorial dega lambag! diguaka utuk meyataka perkalia beruruta mulai dari, otasi sigma dega lambag diguaka utuk meyataka suatu pejumlaha yag beruruta, da masih bayak lambag-lambag laiya. Notasi Sigma adalah suatu Notasi yag dipakai utuk meuliska secara sigkat pejumlaha suku. Simbol ii diambil dari huruf kapital Yuai yag berarti Sum atau pejumlaha da pertama kali dikealka oleh Leohard Euler pada abad ke-8. Secara umum otasi sigma didefiisika dega: k = U = U + U + U + U 4 +... + U k k = disebut batas bawah pejumlaha. Utuk meyataka batas bawah pejumlaha, buka haya dimulai dari, dapat juga dimulai dari agka bulat berapa saja da huruf k dapat digati huruf apa saja, yag sama dega otasi didepaya, misalka: U, i U x, i= x = U m m= 5 da lai-lai. U k merupaka suatu poliom dalam variabel k. Jika U x maka poliomya bervariabel x da seterusya. Poliom dapat berupa kostata, berderajat, berderajat da laiya.

BAB III Barisa da Deret 89 merupaka bilaga bulat da disebut batas atas bejumlaha. > batas bawah pejumlaha. Cotoh 6 Uraika dalam betuk pejumlaha otasi sigma di bawah ii, da tetuka ilaiya: 5 0 6 0 x 5 a. ( i + ) b. ( ) c. d. x i= 5 = 6 a. (i + ) = (. + ) +(. + ) + (. + ) + (.4 + ) + (.5 + ) i= 0 = 4 + 7 + 0 + + 6 = 50 x = b. ( ) = (6 ) + (7 ) + (8 ) + (9 ) + (0 ) = 6 = 5 + 48 + 6 + 80 + 99 = 5 i= 6 x c. x= 5 x 5 = 5 + + 5 + 4 5 4 4 0 5 = -4 + (- ) + + + + = 4 5 6 4 + 5 5 6 5 + 5 6 0 d. = + + + + + + + + = 7 i= c. Ragkuma. Barisa bilaga adalah uruta bilaga yag memiliki atura atau pola tertetu. Eleme-eleme dari suatu barisa bilaga serig disebut dega istilah suku.. Jika suku-suku suatu barisa dijumlahka maka aka terbetuk sebuah deret.. suku ke- suatu deret = selisih atara Jumlah suku yag pertama dega jumlah ( ) suku yag pertama U = S S ( ) dega syarat > 4. Notasi sigma didefiisika dega: k U = U + U + U + U 4 +... + U k =

90 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi. Tetuka tiga suku berikutya dari barisa di bawah ii: a., 7,,,,... d., 5, 5,, 9,,, -,... b. 5, -, 7, -, 9, -5,... e., 4, 7,, 8, 9, 47,... c.,, 48, 9, 768,... f.,, 6, 8, 7, 60, 60,.... Tetuka 4 suku yag pertamaya da suku ke-50 jika suatu barisa memiliki pola U sebagai berikut: a. U = 5 7 ( ) b. U = 4. c. U = 5 d. U = (-).( + ) e. U = ( + )( ). Tetuka rumus suku ke- da suku ke-5 dari barisa di bawah ii: a., 7,,,,... d., 4, 8, 6,,... b. 5,, 7,, 9... e. 5 0, 5, 5, 5,... c., 6,, 4, 48,... f.,, 4, 5,... 4. Suatu deret bilaga memiliki jumlah suku yag pertama diyataka dega rumus: S = + + 5. Tetuka: a. Jumlah 6 suku yag pertama b. Rumus suku ke- c. Suku ke-8 5. Suatu deret bilaga memiliki jumlah suku yag pertama diyataka dega rumus: S = 4 + 8. Tetuka: a. Jumlah 4 suku yag pertama b. Rumus suku ke- c. Suku ke-0 6. Tetuka ilaiya: 9 a x f. x = 5 00 56 x = 5 0 b 4 g. c d e x = 5 7 m = 8 (m m + m 4) x = 7 5x + 4 ( ) (x + 4) h. ( 850 8p) p = 65 68 i. m = 5 = 6 0 85 x = = 80 + ( ) x. j. ( + 00)

BAB III Barisa da Deret 9 B. Barisa da deret Aritmatika a. Tujua Setelah mempelajari uraia kompetesi dasar ii, ada dapat: Mejelaska barisa da deret aritmatika Meetuka suku ke- suatu barisa aritmatika Meetuka jumlah suku suatu deret aritmatika Meyelesaika masalah program keahlia yag berkaita dega deret aritmatika b. Uraia Materi ). Barisa Aritmatika Selai ama-ama barisa di atas, ada ama barisa tertetu yag disebut dega barisa aritmatika. Barisa aritmatika adalah barisa yag memiliki beda atau selisih tetap atara dua suku yag beruruta. Dari defiisi di atas maka barisa bilaga asli merupaka barisa aritmatika yag memiliki beda atara suku berurutaya =, barisa bilaga gajil merupaka barisa aritmatika yag memiliki beda atara suku berurutaya =. Sedagka barisa bilaga segitiga, barisa bilaga persegi da barisa bilaga Fiboacci buka barisa aritmatika karea beda tiap suku yag berurutaya tidak sama Cotoh 7 Dari barisa di bawah ii, maakah yag termasuk barisa aritmatika. a., 6,, 6,,... b. 40, 7, 4,, 9,... c., 6,, 4, 48,... a., 6,, 6,,... merupaka barisa aritmatika sebab beda atara suku-suku yag berurutaya tetap, yaitu beda(b) = 6 = 6 =... = 5 b. 40, 7, 4,, 9,... merupaka barisa aritmatika sebab beda atara sukusuku yag berurutaya tetap, yaitu beda(b) = 7 40 = 4 7 =... = - c., 6,, 4, 48,...buka merupaka barisa aritmatika sebab beda atara sukusuku yag beruruta tidak tetap, yaitu 6 6 4... Jika a adalah suku pertama, b adalah beda tiap suku yag beruruta maka: U, U, U, U 4,... U a a + b a + b a + b... a + ( )b Dari barisa di atas, diperoleh rumus suku ke-, yaitu: U = a + ( )b

