Bahan Ajar Matematika Dasar Haryadi NIDN 0003116401 Universitas Muhammadiyah Palangkaraya 2013
2
Daftar Isi 1 Aljabar Pernyataan 7 1.1 Pernyataan.............................. 7 1.2 Proposisi............................... 10 2 Himpunan 15 2.1 Pengertian Himpunan........................ 15 2.2 Operasi pada himpunan....................... 18 3 Himpunan Bilangan Riel 23 3.1 Operasi pada bilangan real..................... 25 3.2 Urutan pada bilangan real...................... 30 3.3 Interval................................ 31 3.4 Nilai mutlak bilangan real...................... 32 3.5 Koordinat Siku-siku......................... 33 4 Fungsi Bernilai Real 37 4.1 Pengertian fungsi........................... 37 4.2 Grafik Fungsi............................. 40 4.3 Beberapa Jenis Fungsi........................ 41 5 Limit dan Kekontinyuan 49 5.1 Limit fungsi.............................. 49 5.2 Fungsi kontinyu............................ 52 6 Derivatif 55 6.1 Laju Perubahan Fungsi....................... 55 6.2 Definisi turunan........................... 56 6.3 Beberapa sifat turunan........................ 58 6.4 Aturan rantai dan akibatnya.................... 63 7 Maksimum dan Minimum Lokal 67 7.1 Turunan orde n............................ 67 7.2 Garis tangen pada kurva....................... 68 7.3 Titik kritis.............................. 71 7.4 Maksimum dan minimum lokal................... 72 3
4 DAFTAR ISI 8 Integral 77 8.1 Pengertian integral tak tentu.................... 77 8.2 Metode Substitusi.......................... 79 8.3 Integral tertentu........................... 83 8.4 Teorema Dasar Kalkulus....................... 85 9 Fungsi Trigonometri 89 9.1 Ukuran sudut............................. 89 9.2 Fungsi cosinus, sinus dan tangen.................. 92 9.3 Beberapa sifat fungsi sin θ, cos θ dan tan θ.............. 94 9.4 Derivatif cos u dan sin u....................... 98 9.5 Fungsi secan, cosecan dan cotangen................. 101 9.6 Integral fungsi trigonometri..................... 103 10 Fungsi Eksponen dan Logaritma 109 10.1 Fungsi logaritma alami........................ 110 10.2 Integral 1/x.............................. 114 10.3 Fungsi e x............................... 115 10.4 Turunan dan integral e u....................... 117 10.5 Fungsi a x dan log a x......................... 118 10.6 Turunan log a x dan a x........................ 121 11 Sistem Persamaan Linear 125 11.1 Persamaan Linear.......................... 125 11.2 Sistem persamaan linear dua variabel............... 128 12 Sistem persamaan linear yang diperluas 135 12.1 Vektor di R n............................. 135 12.2 Sistem persamaan linear umum................... 138 13 Sistem Persamaan Linear dalam bentuk Matriks 147 13.1 Matriks................................ 147 13.2 Representasi matrik dari sistem persamaan linear......... 151 14 Invers Matriks 157 14.1 Invers matriks bujur sangkar.................... 158 14.2 Mencari penyelesaian sistem persamaan linear dengan invers... 163 15 Determinan 167 15.1 Determinan Matriks Orde 2 dan 3................. 167 15.2 Sifat-sifat determinan........................ 169 15.3 Tes Formatif............................. 171 15.4 Ekspansi Laplace dan determinan orde n.............. 172 15.5 Kaidah Cramer............................ 177 15.6 Kaidah Cramer............................ 181
DAFTAR ISI 5 16 Basis Suatu Ruang Vektor 185 16.1 Kombinasi linear........................... 185 16.2 Bebas linear.............................. 189 16.3 Basis.................................. 192
6 DAFTAR ISI
Bab 1 Aljabar Pernyataan 1.1 Pernyataan Suatu pernyataan adalah suatu deklarasi kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya; nilai kebenaran ada dua yaitu benar dan salah. Suatu pernyataan hanya memiliki satu nilai kebenaran. Suatu tabel yang menyatakan nilai kebenaran pernyataan dinamakan tabel kebenaran; nilai benar dan salah dalam tabel ini ditulis berturut-turut dengan notasi B dan S. Contoh 1. (a) Ibukota Indonesia adalah Jakarta merupakan pernyataan bernilai B. (b) Palangka Raya berada di Malaysia adalah pernyataan bernilai S. (c) 2 + 3 = 4 adalah pernyataan bernilai S. (d) Pergilah! bukan merupakan pernyataan. Untuk mempersingkat penulisan, pernyataan kita tuliskan dengan notasi p, q, r dan sebagainya. Sebagai contoh, jika p adalah pernyataan Ibu pergi ke pasar, maka kita tuliskan p : Ibu pergi ke pasar. Pernyataan-pernyataan dapat digunakan untuk membentuk pernyataan majemuk dengan menghubungkan pernyataan-pernyataan tersebut menggunakan penghubung. Definisi 1. Diketahui p suatu pernyataan. Negasi p, ditulis p, adalah suatu pernyataan yang memilki nilai kebenaran sebagai berikut: Negasi p sering diucapkan Tidak p atau Tidak benar p. 7
8 BAB 1. ALJABAR PERNYATAAN p B S p S B Table 1.1: Negasi Contoh 2. Perhatikan pernyataan berikut: p : Ibu pergi ke pasar. Negasi p dapat dituliskan dengan cara-cara berikut: p : Ibu tidak pergi ke pasar. p : Tidak benar Ibu pergi ke pasar. Definisi 2. Diketahui p dan q pernyataan-pernyataan; p disjungsi q, ditulis p q, adalah pernyataan yang tabel kebenarannya sebagai berikut: p q p q B B B B S B S B B S S S Table 1.2: Disjungsi p q juga dibaca p atau q. Contoh 3. Diketahui pernyataan p : Ibu pergi ke pasar. q : Ibu pergi ke kantor. Kita bisa membentuk pernyataan majemuk, misalnya: p q: Ibu pergi ke pasar atau pergi ke kantor. p q: Ibu pergi ke pasar atau tidak ke kantor. Contoh 4. Apakah nilai kebenaran pernyataan berikut: Jakarta Ibukota Indonesia atau 1 + 2 = 5. Penyelesaian: Pernyataan Jakarta Ibukota Indonesia bernilai benar, sedangkan pernyataan 1 + 2 = 5 bernilai salah. Oleh karena itu berdasarkan tabel kebenaran p q, maka pernyataan Jakarta Ibukota Indonesia atau 1 + 2 = 5 bernilai benar.
1.1. PERNYATAAN 9 Definisi 3. Diketahui p dan q pernyataan-pernyataan; p konjungsi q, ditulis p q, adalah pernyataan yang tabel kebenarannya sebagai berikut: p q juga dibaca p dan q. p q p q B B B B S S S B S S S S Table 1.3: Konjungsi Contoh 5. Diberikan pernyataan-pernyataan : p : Surabaya di Jawa. q : Palangkaraya di Kalimantan. konjungi kedua pernyataan adalah p q: Surabaya di Jawa dan Palangkaraya di Kalimantan. Contoh 6. Apakah nilai kebenaran pernyataan berikut: Bulan mengelilingi bumi dan 2 + 3 = 8. Penyelesaian: Pernyataan Bulan mengelilingi bumi bernilai benar, sedangkan 2 + 3 = 8 bernilai salah; oleh karena itu berdasarkan tabel p q, pernyataan Bulan mengelilingi bumi dan 2 + 3 = 8 bernilai salah. Definisi 4. Diketahui p dan q pernyataan-pernyataan; p kondisional q, ditulis p q, adalah pernyataan yang tabel kebenarannya sebagai berikut: p q p q p q juga dibaca p maka q. B B B B S S S B B S S B Table 1.4: Kondisional
10 BAB 1. ALJABAR PERNYATAAN Contoh 7. Diketahui pernyataan-pernyataan: p : Saya seorang sarjana. q : Saya orang berilmu. maka pernyataan p q secara verbal dapat dinyatakan sebagai Jika saya seorang sarjana maka saya orang berilmu. Contoh 8. Apakah nilai kebenaran pernyataan berikut: Jika 1 + 3 = 10 maka bulan jatuh ke bumi. Penyelesaian: Karena pernyataan 1 + 3 = 10 bernilai S, maka menurut tabel kebenaran p q, pernyataan tersebut bernilai B. Definisi 5. Diketahui p dan q pernyataan-pernyataan; p bikondisional q, ditulis p q, adalah pernyataan yang tabel kebenarannya sebagai berikut: p q p q B B B B S S S B S S S B Table 1.5: Bikondisional p q juga dibaca p jika dan hanya jika q. Perhatikan dari tabel tersebut, bahwa p bernilai benar jika dan hanya jika q bernilai benar; demikian pula p bernilai salah jika dan hanya jika q bernilai salah. Contoh 9. Diketahui pernyataan: p : Saya seorang dermawan. q : Saya orang kaya. Biimplikasi kedua pernyataan adalah: p q : Saya seorang dermawan jika dan hanya jika saya orang kaya. Contoh 10. Apakah nilai kebenaran pernyataan berikut: 2 bilangan positif jika dan hanya jika 2 lebih besar dari 0. Penyelesaian: karena kedua pernyataan bernilai benar, maka pernyataan tersebut bernilai benar. 1.2 Proposisi Telah diketahui bahwa pernyataan-pernyataan p, q, r,, dapat dikombinasikan dengan penghubung,,,, dan. Kombinasi demikian dinamakan proposisi atau dalil dan ditulis dengan notasi P (p, q, ), Q(p, q, ), atau secara singkat ditulis P, Q,.
