Bab 6: Estimasi Parameter () BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (). ESTIMASI PROPORSI POPULASI Proporsi merupaka perbadiga atara terjadiya suatu peristiwa dega semua kemugkiaa peritiwa yag bisa terjadi. Besara proporsi dalam sampel bayak dipakai dalam peelitia utuk megestimasi proporsi dalam populasi. Misalya utuk megestimasi proporsi karyawa berpedidika sarjaa, diguaka proporsi atara karyawa berpedidika sarjaa dega buka sarjaa. Utuk megetahui tigkat cacat barag dalam produksi, diguaka dalam betuk proporsi yaitu perbadiga atara barag cacat dalam setiap.000 barag yag diproksi. Estimasi parameter populasi dapat dilakuka dega megguaka proporsi sampel., dega rumus proporsi populasi adalah: X Π = N Sedagka besara proporsi sampel, dilambagka: x p = Dimaa: Π; p = Proporsi populasi (sampel) X; x = jumlah variabel yag ditayaka (jumlah sukses) N; = jumlah aggota populasi (sampel) Cotoh: Dari lima mahasiswa maajeme UNY, dimitai kometarya tetag suasaa belajar di UNY, da didapat iformasi sebagai berikut: A B C D E SUKA TIDAK SUKA SUKA TIDAK Berapa proporsi mahasiswa yag suka belajar di UNY? Apabila: = jumlah aggota sampel = 5 x = kejadia suka (sukses) = 3 x = kejadia tidak suka (gagal) = Maka, proporsi mahasiswa yag suka belajar di UNY adalah: x p = = 3/5 = 0.6 arif_wibowo@uy.ac.id -
Bab 6: Estimasi Parameter () Estimasi proporsi sampel bisa dilakuka megguaka distribusi ormal apabila ukura sampel yag diguaka () cukup besar. Dalam hal ii ukura sampel diaggap cukup besar apabila.p 5 da.q 5; dimaa = besar sampel; p = proporsi sukses; q = proporsi tidak sukses (gagal) yaitu sebesar -p Logika yag diguaka dalam estimasi proporsi populasi sama dega ketika kita membagu rumus estimasi mea populasi. Secara rigkas, rumus estimasi proporsi Π adalah sebagai berikut: dimaa: Cotoh: Π = p ± Z.S p. ; Π = Proporsi kejadia sukses dari populasi yag diestimasi p = proporsi kejadia sukses dari sampel z = ilai distribusi ormal Sp = stadar deviasi samplig = stadar error = (p.q)/ Dari suatu populasi (tidak diketahui jumlahya) diambil 00 orag sebagai sampel, da diketahui bahwa 65 orag diataraya adalah perokok. Buatlah estimasi proporsi perokok dari populasi dega megguaka derajat keyakia 95%. Jawab: Diketahui: = 00 (jumlah semua observasi) x = 65 (jumlah perokok) Ditayaka : estimasi proporsi populasi perokok Jawab: p = 65 / 00 = 0.65 (proporsi sampel perokok) q = p =.65 = 0.35 (proporsi sampel buka perokok) Estimasi bisa dilakuka megguaka distribusi ormal, karea p = 65; da q = 35 yag berrti jumlahya cukup besar ( 5); Stadar error = S p. = (p.q)/ = (0.6 x 0.35) / 00 = 0.048 Derajat keyakia = 95%, maka ilai z = ±.96 Estimasi proporsi populasi perokok = Π = p ± Z.S p. ; = 0.65 ±.96(0.048) = 0.65± 0.09 = 0.56 sampai dega 0.75 arif_wibowo@uy.ac.id -