9 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi U U = U U = U 4 U =... = U U ( ) = b Dapat juga diperoleh hubuga: U U = a + b a = b ( )b U 4 U = a + b a = b (4 )b U 5 U = a + 4b (a + b) = b, dari uraia disampig diperoleh hubuga: U U m = ( m) b > m Cotoh 8 Tetuka rumus suku ke- da suku ke-00 dari barisa di bawah ii: a., 7,, 9, 5,... b. 50, 40, 0, 0,... a., 7,, 9, 5,... merupaka barisa aritmatika dega beda tiap suku yag berurutaya: b = 6 da suku pertama: a = maka, U = a + ( )b U = + ( )6 U = 6 5 Suku ke-00: U 00 = 6. 00 5 = 595 b. 50, 40, 0, 0,... merupaka barisa aritmatika dega beda tiap suku yag berurutaya: b = -0 da suku pertama: a = 50 maka, U = a + ( )b U = 50 + ( )(-0) U = -0 + 60 Suku ke-00: U 00 = -0. 00 + 60 = -840 Cotoh 9 Suku ke-9 da suku ke-6 suatu barisa aritmatika adalah 79 da 5, tetuka: a. Suku pertama da bedaya b. Rumus suku ke- c. Suku ke-50 a. Suku ke- barisa aritmatika: U = a + ( )b U 9 = a + (9 )b 79 = a + 8b... ) U 6 = a + (6 )b 5 = a + 5b... ) Dari elemiasi a atau b persamaa ) da ) diperoleh a = 5 da b = 8 b. Rumus suku ke-: U = a+ ( )b U = 5+ ( )8 = 8 + 7 c. Suku ke-50: U 50 = 8. 50 + 7 = 07

BAB III Barisa da Deret 9 Cotoh 0 Suku ke-7 da suku ke-5 suatu barisa aritmatika adalah 4 da 89, tetuka suku ke-0 da suku ke-5 Utuk meyelesaika cotoh soal di atas, dapat diguaka cara cotoh 9, dapat juga diguaka cara lai, yaitu: U U m = ( m) b U U m = ( m) b U 5 = (5 5). 8 + U 5 U 5 U 7 = (5 7) b U = ( m) b + U m U 5 = 0. 8 + 89 89 4 = 8b b = 6 U 0 = (0 5). 8 + U 5 U 5 = 49 U 0 = 5. 8 + 89 = 9 ). Suku Tegah Barisa Aritmatika Barisa bilaga yag memiliki suku tegah apabila bayak sukuya gajil. Jika Suku ke-t atau U t merupaka suku tegah, maka bayakya suku adalah (t ) da suku terakhir adalah suku ke-(t ) atau U (t ). U t = a + (t )b U t = ( a + (t )b) U t = ( a + (t )b) U t = ( a + a 4 + (t 4 4 4 )b) sehigga diperoleh hubuga: U t U t = ( U + U (t ) ) Karea U (t -) merupaka suku akhir dari deret tersebut da U merupaka suku awal, maka: U tegah = ( Uawal + U akhir ) Cotoh Tetuka suku tegah da suku keberapa dari suku tegah tersebut jika ada, dari barisa aritmatika di bawah ii? a. 8, 4, 0, 6,..., 4 b. 0, 6,,..., -6 c., 0, 7,..., 457 a. Dari barisa aritmatika: 8, 4, 0, 6,..., 4 diperoleh beda tiap suku b = 6, suku pertama a = 8 da suku terakhir 4, maka diperoleh hubuga: U = a + ( )b 4 = 8 + ( )6 4 = 6 + = 7, karea bayakya suku gajil yaitu 7 maka terdapat suku tegah yaitu suku ke-t dimaa t = 7, jadi t = 9 Suku tegah: U t = a + (t )b

94 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi U t = 8 + (9 )6 = 6 atau Suku tegah: U t = ( Uawal + U akhir ) = ( 8 + 4) = 6 b. Dari barisa aritmatika: 0, 6,,..., -6 diperoleh beda tiap suku b = -4, suku pertama a = 0 da suku terakhir -6, maka diperoleh hubuga: U = a + ( )b -6 = 0 + ( )(-4) -6 = 4 4 = 40, karea bayakya suku geap yaitu 40 maka tidak terdapat suku tegah c. Dari barisa aritmatika:, 0, 7,..., 457 diperoleh beda tiap suku b = 7, suku pertama a = da suku terakhir 457, maka diperoleh hubuga: U = a + ( )b 457 = + ( )7 457 = 7 + 6 = 6, karea bayakya suku gajil yaitu 6 maka terdapat suku tegah yaitu suku ke-t dimaa t = 6, jadi t = Suku tegah: U t = a + (t )b U t = + ( )7 = 40 ). Barisa Aritmatika Tigkat Bayak (Pegayaa) Barisa aritmatika tigkat x adalah sebuah barisa aritmatika yag memiliki selisih yag sama tiap suku yag berurutaya setelah x tigkata. Dega megguaka pembuktia Biomium Newto (tidak diuraika disii), maka rumus umum suku ke- utuk barisa aritmatika tigkat bayak adalah: ( )( )c ( )( )( )d U = a + ( )b + + +...!! a = suku ke- barisa mula-mula, b = suku ke- barisa tigkat satu, c = suku ke- barisa tigkat dua, d = suku ke- barisa tigkat tiga da seterusya Barisa aritmatika tigkat satu jika c = d =... = 0, sehigga diperoleh: U = a + ( )b sudah dibahas di atas Barisa aritmatika tigkat dua jika d = e =... = 0, sehigga diperoleh: ( )( ).c U = a + ( )b + Barisa aritmatika tigkat tiga jika e = f =... = 0, sehigga diperoleh: ( )( ).c ( )( )( ).d U = a + ( )b + + da seterusya. 6 Cotoh Barisa aritmatika tigkat berapakah dari barisa-barisa di bawah ii: a., 5, 9,, 7,... b. 5, 6, 0, 7, 7,... c., 9, 9, 6, 64, 07, 69,...

BAB III Barisa da Deret 95 Utuk megetahui tigkat barisa aritmatika, kita uraika barisa sebagai berikut: Cotoh Tetuka rumus suku ke- dari barisa di bawah ii: a. 5, 6, 9, 4,,... b. -4, -, 7, 0, 8,... ( )( ).c Sehigga: U = a + ( )b + ( )( ). U = 5 + ( ). + U = 5 + + + = + 6

96 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi ( )( ).c Sehigga: U = a + ( )b + ( )( ).5 U = -4 + ( ). + U = -4 + +,5 7,5 + 5 U =,5 4,5 4). Deret Aritmatika Jika suku-suku dari suatu barisa aritmatika dijumlahka, maka aka terbetuk deret aritmatika. Nama lai deret aritmatika adalah deret hitug atau deret tambah. Sebagai cotoh deret yag terbetuk dari barisa aritmatika:, 5, 9,,... adalah deret: + 5 + 9 + +... Jika S adalah jumlah suku yag pertama deret aritmatika da U adalah suku ke- ya, maka: S = U + U + U +... + U ( ) + U ( ) + U Dari sifat barisa aritmatika bahwa: U U ( ) = b da U U ( -) = b maka U ( ) = U b da U ( ) = U b, Jadi: S = a + (a + b) + (a + b) +.. + (U b) + (U b) + U, jika dibalik, S = U + (U b) + (U b) +... + (a + b) + (a + b) + a +.S = (a + U ) + (a + U ) + (a + U ) +... + (a + U ) + (a + U ) + (a + U ) 4444444444444 4444444444444 pejumlaha suku dega tiap sukuya = (a+ u).s = (a + U ), sehigga diperoleh rumus jumlah suku yag pertama: S = (a + U ) Dari rumus S = (a + U ), jika U digati a + ( )b maka diperoleh: S = (a + a + ( )b) atau S = (a + ( )b) Catata: Hubuga atara U da S : U = S S ( )