1.2. PROPOSISI 11 Definisi 6. Suatu proposisi dinamakan tautologi indextautologi jika proposisi tersebut selalu bernilai benar. Contoh 11. Proposisi p p merupakan tautologi. Ini dapat dinilai dengan cara membuat tabel kebenarannya. p p p p B S B S B B Definisi 7. Suatu proposisi dinamakan kontradiksi jika proposisi tersebut selalu bernilai salah. Contoh 12. Proposisi p p merupakan kontradiksi. Ini dapat diverifikasi dengan cara membuat tabel kebenarannya. p p p p B S S S B S Karena tautologi selalu bernilai benar, maka negasinya selalu bernilai salah; dengan kata lain negasi tautologi adalah kontradiksi. Demikian pula sebaliknya, negasi kontradiksi adalah tautologi. Definisi 8. Dua proposisi dikatakan ekuivalen jika kedua proposisi memiliki tabel kebenaran yang identik. Selanjutnya jika P dan Q ekivalen, maka ditulis P Q. Contoh 13. Apakah proposisi p q dan proposisi ( p q) merupakan proposisi yang ekuivalen? Penyelesaian: Pertama dikonstruksi tabel kebenaran Karena nilai kebenaan pada kolom p q dan kolom ( p q) sama, maka kedua proposisi ekivalen.
12 BAB 1. ALJABAR PERNYATAAN p q p q p q p q ( p q) B B B S S S B B S B S T S B S B B B S S B S S S B B B S Sifat 1. Beberapa sifat aljabar proposisi: (1) Sifat Indempoten (a) P P P (b) P P P (2) Sifat Asosiatif (a) (P Q) R P (Q R) (b) (P Q) R P (Q R) (3) Sifat Komutatif (a) P Q Q P (b) P Q Q P (4) Sifat Distributif (a) P (Q R) (P Q) (P R) (b) P (Q R) (P Q) (P R) (5) Sifat Indetitas (a) P S P (b) P B B (c) P B P (d) P S S (6) Sifat Komplemen (a) P P B (b) P P (c) P P S (d) B S, S B (7) Sifat DeMorgan (a) (P Q) P Q (b) (P Q) P Q
1.2. PROPOSISI 13 Definisi 9. Proposisi P dikatakan berakibat (berimplikasi) logis terhadap proposisi Q, ditulis P = Q jika P Q adalah tautologi. Contoh 14. Akan ditunjukan bahwa (p q) (p q). p q (p q) (p q) (p q) (p q) B B B B B B S S B B S B S B B S S S S B Karena (p q) (p q) merupakan tautologi, ini berarti (p q) berimplikasi (p q) atau ditulis (p q) = (p q) Sifat 2. Proposisi implikasi memiliki sifat: (a) P = P. (b) Jika P = Q dan Q = P, maka P Q. (c) Jika P = Q dan Q = R, maka P = R. Tes Formatif 1. Tentukan apakah kalimat berikut merupakan pernyataan? Jika merupakan pernyataan, tentukan nilai kebenarannya: (a) Setiap mahluk hidup memerlukan air. (b) Adakah mahluk hidup yang tidak memerlukan air? (c) Sungai Kapuas mewelati Kota Palangkaraya. (d) 7 + 6 = 13 (e) 2 bukan bilangan ganjil. (f) Berapakah x sehingga x + 2 = 10?
14 BAB 1. ALJABAR PERNYATAAN 2. Diketahui pernyataan p : Kemaren hujan. q : Jakarta banjir. Tuliskan bentuk verbal pernyataan-pernyataan p, q, p q, q p, dan p q. 3. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut (a) Jika Ibukota Indonesia adalah Palangkaraya maka masalah kemacetan dapat diatasi. (b) Jika 2 > 3 maka 4 > 6 (c) Jika burung bisa terbang maka air mengalir ke tempat yang lebih tinggi. (d) Jika bumi mengelilingi bulan maka manusia bahagia. (e) Bulan mengelilingi bumi jika dan hanya jika bumi mengelilingi matahari. (f) 2 + 3 = 5 jika dan hanya jika 2 + 4 = 10. (g) Jika 2 adalah bilangan genap maka 1 + 2 = 7. (h) Bulan mengelilingi bumi jika dan hanya jika bumi mengelilingi matahari. 4. Buatlah tabel kebenaran proposisi berikut (a) (p q) (p q) (b) p q (c) p ( p q) 5. Tunjukan bahwa p q q p 6. Buktikan bahwa p q berimplikasi logis p q.
Bab 2 Himpunan 2.1 Pengertian Himpunan Objek paling mendasar dalam matematika adalah himpunan. Himpunan bisa diibaratkan seperti benih; memiliki struktur yang sangat sederhana namun memilki potensi untuk berkembang menjadi tumbuhan yang strukturnya sangat rumit. Definisi 10. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang didefinisikan secara jelas. Objek di dalam himpunan dinamakan anggota atau elemen himpunan. Untuk mempersingkat notasi, himpunan kita tuliskan dengan abjad kapital seperti A, B, C dan sebagainya; anggota himpunan ditulis dengan abjad seperti a, b, c, x, y dan sebagainya. Jika x adalah anggota himpunan A, maka kita tuliskan x A dan jika x bukan anggota A, maka ditulis x / A Untuk menuliskan himpunan yang memuat anggota-anggotanya dapat dilakukan dengan mendaftar semua anggotanya di dalam kurung kurawal { dan } dan anggota yang berbeda dipisah dengan tanda koma. Contoh 15. (a) Misalkan A adalah himpunan semua ibukota propinsi di Kalimantan. Himpunan A dapat dituliskan dengan mendaftarkan semua anggotanya: A = {P alangkaraya, Banjarmasin, P ontianak, Samarinda} Perhatikan bahwa P alangkaraya A dan Jakarta / A. 15
16 BAB 2. HIMPUNAN (b) Jika B adalah himpunan semua bilangan bulat potitif yang lebih kecil dari 7, maka B dapat dituliskan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jelas bahwa 3 B, sedangkan 2 / B. Demikian pula 1 2 / B. (c) Jika C adalah himpunan semua bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 10, maka dapat dituliskan sebagai C = {2, 4, 6, 8, 10} Selain dengan cara mendaftar semua anggotanya, penulisan himpunan juga bisa dilakukan dengan menuliskan sifat keanggotaannya. Dengan cara ini suatu himpunan A dapat dituliskan sebagai A = {x : x bersifat P} dan dibaca A adalah himpunan x dimana x bersifat P. Contoh 16. Himpunan-himpunan pada contoh 15 dapat dituliskan sebagai (a) A = {x : x ibukota propinsi di Kalimantan} (b) B = {x : x < 7, x bulat positif} (c) C = {x : 0 < x 10 dan x genap} Alasan mengapa cara penulisan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaanya diperlukan diantaranya adalah tidak semua himpunan dapat disajikan dengan mendaftarkan semua anggotnya. Sebagai contoh, jika A himpunan semua bilangan real antara 0 dan 1, maka kita tidak bisa menuliskan/mendaftarkan semua anggotanya, karena ada tak hingga banyak anggota himpunan A, namun demikian himpunan ini dapat disajikan dengan menuliskan sifatnya keanggotaannya, misalnya A = {x : 0 < x < 1} Selain itu, sifat keanggotannya juga diperlukan untuk mengembangkan sifatsifat dan hubungan antar himpunan. Definisi 11. Himpunan A dikatakan himpunan bagian B, ditulis A B, jika setiap anggota A adalah anggota B. Berdasarkan definisi tersebut, A B jika dan hanya jika untuk setiap x A maka x B. Secara diagram, A B diilustrasikan pada gambar 2.1.
