ALGORITMA NEWTON RAPHSON DENGAN FUNGSI NON-LINIER I Waya Satiyasa Program Studi Tekik Iformatika, Jurusa Ilmu Komputer Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Udayaa Email : satiyasa@ilkom.uud.ac.id ABSTRAK Studi tetag karakteristik fugsi o-liier dapat dilakuka secara eksperimetal maupu teoritis. Salah satu bagia dari aalisa teoritis adalah dega melakuka komputasi. Utuk keperlua komputasi ii, metode umerik dapat dipakai dalam meyelesaika persamaa-persamaa yag rumit, misalya persamaa o-liear. Ada sejumlah metode umerik yag dapat diguaka utuk meyelesaika persamaa oliear, adalah metode Newto-Raphso. Kata Kuci : Numerik, Newto Raphso. Abstact Studies o the characteristics of o-liear fuctio ca be either experimetal or theoretical. Oe part of the theoretical aalysis is to perform computatio. For this purpose computatio, umerical methods ca be used i the complete equatios of the complex, such as o-liear equatio. There are a umber of umerical methods that ca be used to complete the o-liear equatio, is the Newto-Raphso method. Key Word : Numeric, Newto Raphso. PENDAHULUAN Dalam permasalaha o-liier, terutama permasalaha yag mempuyai hubuga fugsi ekspoesial dalam pembetuka polaya dapat diaalisis secara eksperimetal maupu teoritis. Salah satu bagia dari aalisa teoritis adalah dega melakuka komputasi dega metode umerik. Metode umerik dalam komputasi aka sagat membatu dalam meyelesaika permasalaha-permasalaha yag rumit diselesaika secara aritmatika. Metode umerik aka sagat membatu setiap peyelesaia permasalaha apabila secara matematis dapat dibetuk suatu pola hubuga atar variabel/parameter. Hal ii aka mejadi lebih baik jika pola hubuga yag terbetuk dapat dijabarka dalam betuk fugsi Ada sejumlah metode umerik yag dapat diguaka utuk meyelesaika persamaa o-liear. Dua diataraya adalah metode Newto-Raphso da metode Secat. Pedekata kedua metode yag berbeda ii dalam meyelesaika persoala yag sama, bisa dikomparasika terhadap solusi akhir yag diperoleh. Kesesuaia ilai yag didapat dalam kedua metode ii, meujukka bahwa hasil perhituga yag diperoleh adalah tepat. Secara komputasi, disampig ketepata ilai akhir dari suatu metode juga aka mempertimbagka kecepata iterasi dalam peroleha hasil akhir. Kombiasi atara ketepata da kecepata iterasi dalam metode umerik merupaka hal yag petig dalam peyelesaia permasalaha secara komputasi. 8
PRINSIP-PRINSIP METODE NUMERIK Tidak semua permasalaha matematis atau perhituga dapat diselesaika dega mudah. Bahka dalam prisip matematik, dalam memadag permasalaha yag terlebih dahulu diperhatika apakah permasalaha tersebut mempuyai peyelesaia atau tidak. Hal ii mejelaska bahwa tidak semua permasalaha dapat diselesaika dega megguaka perhituga biasa. Metode umerik diguaka utuk meyelesaika persoala dimaa perhituga secara aalitik tidak dapat diguaka. Metode umerik ii beragkat dari pemikira bahwa permasalaha dapat diselesaika dega megguaka pedekata-pedekata yag dapat dipertaggug-jawabka secara aalitik. Metode umerik ii disajika dalam betuk algoritma-algoritma yag dapat dihitug secara cepat da mudah. Pedekata yag diguaka dalam metode umerik merupaka pedekata aalisis matematis. Sehigga dasar pemikiraya tidak keluar jauh dari dasar pemikira aalitis, haya saja pemakaia grafis da tekik perhituga yag mudah merupaka pertimbaga dalam pemakaia metode umerik. Megigat bahwa algoritma yag dikembagka dalam metode umerik adalah