BAB III Barisa da Deret 97 Cotoh 4 Tetuka ilai dari deret di bawah ii! a. + 8 + 4 + 0 +... (sampai 5 suku) b. + 0 + 7 + 4 + +...+ 6 a. Dari deret: + 8 + 4 + 0 +... dapat diketahui suku pertama a =, beda tiap suku b = 6 da bayakya suku = 5, sehigga jumlah 5 suku yag pertama sebagai berikut: S = (a + ( ) b) 5 S 5 = (. + (5 ).6) S 5 =,5. (4 + 44) =.850 b. Dari deret: + 0 + 7 + +... + 6 dapat diketahui suku pertama a =, beda tiap suku b = 7 da suku terakhir U = 6. Utuk meetuka jumlah semua sukuya, dicari dahulu bayakya suku sebagai berikut: U = a + ( )b 6 = + ( )7 6 = 7 4 = 8 Utuk meetuka jumlah 8 suku yag pertamaya dapat megguaka rumus: S = (a + ( ) b) atau S = (a + U). 8 8 S 8 = (. + (8 ).7) S 8 = ( + 6) S 8 = 9. (6 + 59) = 505 S 8 = 9. (65) = 505 Cotoh 5 Tetuka jumlah semua bilaga atara 40 sampai 50 yag habis dibagi 6 Bilaga setelah 40 yag habis dibagi 6 yaitu: Kita bagi dahulu 40 dega 6 meghasilka 6,67. Bilaga setelah 40 yag habis dibagi 6 adalah 6 x 7 = 4 Bilaga sebelum 50 yag habis dibagi 6 yaitu: Kita bagi dahulu 50 dega 6 megasilka 58,. Bilaga sebelum 50 yag habis dibagi 6 adalah 6 x 58 = 48. Sehigga terbetuk deret: 4 + 48 + 54 +... + 48. Dari deret: 4 + 48 + 54 +... + 48 dapat diketahui suku pertama a = 4, beda tiap suku b = 6 da suku terakhir U = 48. Utuk meetuka jumlah semua sukuya, ditetuka dahulu bayakya suku sebagai berikut: U = a + ( )b 48 = 4 + ( )6 48 = 6 + 6 = 5 Jadi jumlah 5 suku yag pertamaya sebagai berikut: S = (a + U)

98 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi 5 S 5 = (4 + 48) S 5 = 6. (90) =. 040 Cotoh 6 Jumlah bilaga yag pertama deret aritmatika dirumuska: S = 7 4, tetuka rumus suku ke- da beda tiap sukuya. Utuk meetuka rumus suku ke- apabila diketahui S dari suatu deret aritmatika, dapat diguaka dua cara, yaitu cara hubuga atara U da S da cara uraia. Cara, Hubuga atara U da S U = S S ( ) U = {7 4 } {7( ) 4( )} U = {7 4 } {7 4 + 7 4 + 4} U = {7 4 } {7 8 + } U = 7 7 4 + 8 U = 4 ( khusus utuk deret ari tmatika > ) Cara, cara uraia: S = 7 4 S = 7. 4. = suku pertama a = S = 7. 4. = 0 U = S S = 0 = 7 b = U U = 7 = 4 U = a + ( )b U = + ( )4 = 4, jadi rumus suku ke-: U = 4 da beda b = 4. Cotoh 7 Produksi barag suatu pabrik bertambah setiap miggu dega jumlah yag sama. Bila jumlah produksi sampai miggu ke-6 adalah 45 uit da jumlah Produksi sampai miggu ke-0 adalah 875 uit. Tetuka jumlah produksi sampai miggu ke-5 Jumlah produksi sampai miggu ke-6 adalah S 6 da jumlah produksi sampai miggu ke-0 adalah S 0 S = (a + ( )b) S = (a + ( )b) 6 0 S 6 = (a + (6 )b) = 45 S 0 = (a + (0 )b) = 875 (a + 5b) = 45 5(a + 9b) = 875 a + 5b = 475... ) a + 9b = 575... ) Dega elemiasi a atau b dari persamaa ) da ) diperoleh a = 75 da b = 5 Jumlah produksi sampai miggu ke-5 adalah: S = (a + ( )b) 5 S 5 = (. 75 + (5 ).5) S 5 = 6 (50 + 75) = 450

BAB III Barisa da Deret 99 Cotoh 8 Tutik memijam di koperasi karyawa sebesar Rp5.000.000,00 da aka dibayar setiap bula dega pembayara yag sam a besar sebesar Rp500.000,00. Jika koperasi membebaka buga sebesar % dari sisa pijama. Tetuka jumlah buga total yag dibayarka Tutik. Pijama sebesar Rp. 5.000.000 aka dibayar setiap bula dega jumlah yag sama sebesar Rp.500.000. Dega demikia Tutik aka mecicil selama 0 bula, dega besarya masig-masig buga sebagai berikut: Bula ke-: buga = % x Rp5.000.000 = Rp00.000,00 Bula ke-: buga = % x Rp4.500.000 = Rp90.000,00 Bula ke-: buga = % x Rp.4.000.000 = Rp80.000,00 da seterusya, teryata besarya buga membetuk deret aritmatika dega beda tiap suku b = -0.000 da suku pertama a = Rp00.000,00 maka jumlah semua buga: S = (a + ( ) b) 0 S 0 = (x00.000 + (0 )( 0.000)) S 0 = 5 (00.000 90.000) = Rp550.000,00 Cotoh 9 Tetuka ilaiya: 00 a. (i + 5) i= 50 b. ( 00 ) c. = 6 50 i= 50 a. Sesuai defiisi otasi sigma bahwa: 00 ( i + 5) = (. + 5) + (. + 5) + (. + 5) +... + (.00 + 5) i= = 7 + 9 + +... + 05, sesuai dega deret aritmatika maka jumlahya adalah: = ( a + U ) = 00 (7 + 05) = 0600 b. Sesuai defiisi otasi sigma bahwa: 50 (00 ) = (00.6) + (00.7) + (00.8) +... + (00.50) =6 = 8 + 79 + 76 +... + (-50), Bayakya suku () = 50 6 + = 45, sesuai dega deret aritmatika, maka jumlahya adalah: = ( a + U ) = 45 (8 + (-50)) =,5. = 70