2.1. PENGERTIAN HIMPUNAN 17 A B Contoh 17. Diketahui Gambar 2.1: A B A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { 2, 0, 3, 5, 7} dan C = {3, 5} Perhatikan bahwa setiap anggota C adalah anggota A, dengan kata lain C A. Demikian pula C B. Sedangkan A bukan himpunan bagian B, karena tidak setiap anggota A adalah anggota B, misalnya 1 A tetapi 1 / B. Definisi 12. Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika setiap anggota A adalah anggota B dan setiap anggota B adalah anggota A. Berdasarkan definisi tersebut, penyajian himpunan tidak tergantung pada urutan penulisan anggota-anggotanya, misalnya {1, 4, 2} = {4, 1, 2} Definisi 13. Himpunan yang tidak memiliki anggota dinamakan himpunan kosong, ditulis. Himpunan kosong memiliki sifat: untuk sebarang hipunan A berlaku A, dengan kata lain, himpunan kosong merupakan bimpuan bagian sebarang himpunan. Definisi 14. Himpunan yang memuat semua himpunan lain dinamakan himpunan semesta (universal), dan ditulis U.
18 BAB 2. HIMPUNAN Dengan demikian, untuk sebarang himpunan A berlaku A U. Pengertian himpunan semesta tentu harus juga dibatasi pada lingkup yang menjadi perhatian. Misalnya jika yang menjadi perhatian adalah bilangan, maka himpunan semestanya adalah himpunan semua bilangan. 2.2 Operasi pada himpunan Definisi 15. Gabungan dua himpunan A dan B ditulis A B, adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota A atau anggota B. Kata atau dalam definisi 15 bisa berarti anggota A saja, anggota B saja atau anggota kedua himpunan. Secara grafik, gabungan dua himpunan A dan B dapat disajikan dalam diagram Venn berikut: A (a) B A (b) Gambar 2.2: (a) A B, (b) A B Definisi 16. Irisan dua himpuna A dan B ditulis A B, adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota A dan anggota B. B Didalaml definisi 16, kata dan berarti anggota kedua kedua himpunan A dan B. Diagram Venn irisan himpunan A dan B disajikan pada Gambar 2.2. Contoh 18. Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = { 2, 1, 0, 1, 2, 3} Gabungan dan irisan kedua himpunan masing-masing adalah A B = { 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} A B = {1, 2, 3}
2.2. OPERASI PADA HIMPUNAN 19 Teorema 1. Untuk sebarang himpunan A, berlaku (a) A = A (b) A = (c) A U = U (d) A U = A Bukti. (a) Jika x A maka x A, yang berarti A A. Sebaliknya jika x A maka x anggota A atau x anggota, dengan kata lain A A. Karena A A dan A A maka berarti A = A. (b) x A berarti x, yakni A. Sebaliknya, karena himpunan kosong adalah subset setiap himpunan, maka A. (c) Jelas bahwa A U U, sebab U himpunan semesta. Sebaliknya jika x U maka jelas bahwa x A U. (d) Jika x A U maka x A, yang berarti x A. Sebaliknya, karena A U maka A A U. Definisi 17. Diketahui U adalah himpunan semesta dan A U. Komplemen A, ditulis A c, didefinisikan sebagai himpunan semua anggota U yang bukan anggota A. Definisi 2.3, dapat dituliskan A c = {x : x U, x / A} yang berarti pula bahwa A c adalah himpunan semua anggota U yang tidak memiliki sifat keanggotaan A. Contoh 19. Diketahui B = {x : x < 1, x bilangan real}. Komplemen himpunan ini adalah B c = {x : x 1, x bilangan real} Definisi 18. Selisih himpunan A dan B, ditulis A B adalah himpunan semua anggota A yang bukan anggota B.
20 BAB 2. HIMPUNAN U A A B (a) Dengan demikian Gambar 2.3: (a) A c, (b) A B A B = {x : x A, x / B} Contoh 20. Diketahun A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4}. Selisih A B adalah himpunan semua anggota A yang bukan anggota B, yakni A B = {1, 3, 5} Teorema 2. Diketahui A, B dan C himpunan. (a) A B = B A dan A B = B A. (b) A (B C) = (A B) C dan A (B C) = (A B) C. (c) A (B C) = (A B) (A C dan A (B C) = (A B) (A C. (d) Jika A B maka B c A c. (e) (A B) c = A c B c dan (A B) c = A c B c. Bukti. (a) x A B jika dan hanya jika x A atau x B jika dan hanya jika x B atau x A jika dan hanya jika x B A. Bukti pernyataan kedua serupa. Bukti (b) dan (c) untuk latihan. (d) x B c berarti x bukan anggota B; karena A B maka berakibat x bukan anggota A yang berarti x A c. Jadi x B c berakibat x A c, yang berarti B c A c. (b) (e) x (A B) c berarti x bukan anggota A B yang berarti pula x bukan anggota A dan x bukan anggota B, dengan kata lain x A c B c. Sebaliknya, x A c B c berarti x bukan anggota A dan x bukan anggota B. Karena itu x bukan anggota A atau B, yang berarti x (A B) c. Bukti pernyataan kedua sebagai latihan.