Bab 6: Estimasi Parameter () Jadi, dega derajat keyakiaa 95%, diestimasi bahwa proporsi perokok dari populasi adalah atara 0.56 sampai dega 0.75 0.05 0.05 0.56 -.96 0.65 0.74 p 0 +.96 z. ESTIMASI BEDA DUA MEAN POPULASI Dilakuka utuk meaksir beda rata-rata dari sebuah variabel pada dua buah populasi. Beberapa cotoh dalam kasus ii misalya: megestimasi beda rata-rata pedapata pekerja di perusahaa koveksi A da perusahaa koveksi B; Meestimasi beda rata-rata atara kierja pekerja shif malam dega pekerja shif siag; Beda model kepemimipia atara sebelum medapatka pelatiha ESQ dega sesudah medapatka pelatiha ESQ. Dua buah sampel yag diambil dari dua buah populasi bisa bersifatidepedet atau depedet. Dua buah populasi dikataka idepedet apabila aggota sampel pertama tidak berkaita dega aggota ampel kedua. Misalya igi diketahui beda rata-rata IPK mahasiswa pria dega mahasiswa waita. Karea (populasi) mahasiswa pria tidak mugki juga mejadi aggota (populasi) mahasiswa waita, maka dikataka kedua sampel tersebut idepedet. Sedagka sampel diambil dari populasi yag depedet, apabila aggota sampel sampel yag satu dipegaruhi atau tergatug oleh aggota sampel kedua. Misalya, igi diketahui beda rata-rata pedapata karyawa atara sebelum krisis moeter dega sesudah krisis moeter. Dalam hal ii, karea aggota sampel pertama juga aggota sampel kedua, maka dikataka bahwa sampel tersebut diambil dari populasi yag depedet. PENN BEDA DUA MEAN POPULASI YANG INDEPENDEN Dari dua sampel yag diambil dari dua populasi (idepede), kita bisa mecari ilai rata-rata sampel pertama (x ), da rata-rata sampel kedua (x ). Selai itu juga bisa dicari stadar deviasi populasi (σ ) da stadar deviasi populasi (σ ). arif_wibowo@uy.ac.id - 3
Bab 6: Estimasi Parameter () I. Rumus estimasi beda dua mea populasi idepede utuk kodisi:. Sampel da sampel adalah adalah sampel besar ( 30; da 30), dega tidak mempedulika betuk populasi apakah berdistribusi ormal ataukah tidak. Deviasi populasi (σ) diketahui: (µ µ ) = (x x ) ± Z. σ x-x dimaa: (µ µ ) = beda mea popuilasi yag diestimasi (x x ) = beda rata-rata mea dua sampel (dari data sampel yag diketahui) Z = ilai probabilitas yag ditetapka peeliti = Stadar error beda dua mea populasi. σ x-x Stadar error beda mea populasi (σ x-x ) didapat dega rumus: σ x-x = σ + σ dimaa: σ = stadar deviasi populasi σ = stadar deviasi populasi = besar sampel = besar sampel II. Rumus estimasi beda dua mea populasi idepede utuk kodisi:. Sampel da sampel adalah adalah sampel besar ( 30; da 30), dega tidak mempedulika betuk populasi apakah berdistribusi ormal ataukah tidak. Deviasi populasi (σ) tidak diketahui: (µ µ ) = (x x ) ± Z. S x-x dimaa: S x-x = Stadar error beda dua mea populasi, yag didapat dari: S x-x = S + S dimaa: S = stadar deviasi sampel S = stadar deviasi sampel = besar sampel = besar sampel arif_wibowo@uy.ac.id - 4
Bab 6: Estimasi Parameter () III. Rumus estimasi beda dua mea populasi idepede utuk kodisi:. Salah satu atau kedua sampel adalah sampel kecil ( < 30; da/atau < 30). Dalam hal ii distribusi populasi (harus) berbetuk ormal. Deviasi populasi (σ) diketahui: dimaa: σ x-x = (µ µ ) = (x x ) ± Z. σ x-x (sama dega rumus utuk kodisi a) σ + σ IV. Rumus estimasi beda dua mea populasi idepede utuk kodisi:. Salah satu atau kedua sampel adalah sampel kecil ( < 30; da/atau < 30). Dalam hal ii distribusi populasi (harus) berbetuk ormal. Deviasi populasi (σ) tidak diketahui (harus diasumsika bahwa σ da σ besarya sama: dimaa: δ x-x (µ µ ) = (x x ) ± t. δ x-x = Stadar error beda dua mea utuk distribusi t Stadar error beda dua mea utuk distribusi t didapat dega rumus: δ x-x = dimaa: ˆ σ ˆ σˆ σ + ( ) s + ( ) = + s NB: utuk mecari ilai t, diguaka derajat bebas + - CONTOH : arif_wibowo@uy.ac.id - 5