00 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi 50 c. = + + +... +, ilai = 50 50 + = 0 i=50 =. = x 0 = 0 Cotoh 0 Nyataka dalam betuk otasi sigma dega batas bawah dari pejumlaha di bawah ii: a. + 7 + + 9 + 5 + + 7 + 4 b. + 5 + 8 + +... + c. 5 + 7 + + 7 + 5 + 5 + 47 + 6 Utuk meetuka poliom dari suatu otasi sigma, kita guaka rumus suku ke- atau U dari deret atirmatika maupu deret geometri yag sudah kita pelajari. a. + 7 + + 9 + 5 + + 7 + 4 Deret di atas merupaka deret aritmatika dega suku pertama a =, beda tiap suku b = 6 da bayakya suku = 8, maka: U = a + ( )b = + ( )6 = 6 5 a adalah: 8 Jadi otasi sigmay ( 6 5) b. + 5 + 8 + +... + Deret di atas merupaka deret aritmatika dega suku pertama a =, beda tiap suku b = da suku akhir, meetuka bayakya suku sebagai berikut: U = a + ( )b = + ( ) = = 78. Jadi otasi sigmaya adalah: = 78 = ( ) c. 5 + 7 + + 7 + 5 + 5 + 47 + 6 Deret di atas merupaka deret aritmatika tigkat (baca lagi deret aritmatika tigkat bayak) dega a = 5, b = da c =, rumus suku ke- sebagai berikut: ( )( ).c U = a + ( )b + ( )( ). = 5 + ( ) + = 5 + + + = + 5 Jadi otasi sigmaya adalah: 8 = ( + 5)

BAB III Barisa da Deret 0 c. Ragkuma. Barisa aritmatika adalah barisa yag memiliki beda atau selisih tetap atara dua suku yag beruruta.. Rumus suku ke- barisa aritmatika: U = a + ( )b U U ( ) = b U U m = ( m) b utuk > m. Suku tegah barisa aritmatika: U tegah = ( Uawal + U akhir ) 4. Rumus umum suku ke- utuk barisa aritmatika tigkat bayak adalah: ( )( )c ( )( )( )d U = a + ( )b + + +...!! 5. Rumus jumlah deret aritmatika: S = (a + U) atau S = (a + ( ) b). Tetuka rumus suku ke- da suku ke-00 dari barisa aritmatika di bawah ii: a., 9, 5,,... d. -8, -, -6, -0,... b. -5, -,, 7,,... e. 0, 6,, 8,... c. 5,, 9, 6,... f. 00, 9, 86, 79, 7,.... Tetuka rumus suku ke- da suku ke-75 dari barisa di bawah ii: a.,, 7,,,... c, 7,, 0, 8,... b.,, 9, 9, 68,, 7,... d. -5, -, 6, 6, 9, 45,.... Tetuka beda, suku pertama, rumus suku ke- da suku ke-75 dari barisa aritmatika di bawah ii: a. Suku ke-4 = 5 da suku ke- = 47 b. Suku ke-5 = 5 da suku ke-8 = c. Suku ke- + suku ke-5 = 68 da suku ke-6 + suku ke-8 = 44 d. Suku ke- = 7 da suku ke-5 + suku ke-7 + suku ke-0 = - e. Suku pertama + suku ke- = - 4 da suku ke- + suku ke-4 = - 4. Tetuka ilai suku tegahya jika ada dari barisa aritmatika di bawah ii? a., 7,, 5,..., 0 b. 7,, 9,..., 475 c. 5,,,...,.07 d. 500, 489, 478,..., 70 5. Tiga bilaga membetuk barisa aritmatika dega jumlahya. Jika ketiga bilaga dikalika hasilya.55. Tetuka bilaga-bilaga tersebut!

0 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi 6. Seutas tali dipotog mejadi 9 bagia sesuai dega barisa aritmatika. Jika potoga terpedek da terpajag adalah cm da 59 cm. Tetuka: a. Beda tiap potoga b. Pajag tali potoga ke-6 7. Seorag karyawa diawal kerjaya memiliki gaji Rp..00.000,00 Setiap kuartal gajiya aka diaikka sebesar Rp.75.000,00 Tetuka gaji karyawa tersebut setelah bekerja selama 7 tahu. 8. Suatu ivestasi dega ilai awal Rp. 85 juta. Dalam perhituga, utuk tahu pertama ilai ivestasi aka berkurag sebesar 0%, tahu ke- turu sebesar,5%, tahu ke- turu sebesar 5 % da tahu-tahu berikutya ilai ivestasi turu sesuai dega barisa aritmatika. Tetuka: a. Nilai ivestasi pada awal tahu ke-8 b. Nilai ivestasi pada akhir tahu ke- c. Setelah berapa tahu ivestasi tidak memiliki ilai lagi 9. Tetuka ilaiya dari deret aritmatika di bawah ii: a. + 5 + 9 + +... ( sampai 75 suku) b. 54 + 5 + 48 + 45 +... ( sampai 46 suku) c. 4 + + 8 + 5 +... + 6 =... d. 8 + 75 + 69 +... + (-) =... e. 5 + + 8 + 5 + + 9 +... ( sampai 80 suku) f. + 00 + 7 + 9 + + 86 +... ( sampai 7 suku) 0. Tetuka jumlah semua bilaga: a. Atara 00 sampai 00 yag habis diba gi 7 b. Atara 00 sampai 450 yag gabis diba gi 5. Seutas tali dipotog mejadi bagia sesuai dega deret hitug. Jika potoga terpedek da terpajag adalah 5 cm da, m. Tetuka: a. Beda tiap potoga b. Pajag tali sebelum dipotog-potog. Seorag pemilik kebu duria semejak pohoya berbuah tiap hari mecatat bayakya buah yag masak da berkesimpula bahwa hasilya pada hari ke- memuat rumus: -7 + 0. Tetuka jumlah seluruh buah duria yag masak!. Keutuga seorag pedagag bertambah setiap hari dega jumlah yag sama. Bila keutuga sampai hari ke-4 = Rp6.000 da keutuga sampai hari ke- = Rp605.000. Tetuka keutuga yag diperoleh sampai hari ke-5! 4. Fula memijam di koperasi SIMPAN PINJAM sebesar Rp.0.000.000,. da aka dibayar setiap bula dega pembayara yag sama besar sebesar Rp.400.000. Jika koperasi membebaka buga sebesar,5% dari sisa pijama. Tetuka jumlah buga total yag dibayarka Fula!