2.2. OPERASI PADA HIMPUNAN 21 Tes Formatif 1. Daftar semua anggota himpunan berikut (a) A himpunan semua bilangan asli kelipatan 3 yang lebih kecil dari 21. (b) B himpunan planet dalam tata surya kita. (c) C himpunan semua bilangan bulat yang lebih besar dari 4 dan lebih kecil atau sama dengan 4. 2. Tuliskan himpunan berikut dengan menuliskan syarat keanggotaannya, (a) A = {1, 2, 3} (b) B = {2, 4, 6, 8, 10} (c) C = {a, e, i, o, u} (d) D = {2, 3, 5, 7, 11} 3. Diketahui A himpunan bilangan ganjil positif yang lebih kecil dari 10, B himpunan semua bilangan bulat positif kelipatan 3 yang lebih kecil dari 30. Carilah (a) A B (b) A B (c) A B 4. Diketahui C himpunan semua bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dan lebih kecil dari 10, D himpunan semua bilangan real lebih besar dari 1 dan lebih kecil dari 5. Carilah (a) C D (b) C D (c) D c
22 BAB 2. HIMPUNAN
Bab 3 Himpunan Bilangan Riel Suatu himpunan yang sangat penting di dalam matematika adalah himpunan bilangan real. Secara intuisi, bilangan real dapat dibangun dari bagaimana cara seorang anak mulai belajar mengenal bilangan. Dalam bagian ini akan diperkenalkan himpunan bilangan real yang dibangun dengan cara memperluas bilangan asli ke bilangan bulat, bilangan bulat ke bilangan rasional dan perluasan bilangan rasional ke bilarang real. Akan diperkenalkan pada bilangan cukup dengan dua operasi, sedangkan operasi aljabar lainnya merupakan pengembangan kedua operasi ini. Sifat urutan bilangan real diperkenalkan agar bisa diperkenalkan pengertian interval. Representasi bilangan real sebagai suatu garis lurus kemudian dikembangkan sistem koordinat siku-siku sebagai pasangan bilangan real. Himpunan bilangan asli N, adalah himpunan semua bilangan N = {1, 2, 3, } Himpunan bilangan asli cukup memadai untuk operasi jumlahan, karena jumlah dua bilangan asli adalah bilangan asli. Persoalan yang timbul adalah jika kita menginginkan bilangan x sehingga berlaku 2 + x = 2 maka tidak ada bilangan asli x yang memenuhi persamaan tersebut. Untuk mengatasi persoalan tersebut, diperkenalkan himpunan bilangan bulat positif. Himpunan bilangan bulat positif adalah himpunan semua bilangan {0, 1, 2, 3, } Dengan kata lain, himpunan bilangan bulat positif merupakan gabungan bilangan asli dan {0}. Dengan himpunan bilangan bulat positif, maka persoalan 23
24 BAB 3. HIMPUNAN BILANGAN RIEL 2 + x = 2 memiliki penyelesaian, yaitu x = 0. Jika kita kenakan operasi pengurangan pada himpunan bilangan bulat positif, maka akan timbul persoalan yaitu selisih dua bilangan bulat positifi tidak harus bilangan bulat positif. Sebagai contoh, tidak ada bilngan bulat positif yang merupakan hasil operasi 2 3. Himpunan bilangan bulat Z adalah himpunan Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Himpunan bilangan bulat memiliki sifat tertutup terhadap operasi pengurangan, dalam arti bahwa selisih dua bulangan bulat adalah bilangan bulat. Dari definisi bilangan bulat jelas bahwa himpunan bilangan asli adalah merupakan bilangan bulat, dengan kata lain N Z Meskipun himpunan bilangan bulat cukup memadai untuk operasi jumlahan dan pengurangan, ternyata himpunan ini tidak cukup memadai untuk operasi perkalian. Sebagai contoh, jika kita ingin mencari bilangan x yang memenuhi 2 x = 1 maka tidak ada bilangan bulat x yang memenuhi persamaan tersebut. Untuk mengatasi persoalan tersebut, diperkenalkan himpunan bilangan rasional, ditulis Q, yaitu himpunan bilangan berbentuk a/b dengan a dan b bilangan bulat dan b 0. Jadi Q = {x : x = a } b, a, b Z, b 0 Jika pada definisi Q diambil b = 1, maka setiap bilangan bulat adalah bilangan rasional, dengan kata lain Z Q Himpunan bilangan rasional memiliki sifat tertutup terhadap operasi perkalian, yaitu hasil kali dua bilangan rasional merupakan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional ternyata tidak cukup untuk menyelesaikan persoalan dalam ilmu pengetahuan dan teknoologi. Misalnya persoalan mencari bilangan x yang memenuhi x 2 = 2
3.1. OPERASI PADA BILANGAN REAL 25 Dapat dibuktikan bahwa tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya 2. Dengan demikian persoalan seperti mencari x sehingga x 2 = 2 hanya dapat diselesaikan jika x bukan bilangan rasional. Himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang bukan bilangan rasional dinamakan bilangan irasional. Himpunan bilangan real, ditulis R, adalah gabungan himpunan bilangan rasional dan bilangan irasional. Berdasarkan definisi bilangan real, maka setiap bilangan rasional adalah bilangan real, dengan kata lain Q R Tetapi sebaliknya tidak benar, yakni tidak semua bilangan real adalah bilangan rasional; contoh bilangan real yang bukan bilangan rasional adalah 2, π = 3, 141592654, e = 2, 71828182 dan sebagainya. Himpunan bilangan bersifat padat dimana-mana, yang berarti di antara dua bilangan real terdapat bilangan real. Dengan demikian jika kita memiliki dua bilangan real a dan b maka ada real bilangan lainny; jika setiap bingan real kita nyatakan sebagai suatu titik, ini berarti di antara dua titik ada titik lainnya. Jika kita mencoba menggambarkan titik-titik bilangan real antara a dan b, maka himpunan titik-titik ini akan membentuk garis lurus dari a hingga b. Dengan demikian himpunan bilangan real dapat digambarkan sebagai suatu garis lurus yang panjangnya tak hingga. Setiap titik pada garis tersebut menyatakan suatu bilangan real, dan sebaliknya setiap bilangan real dapat dinyatakan sebagai suatu titik pada garis tersebut. Selanjutnya garis ini dinamakan garis real. 2.5 1 0 2 e π Gambar 3.1: Garis real = R 3.1 Operasi pada bilangan real Sebenarnya pada himpunan bilangan real hanya dikenal dua operasi, yaitu operasi jumlahan dan operasi perkalian, sedangkan operasi lainnya merupakan pengembangan dari dua operasi ini. 1. Operasi jumlahan. Jumlah bilangan real a dan b ditulis a+b, memenuhi sifat-sifat:
26 BAB 3. HIMPUNAN BILANGAN RIEL i. Jumlah dua bilangan real adalah bilangan real. ii. a + b = b + a iii. a + (b + c) = (a + b) + c iv. a + 0 = 0 + a = a v. Negatif dari a ditulis a dan berlaku a + ( a) = 0 Sifat (1.i) menyatakan bahwa operasi jumlahan bersifat tertutup; sifat 1.(ii) dinamakan sifat komutatif yang menyatakan bahwa pada operasi penjumlahan bisa diubah urutannya. Bilangan 0 dinamakan elemen identitas operasi jumlahan. Bilangan a pada sifat (1.v) dinamakan invers a terhadap operasi jumlahan dan dibaca negatif a atau minus a. Bilangan a ditambah negatif b, a+( b) ditulis a b dan dibaca a dikurangi b, dengan kata lain, a b adalah a ditambah negatif b; jadi a + ( b) = a b Di dalam matematika, operasi yang berada di antara kurung buka ( dan kurung tutup ) dilaksanakan terlebih dahulu. Misalnya 2 + (6 + 7) maksudnya adalah dihitung terlebih dahulu 6 + 7 kemudian hasilnya ditambah dengan 2. 2. Operasi perkalian. Perkalian bilangan a dan b ditulis a b atau ab, memenuhi sifat-sifat: i. Hasil kali dua bilangan real adalah bilangan real. ii. a b = b a iii. a (b c) = (a b) c iv. a 1 = 1 a = a v. Jika a 0, maka ada bilangan real a 1 sehingga berlaku a a 1 = 1. Sebagaimana sifat operasi jumlahan, sifat (2.i) menyatakan bahwa operasi perkalian bilangan real adalah tertutup, sifat (2.ii) dinamakan sifat komutatif, sifat (2.iii) dinamakan sifat distributif. Bilangan 1 pada (2.iv) dinamakan elemen identitas operasi perkalian, sedangkan a 1 pada (2.v) dinamakan invers a terhadap operasi perkalian. Perhatikan bahwa bilangan 0 tidak memiliki invers terhadap operasi perkalian, yang berari 0 1 tidak ada. Invers dari a sering ditulis 1/a, yakni a 1 = 1 a
3.1. OPERASI PADA BILANGAN REAL 27 Dengan demikian, jika b 0 maka kita sering menuliskan a b 1 = a 1 b = a b dan ruas terakhir dibaca a dibagi b. Dengan demikian membagi suatu bilangan dengan b sama dengan mengalikan bilangan tersebut dengan 1/b. Selain dengan notasi, operasi perkalian sering ditulis tanpa notasi tersebut, jadi a b ditulis ab. Contoh 21. (a) 2 + 5 = 5 + 2 = 7. (b) 7 + (3 + 19) = (7 + 3) + 19 = 10 + 19 = 29. (c) 6 + 0 = 0 + 6 = 6. (d) 5 5 = 5 + ( 5) = 0. (e) 9 4 = 5 + 4 4 = 5 + (4 4) = 5 + 0 = 5. (f) 3 5 = 15. (g) 3 1 3 = 1. (h) 10 = 5 2. (i) 10 1 2 = 5 (2 1 2) = 5 1 = 5 Berdasarkan sifat-sifat operasi jumlahan dan perkalian, diperoleh sifat-sifat berikut: i. Sifat distributif: a(b + c) = ab + ac. ii. Jika a + x = b, maka x = b a iii. Jika a x = b, maka x = b a iv. ( a) = a Contoh 22. (a) (9 3) + (9 7) = 9 (3 + 7) = 9 10 = 90. (b) Berapakah x sehingga berlaku 5 + x = 9? Karena 5 + x = 9, maka x = 9 5 = 4. (c) Berapakah y sehingga y 3=12? Dengan menggunakan sifat di atas, maka y = 12 3 = 4.