algoritma pedekata maka dalam algoritma tersebut aka mucul istilah iterasi yaitu pegulaga proses perhituga. Dega kata lai perhituga dalam metode umerik adalah perhituga yag dilakuka secara berulag-ulag utuk terus-meerus diperoleh hasil yag mai medekati ilai peyelesaia eksak. Metode Newto Raphso Metode Newto Raphso adalah metode pedekata yag megguaka satu titik awal da medekatiya dega memperhatika slope atau gradie pada titik tersebut. Titik pedekata ke + dituliska dega : Algoritma Metode Newto Raphso :. Defiisika fugsi f(x) da fbb(x) 2. Tetuka tolerasi error (e) da iterasi maksimum () 3. Tetuka ilai pedekata awal xb0b 4. Hitug f(xb0b) da fbb(xb0b) 5. Utuk iterasi I s/d atau f(xi) e Hitug f(xbib) da fbb(xbib) 6.Akar persamaa adalah ilai xi yag terakhir diperoleh. Permasalaha pada pemakaia metode Newto Raphso adalah : 9
P (xbib) ±. Metode ii tidak dapat diguaka ketika titik pedekataya berada pada titik ekstrim atau titik pucak, karea pada titik ii ilai FP P(x) 0 sehigga ilai peyebut dari F ( x) sama dega ol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut: F ( x) Gambar. Pedekata pada titik pucak Bila titik pedekata berada pada titik pucak, maka titik selajutya aka berada di tak berhigga. 2. Metode ii mejadi sulit atau lama medapatka peyelesaia ketika titik pedekataya berada di atara dua titik stasioer. Gambar 3. Titik pedekata diatara 2 titik pucak Bila titik pedekata berada pada dua tiitik pucak aka dapat megakibatka hilagya peyelesaia (divergesi). Hal ii disebabka titik selajutya berada pada salah satu titik pucak atau arah pedekataya berbeda. Utuk dapat meyelesaika kedua permasalaha pada metode Newto Raphso ii, maka metode Newto Raphso perlu dimodifikasi dega :. Bila titik pedekata berada pada titik pucak maka titik pedekata tersebut harus di geser sedikit, xbib xbib δ dimaa δadalah kostata yag ditetuka dega demikia FP 0 da metode Newto Raphso tetap dapat berjala. 2. Utuk meghidari titik-titik pedekata yag berada jauh, sebaikya pemakaia metode Newto Raphso ii didahului oleh metode tabel, sehigga dapat di jami kovergesi dari metode Newto Raphso. UAlgoritma Metode Newto Raphso dega modifikasi tabel 0
xb0b xbib + + adalah digeser dari. Defiisika fugsi F(x) 2. ambil rage ilai x [a,b], dega jumlah pembagi 3. Masukka torelasi error (e) da masukka iterasi 4.Guaka algoritma tabel diperoleh titik pedekata awal xb0b F(xBkB). F(xBkB+)<0 maka xb0b xbkb 5. Hitug F(xB0B) da FBB(xB0B) 6.Bila F( abs (FP P(xB0B))) < e, maka pedekata awal xb0b xb0b dx hitug F(xB0B) da F(xB0B) 7. Utuk iterasi I s/d atau F(xi) e : sebesar dx hitug F(xBiB) da FBB(xi) bila FBB(xBiB) < e maka xbib dx hitug F(xBiB) da FBB(xB0B) 8.Akar persamaa adalah x terakhir yag diperoleh. Dega megguaka algoritma Newto Raphso yag dimodifikasika diharapka akar yag diperoleh sesuai dega harapa da bila terdapat lebih dari satu akar dalam rage ditujuk, aka ditampilka semuaya. METODOLOGI KASUS Metode perhituga utuk meetuka tegaga kerja dioda a. Metode Newto Raphso Metode Newto Raphso yag dibahas di sii adalah metode utuk meetuka harga tegaga kerja dioda v pada fugsi f(v) 0. Metode ii diperoleh dari peurua secara geometis seperti gambar 3. Dari gambar diatas gradie garis siggug di vbb m f (vbb) atau Δ ( v) f ( v ) 0 Δv v v Gambar 3. Metode Newto Raphso + : f... (5)