BAB III Barisa da Deret 0 5. Seorag karyawa karea prestasiya baik, dijajika oleh maajer gajiya diaika per Februari 006 sebesar Rp. 55.000,00 tiap bula. Jika gaji karyawa tersebut pada Jauari 006 sebesar Rp..00.000,00. Tetuka: a. Gaji karyawa pada Agustus 007 b. Jumlah semua gaji karyawa sampai Maret 007 6. Tetuka ilaiya: 00 a. 4 00 d. ( x + 4) x = 5 x = 68 b. ( + ) d. ( 850 8p) = p = 5 85 00 c. ( + 00) e. ( + 00) = 7 = 7. Ubahlah ke dalam betuk otasi sigma f ( m ) : m = a. + 4 + 9 + 5 + 6 + 49 + 64 b. 8 + 7 + 64 + 5 + 6 + 4 c. + 7 + + 5 +... (sampai 50 suku) d. -0 7 4 + +... (sampai 5 suku) e. 50 + 4 + 6 + 9 +... (sampai 0 suku) f. + 7 + + + + 4 +... (sampai 0 suku) g. + 6 + 4 + 5 + 9 + 56 +... (sampai 0 suku) h. + 7 + + 9 + 5 +... + 05 7 B. Barisa da Deret Geometri a. Tujua Setelah mempelajari uraia kompetesi dasar ii, ada dapat: Mejelaska barisa da deret geometri Meetuka suku ke suatu barisa geometri Meetuka jumlah suku suatu deret geometri Mejelaska deret geometri tak higga Meetuka jumlah deret geometri turu dega bayak suku tak higga Meyelesaika masalah program keahlia yag berkaita dega deret geometri b. Uraia Materi ). Barisa Geometri Selai ama-ama barisa yag sudah dibahas satu persatu, masih bayak amayag belum dapat dibahas semuaya. Namu ada satu lagi ama barisa yag lai ama barisa yag aka dibahas dalam pokok bahasa ii, yaitu barisa Geometri.

04 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi Barisa geometri adalah barisa yag memiliki rasio atau pembadig yag tetap atara suku-suku yag berurutaya. Cotoh Dari barisa-barisa di bawah ii, maakah yag termasuk barisa geometri: a.,, 48, 9, 768,... b., 4,, 48, 40, 440,... c. 65, 5, 5, 5,,... 9 7 8 d.,,,,,... e. 5 5 5 5 5 4 8 6,,,, 5 5 45 5 405,... a.,, 48, 9, 768,... merupaka barisa geometri karea memiliki rasio yag 48 sama atara suku-suku yag berurutaya, yaitu: = =... = 4 b., 4,, 48, 40, 440,... buka merupaka barisa geometri karea rasio 4 48 atara suku-suku yag berurutaya tidak sama, ya itu:... 4 c. 65, 5, 5, 5,,... merupaka barisa geometri karea memiliki rasio yag 5 5 sama atara suku-suku yag berurutaya, yaitu: = =... = 65 5 5 d. e. 9 7 8,,,,,... merupaka barisa geometri karea memiliki rasio yag 5 5 5 5 5 9 sama atara suku-suku yag berurutaya, yaitu: : = : =... = 5 5 5 5 4 8 6,,,,,... merupaka barisa geometri karea rasio atara sukusuku yag berurutaya sama, yaitu: : = : = : =... = 5 5 45 5 405 4 8 4 6 8 5 5 45 5 5 45 Ji ka rasio dari barisa geometri adalah r da suku pertamaya a, maka barisa geometri tersebut adalah: U U U U 4...... U a a.r a.r a.r...... a.r ( ) Dari pola barisa di atas, maka rumus suku ke- dari barisa geometri adalah: U = a.r ( )

BAB III Barisa da Deret 05 Dari pola barisa di atas, kita dapat meetuka hubuga atara rasio da sukusukuya, yaitu: U U = r, = r U 4, = r U 4, = r da seterusya. S ehigga dapat disimpulka: U U U U U = r ( m) U m atau U = r ( m). U m Cotoh Tetukalah rumus suku ke- da suku ke-5 dari barisa geometri di bawah ii: a., 6,, 4, 48,... b. 5, 56, 8, 64,... c. 0, ; 0,0 ; 0,00 ; 0,000 ;... d. 60, 90, 5, 0,... e.,,,,,... 5 5 5 65 a., 6,, 4, 48,... merupaka barisa geometri dega rasio r =, da suku pertama a =, maka rumus suku ke- adalah: U = ar U =. Suku ke-5: U 5 =. 5 =. 4 = 495 56 b. 5, 56, 8, 64,... mer upaka barisa geometri dega rasio r = =, 5 da suku pertama a = 5, maka rumus suku ke- adalah: U = ar U = 5.( ) = 9. -( ) = 9 + = 0 0 5 Suku ke-5 : U 5 = = -5 = c. 0, ; 0,0 ; 0,00 ; 0,000 ;... merupaka barisa geometri dega rasio r = 0, da suku pertama a = 0, maka rumus suku ke- adalah: U = ar U = 0,. 0, = 0, = 0 - Suku ke-5: U 5 = 0-5 90 d. 60, 90, 5, 0,... merupaka barisa geometri dega rasio r = = 60 da suku pertama a = 60, maka rumus suku ke- adalah:

06 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi U = ar U = 60.( ) =. 5... - + = 5. - +. Suku ke-5: U 5 = 5. -5 +. 5 = 5. -. 5 e.,, 5 5, 5,,... merupaka barisa geometri dega rasio r = da 65 5 suku pertama a =, maka rumus suku ke- adalah: U = ar U =.( ) 5 = 5 - + Suku ke-5: U 5 = 5 - + = 5-5 + = 5-4 Cotoh Diketahui suatu barisa geometri suku ke-6 adalah 96 da suku ke-9 adalah 768. Tetuka suku ke-. Rumus suku ke- barisa geometri: U = ar Suku ke-6 = 96 Suku ke-9 = 768 ar 5 = 96...) ar 8 = 768... ) Cara : Tetuka dahulu ilai a da r, yaitu: ar 8 768 = r = 8 r = ar 5 96 Dari persamaa ) ar 5 = 96 a. 5 = 96 a = Jadi suku ke-: U = ar =. = 644 Cara : Guaka hubuga atara U m da U : U m r U = U9 9 6 r m U = 6 768 = r r = 96 U = r m. U m U = 9. U 9 U =. 768 = 644