28 BAB 3. HIMPUNAN BILANGAN RIEL (d) ( 2) = 2 dan ( ( 5)) = 5. Selanjutnya bisa ditunjukan bahwa sifat berikut berlaku: i. ( a) b = (ab), khususnya ( 1) (b) = b. ii. ( a) ( b) = ab. iii. (a + b) = a b. Contoh 23. (a) 4 ( 3) = (4 3) = 12. (b) ( 3) ( 5) = 3 5 = 15. (c) 3 7 = 3 (3 + 4) = 3 3 4 = (3 3) 4 = 0 4 = 0 + ( 4) = 4. Operasi jumlahan dan perkalian pada bilangan real dapat dikembangkan menjadi operasi yang lebih kompleks. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat tidak negatif, maka Bilangan a n dibaca a pangkat n. a n = a a a, a 0 = 1. Contoh 24. (a) 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32. (b) ( 3) 2 = ( 3) ( 3) = 9. (c) 17 0 = 1. (d) ( ) 1 3 = 1 2 2 1 2 1 2 = 1 8. (e) ( 1) 2 = ( 1) ( 1) = 1. (f) ( 1) 3 = ( 1) ( 1) ( 1) = 1. (3.1) (g) 1 2 = (1 2 ) = 1. Contoh 25. (a) Ekspresi (a + b) 2 dapat dinyatakan sebagai (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2.
3.1. OPERASI PADA BILANGAN REAL 29 (b) Dengan menerapkan hasil (a) untuk a = x dan b = y, maka (x y) 2 = x 2 2xy + y 2. (c) Dengan menggunakan hasil (a) dan (b), (x + y z) 2 = [(x + y) z] 2 = (x + y) 2 2(x + y)z + z 2 = x 2 + 2xy + y 2 2xz 2yz + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy 2xz 2yz. Jika a 0 dan n bilangan bulat tidak negatif, maka Contoh 26. (a) 2 3 = 1 2 3 = 1 8. (b) 2 5 = 1 2 5 = 1 32. (c) 3 2 4 = 3 1 2 4 = 3 1 16 = 3 16. a n = 1 a (3.2) n Jika x bilangan real dan n bilangan bulat, maka akar n dari x ditulis n x atau x 1 n, didefinisikan n x = y jika dan hanya jika y n = x. (3.3) Jika n = 2 maka akar 2 dari x biasa ditulis 2 x = x. Contoh 27. (a) 9 = 3, sebab 3 2 = 9. (b) 5 32 = 2, sebab 2 5 = 32. (c) 4 81 = 3, sebab 3 4 = 81. (d) 16 1 2 = 16 = 4, sebab 4 2 = 16. (e) 64 1 3 = 3 64 = 4, sebab 4 3 = 64. Jika m dan n bilangan bulat dengan n 0, maka x m n = (x m ) 1 n = n x m (3.4)
30 BAB 3. HIMPUNAN BILANGAN RIEL Contoh 28. 4 3 2 = ( 4 3 ) 1 2 = 2 4 3 = 64 = 8. Teorema 3. Jika p dan q bilangan rasional, maka berlaku (i) a p a q = a p+q (ii) ap = a p q a q (iii) a p b p = (ab) p Contoh 29. (a) 2 1 2 2 5 2 = 2 1 2 + 5 2 = 2 3 = 8 (b) 53 5 = 5 3 2 = 5. 2 (c) 3 2 5 2 = (3 5) 2 = 15 2 = 225. 3.2 Urutan pada bilangan real Kita telah mengetahui bahwa himpunan semua bilangan real dapat digambarkan dengan garis real. Dua titik berbeda pada garis real tentu selalu dapat diurutkan. Misalkan a dan b dua bilangan real. Bilangan real a dikatakan lebih kecil dari bilangan b, ditulis a < b jika pada garis real posisi a di sebelah kiri b. Pernyataan a lebih kecil dari b juga sama dengan pernyataan b lebih besar dari a, dan ditulis b > a. a Gambar 3.2: a < b Jika a dan b adalah bilangan real, maka satu dan hanya satu pernyataan berikut berlaku: a < b, a = b, b > a b Notasi a b mengandung arti bahwa a < b atau a = b. Sebagai contoh: 2 3 dan 3 3. Notasi a b ekivalen dengan notasi b a. Operasi aljabar pada bilangan real dapat mempengaruhi sifat urutannya.
3.3. INTERVAL 31 Teorema 4. Diketahui a, b dan c bilangan real. i. Jika a < b, maka a + c < b + c. ii. Jika a b dan c 0, maka ac bc iii. Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc Contoh 30. Dapat diperiksa kebenaran pernyataan berikut: (a) Karena 2 < 3, maka 2 + 5 < 3 + 5. (b) Karena 2 < 4 dan 3 0, maka 2 3 < 4 3. (c) Karena 1 < 3 dan 2 < 0, maka 1 ( 2) > 3 ( 2). 3.3 Interval Interval atau selang adalah himpunan semua bilangan real yang terletak antara dua bilangan real. Jika a < b, maka kita bisa membentuk interval sebagai berikut : i. Interval terbuka (a, b) = {x : a < x < b} ( ) a b ii. Intervasl tertutup [a, b] = {x : a x b} [ ] a b iii. Interval setengah terbuka (a, b] = {x : a < x b} ( ] a b dan interval setengah terbuka [a, b) = {x : a x < b} [ ) a b
32 BAB 3. HIMPUNAN BILANGAN RIEL Contoh 31. Interval (0, 1] = {x : 0 < x 1} menyatakan himpunan semua bilangan yang lebih besar dari 0 dan lebih kecil atau sama dengan 1. ( ] 0 3 Karena interval adalah himpunan, maka kita dapat melakukan operasi himpunan pada interval. Contoh 32. Diketahui interval-interval I = (0, 3] = {x : 0 < x 3} dan J = [ 1, 1] = {x : 1 x 1}. Dapat diperiksa bahwa I J = {x : 1 x 3} = [ 1, 3] dan I J = {x : 0 < x 1} = (0, 1] ( ] 0 3 [ ] 1 1 [ ] 1 3 ( ] 0 1 I J I J I J Kita perkenalkan dua bilangan yang akan berguna dalam penerapan. Suatu bilangan yang lebih besar dari bilangan real manapun dinamakan tak hingga, ditulis. Jadi x < untuk sebarang bilangan real x Bilangan yang lebih kecil dari bilangan real manapun dinamakan minus tak hingga, ditulis. Jadi < x untuk sebarang bilangan real x 3.4 Nilai mutlak bilangan real Nilai mutlak bilangan real x ditulis x, didefinisikan { x jika x 0 x = x jika x < 0 (3.5)
3.5. KOORDINAT SIKU-SIKU 33 Berdasarkan definisi 3.4, nilai mutlak suatu bilangan real adalah bilangan tidak negatif. Nilai mutlak bilangan real menyatakan panjang garis dari titik 0 ke bilangan real tersebut. Contoh 33. (a) 4 = 4 (b) 3 = ( 3) = 3 (c) 0 = 0 (d) 6 4 = 2 = 2 (e) 4 6 = 2 = 2 Contoh 34. Carilah x sehingga berlaku x 4 < 1. x 4 < 1 ekivalen dengan x 4 < 1 dan (x 4) < 1 Diperoleh x < 5 dan x > 3. Dengan demikian nilai x yang memenuhi x 4 < 1 adalah {x : 3 < x < 5}. 3.5 Koordinat Siku-siku Kita telah mengetahui bahwa suatu bilangan real dapat dinyatakan sebagai suatu titik pada garis real; sebaliknya setiap titik pada garis real menyatakan suatu bilangan real. Jika kita beralih ke bidang, maka pada bidang ini dapat digambarkan dua garis real yang saling tegak lurus, namakan garis (sumbu) x dan sumbu y yang masing-masing arahnya horisontal dan vertikal. Bidang yang terbentuk dinamakan bidang xy. Titik pertemuan kedua sumbu dinamakan sebagai titik asal atau titik O. Setiap titik pada bidang dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dua bilangan (a, b), dimana a menyatakan jarak titik a sepanjang sumbu x dari titik O dan b menyatakan jarak b sepanjang sumbu y dari titik O. Pasangan bilangan (a, b) dinamakan koordinat. Jika titik P berada pada koordinat (a, b) maka ditulis P (a, b). Bidang xy beserta semua aturan ini dinamakan sistem koordinat Cartesius atau sistem koordinat siku-siku (Gambar 3.5). Pada gambar 3.5, titik asalnya adalah titik O(0, 0); beberapa titik pada bidang ini misalnya adalah P (4, 3), Q( 3, 4), A( 2, 3), B(0, 3) dan C(3, 3). Tes Formatif 1. Berilah tanda <, >,, atau = pada tempat yang disediakan!