Bab 6: Estimasi Parameter () Data tetag pedapata karyawa di dua perusahaa adalah sebagai berikut: Sampel dari populasi : = 80; X =.500; s = 50; Sampel dari populasi : = 75; X =.300; s = 00; Carilah estimasi utuk beda du mea populasi (estimasi µ - µ) dega derajat keyakia 95%. Jawab: = 80 da = 75, berarti sampel besar. da stadar deviasi populasi (σ) tidak diketahui, maka kita megguaka rumus II. (µ µ ) = (x x ) ± Z. S x-x Dega derajat keyakia 95%, maka ilai z =.96 S x-x = = S + 50 80 = 0.36 S 00 75 (µ µ ) = (x x ) ± Z. S x-x + (rumus II) Esimasi µ- µ = (500-300) ±.96 x 0.36 = 00 ± 40 = 60 sampai dega 40 Jadi perbedaa rata-rata atara populasi dega populasi diestimasi sekitar atara 60 sampai dega 40. CONTOH Dari dua populasi baterai lithium, diambil masig-masig sebuah sampel, da diperoleh data tetag daya taha baterai lithium (dalam jam) sebagai berikut: Sampel dari populasi : = ; X = 3.400; s = 40; Sampel dari populasi : = 8; X =.800; s = 0; Stadar deviasi populasi tidak diketahui, tetapi besarya diaggap (diasumsika) sama. Carilah estimasi utuk beda du mea populasi (estimasi µ - µ) dega derajat keyakia 90%, apabila distribusi kedua populasi berbetuk ormal da stadar deviasiya diasumsika sama besar. Jawab: arif_wibowo@uy.ac.id - 6
Bab 6: Estimasi Parameter () Karea sampelya adalah sampel kecil, ( = da = 8, da stadar deviasi populasi tidak diketahui, maka kita megguaka rumus IV. Dega derajat keyakia 90%, α = - 0.9 = 0. maka /α = 0.05. Da df (derajat bebas = + = + 8 = 8; maka ilai t 0.05;8 =.734 ˆ σ ( ) s + ( ) = = + s (40) + 7(0 ) + 8 = 04.43 (µ µ ) = (x x ) ± t. δ x-x (rumus IV) Esimasi µ- µ = (3400-800) ±.734 x 04.43 = 600 ± 8 = 49 sampai dega 78 Jadi perbedaa rata-rata atara populasi dega populasi diestimasi sekitar atara 49 sampai dega 78. ESTIMASI BEDA DUA MEAN POPULASI DEPENDEN Syarat dua sampel dikataka depede (adaya sifat tergatuga) adalah adaya kesamaa sifat atara aggota-aggota dari dua kelompok sampel tersebut. Sifat seperti ii serig disebut sebagai sifat salig berpasaga. (paired observatio atau matched pairs). Sebagai cotoh, igi diketahui bagaimaa efektivitas suatu pelatiha degamegetahui kierja karyawa atara sebelum megikuti pelatiha dega sesudah pelatiha. Utuk itu dikumpulka data kierja karyawa sebelum pelatiha dipasagka dega kierja masigmasig karyawa sesudah pelatiha. Cotoh lai misalya igi diketahui perbedaa efektifitas dua metode pelatiha karyawa, dimaa dua pelatiha tersebut diikuti oleh karyawa dalam bidag yag sama yag (diasumsika) mempuyai sifat yag seragam. Data yag dikumpulka adalah kierja karyawa sesudah pelatiha atara mereka yag megikuti pelatiha metode utuk dipasagka dega data tiapkaryawa yag megkiuti pelatha metode. Utuk megestimasi beda dua mea populasi berpasaga ii, yag kita guaka adalah estimasi beda tiap pasaga data. Utuk itu tiappasaga data kita hitug beda (selisihya) sehigga kita mempuyai ilai baru yaitu ilai distribusi beda tiap pasaga data, da kita otasika dega d. Lagkah melakuka estimasi selajutya adalah megestimasi rata-rata beda populasi (D) dega meguaka rata-rata beda sampel d. Lagkah selajutya sama persis seperti kita megestimasi mea populasi, dega perbedaa bahwa ilai yag diestimasi buka ilai x tetapi ilai d. arif_wibowo@uy.ac.id - 7