BAB III Barisa da Deret 07 ). Nilai Tegah Barisa Geometri Barisa bilaga yag memiliki suku tegah apabila bayak sukuya gajil. Jika suku ke-t a tau U t merupaka suku tegah, maka bayakya suku adalah (t ) da suku terakhir adalah suku ke-( t ) atau U (t ). U t = a.r t U t = (a.r t ) U t = (a.t t ) U (t ) t = ( a. a.r ) 44 U t sehigga diperoleh hubuga: Karea U t = ( U. U (t ) ) atau U t = U. U (t ) U (t -) merupaka suku akhir dari deret tersebut da U merupaka suku awal, maka: U tegah = U awal. Uakhir Cotoh 4 Tetuka suku tegah da suku keberapa dari suku tegah tersebut jika ada, dari barisa geometri di bawah ii? a. 5, 0, 0, 40,..., 50 b.,,,..., 04 6 8 c. 6, 8, 54,... ( sampai suku) Suatu barisa memiliki suku tegah jika memiliki bayakya suku gajil. a. Dari 5, 0, 0, 40,..., 50 maka diperoleh: suku pertama a = 5, rasio r = da suku terakhir 50. Maka bayakya suku diperoleh sebagai berikut: U = ar 50 = 5. 04 = 0 = =, karea bayak suku gajil, yaitu =, maka ada suku tegahya, yaitu suku ke-6: U 6 = ar 5 5 U 6 = 5. = 60 b. Dari,,,..., 04 maka diperoleh: suku pertama a = 6 8, rasio r = da suku terakhir 04. Maka bayakya suku diperoleh sebagai berikut: U = ar 04 =. -5 0 =. 0 = 6 = 6, karea bayak suku geap, yaitu = 6, maka tidak ada suku tegahya

08 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi c. Dari 6, 8, 54,... ( sampai suku), maka diperoleh suku pertama a = 6 da rasio r =. Karea bayak suku gajil, yaitu =, maka ada suku tegahya, yaitu suku ke-7: U 7 = ar 6 U 7 = 6. 6 = 474 ). Deret Geometri Jika suku-suku dari suatu barisa geometri dijumlahka, maka aka terbetuk deret geometri. Nama lai deret geometri adalah deret ukur. Sebagai cotoh deret yag terbe tuk dari barisa geometri:,, 4, 8,... adalah: + + 4 + 8 +... Jika S adalah jumlah suku yag pertama deret geometri da U adalah suku ke- ya, maka: S = U + U + U + U 4 +... + U + U S = a + ar + ar + ar +... + ar + ar...) jika dikalika r maka diperoleh: rs = ar + ar + ar + ar 4 +... + ar + ar... ) Jika persamaa ) dikurag ), maka aka diperoleh: S = a + ar + ar + ar + -... + ar - + ar r.s = ar + ar + ar + -... + ar - + ar + ar S r.s = a ar S ( r) = a ( r ), sehigga diperoleh rumus: S = a( r r ) _... a) Dega cara yag sama, jika persamaa ) dikurag ), maka aka diperoleh rumus: S = a(r ) r... b) Rumus a) di atas biasaya diguaka jika 0 < r <. da b) diguaka jika r > Catata: Hubuga atara U da S U = S S ( ) Cotoh 5 Tetuka jumlahya dari deret di bawah ii: a. + + 4 + 8 +... (sampai suku) b. 97 + 4 + 08 + 6 +...+ 4 7 a. Dari deret: + + 4 + 8 +... dapat diketahui suku pertama a =, rasioya r = ( r >, maka megguaka rumus b) da bayakya suku =, sehigga jumlah suku yag pertama sebagai berikut:

BAB III Barisa da Deret 09 a(r ) S = r ( ) S = S 5 = = 89 b. Dari de ret: 97 + 4 + 08 + 6 +... + suku pertama a = 97 da suku terakhir U = 4 4 dapat diketahui rasio r = = 7 97 4. Utuk meetuka jumlah 7 semua sukuya, kita tetuka dahulu bayakya suku sebagai berikut: U = ar 4 = 97. 7 4 = 7. 97 -( ) = -8 - + = -8 = 9. Utuk meetuka jumlah 9 suku yag pertamaya megguaka rumus a): a( r ) S = r 9 97.( ) S 9 = 968 97.( ) = 968 968 964 = 97.. = 968 7 Cotoh 6 Setiap awal bula Wey meabug di Bak BRI sebesar Rp.500.000,00. Jika Bak memberika b uga % per bula dega asumsi tidak ada biaya pada proses peabuga. T etuka jumlah semua tabuga Wey setelah meabug selama satu tahu! Sebelum mejawab soal di atas, terlebih lebih dahulu mecari rumus modal akhir dega megguaka buga majemuk, yaitu Suatu modal M dega buga p% per bula, maka setelah: bula modal mejadi = M + buga M = M + M.p = M( + p)

0 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi bula modal mejadi = M + buga M = M( + p) + M( + p)p = M( + p)( + p) = M( + p) bula modal mejadi = M + buga M = M( + p) + M( + p) p = M( + p) ( + p) = M( + p) D ari pola uraia di atas, maka pada bula modal mejadi: M = M( + p). Setelah satu tahu simpaa Wey pada: Bula pertama = 500.000( + 0,0) = 500.000(,0) Bula ke- = 500.000(,0) Bula ke- = 500.000(,0) 0 da seterusya, sehigga membetuk deret: 500.000(,0) + 500.000(,0) + 500.000(,0) 0 +... + 500.000(,0) Dari deret di atas, dapat diketahui: suku pertama a = 500.000(,0), rasio r =,0 da bayakya suku =, maka jumlah semua sukuya adalah: a(r ) S = r 500.000(,0)(,0 ) 50.000 x 0,684794 S = = = Rp. 6.840.65,76,0 0,0 Cotoh 7 Diketahui suatu deret: 5 + 5 + 45 +... Jika S merupaka jumlah suku yag pertama, carilah ilai terkecil sehigga S > 8000 Dari deret: 5 + 5 + 45 +...diperoleh suku pertama a = 5 da rasio tiap suku r =. Karea r > da S > 8000 maka rumus jumlahya adalah S = a(r ) r > 8000 5( ) > 8000. log > log 0 5 log 0 ( ) > 8000 > log > 00 > 7,5 > 0 Jadi terkecil supaya S > 8000 adalah = 8 4). Deret Geometri Tak higga Deret geometri terbagi mejadi dua: Deret geometri diverge yaitu deret geometri yag ilai rasioya r > Deret geometri koverge yaitu deret geometri yag memiliki rasio r: - < r < Deret geometri tak higga adalah deret geometri koverge yag memiliki suku tak terhigga. Karea memiliki ilai rasio atara - sampai, maka deret geometri tak higga merupaka deret geometri turu.