34 BAB 3. HIMPUNAN BILANGAN RIEL y Q b O Gambar 3.3: Sistem koordinat siku-siku y B O P x a P x A C Gambar 3.4: Beberapa titik pada bidang xy
3.5. KOORDINAT SIKU-SIKU 35 (a) 3 1 1 3 (b) 1 8 (c) 5 1 5 1 (d) ( 2) 39128 ( 2) 30 (e) (x 1000) 2 0 (f) 3 1 (g) 1 8 (h) 5 1 1 3 5 1 (i) ( 2) 39128 ( 2) 30 (j) (x 1000) 2 0 2. Tuliskan dalam bentuk a b : (a) 1 x 3 (b) 3 t 5 (c) 1 (d) 1 a + 2 x b y x + 3 x 1/3 3. Carilah x sehingga (a) x 2 2 = 1 (b) x 1 5 (c) 1 x > 1 (d) 1 x 2 < 1 4. Gambarkan titik-titik berikut pada sistem koordinat xy: (a) P ( 1, 2) (b) Q(0, 5) (c) R(0, 3) (d) T ( 1, 3) 5. Sederhanakan (a) 2 2 4 3 = (b) 319 9 5 = (c) 10 3 5 4 = (d) 5 7 2 10 2 = 6. Tuliskan dalam bentuk n x m
36 BAB 3. HIMPUNAN BILANGAN RIEL (a) 4 2 3 (b) 7 3 5 (c) 10 0,9 (d) 100 0,6
Bab 4 Fungsi Bernilai Real Dalam fenomena sehari-hari, banyak dijumpai hubungan antara dua kuantitas yang memenuhi aturan tertentu. Beberapa contoh misalnya, harga suatu jenis barang berhubungan dengan kuantitas barang yang ada di pasar, tekanan suatu gas berhubungan dengan volume gas tersebut, kecepatan reaksi berhubungan dengan konsentrasi zat-zat pereaksi, dan sebaginya. Dalam kegiatan belajar ini akan diperkenalkan pengertian fungsi. Secara lebih khusus akan diperkenalkan pengertian domain fungsi, range fungsi dan grafik fungsi. Pembahasan akan lebih menekankan pada fungsi dengan domain dan range himpunan bagian bilangan real. Untuk lebih memperkaya wawasan tenang fungsi, pengenalan definisi tersebut juga disertai contoh-contoh. Pada akhir kegiatan belajar ini akan disajikan beberapa jenis fungsi yang sering digunakan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi. 4.1 Pengertian fungsi Diketahui D dan E adalah himpunan bagian bilangan real. Fungsi dari himpunan D ke himpuan E adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap anggota D dengan satu anggota E. Fungsi dari D ke E ditulis f : D E (4.1) Himpunan D dinamakan domain atau daerah definisi dan himpunan E dinamakan kodomain fungsi f. Jika bilangan x D dihubungkan dengan bilangan y E maka dikatakan bahwa x dipetakan oleh f ke y atau nilai fungsi di titik x adalah y (gambar 4.1) dan dituliskan f(x) = y atau x y Himpunan semua nilai fungsi f dinamakan range. Contoh 35. Diketahui D = {1, 2, 3, 4} dan E = {10, 20, 30, 40, 50}. 37
38 BAB 4. FUNGSI BERNILAI REAL f D x E y Gambar 4.1: x dipetakan oleh f ke y Jika f menghubungkan himpunan D dan E dengan aturan 1 10, 2 30, 3 20, 4 30 maka f merupakan fungsi. Perhatikan bahwa setiap anggota D dihubungkan dengan satu anggota E. Peta atau nilai fungsi tersebut adalah f(1) = 10 f(2) = 30 f(3) = 20 f(4) = 30 Perhatikan bahwa nilai fungsi di 2 dan 4 adalah sama, yakni f(2) = f(4) = 30. Range atau daerah semua himpunan peta fungsi ini adalah rangef = {10, 20, 30} Di dalam matematika dan terapannya kita banyak menemukan fungsi yang aturannya ditulis dalam bentuk rumus atau persamaan. Dalam pembahasan selanjutnya, fungsi ditulis dalam bentuk demikian. Contoh 36. Diketahui f adalah fungsi yang memetakan interval {x : 0 x 5} ke bilangan real dengan aturan f(x) = 3x Domainya adalah interval {x : 0 x 5} dan rangenya adalah interval {x : 0 x 15}. Nilai fungsi pada beberapa titik misalnya adalah f(0) = 3 0 = 0 f(2) = 3 2 = 6 f(0, 5) = 3 (0, 5) = 1, 5 f(a) = 3a f(a + b) = 3(a + b) f(x 2 ) = 3x 2 f(t + 1) = 3(t + 1)
4.1. PENGERTIAN FUNGSI 39 Contoh 37. Diketahui fungsi f dengan domain dan daerah hasil bilangan real. Jika f dinyatakan dengan f(x) = x 2 Range fungsi ini adalah himpunan semua bilangan real tidak negatif, karena untuk sebarang bilangan real x, nilai x 2 tidak pernah negatif. Nilai fungsi pada beberapa titik misalnya f(0) = 0 2 = 0 f(2) = 2 2 = 4 f( 2) = ( 2) 2 = 4 f( 3) = ( 3) 2 = 9 f(5) = 5 2 = 25 f(t) = t 2 f(z 2 ) = (z 2 ) 2 = z 4 Contoh 38. Fungsi f(x) = x adalah fungsi yang domainnya tidak mungkin mencakup bilangan negatif, karena tidak ada bilangan real yang merupakan akar bilangan negatif. Dengan demikian, domainya adalah semua bilangan real tidak negatif dan rangenya adalah semua bilangan real tidak negatif, atau ditulis domain f adalah {x : x 0} range f adalah {x : x 0} Contoh 39. Carilah himpunan semua bilangan real yang dapat menjadi domain dari fungsi f(x) = x 1. Penyelesaian Karena bilangan di dalam tanda akar lebih harus besar atau sama dengan 0, maka domainnya adalah himpunan semua bilangan x sehingga x 1 0 yang berarti himpunan semua x sehingga x 1. Jadi domainya adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan satu, atau ditulis domain f adalah {x : x 1} Contoh 40. Carilah himpunan yang bisa menjadi domain fungsi f(x) = 1 x 3 Penyelesaian Karena pembagian dengan nol tidak diperbolehkan, maka domainya adalah semua bilangan real sehingga x 3 tidak nol. Karen x 3 0 jika dan hanya jika x 3, maka domainya adalah himpunan semua bilangan real yang tidak memuat bilangan 3, atau {x : x 3}
40 BAB 4. FUNGSI BERNILAI REAL 4.2 Grafik Fungsi Jika f adalah fungsi dan a anggota domain f, maka nilai fungsi di titik a adalah f(a). Pasangan terurut a dan f(a) dituliskan dengan notasi (a, f(a)) Jika pasangan terurut (a, f(a)) digambarkan pada sistem koordinat siku-siku dengan a pada sumbu horisontal dan f(a) pada sumbu vertikal, maka terbentuk suatu titik. Grafik fungsi f didefinisikan sebagai himpunan semua titik-titik (x, f(x)) dengan x anggota domain D. Contoh 41. Diketahui fungsi dengan aturan f(x) = 2x dan domain D = {1, 2, 3} dan f. Mudah diperoleh bahwa f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 6 Dengan demikian diperoleh pasangan terurut (x, f(x)) sebagai berikut f(x) (1, 2), (2, 4), (3, 6) x Grafik fungsi f dengan domain D = {1, 2, 3} digambarkan sebagai titik-titik yang menyatakan pasangan terurutpasangan terurut (1, 2), (2, 4), dan (3, 6). Gambar 4.2: Grafik fungsi f(x) = 2x, dengan x = 1, 2, 3 Contoh 42. Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2x jika domainnya adalah interval {x : 0 x 3}. Penyelesaian Karena domainnya adalah interval {x : 0 x 3}, maka x dapat mengambil nilai berarapun antara bilangan 0 dan 3. Karena itu pasangan titik-pasangan titik (x, f(x)) ada tak hingga banyak. Untuk menggambarkan grafik fungsi semacam ini dapat digunakan pendekatan dengan cara menggambarkan beberapa titik. Tentu saja semakin banyak titik semaik mendeki grafik yang sebenarnya. Nilai fungsi ini pada beberapa titik adalah sebagai berikut
4.3. BEBERAPA JENIS FUNGSI 41 x 0 0,2 0,5 1 1,6 2 2,4 2,8 3 f(x) 0 0,4 1 2 3,2 4 4.8 5,6 6 Grafik fungsi tersebut untuk beberapa titik digambarkan pada (a), dan dengan menghubungkan titik-titik tersebut diperoleh grafik seperti pada (b). y (a) x Gambar 4.3: Grafik f(x) = 2x y f(x) = 2x Contoh 43. Gambarkan grafik fungsi f(x) = x 2 pada interval {x : 2 x 3}. Gambar sebelah kiri menyatakan grafik fungsi pada beberapa titik, dan gambar sebelah kanan merupakan grafik pada {x : 2 x 3}. (b) x 4.3 Beberapa Jenis Fungsi Di dalam bagian ini kita akan memperkenalkan beberapa jenis fungsi yang banyak digunakan di dalam ilmu dan teknologi.