Bab 6: Estimasi Parameter () CONTOH: Igi diketahui efektifitas pelatiha ketrampila kerja di perusahaa XXX, yag berupa pelatiha metode A da pelatiha metode B. Utuk masig-masig jeis pelatiha tersebut diambil sampel sebayak 0 orag, da hasilya pegukura kierja terhadap dua sampel tersebut adalah sebagai berikut: Karyawa No. 3 4 5 6 7 8 9 0 Metode A 8 0 5 9 6 6 0 9 Metode B 0 9 5 8 6 3 Dega derajat kepercayaa 90%, estimasi beda mea atara dua metode pelatiha tersebut disusu sebagai berikut: Karea = 0 da stadar deviasi populasi (σ) tidak diketahui maka kita megguaka uji t. t (df = - = 9; α = 0.05) =.6 Perhituga ilai beda dua observasi adalah sebagai berikut: No. Metode A B beda observasi = x - x = d 8 0-4 0 9 3 5 4 6 4-5 9-4 6 6 4 6 7 6 5 8 0 8 4 9 9 6 3 9 0 3 - Jumlah 06 97 Σd = 9 Σd = 57 d rata-rata beda dua observasi = d = Σd/ = 9/0 = 0.9 Stadar deviasi d = S = = d d 57 (0)(0.9) 0 =.33 Stadar error d = Sd = S / =.33 / 0 = 0.74 Maka estimasi rata-rata beda dua populasi depede = µd = d ± t.sd µd = 0.9 ±.6.(0.74) = 0.9 ±.674 arif_wibowo@uy.ac.id - 8
Bab 6: Estimasi Parameter () = -0.744 sampai dega.574 Jadi beda beda dua kierja atara pelatiha metode dega pelatiha metode, adalah berkisar atara 0.744 sampai dega.574. Demikia. 3. ESTIMASI BEDA DUA PROPORSI POPULASI Dalam estimasi beda dua proporsi, kita melakuka pegamata terhadap dua sampel da meghitug proporsi utuk masig-masig sampel. Dalam hal ii: da = besar sampel da besar sampel x da x = kejadia sukses yag ditayaka pada sampel da sampel p da p = peluag sukses pada sampel da sampel, yag besarya = x/ q da q = peluag gagal pada sampel da sampel, dimaa q = p Stadar deviasi utuk tiap-tiap sampel dihitug dega rumus: S p = (p.q )/ da S p = (p.q )/ Stadar error dihitug dega rumus: S p-p = (S p +S p ) Estimasi beda dua proporsi bisa dilakuka dega megguaka distribusi ormal dega syarat:.p 5, da.q 5; Dalam estimasi beda dua proporsi, maka sampel dega proporsi yag lebih besar ditempatka sebagai proporsi pertama. Rumus estimasi beda dua proporsi : Π - Π = (p p ) ± Z.S p-p dimaa: Π - Π = beda proporsi dua populasi yag diestimasi p p = beda proporsi dua sampel (igat p = x / ; p = x / ) Z = ilai probabilitas distribusi ormal = Stadar error beda dua proporsi. S p-p CONTOH: Igi diketahui bagaimaa perbedaa sikap mahasiswa UNY agkata 006 da 007 terhadap keputusa Uiversitas atas perberlakua kuliah malam. Diambil sampel sebayak 00 mahasiswa agkata 006 da sebayak 65 orag meyataka setuju. Sedagka dari 0 mahasiswa agkata 007, sebayak 40 orag yag meyataka setuju. Buatlah estimasi 95% utuk megestimasi beda siap (proporsi setuju) mahasiswa di kedua agkata tersebut. Jawab: Nilai yag diperluka: p = x / = 65/00 = 0.65; q = p = 0.65 = 0.35; S p = (p.q )/ = (0.65 x 0.35) / 00 = 0.048 p = x / = 40/0 = 0,33; q = p = 0.33 = 0.67 S p = (p.q )/ = (0.33 x 0.67) / 0 = 0.043 arif_wibowo@uy.ac.id - 9
Bab 6: Estimasi Parameter () Stadar error beda dua proporsi: S p-p = (S p +S p ) = (0.048) + (0.043) = 0.064 Dega derajat kepercayaa 95%, maka Z =.96 Estimasi Beda dua Proporsi: Π - Π = (p p ) ± Z.S p-p = (0.65 0.33) ± (.96).(0.064) = 0.3 ± 0.3 = 0.9 sampai dega 0.45 Jadi, diestimasi bahwa beda sikap yag meyataka setuju atara mahasiswa agkata 006 da agkata 007 sebesar sekitar 0.9 sampai dega 0.45 arif_wibowo@uy.ac.id - 0