CATATAN KULIAH #5&6 Optimasi Tanpa Kendala dengan Lebih dari Satu Variabel Sumber: Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Ch.11 5.1 Pendahuluan Pada kuliah sebelumnya, optimasi tanpa kendala dilakukan dengan satu variabel saja Dalam kenyataannya, seringkali fungsi yang dihadapi adalah fungsi dengan lebih dari dua variabel. Pemahaman mengenai diferensial sangat diperlukan dalam menyelesaikan optimasi dengan dua variabel tersebut. 5. Fungsi Diferensial dalam Optimisasi Misalkan sebuah fungsi didefenisikan dengan z = f ( ), maka diferensial dari fungsi tersebut dinotasikan dengan dz = f ( )d dimana nilai optimum didapat ketika dz = 0 Dengan dz = f ( )d, akan didapatkan diferensial lebih lanjut yakni d z d = = ( dz) = d[ f ( ) d] [ df ( ) ] d [ f ( ) d] d = f ( ) d dimana d z = f ( ) d sering disebut dengan diferensial tingkat dua Nilai diferensial tingkat dua berfungsi sebagai SOSC untuk menentukan nilai maksimum atau minimum, yaitu z minimum jika : d z 0 z maksimum jika : d z 0
Tentukan diferensial pertama dan kedua dari fungsi di bawah ini. Tentukanlah nilai relatif ekstremnya! 1. y = ln. y = 5. Nilai Ekstrem untuk Fungsi dengan Dua Variabel Misalkan diberikan sebuah fungsi z = f (, y). Maka kondisi diferensial pertama yang memaksimumkan fungsi tersebut (FONC) adalah dz = f d f dy Nilai optimal diperoleh pada saat f f = y y = 0
Uji diferensial kedua untuk SOSC, melalui total diferensial, didapatkan ( ) ( dz) ( dz) d z = d dz = d dy d dy ( f d f ydy) ( f d f ydy) = d dy d dy = f d f yddy f ddy f yydy = f d f ddy f dy SOSC diperoleh: z maksimum : z minimum : y 0; f yy < 0; f. f yy f y f < > 0; f yy > 0; f. f yy f y f > > Kondisi ekstrem di atas dapat disajikan secara umum dapat disajikan sebagai berikut: Kondisi Maksimum Minimum FONC f f = 0 f f = 0 = y yy = y SOSC f, f < 0, dan yy. f yy f y f > f, f > 0, dan yy. f yy f y f > Contoh soal: 1. Carilah nilai ekstrem z = y y
5.4 Pendekatan Determinan Matriks Hessian untuk SOSC Pendekatan determinan matriks Hessian dapat digunakan untuk uji SOSC, terutama sangat berguna untuk menguji fungsi dengan lebih dari dua variabel. Misalkan fungsi dua variabel z = f ( 1,,..., n ). Maka determinan matriks Hessian-nya adalah: f11 f1... f1n H = f 1 f... f n............ f f f f yang selanjutnya didefinisikan bahwa H 1 = f11, n1 n n nn f f H =,, 11 1 f 1 f H n = H Adapun penentuan relatif ekstremnya dapat dituliskan sebagai berikut Kondisi Maksimum Minimum FONC f f =... = f 0 f f =... = f 0 1 = n = 1 = n = SOSC H < ; H 0; 1 0 > ( 1) n H 0 H < 0;...; n > H 1, H,..., H n > 0
Contoh soal 1. Carilah nilai ekstrem dari 4 1 1 1 = z. Carilah nilai ekstrem dari 1 1 z =
5.5 Penerapan dalam Ekonomi Perusahaan multiproduk: Asumsikan suatu perusahaan dengan dua produk berada pada keadaan persaingan sempurna dengan harga masing-masing P1 = 1 dan P = 18. Fungsi pendapatan perusahaan dinyatakan dengan R = P1 Q1 P Q dengan biaya sebesar C = Q1 Q1Q Q. Tentukan kuantitas produk yang dapat memaksimumkan laba!
Diskriminasi harga: Suatu perusahaan monopoli yang memproduksi dua macam produk mempunyai fungsi permintaan untuk masing-masing produk sebagai berikut: D1 : p1 = 6 q1 D : p = 40 5q Adapun fungsi biaya totalnya adalah C = q1 q1q q. Tentukan kuantitas dan harga dari masing-masing produk yang memaksimumkan laba bagi monopolis! Hitung pula berapa laba maksimum yang dapat diperoleh!
Penentuan jumlah input perusahaan: Diketahui sebuah rt perusahaan memiliki fungsi penerimaan R = PQ( K, L) e, dimana Q ( K, L) menunjukkan jumlah produksi yang merupakan fungsi dari modal (K) dan tenaga kerja (L). Adapun fungsi biayanya adalah C = rk wl, dimana r dan w masing-masing adalah balas jasa untuk modal dan tenaga kerja. Tentukan nilai K dan L yang dapat memaksimumkan profit!
Latihan Soal 1. Carilah nilai relatif ekstrem dari fungsi-fungsi di bawah ini z = 9 a. ( 1 ) y w w b. z = e e e ( e y). Misalkan terdapat sebuah perusahaan monopolis yang menghadapi pasar yang berbeda dengan permintaan masing-masing pasar adalah sebagai berikut: P1 = 6 4Q1 P = 105 5Q P = 105 5Q Selanjutnya, fungsi biaya yang dihadapi oleh perusahaan adalah C = 0 15Q; Q = Q Q Q 1 Tentukan besarnya harga dan kuantitas yang memaksimumkan laba! Bagaimana kondisi optimal seandainya pemerintah melarang strategi diskriminasi harga?. Suatu perusahaan dengan dua produk menghadapi fungsi permintaan dan biaya sebagai berikut: Q1 = 40 P1 P Q1 = 5 P1 P C = Q1 Q 10 a. Carilah tingkat output yang menyebabkan laba maksimum! b. Periksa syarat cukup orde kedua. Dapatkan Anda memutuskan bahwa persoalan ini memiliki maksimum mutlak yang unik? c. Berapah laba maksimumnya?