42 BAB 4. FUNGSI BERNILAI REAL y x Gambar 4.4: Grafik f(x) = x 2 y f(x) = x 2 x
4.3. BEBERAPA JENIS FUNGSI 43 Fungsi Linear Fungsi linear adalah fungsi yang dapat dituliskan dalam bentuk f(x) = mx + c dengan m dan c konstanta. Grafik fungsi linear berupa garis lurus, konstanta m dinamakan kemiringan atau slope garis lurus. Contoh 44. Diberikan fungsi f(x) = 2x+3. Grafik fungsi ini dapat dilihat pada diagram berikut. y f(x) = 2x + 3 x Grafik fungsi linear f(x) = 2x + 3 berupa garis lurus. Kemiringan garis lurus ini adalah 2, yang berarti jika x bertambah 1 satuan maka f(x) bertambah 2 satuan. Garis ini berpotongan dengan sumbu vertikal pada titik (0, 3). Contoh 45. Diberikan fungsi f(x) = 1 2 x + 1. Grafik fungsi ini dapat dilihat pada diagram berikut.
44 BAB 4. FUNGSI BERNILAI REAL f(x) = 1 2 x + 1 y Grafik fungsi linear f(x) = 1x + 1 2 berupa garis lurus. Kemiringan garis lurus ini adalah 1, yang berarti 2 jika x bertambah 1 satuan maka f(x) x berkurang 1 satuan. 2 Garis ini berpotongan dengan sumbu vertikal pada titik (0, 1). Secara umum, kemiringan garis suatu fungsi linear ditentukan oleh koefisien m. Semakin besar nilai m semakin curam garisnya. Jika m bertanda positif maka garis miring ke kanan, jika m bertanda negatif maka garis miring kekiri. Garis horisontal memiliki kemiringan m = 0 dan garis vertikal memiliki kemiringan tak hingga. y y m > 0 m tak hingga m = 0 x m < 0 Tinjau kembali persamaan umum fungsi linear f(x) = mx + c x Misalkan grafik fungsi ini melalui titik (x 0, y 0 ) dan (x 1, y 1 ). Ini berarti y 0 = mx 0 + c y 1 = mx 1 + c
4.3. BEBERAPA JENIS FUNGSI 45 Persamaan kedua dikurangi persamaan pertama menghasilkan y 1 y 0 = mx 1 mx 0 atau m = y 1 y 0 (4.2) x 1 x 0 Karena y 1 y 0 adalah perubahan tinggi dan x 1 x 0 adalah perubahan maju, maka persamaan 4.2 menyatakan bahwa kemiringan garis lurus merupakan perbandingan perubahan tinggi dan perubahan maju. Jika diketahui suatu garis lurus memiliki kemiringan m dan melalui titik (x 0, y 0 ) dan diambil sebarang titik (x, y) pada garis tersebut, maka berlaku m = y y 0 x x 0 dan dapat disusun menjadi y y 0 = m(x x 0 ) (4.3) Contoh 46. Suatu garis lurus melalui titik (1, 2) dan ( 1, 8). Carilah kemiringan dan persamaan garis lurus tersebut. Penyelesaian. Kemiringan garis tersebut adalah m = 8 2 1 1 = 3 Persamaan garis ini dapat dicari dengan menggunakan persaamaan 4.3 y 2 = ( 3)(x 1) = 3x + 3 Dengan demikian permsaan garis lurus ini adalah y = 3x + 1.
46 BAB 4. FUNGSI BERNILAI REAL Fungsi Pangkat Suatu fungsi yang berbentuk f(x) = x a dengan a konstanta, dinamakan fungsi pangkat. Contoh 47. Berikut adalah beberapa concoh fungsi pangkat dan grafiknya. y y y f(x) = x 2 x f(x) = x f(x) = x 3 x x
4.3. BEBERAPA JENIS FUNGSI 47 Fungsi Polinom Fungsi polinom adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 dengan n bilangan bulat tidak negatif dan a 0, a 1,, a n adalah konstanta. Jika a n 0 maka fungsi polinom tersebut dinamakan polinom berderajat n. Contoh 48. (a) Fungsi f(x) = 2x 2 2x + 3 merupakan polinom berderajat 2 dan biasa disebut fungsi kuadrat. (b) Fungsi f(x) = x 3 + 3x 2 3 merupakan fungsi polinom berderajat 3. Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk f(x) = p(x) q(x) dengan p(x) dan q(x) polinom, dan q(x) 0. Contoh 49. Fungsi f(x) = x2 1 merupakan fungsi rasional. Perhatikan bahwa domain fungsi ini adalah semua bilangan real selain x 1 1, pada titik x = 1 fungsi ini tidak terdefinisi. Grafik fungsi ini dapat dilihat pada 49. y f(x) = x2 1 x 1 Fungsi f(x) = x2 1 x 1 terdefinisi pada setiap bilangan real, kecuali kecuali pada x = 1. Oleh karena itu fungsi tidak tidak ada nilai di x = 1. 1 x Jenis fungsi yang lain akan dibahas pada bagian selanjutnya.
48 BAB 4. FUNGSI BERNILAI REAL Tes Formatif 1. Diketahui fungsi f(x) = x 2 3x + 4. Hitunglah (a) f(0) (b) f(2) (c) f( 1) (d) f(a) (e) f(a + b) 2. Gambarkan grafik fungsi berikut (a) f(x) = 3x + 5 (b) f(x) = 3 2x (c) f(x) = 1 2 x2 x 2 (d) f(x) = 1 2x x 2 (e) f(x) = x 3 + 2 3. Carilah persamaan garis lurus yang melalui titik-titik berikut (a) titik (1, 3) dan (3, 6). (b) titik ( 2, 5) dan (3, 0). (c) titik (0, 2) dan (3, 0). (d) titik ( 1, 2) dan (2, 2). 4. Sederhanakan bentuk fungsi berikut (a) x2 9, x 3 x 3 (b) x2 4x+4 x+2, x 2 (c) x3 x 2 +x 1, x 1. x 1 x 1 (d) x+1, x 1.