BAB III Barisa da Deret Karea rasio r berilai atara - sampai, maka suku-suku berikutya aka semaki kecil da aka medekati ol, dega kata lai lim r = 0. Dega demikia meskipu bayakya suku tidak berhigga, amu jumlah dari semua suku deret tersebut terbatas. Utuk meetuka jumlah suku-suku deret koverge dega jumlah suku tidak terbatas, perhatika uraia di bawah ii: Nilai S deret geometri koverge dega jumlah suku tak higga dilambagka a( r ) dega otasi: lim S = S = lim r a ar = lim ( ) r r a ar = lim lim r r a a = lim r, karea lim r = 0 maka, r r a a =. 0 r r a S = r Catata: Yag memiliki ilai jumlah dari suatu deret geometri tak higga haya deret geometri koverge, sedagka deret geometri diverge jumlah tak higgaya tidak ada Cotoh 8 Tetuka jumlah tak higgaya dari deret geometri di bawah ii: a. 8 + 6 + + +... b. 80 + 64 + 5, + 40,96 +... c. + + 5 + 5 +... 5 6 a. Dari 8 + 6 + + +...diperoleh suku pertama a = 8 da rasioya r = =, 8 jadi jumlah tak higgaya adalah: a 8 8 S = = = = 7 r b. Dari 80 + 64 + 5, + 40,96 +... diperoleh suku pertama a = 80 da rasioya r = 64 = 0, 8, jadi jumlah tak higgaya adalah: 80 a S = r 80 80 = = = 400 0,8 0,

Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi c. Dari 5 jadi ju + + 5 + 5 +... diperoleh suku pertama a = = 0, da rasioya r = 5, 5 mlah tak higgaya tidak ada karea r = 5 > Cotoh 9 80 Tetuka ilai dari lim (90 + 60 + 40 + +...) x 80 Meetuka ilai dari lim (90 + 60 + 40 + +...) sama artiya dega meetuka x 80 ju mlah tak higga dari suatu deret: 90 + 60 + 40 + +... Dega suku pertama a = 90 da rasioya r = S a = r 90 = = 90 = 70 60 = 90. Jumlah tak higgaya: Cotoh 0 Suatu bola patul dijatuhka dari ketiggia 6 meter. Setiap kali jatuh tiggi patula bola tersebut berkurag sepertigaya dari tiggi sebelumya. Tetuka jumlah seluruh litasa bola sampai bola itu berheti. Lihat gambar di sampig, U = 6, U = 6. = 4, U = 4. = 8 da seterusya. Pajag litasa 6 m bola merupaka deret geometri koverge, yaitu: 8 8 6 + 4 + +... da 4 + +... Jadi jumlah litasa bola seluruhya: 6 4 S + S = + = (8 + ) m = 0 m

BAB III Barisa da Deret c. Ragkuma. Barisa geometri adalah barisa yag memiliki rasio tetap atara suku-suku yag berurutaya.. Rumus suku ke- dari barisa geometri adalah: ( ) U = a.r U = r ( m) U m U = r ( m). U m. Rumus meetuka suku tegah dari barisa geometri adalah: U tegah = U awal. U akhir 4. Rumus meetuka jumlah deret geometri adalah: a( r ) a(r ) S = utuk r > da S = utuk r < r r 5. Rumus meetuka jumlah deret geometri turu utuk tak higga adalah: a S = r. Tetuka rumus suku ke- da suku ke-0 dari barisa di bawah ii: a., 4, 6, 64,... b. 5, 0, 0, 40, 80,... c. 9, 7, 8, 4,... d.,, 5, 5, 5,... 5 e..04, 5, 56,.... Tetuka rasio da suku pertama barisa geometri di bawah ii: a. Suku ke-4 = 8 da suku ke-6 = 79 b. Suku ke- = 6 da suku ke-5 = 6 c. Suku ke- = 0 da suku ke-6 =,5 d. Suku ke- = 64 da suku ke- + suku ke-4 = 0. Selesaika soal barisa geometri di bawah ii : a. Suku ke-4 = 7 da suku ke-6 = 4, tetuka suku ke-8 - b. Suku ke- = 00 da suku ke-6 = 0, tetuka suku ke-9 c. Suku ke- = da suku ke-5 = 8, tetuka suku ke-0

4 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi 4. Tetuka ilai suku tegahya apabila ada! a.,,, 4,...,.04 b., 6,,...,. c. 5, 5, 45,..., 98.45 d.,,,,....6 8 6 6 6 5. Tiga bilaga membetuk deret geometri yag jumlahya 9. Apabila hasil kali ketiga ad alah 75. Tetuka bilaga-bilaga tersebut! 6. Tetuka ilai dari deret geometri di bawah ii: a. + + 4 + 8 +... (sampai 0 suku) b. 54 + 8 + 6 + +... (sampai 9 suku) c. 8 + 7 + 9 +... + 7 =... d. 5 5 + 45 5 +... (sampai 8 suku) e. 6 + 4 +... (sampai 0 suku) f. + + +... (sampai 00 suku) g. + + + + 9 + 4 + 7 + 8 +... (sampai 9 suku) 7. Suatu tali dipotog mejadi 8 bagia da pajag masig-masig potoga membetuk deret geometri. Jika Potoga terpedek da terpajag adalah 8 cm da 74,96 meter. Tetuka pajag tali seluruhya. 8. Setiap awal tahu Mutiara meabug di Bak BNI sebesar Rp..000.000,00. Jika bak memberika buga 0 % per tahu da diaggap tidak ada biaya admiistrasi. Tetuka tabuga mutiara setelah meabug selama 0 tahu. 9. Setiap akhir bula Nei Meabug di BTN sebesar Rp.800.000. Jika Bak memberika buga,5% per bula da diaggap tidak ada biaya admiistrasi. Tetuka simpaa Nei setelah meabug selama,5 tahu! 0. Tetuka ilai x dari deret geometri : + 4 + 8 +... + x = 046. Suatu bola dijatuhka dari ketiggia meter. Setelah dijatuhka bola mematul 4 8 lagi setiggi meter. Patula ke- setiggi meter da seterusya. Teryata 9 tiggi-tiggi patula selajutya membetuk suatu deret geometri. Tetuka pajag litasa bola setelah mematul sebayak 6 kali.. Tetuka jumlah tak higgaya dari deret di bawah ii, jika ada: a. 9 + + +... b. + 0, + 0,0 + 0,00 +... 6 c. 8 + +... 9

BAB III Barisa da Deret 5 d. 0 +,5 + 5,65 +... e. + + + +... 8. Tetuka ilaiya: lim (9 + 6 + 4 + +...) x 4. Sebuah bola teis dijatuhka dari ketiggia meter. Setiap kali setelah bola itu mematul, ia mecapai ketiggia yag sama dega 0,75 kali yag dicapai dari ketiggia sebelumya. Tetuka jumlah litasa total yag dilalui oleh bola teis tersebut sampai berheti. 5. Suatu perusahaa pada awal produksi, memproduksi komoditas sebayak 54.000 uit. Karea maajemeya buruk setiap tahu produksi berkurag 0, dari produksi sebelumya. Tetuka jumlah total produksi perusahaa tersebut sampai ia tidak memproduksi komoditasya lagi! A. Piliha Gada. Jika Jumlah suku pertama suatu deret didefiisika sebagai S = 6 +, maka suku ke-0 adalah... a. 6 c. 80 e. 657 b. 50 d. 60. Lucky mempuyai segulug kawat yag aka dipotog-potog. Jika potoga pert ama pajagya 8 cm, da potoga berikutya ½ kali dari pajag potoga sebelumya maka pajag potoga kawat yag ke-5 adalah... a. 8,0 cm c. 7,5 cm e. 40,5 cm b. 4,0 cm d. 5,0 cm. Suatu barisa geometri mempuyai suku pertama 48 da suku keempat 6. Jumlah lima suku pertama dari barisa tersebut adalah... a. -9 c. e. 9 b. - d. 6 4. Jumlah tak higga suatu deret geometri adalah -50 dega suku pertama -0. Rasio de ret tersebut adalah.... a. c. e. - 5 5 5 a. d. - 5 5 5. Su atu deret aritmatika mempuyai rumus suku ke- = +. Jumlah 00 suku yag pertama dari deret tersebut adalah... a. 4.00 c. 5.50 e. 6.50 b. 5.50 d. 6.50