- - P dimasukka.. P adalah P ampere f (vbb) f ( v )... (6) v v + Sehigga metode Newto Raphso utuk keperlua iterasi adalah : vb+b f ( v ) vbb... (7) f '( v ) Iterasi dihetika bila v v < ε, dega ε adalah tetapa yag hargaya + ditetuka. b. Metode Secat Permasalah yag mucul dalam metode Newto-raphso adalah evaluasi turua fugsi f (v). Ada beberapa fugsi yag turuaya terlalu sulit dievaluasi terutama fugsi yag betukya rumit. Turua fugsi ii dapat dihilagka dega cara meggatiya dega betuk lai yag lebih mudah dievaluasi. Metode Newto Raphso yag diperbaiki ii diamaka metode Secat. Gradie kurva dapat dihitug sebagai : f (vbb) Δf ( v ) f ( v ) ( ) f v Δv v v Persamaa di atas jika disubstitusika ke persamaa sebelumya aka memberika metode Secat secara iterasi. f ( v vb+b )( v v ) vbb f ( v ) f ( v ) Iterasi dihetika bila v+ v < ε, dimaa ε adalah tetapa yag hargaya ditetuka. -9 Jika pada ragkaia diberika ilai hambata R 50 Ω, arus saturasi Is 0P da tegaga sumber searah V B B,5 Volt, maka perhituga tegaga kerja dioda utuk kedua metode Newto Raphso da metode Secat ii dapat dilakuka. Algoritma Program da Flow Chart Algoritma program yag dimaksud disii adalah geeralisasi lagkah-lagkah prosedural utuk pembuata sebuah program, Sedagka flow chart merupaka implemetasi yag khusus dari algoritma tersebut. Peyelesaia perhituga tegaga kerja dioda megguaka program C. Algoritma program da flowchart masig-masig metode adalah sebagai berikut: UMetode Newto-Raphso Pada metode ii algoritma programya adalah :. Fugsi f(v) didefiisika sebagai 40v f(v) IBsBR(eP ) + v - VBbB, dimaa harga- harga R, IBsB, VBbB berilai tetap (kosta). 2. Fugsi f(v) dituruka yaitu 40v f (v) 40 IBsBR(eP ) + 3. Rage ilai h diguaka sebagai peubah pedekata ilai vbb. 4. Nilai tolerasi error (ε) dimasukka. 5. Tebaka awal vbtb 2
da yag da 6. Dega vbkb vbtb vbk+ B (vbtb h), maka masig-masig ilai tersebut dimasukka f(vbkb) da f(vbk+b). 7. Jika ilai f ( vk ) f ( v k + ) 0, lagkah 6 diulagi sampai diperoleh hasil perkalia f ( vk ) f ( v k + ) < 0 (salah satu ilai f(v) egatif). 8. Nilai v yag diperoleh dari lagkah 7 diguaka utuk perhituga ilai f(v) da f (v) sehigga betukya mejadi f(vbkb) da f (vbk+b). 9. Utuk iterasiya, diguaka persamaa : f ( v ) v + v f '( v ) dimaa ilai vbb dipakai adalah vbk+b yag diperoleh dalam lagkah 7. 0. Hitug ilai v+ v < ε, jika hasilya belum memeuhi, ulagi lagkah 9 dega megguaka ilai vb+b. Sehigga betukya mejadi : f ( v+ ) v v + 2 +. Bila lagkah 0 sudah dipeuhi, maka diperoleh sebuah ilai v (tegaga kerja dioda) yag dicari.. Hitug ilai absolut vbb - vb-b, jika ilai ii lebih besar atau sama dega ( ) ilai errorya (ε), maka masukka ilai vb+ B vbb vb-b vbb, kemudia ulagi dari lagkah 3 sampai dega 6. Perulaga ii dihetika saat ilai absolutya kurag (<) dari ilai errorya. 2. Apabila lagkah 6 sudah dilewati dimaa ilai absolutya kurag dari errorya, maka diperoleh ilai tegaga kerja dioda yag dicari. f '( v + ) 3
MULAI Iisialisasi H arga-harga V.5, R50,e0.000, x y Ket.: V : Tegaga sumber (Volt) R : Resistor (ohm) e : batas error x kotrol iterasi y kotrol iterasi Buat sebuah file dg ama ewto.txt sebagai output Ket.: File ewto.txt adalah keluara dari perhituga umerik, sehigga tidak ada tampila pada layar Masukka Tebaka awal Va Va V h fv R *Is*(exp(40*V)-)+V-Vs; fva R *Is*(exp(40*Va)-)+Va-Vs; x fv*fva; V Va; Tidak x > 0? Ya fv R *Is*(exp(40*V)-)+V-Vs; dv 40*R*Is*(exp(40*V))+; Vb V - (fv/dv); y Abs(Vb,V); V Vb; simpa hasil perhituga : dlm file ewto.txt Tidak y > e? Ya SELESAI Gambar 4. Flowchart