Bab 5 Limit dan Kekontinyuan Jika kita mengamati pergantian antara waktu fajar sampai dengan terbitnya matahari, kita tidak bisa secara tegas menyatakan pukul berapa pergantian tersebut terjadi. Pada kenyataannya kita hanya bisa melihat perubahan di langit secara kontinyu mulai dari gelap hingga terang. Barangkali kita hanya bisa mengatakan matahari hampir terbit atau sesaat setelah terbit matahari. Dalam bagian ini kita akan memperkenalkan konsep limit sebagai pernyataan yang maknanya mirip dengan kata hampir, sesaat, mendekati dan sebagainya. Lebih lanjut kita akan memberikan sifat-sifat limit fungsi. Pada bagian selanjutnya akan diperkenalkan pengertian kekontinyuan suatu fungsi. 5.1 Limit fungsi Misalkan fungsi f didefinisikan pada inteval terbuka yang memuat c. Jika nilai x dibuat sedekat mungkin ke c ternyata nilai f mendekati L maka dikatakan limit fungsi f jika x mendekati c adalah L, dan ditulis lim f(x) = L x c Perhatikan bahwa x hanya mendekati c, yakni x c. Contoh 50. Diketahui fungsi f(x) = x 1. Berapakah limit fungsi x 2 1 ini jika x mendekati 1? Penyelesaian: Perhatikan bahwa kita tidak bisa menghitung nilai fungsi ini di x = 1, sebab pada titik tersebut fungsinya tidak terdefinisi. Untuk itu kita saat ini hanya bisa menebak dengan cara 49
50 BAB 5. LIMIT DAN KEKONTINYUAN menghitung nilai fungsi untuk x yang dekat ke bilangan 1. Tabel berikut telah dihitung nilai fungsi-nilai fungsi untuk beberapa nilai x. x 0.9 0.95 0.993 0.9996 1,001 1.05 1.025 1.1 f(x) 0.5263 0.5128 0.5018 0.5001 0.4998 0.4878 0.4938 0.4762 Dari tabel tersebut tampak bahwa jika x dibuat semakin dengan ke nilai 1 dari sebelah kiri, maka nilai f(x) semakin mendekati nilai 0.5. Demikian pula jika x dibuat semakin dengan ke nilai 1 dari sebelah kanan, maka nilai f(x) semakin mendekati nilai 0.5. Dari sini kuat dugaan bahwa limit fungsi ini jika x mendekati 1 adalah 1, dengan kata lain 2 y x 1 lim x 2 x 2 1 = 1 2 1 2 1 Gambar 5.1: Contoh 50 f(x) = x 1 x 2 1 Contoh 51. Diketahui fungsi f(x) = x3 2x 2 +x 2. Akan dihitung x 2 nilai f(x) jika x mendekati 2. Diambil beberapa nilai yang cukup dekat ke 2, misalnya x x 1,9 1,99 1,999 2,0001 2,01 2,1 f(x) 4,61 4,9601 4,996001 5,0004 5,0401 5,41 Berdasarkan tabel tersebut, jika x mendekati 2 ternyata f(x) mendekati 5. Ini berarti limit f(x) = x3 2x 2 +x 2 x 2 jika x mendekati 2
5.1. LIMIT FUNGSI 51 adalah 5, atau ditulis x 3 2x 2 + x 2 lim x 2 x 2 = 5 5 y 2 f(x) = x3 2x 2 +x 2 x x 2 Gambar 5.2: Contoh 51 Pencarian limit fungsi dengan mencoba-coba pada beberapa nilai x seperti dicontohkan di atas tentu bisa memerlukan waktu yang tidak sebentar. Oleh karena itu kita perkenalkan beberapa sifat fungsi yang berguna untuk mencari limit suatu fungsi. Sifat 3. Diketahui lim f(x) dan lim g(x) ada. x c x c 1. Jika k adalah konstanta, maka lim k = k. x c 2. Jika n bilangan bulat positif, maka lim x n = c n. x c 3. Jika k adalah konstanta, maka lim kf(x) = k lim f(x). x c x c 4. lim x c (f(x) + g(x)) = lim x c f(x) + lim x c g(x). 5. lim x c (f(x) g(x)) = lim x c f(x) lim x c g(x) f(x) 6. lim x c = lim f(x) x c g(x) lim x c g(x), dengan syarat lim x c g(x) 0.
52 BAB 5. LIMIT DAN KEKONTINYUAN Contoh 52. 1. lim x 2 5 = 5 2. lim x 0 3 (x 2 1) = 3 lim x 0 (x 2 1) = 3 ( 1) = 3. 3. lim x 1 (x + 1)(x 2 + 2) = lim x 1 (x + 1) lim x 1 (x 2 + 2) = 2 3 = 6. 4. lim x 3 1 = lim x 1 x3 1 = 2 x 1 1 x lim 1 x x 1 2 = 1. Contoh 53. Berapakah limit fungsi f(x) = x2 +x 2 jika x mendekati x 1 1? Penyelesaian Karena x 1, maka f(x) = x2 + x 2 = x + 2. x 1 Dengan demikian jika x mendekati 1 maka f(x) = x + 2 mendekati 3, yakni 5.2 Fungsi kontinyu x 2 + x 2 lim = 3. x 1 x 1 Suatu fungsi f dikatakan kontinyu di titik c jika berlaku lim f(x) = f(c) x c Definisi ini mengandung arti bahwa fungsi f kontinyu di titik c jika fungsi tersebut terdfinisi di titik c dan limitnya di titik c sama dengan nilai fungsi di titik c. Contoh 54. Fungsi f(x) = x 2 1 kontinyu di titik x = 1, sebab 1. f terdefinisi di x = 1, yakni f(1) = 0 ada 2. limit f di x = 1 sama dengan nilai fungsi di titik x = 1, yakni lim x 1 = 0. Jika fungsi f kontinyu pada setiap titik di domainnya, maka dikatakan fungsi tersebut kontinyu. Pada contoh di atas, fungsi f(x) = x 2 1 merupakan fungsi kontinyu. Grafik suatu fungsi kontinyu tidak putus.
5.2. FUNGSI KONTINYU 53 y f(x) y g(x) x Gambar 5.3: Fungsi f kontinyu; fungsi g tidak kontinyu di titik x = 1. Contoh 55. Apakah fungsi berikut kontinyu di titik x = 1? f(x) = x 1 x 2 1 Penyelesaian Fungsi ini tidak kontinyu di titik x = 1, karena fungsi ini tidak terdefinisi di titik x = 1, meskipun limit fungsi ini ada di x = 1. Fungsi ini kontinyu di setiap titik selain x = 1. Sifat 4. Diketahui f(x) dan g(x) adalah fungsi kontinyu. 1. Jika k adalah konstanta, maka k f(x) kontinyu. 2. x n dengan n 0 adalah fungsi kontinyu. 3. f(x) + g(x) kontinyu. 4. f(x) g(x) kontinyu. 5. f(x) g(x) 1 kontinyu dengan syarat g(x) 0. Contoh 56. Fungsi f(x) = x 2 2x + 1 adalah fungsi kontinyu, karena masing-masing suku pada fungsi tersebut kontinyu dan berdasarkan sifat 4. x Tes Formatif 1. Carilah limit fungsi berikut (a) lim x 4 x 3 2x 2 4.
54 BAB 5. LIMIT DAN KEKONTINYUAN (b) lim x 0 x 2 3x x. x (c) lim 2 1 x 1 x 1 x (d) lim 2 5x+6 x 2 x 2 (e) lim x 3 +x 2. x 0 x (f) lim x 2. x 2 x 2 4 2. Apakah fungsi berikut kontinyu di titik yang diberikan? Jika tidak jelaskan mengapa? (a) f(x) = x 5 2x 2 + 2, di titik x = 2 (b) f(x) = x2 +1 di x = 1 x (c) f(x) = x3 2x+1 di x = 7. x 7
Bab 6 Derivatif 6.1 Laju Perubahan Fungsi Perubahan merupakan fenomena sehari-hari, baik alami maupun buatan. Posisi planet-planet selalu berubah satu terhadap lain, kendaraan yang bergerak mengalami perubahan, perekonomian suatu negara selalu mengalami perubahan, reaksi kimia juga merupakan suatu perubahan zat pereaksi menjadi zat hasil reaksi, demikian pula dengan perkembangan populasi merupakan perubahan jumlah individu dalam suatu interval waktu. Jika y fungsi dari x, maka ditulis y = f(x). Jika x berubah dari x 1 ke x 2, maka perubahan x adalah dan perubahan y adalah Definisi 19. Hasil bagi x = x 2 x 1 (6.1) y = f(x) = f(x 2 ) f(x 1 ) (6.2) f x = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 dinamakan laju perubahan rata-rata y terhadap x pada interval [x 1, x 2 ]. 55