6 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi 6. Sebuah bola jatuh dari ketiggia meter da mematul kembali dega 7. ketiggia kali ketiggia 4 sebelumya. Pematula ii berlagsug terus- bola berheti. Jumlah seluruh litasa bola adalah... meerus higga a. 6 c. 7 e. 96 b. 48 d. 84 Dari barisa aritmatika, diketahui suku ke-6 = 0 da suku ke-5 = 67, maka suku ke-7 adalah a. 7 c. 46 e. 5 b. 4 d. 49 8. Suku pertama suatu deret geometri adalah da suku ke-4 = 0,5. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah... 5 a. 4 c. e. 6 7 b. d. 8 t geometri tak suku pertam 4 9. Suatu dere higga, diketahui a da jumlahya. Rasio dari deret tersebut adalah... a. c. 6 4 e. b. 5 d. 0. Jumlah semua bilaga bulat di atara 00 da 00 yag habis dibagi 5 adalah a. 7.400 c. 7.800 e. 8.00 b. 7.600 d. 8.000. Jumlah suku pertama suatu barisa dirumuska S = 5. Nilai supaya suku ke- dari barisa tersebut sama dega ol adalah... a. c. 6 e. 9 b. 5 d. 8. Diketahui suatu barisa, 4, 8, 4,,... Suku ke- barisa tersebut adalah... a. c. + e. + b. + d. + 50. Nilai dari ( + 5) adalah... = 5 a..760 c..760 b..670 d..860 e..760 4. Suku ke-5 dari deret a ritmatika adalah 4 da jumlah lima suku pertamaya sama dega 80. Jumlah 5 suku yag pertama dari deret tersebut adalah... a. 50 c. 560 e. 600 b. 540 d. 580

BAB III Barisa da Deret 7 5. Nilai dari : 4 + 7 + 0 +... + 60 =... a. 50.600 c. 56.500 e. 60.500 b. 55.800 d. 60.000 6. Jumlah tak higga suatu deret geometri adalah 8 da jumlah semua suku 8 geapya adalah. Suku ke-5 deret tersebut adalah... a. b. 8 5 c. 4 d. e. 7. Keutuga seorag pedagag bertambah setiap hari dega jumlah yag sama. Bila keutuga sampai hari ke-6 adalah Rp..000 da keutuga sampai hari ke-5 adalah Rp. 600.000. Maka keutuga sampai hari ke-0 adalah... a. Rp. 800.000 c. Rp. 90.000 e. Rp..000.000 b. Rp. 880.000 d. Rp. 960.000 8. Suku pertama suatu deret aritmatika adalah da suku terakhir adalah 8. Jika selisih suku ke- da suku ke-7 adalah 5, maka bayak sukuya adalah... a. c. 5 e. 8 b. 4 d. 6 9. Jika a, b, da S adalah suku pertama, beda, bayakya suku da jumlah suku yag pertama suatu barisa aritmatika, maka a =... S a. ( + )b c. S ( ) b + e. S ( ) b S S b. + ( ) b d. + ( ) b 0. Tiga bilaga membe tuk barisa aritmatika. Jika dijumlahka da dikalika ketiga bilaga tersebut hasilya adalah da.55. Maka suku tegahya adalah... a. 7 c. 5 e. 9 b. d. 6. Seorag petai cabe mecatat hasil paeya setiap hari, selama hari megalami keaika tetap yaitu pada hari pertama 5 Kg, hari kedua 0 Kg, hari ketiga 5 Kg da seterusya. Jumlah pae selama hari adalah. a. 00 Kg c. 400 kg e. 60 kg b. 50 Kg d. 600 kg. Jumlah semua bilaga asli atara sampai 00 yag habis dibagi tetapi tidak habis dibagi 5 adalah a. c. 7 e. 68 b. 5 d. 68

8 Matematika XI SMK Kelompok : Pejuala da Akutasi. Seorag peterak ayam mecatat hasil terakya setiap bula selama 0 bula yag megalami keaika tetap. Bayakya ayam pada bula pertama 5 ekor ayam, bula kedua 0 ekor, bula ketiga 5 ekor da seterusya. Jumlah terak ayam se lama 0 bula pertama adalah.... c. 60 ekor c. 500 ekor e. 750 ekor d. 75 ekor d. 600 ekor 4. Suku ke- dari barisa geometri adalah 4 sedagka suku ke-5 adalah. Besar suku ke-8 adalah... a. 7 c. 6 e. b. 5 d. 7 5. Sebuah bakery pada bula pertama memproduksi 0.000 potog kue doat da tiap bula produksiya aik 00 potog dari produksi bula sebelumya. Jumlah kue yag diproduksi bakery tersebut selama tahu pertama adalah... potog a..00 c. 6.700 e. 4.400 b..400 d..00 B. Soal Essay. Tetuka ilaiya dari deret di bawah ii : a. + 7 + + 9 + 5 +... +65 5 5 5 b. 60 + 0 + 5 + + +... + 4 64. 75 c ( 5p p = ) m + d. (5. m) m = e. 4 + 8 +,5 + 0,5 +, tetuka jumlah tak higgaya.. Dari barisa 4 buah bilaga, setiap bilaga yag berdekata sama selisihya. Jumlah tiga bilaga pertama sama dega ol da kuadrat bilaga pertama sam a dega kali bilaga ke-. Tetukalah bilaga-bilaga tersebut.. Tiga bilaga merupaka deret geometri dega jumlahya 6. Apabila suku tegahya ditambah 4, maka ketiga bilaga itu membetuk barisa aritmatika. Tetuka bilaga-bilaga itu. 4. Suku ke- suatu barisa dirumuska: U =, a. Tetukalah rumus jumlah suku ke- da jumlah suku ke- ya. b. Tetukalah jumlah 0 suku yag pertamaya. 5. Suatu deret geometri tak higga jumlahya 50, sedagka jumlah tak higga sukusuku geap badig jumlah tak higga suku-suku gajilya adalah 4 : 5. Tetukalah deret tersebut.