Program metode Newto-Raphso HASIL DAN PEMBAHASAN Pecaria ilai tegaga kerja dioda sama halya dega mecari titik-titik akar pada persamaa o-liear dimaa diperluka ilai awal utuk kedua metode ii. Apabila ilai v dibuat sedemikia rupa sehigga fugsi f(v) medekati atau sama dega ol, maka pada titik itulah ditemuka tegaga kerja dioda. Hasil pecaria megguaka metode Newto-Raphso dega berbagai ilai awal dapat dilihat pada tabel. Dari hasil perhituga diperoleh bahwa iterasi terheti pada iterasi ke 5. Besarya tegaga kerja dioda pada titik ii adalah v 0,42255 dega ilai f(0,42255) 0,00007. Hasil ii telah memeuhi kedua persyarata yag ditetuka pada persamaa. Peetua ilai awal ditetuka secara coba-coba (trialerror) karea tidak ada atura tertetu yag megatur masalah ii. Tabel. Variasi ilai awal tegaga Dalam 4
Metode Newto-Raphso V 0.5 0.9.0.2 3.0 v 0.42255 0.42255 0.42255 0.42255 0.42255 N 5 5 5 5 5 f(v) 0.00007 0.00007 0.00007 0.00007 0.00007 Karakteristik Tegaga (v) Arus (i) Dioda Karakteristik dioda yaitu bagaimaa hubuga tegaga da arus dioda dalam ragkaia dapat diketahui dega melihat besarya ilai tegaga kerja dioda (v). Tegaga da arus dioda dapat dihitug dega megguaka metode Newto- Raphso (grafik 6) maupu metode secat (grafik 7). Perhituga ii dilakuka utuk memperoleh besarya ilai tegaga kerja dioda (v) yag maa aka mejadi masuka sebagaimaa dijelaska pada persamaa (2). Utuk medapatka tegaga kerja dioda yag bervariasi, ditetuka suatu ilai besara tegaga sumber yag tetap, yaitu Vs.5 V, sedag hambata R diubah secara bertahap. Hubuga Tegaga V da Arus I 250 200 Arus I (ma) 50 00 50 0 0,42 0,42 0,43 0,43 0,43 0,44 0,44 0,45 0,46 0,48 Tegaga Dioda (V) Gambar 5. Hubuga V-I dega Newto-Raphso Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa perubaha tegaga kerja dioda (v) aka meyebabka perubaha arus i yag aik secara ekspoesial. Hal ii sesuai dega karakteristik dari dioda. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpula Dari hasil perhituga megguaka metode Newto-Raphso,dapat disimpulka bahwa :. Pegguaa metode tersebut utuk mecari tegaga kerja dioda pada ragkaia dioda, selai pegguaa jeis metode yag dipakai, solusi akhir dari tegaga kerja dioda yag diperoleh juga aka dipegaruhi oleh ilai awal bagi metode ii. 2. Dega mesimulasika ilai hambata (R) da tegaga sumber (Vs) dalam pecaria hubuga tegaga (v) da arus dioda (i), dapat diperoleh hasil bahwa 5
tegaga kerja dioda (v) haya berubah sedikit yag berkisar atara 0,3 ~ 0,4 Volt, sedagka grafik hubuga v-i ii merupaka fugsi ekspoesial. 3. Apabila dioda dipasag dega bias maju (seperti dalam ragkaia dioda ii), maka besarya tegaga kerja dioda secara teoritis aka sagat kecil bila dibadigka dega tegaga hambata (R). Sehigga dalam peerapa praktisya, ragkaia dioda diaggap dihubug sigkat (hambata R dioda sagat kecil/diaggap ol). Sara Meskipu metode ii dapat diguaka utuk meghitug ilai tegaga kerja dioda, amu metode ii masih belum bisa memprediksi tegaga utuk semua jeis dioda (baik dari jeis Germaium maupu Siliko). Hipotesis yag mugki bisa diusulka utuk memperbaiki kelemaha ii adalah melakuka komputasi dega pedekata skala atom. DAFTAR PUSTAKA Chapra, Steve C da Caale, Raymod P, 994, Metode Numerik, Jilid, Erlagga, Jakarta. Neter, J ad Wasserma, W., 973, Applied Liear Statistical Models, Joh Willey& Sos, Califoria. Theraja, B.L., Theraja, A.K, 2004, A Text Book of Electrical Techology, Vol. IV, S.Chad, New Delhi. 6